矩阵的特征值与特征向量分析及应用-论文
摘要
特征值和特征向量是高等代数中的一个重要概念，为对角矩阵的学习奠定了基础.本文在特征值和特征向量定义的基础上进一步阐述了特征值和特征向量的关系.本文还研究矩阵的特征值和特征向量的求解方法.再列举了特征值和特征向量相关的性质.最后给出了阵的特征值与特征向量在生活中的运用，并应用于实例.
关键词：矩阵特征值特征向量
Abstract
Eigenvalues and eigenvectors are important concepts of advanced algebra which laid the foundation for the diagonal matrix learning. This paper, on the basis of the definition of eigenvalues and eigenvectors, study the relationship of them. This also study the solution method of eigenvalues and eigenvectors. And then lists the related properties of eigenvalues and eigenvectors. Finally, use the matrix eigenvalues and eigenvectors in ordinary live, and application in real examples.
Keywords: matrix ; eigenvalue ; eigenvector
目录
引言
第一章、本征值和本征向量的关系
1.1 本征值与本征向量的定义
1.2 求解本征值与本征向量的方法探索
第二章、矩阵的特征多项式和特征根
2.1 矩阵的特征多项式和特征根的定义
2.2 求解特征根和特征向量的方法
2.3 线性变换的特征根与特征向量的求法
第三章、特征值和特征向量在生活中的应用3.1 经济发展与环境污染的增长模型
3.2 莱斯利（Leslie）种群模型
四、结论
引言
矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具.。线性空间、线性变换等,、都是以矩阵作为手段；由此演绎出丰富多彩的理论画卷.。求解矩阵的特征值和特征向量,，是高等数学中经常碰到的问题。一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量。特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在于生活现实中的应用也很广泛。
第一章本征值和本征向量的关系
1.1本征值与本征向量的定义
定义1 设σ是数域F上线性空间V的一个线性变换．如果对应F中的一个数λ，存在V中的非零向量ξ，使得σ（ξ）=λξ（1）那么λ就叫做σ的一个本征值，而ξ叫做σ的属于特征根λ的一个本征向量．显然，如果ξ是α∈F的属于本征值λ的一个本征向量，那么对于任意α∈F,都有
σ（αξ）=ασ（ξ）=λ（αξ）
这样，如果ξ是σ的一个本征向量，那么由ξ所生成的一维子空间U=｛αξ|α∈F｝在σ之下不变；反过来，如果V的一个一维子空间U在σ之下不变，那么U中每一个非零向量都是σ的属于同一本征值的本征向量。①
其中（1）式的几何意义是：本征向量ξ与它在σ下的象σ（ξ）保持在同一直线L（ξ）上，λ＞0时方向相同，λ＜0时方向相反，λ＝0时，σ（ξ）= 0．
例1 在V3中，σ是关于过原点的平面H的反
射，它是一个线性变换．那么H中的每个非零
向量都是σ的属于本征值1的本征向量，Vλ
就是平面H．与H垂直的非零向量都是σ的
属于本征值 -1的本征向量，即V-1就是直
线L（见图1）见图1
例2 设V表示定义在实数域上的可微分任意次的实函数的全体构成的线性空间．令σ(f(x))= f ′(x), σ是V的线性变换．对于每个实数λ，有σ(eλx)=λeλx.
所以，λ是σ的本征值，而eλx是σ的属于λ的本征向量．
1.2求解本征值与本征向量的方法探索
问题的转化
直接由定义来求线性变换的本征值与本征向量往往是困难的，我们可用线性变换的矩阵来解决这个问题．
设V 是数域F 上的n 维线性空间，取定它的基｛α1，α2，…，αn ｝，令线性变换σ在这个基下的矩阵是A ＝（αij ）.
如果ξ＝k 1α1+ k 2α2+…+ k n αn 是线性变换σ的属于特征根λ的一个特征向量，
那么，
σ（ξ）关于基｛α1，α2，…，αn ｝的坐标是A ????
???
??n k k k 21而λξ的坐标是λ
??????
? ??n k k k 21 这样，就有 A ????
??
? ??n k k k 21=λ
??????
? ??n k k k 21 或（2） （λI-A ）??????? ??n k k k 21=????
??
? ??000
为ξ≠0，所以齐次线性方程（2）有非零解。因而系数行列式
（3） 02
1
2222111211
=---------=
A -I nn
n n n
n
a a a a a a a a a λλλλ
反过来，如果λ∈F ，满足等式（3），则齐次线性方程组（2）有非零解（k 1，k 2，…，k n ）， ξ＝k 1α1+ k 2α2+…+ k n αn
满足等式（1），λ是σ的一个本征值，ξ就是σ
的属于本征值λ的本征向量。
由上面的分析，可以得到以下的结论：
1）λ∈F 是σ的本征值的充分必要条件是它满足方程（3）； 2）对于本征值λ子空间V λ中一切向量
α1，α2，…，αn ｝下的坐标正好构成
齐次线性方程组（λI-A ）X=0的在F 上的解空间．实际上V λ与（λI-A ）X=0的解空间同构. V λ的一个基｛β1，β2，…，βn ｝可由齐次线性方程组（λI-A ）X= 0的一个基础解系｛η1，η2，…，ηn ｝给出. （其中βi =(α1，α2，…，αn )ηi ,
i=1,2, …,r ）；②
例1：求矩阵??
??
?
?????=52016-3-15-133-14-12A 的特征值和特征向量. 解：A 的特征多项式为：A E -λ=()()()2115
-20
-16
315
13
-3
1412
---+=+λλλλλλ A 有三个不同的特征值211321=-==λλλ，
将11=λ代入其次线性方程组??
????????=????????????????????+000X X X 5-20-1631513-31412
-321λλλ 得基础解系?????
?????-=1111ε，则A 的属于11=λ全部特征向量为()0k 111≠?k . 将12-=λ代入其次线性方程组??
????????=????????????????????+000X X X 5-20-1631513-31412
-321λλλ 得基础解系?????
?????-=6542ε，则A 的属于12-=λ全部特征向量为()0k 222≠?k . 将23=λ代入其次线性方程组??
????????=????????????????????+000X X X 5-20-1631513-31412
-321λλλ 得基础解系????
?
?????-=4333ε，则A 的属于23=λ全部特征向量为()0k 333≠?k
第二章 矩阵的特征多项式和特征根
2.1矩阵的特征多项式和特征根的定义
定义2 设A=(aij)是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式
nn
n n n n A a a a a a a a a a f ---------=
A -I =χχχχ
2
1
2222111211
叫做矩阵A 的特征多项式．f A (x )在C 内的根叫做矩阵A 的特征根．
设λ0∈C 是矩阵A 的特征根，而x 0∈C n 是一个非零的列向量，使A x 0=λ0x
0 ,
就是说，x 0是齐次线性方程组(λ0I -A )X =0的一个非零解．我们称x 0是矩阵A 的属
于特征根λ0的特征向量。③
2.2线性变换的本征值与矩阵的特征根的关系
1）如果σ关于某个基的矩阵是A ,那么σ的本征值一定是A 的特征根，但A 的特征根却不一定是σ的本征值，A 的n 个特征根中属于数域F 的数才是σ的本征值； （2）σ的本征向量是V 中满足（1）式的非零向量ξ，而A 的本征向量是C n 中的满足 A x 0=λ
x 0的非零列向量x 0
3）若λ∈F 是A 的特征根，则A 的F n 中属于λ的就是σ的λ属于的特征向量关于给定基的坐标．
2.3线性变换的特征根与特征向量的求法
现在把求线性变换σ的特征根和特征向量的步
骤归纳如下：
1）在线性空间V 中取一个基｛α1，α2，…，αn ｝，求出σ在这个基下的矩阵A ； 2) 计算特征多项式f A (x )=|XI -A |,求出它的属于数域F 的根λ1，λ2，…，λs ； 3) 对每个λi (i =1,2, …,s )求齐次线性方程组(λi I -A )X =0的基础解系； 4) 以上面求出的基础解系为坐标，写出V 中对应的向量组，它就是特征子空间
V λi 的一个基，从而可确定σ的特征向量．
例4 设R 上的三维线性空间V 的线性变换σ在基｛α1，α2，α3｝下
的矩阵是 ???
?
? ??----163053064
求σ的特征根和对应的特征向量．
解 σ的矩阵A 已给出，先求特征多项式和特征根．
()()211
6
3
05
3
64
2
+-=-+--=
A -I =χχχχχχA f f A (x )的根为λ1＝1（二重根），λ2＝-2都是σ的特征根．对特征根λ1＝1，解齐次线性方程组（1·I -A ）X =0，即
???
??=+=+=--0
630630
6321
2121χχχχχχ 得基础解系ξ1＝（-2，1，0），ξ2＝（0，0，1）对应的特征向量组是｛-2α1+α
2,
α3｝，它是特征子空间V 1的一个基，所以V 1＝L （-2α1+α2，α3）．而σ的属于
特征根1的一切特征向量为k 1（-2α1+α2）+k 2α3，k 1，k 2∈R ，不全为0．
对特征根λ2＝-2，解齐次线性方程组
???
?
? ??=????? ??????? ??---000363033
066321χχχ
得基础解系ξ3＝（-1，1，1），对应的σ的特征向量是-α1+α2+α3，它可构成V -2的一个基，所以 V -2＝L （-α1+α2+α3）．因此σ的属于特征根-2的一切特征向量为 k （-α1+α2+α3），k ∈R ，k ≠0．④
注意：求A 的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在C 内讨论；表示属于某个特征根的特征向量(关于基础解系)组合系数要取自指定的数域F (或C )，且不全为零
第三章 特征值和特征向量在生活中的应用
矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、生命科学和环境保护等领域都有着广泛而重要的应用.其中，经济发展与环境污染的增长模型，莱斯利（Leslie ）种群模型这两种模型，矩阵的特征值和特征向量在其应用起着重要的作用。
3.1 经济发展与环境污染的增长模型
经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：
设00,y x 分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平，11,y x 分别为该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平，且有如下关系：
令
则上述关系的矩阵形式为
此式反映了该地区当前和若干年后的环境污染水平和经济发展水平之间的关系.
如 则由上式得
由此可预测该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平.
一般地，若令t t y x ,分别为该地区t 年后的环境污染水平与经济发展水平，则经济发展与环境污染的增长模型为
???+=+=001001223y x y y x x ????
??=???? ??=111000,y x y x αα???
? ??=2213A .
01
ααA =
???
?
??=???? ??=1100
0y x α0014114441122
13ααα=???
? ??=???? ??=???? ?????? ?
?==A )
,,2,1(2231
11
1k t y x y y x x t t t t t t =??
?+=+=----
令
则上述关系的矩阵形式为 由此，有
由此可预测该地区t 年后的环境污染水平和经济发展水平.下面作进一步地讨论： 由矩阵A 的特征多项式
得A 的特征值为
对度41=λ ，解方程0)4(=-X A E 得特征向量
对11=λ，解方程0)(=-X A E 得特征向量
显然, 21,ηη线性无关
下面分三种情况分析：
Case 1
一个性质:若α是矩阵A 的属于特征值λ的特征向,则α也是k
A 的属于特征值k
λ的特
征向量度 (*) 由(*)及特征值与特征向量的性质知，
即 或 ?
???
??=t t t y x αk
t A t t ,,2,1,1 ==-αα.
)
(,,,
01032302
120
1
αααααααααααt
t t A A A A A A A ===*=====- )1)(4(2
21
3
||--=----=
-λλλλλA E 1
,421==λλ?
??
?
??=111η???? ??-=212η?
??
?
??==1110ηα?
??
?
??====11411
10t
t t
t
t A A ηληαα????
??=???
? ??114t t t y x t
t t y x 4==
此式表明：在当前的环境污染水平和经济发展水平 的前提下，t 年后，当经济发展水平达到较高程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势.
020<-=y ∴不讨论此种情况
0α 不是特征值, ∴不能类似分析。但是0α可以由21ηη，唯一线性表出来
21023ηηα-=
由(*)及特征值与特征向量的性质
即
由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展水平.
因无实际意义而在Case 2中未作讨论，但在Case3的讨论中仍起到了重要作用. 由经济发展与环境污染的增长模型易见，特征值和特征向量理论在模型的分析和研究中获得了成功的应用. ???
?
??-==21220ηαCase ???
? ??=7130αCase ,
221121
210443243211211432323)23(?
??? ??+?-?=???? ??-?-???? ???=-=-=-==t t
t
t t t t t t t t A A A A ηληληηηηαα,
443243???? ??+?-?=???? ??t t
t t y x ,243-?=t t x 4
43+?=t t y 2η
3.2 莱斯利（Leslie ）种群模型
莱斯利种群模型研究动物种群中雌性动物的年龄分布与数量增长之间的关系。
设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为L (单位：年），将区间[0,L ]作n 等分得
n 个年龄组
每个年龄组的长度为
设第i 个年龄组 的生育率（即每一雌性动物平均生育的雌性幼体的数目）为αi ，存活率（即第i 个年龄组中可存活到第i+1个年龄组的雌性动物的数目与
第i 个年龄组中雌性动物的总数之比）为b i 。 令
即为初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量。
取 设在时刻tk 该动物种群的第i 个年龄组中雌性动物的数目为
令
则X(k)即为时刻tk 该动物种群中雌性动物的年龄分布向量.显然，随着时间的变化，该动物种群的各年龄组中雌性动物的数目会发生变化.
易知，时刻tk 该动物种群的第一个年龄组中雌性动物的数目等于在时段[tk -1,tk ]内各年龄组中雌性动物生育的雌性幼体的数目之和，即
（2.1）
],,1[L n i L n i -,
,,2,1n i =.
n
L ],1[L n
i
L n i -??????
? ??=)0()0(2)0(1)
0(n x x x X )
0(X
,
L n
k t k =,
,2,1 =k ,)(k i x n i ,,2,1 = ,2,1=k ,)()(2)(1)
(????
??
?
??=k n k k k x x x X )
1()1(22)1(11)1(2)1(21)1(1)
(1------+++=?++?+?=k n n k k n
k n k k k x a x a x a a x a x a x x
又tk 时刻该动物种群的第i+1个年龄组中雌性动物的数目等于tk-1 时刻第i 个年龄组中雌性动物的存活量，即 （2.2）
联立（2.1）和（2.2）得
（2.3）
即
（2.4）
令莱斯利矩阵
则（2.4）即为 于是 （2.6）
由此，若已知初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量X (0)，则可计算出t k 时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量X (k)，从而对该动物种群中雌性动物的数量作出科学的预测和分析.⑤ ,)1()1()(1--+=?=k i
i i k i k i x b b x x 1
,,2,1-=n i ???-==+++=-+---1
,,2,1,)1()(1)1()1(22)1(11)(1n i x b x x a x a x a x k i i k i k n n k k k ?????????===++++=-----------)1(11)()1(22)(3)1(11)(2)1()1(11)1(22)1(11)(1k n n k n
k k k k k n n k n n k k k x b x x b x x b x x a x a x a x a x ???????
?
??=--00
00000001
2
112
1
n n n b b b a a a
a L
,)1()(-=k k LX X
,2,1=k .
,
,,,)0()1()()0(3)2()3()0(2)1()2()0()1(X L LX X X L LX X X L LX X LX X k k k ========-
例3．1 设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为15年，且以5年为间隔将雌性动物分为3个年龄组[0,5],[5,10],[10,15].由统计资料知，3个年龄组的雌性动物的生育率分别为0，4，3，存活率分别为0.5，0.25，0，初始时刻3个年龄组的雌性动物的数目分别为500，1000，500.试利用莱斯利种群模型对该动物种群中雌性动物的年龄分布和数量增长的规律进行分析.
解：
由（2.6）得
……
下面求
由矩阵L 的特征多项式
得L 的特征值为
,3,15==n L ,
3,4,0321===a a a .
25.0,5.021==b b ,5001000500)
0(????
?
??=X ????? ?
?=025.00005
.034
L ????
? ??=????? ??????? ??==25025055005001000500025.00005.0340
)
0()1(LX X ????
? ??=????? ??????? ??==5.62275017502502505500025.00005.0340)
1()2(LX X )
0()1()(X L LX X k k k ===- .k
L )4
123)(23(25.0005.034||2++-=----=-λλλλ
λλλL E 45
3,453,23321--=+-=
=λλλ
由矩阵L 可相似对角化.
令矩阵
则P 可逆，且
于是 得特征向量，解方程组对0)2
3(231=-=X L E λ???????
?
??=1813111α特征向量得
，解方程组对0)453(4532=-+-+-=X L E λ?
??
??
? ??-+--=535614516362α特征向量得，解方程组对0)4
5
3(4533
=-----=X L E λ???
??
? ??--+--=535614516363α?
?
??
?
?
?
?
??
---++----==535318
1
5614561431516365
16361),,(321αααP ????
? ??=-32
1
1
λλλLP P 132
1
-????
?
??=P P L λλλ
从而 )
0(1321)
0()(][X
P P X L X k k k -????
? ??==λλλ)0(1121
21)0(1321)
0(1321)()(
1X P P X P P X P P k k
k k k
k k
---??????
???
? ?
?
=????
?
??=?????
??=λλλλλλλλλλλ??
??? ???????????
??---++----?????????
? ??=-50010005005353181561456143151636516361
)()(11121
21k k
k P λλλλλ?????
??????????? ??--+--+-----??????????
? ??=500100050038051172557605953805815380511725576059538058151981927199)()(112121k k
k P λλλλλ??
????
???
??-+?????????
? ??=195290061251952500587519
27500)()(112121k k
k P λλλλλ??????
???
??
-+?????????
? ?
?
=?
195290061251952500587519
27500)()(11
1212)
(1k k
k k
P X λλλλλ
两边取极限得
于是，当k 充分大时，
由此式知，在初始状态下，经过充分长的时间后，该动物种群中雌性动物的年龄分
布将趋于稳定，即3个年龄组中雌性动物的数目之比为 且时刻该动物种群
的3个年龄组中雌性动物的数目分别为
且其总和为 ??
????
???
??-+??????????
??=∞→∞
→195290061251952500587519
27500)()(1lim 1
lim
1212
)
(1k k k k k
k P X λλλλλ??
?
???
???
??
-+??????????
? ?
?
=∞→195290061251952500587519
27500)()(1lim 121
2
k k
k P λλλλ.1927500001927500),,(001927500)1,1(195
29006125195250058751927500001332112
12ααααλλλλ=?
?
????
?
??=??????? ??=<
?
?
??-+????? ??=P P ????
?
?
?
?
???=≈?≈181311)23(192750019275001927500111)(1)(1k k k k k X X αλαλ,18
1
:31:1,)23(1927500k ?,)23(5727500k
?.)2
3(34227500k
?.)2
3(171343750k
?
四、结论
通过矩阵特征值与特征向量，以及矩阵的特征多项式和特征根的定义学习，理解特征值与特征向量求解方法。矩阵的特征值应用于生活的中，为生活各类问题解决，创建有效的数学模型数学提供了有效的工具，为解决问题提供有效的方法。是数学与其它科学研究的基础和工具。学习和研究数学，联系实际，通过数学的工具来解决生活上问题。离开数学别的科学研究是寸步难行的，所以我们必须重视数学，深入研究数学，从而促进所有科学的发展。
参考文献
①张禾瑞,郝鈵新.高等代数(第四版 )[M].北京:高等教育出版社,2007，279
②谢国瑞.线性代数及应用[M].北京:高等教育出版社,1999.
③北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数[M] . 北京:高等教育出版社,2000.
④杨子胥. 高等代数习题解[M] . 济南:山东科学技术出版社,1982.
⑤戴斌祥，线性代数[M]，北京邮电大学出版社
线性代数结课论文
华北水利水电大学 线性代数发展简史 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成：姓名 学号 联系方式： 年月日
摘要：一次方程也叫线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就是线性代数，它是高等代数的一大分支，同时也是大学数学教育中一门主要基础课程。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧式空间和二次型等。 关键词：线性代数行列式矩阵向量线性方程组二次型群论 正文： 1.引言：线性代数是大学数学教育中一门主要基础课程，对于培养面向21世纪人才起着重要作用。通过了解线性代数的发展简史可以让我们更好地理解数学，从而更好地学习并应用它。 2.1 行列式 我们知道，在线性代数中最重要的内容之一就是行列式，它不仅是一种语言和速记，而且他的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙，同时人们已经证明了这个概念是数学、物理中非常有用的工具。 行列式出现于线性方程组的求解，它的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中提出的。他于1683年写
了这本书，书里对行列式的概念和它的算法进行了清除的叙述。同时代的德国数学家莱布尼茨是欧洲提出行列式的第一人，也是微积分学的奠基人之一，他于1693年4月在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，而且给出方程组的系数行列式为零的条件。 1750年，瑞士数学家克莱姆在其著作《线性带分析导引》中，比较完整、明确地阐述了行列式的定义与展开法，并且发表了求解线性系统方程的重要公式，即我们现在所称的解线性方程组的克莱姆法则。 1764年，数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式等于零这一条件判断对给定了含n个未知量的n 个齐次线性方程是否有非零解。 尽管上述几位数学家对行列式的提出与应用做出了很大的贡献，但仍在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。 可喜的是，法国数学家范德蒙给出了一条法则，用二阶余子式和它们的余子式来展开行列式，从而把行列式理论与线性方程组求解相分离，他也因此成为了第一个对行列式理论做出连贯的系统的阐述的人。范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但他对数学却有浓厚的兴趣，后来终于成为了法兰西科学院院士，就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772年，拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中证明了范德蒙的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法。
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第五章 矩阵的特征值与特征向量 5.1矩阵的特征值与特征向量 5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念 设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非零的n 维列向量α，使得：λαα=A (0≠α)成立，则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量. 5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法 把定义公式λαα=A 改写为()0=-αλA E ,即α是齐次方程组()0=-x A E λ的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：0=-A E λ. 所以可以通过0=-A E λ求出所有特征值，然后对每一个特征值i λ，分别求出齐 次方程组()0=-x A E i λ的一个基础解系，进而再求得通解. 【例5.1】求??? ? ? ?????------=324262423A 的特征值和特征向量. 解：根据()()0273 2 4 26 24 23 2 =+-=---= -λλλλλλA E ，可得71=λ，22-=λ. 当7=λ时，??? ? ? ?????? ??? ???????=-0000002124242124247A E ， 所以()07=-x A E 的一个基础解系为：()T 0,2,11-=α,()T 1,0,12-=α，则相应的特征向量为2211ααk k +，其中21,k k 是任意常数且()()0,0,21≠k k . 当2-=λ时，???? ? ?????--? ??? ? ??????---=--00012014152428242 52A E ，所以()02=--x A E 的一个基础解系为()T 2,1,23=α，则相应的特征向量为33αk ，其中3k 是任意常数且
关于特征值及特征向量的求解方法及技巧
关于特征值与特征向量的求解方法与技巧 摘 要:矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具，对矩阵的特征值与特征向量的求解研究具有一定意义。本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行了系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量的结论。文章给出求解矩阵特征值与特征向量的两种简易方法: 列行互逆变换方法与列初等变换方法。 关键词: 特征值，特征向量; 互逆变换; 初等变换。 1 引言 物理、力学、工程技术的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题，直接由特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料上由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值才可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。本文对此问题进行 了系统的归纳，给出了两种简易方法。 一般教科书介绍的求矩阵的特征值和特征向量的方法是先求矩阵A 的特征方程()0A f I A λλ=-=的全部特征根(互异) ，而求相应的特征向量的方法则是对每个i λ 求齐次线性方程组()0i I A X λ-=的基础解系，两者的计算是分离的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线性方程组, 求解过程比较繁琐，计算量都较大。
本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法， 只用一种运算 ——矩阵运算， 其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法， 而且不需要考虑带参数的特征矩阵。而矩阵的列初等变换法， 在求出特征值的同时， 已经进行了大部分求相应特征向量的运算， 有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。两种方法计算量少， 且运算规范，不易出错。 2 方法之一： 列行互逆变换法 定义1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换: 1. 互换i 、j 两列()i j c c ?，同时互换j 、i 两行()j i r r ? ； 2. 第i 列乘以非零数()i k kc ， 同时第i 行乘11i c k k ?? ?? ? ； 3. 第i 列k 倍加到第j 列()j i c kc +， 同时第j 行- k 倍加到第i 行 ()i j r kr -。 定理1 复数域C 上任一n 阶矩阵A 都与一个Jordan 标准形矩阵 1212,,....r k k kr J diag J J J λλλ? ? ???????? ??? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?=相似， 其中 111110...0001...00..................000...1000...0ki ki J λλλλ?? ?? ?? ??=?? ??????称为Jordan 块， 12r k k k n +++=L 并且 这个Jordan 标准形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序外被矩阵A 唯一确定， J 称为A 的Jordan 标准形。 定理2 A 为任意n 阶方阵, 若T A J I P ?? ????????→ ? ????? 一系列列行互逆变换其中
矩阵理论中的矩阵分析的实际应用论文
矩阵分析在同步捕获性能研究新应用 摘要：该文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法，通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵，仅需知道一步转移概率矩阵，利用现代计算机编程语言(如MAPLE，MATLAB等)的符号运算功能，即可得到捕获系统的传输函数：通过对传输函数求导，可计算平均捕获时间。矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数，可弥补流程图方法在分析传统连续搜索捕获方案的传输函数时所忽略的项；可纠正流程图方法在分 析非连续搜索捕获方案的传输函数时所引起的误差。 关键词：CDMA；矩阵分析；传输函数；流程图；捕获 A Novel Acquisition Performance Evaluation Approach Based on Matrix Analysis Abstract：A novel acquisition performance analysis approach is proposed based on matrix analysis．Given the first step transition probability matrix，the transfer function of acquisition system can be obtained by utilizing the symbol operation function of computer programming such as MAPLE，MATLAB and so on，and the mean acquisition time can be computed by differentiating the transfer function．The transfer function of acquisition system can be computed perfectly by matrix analysis，it not only complements the items neglected in that of conventional serial acquisition scheme but also corrects the error items in that of nonconsecutive acquisition scheme．
矩阵论论文
西安理工大学 研究生课程论文 课程名称：矩阵论 任课教师：XXX 论文/研究报告题目：线性变换在 电路方程中的应用 完成日期：2014年11月5日学科：Xxxx 学号：XXXXXXX 姓名：XXX 成绩：
线性变换在电路方程中的应用 摘要：电路分析中的坐标变换和复杂绕组变压器分析中所用的变压器变换都是电路方程的线性变换。根据矩阵理论，对坐标变换和变压器变换进行了统一阐释。坐标变换本质是一个方阵和对角阵的相似变换，变压器变换的本质是新变量对旧变量的表示，当变换矩阵的逆阵等于它的转置（共轭转置）阵时，坐标变换和变压器变换数学表示是相同的。通过对电路方程系数矩阵和三角阵的相似变换，同时得到了三相 abc 坐标系和任意速度旋转两相 dq0 坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、前进 - 后退 FB0 坐标系之间的变换矩阵。这有助于在更加基础的理论层面上揭示和理解电路方程线性变换的本质，也为提出电路方程线性变换的新类型提供了思路。 关键词：电路方程；线性变换；坐标变换；变压器变换 引言 在交流电机等电路分析中，常用的坐标变换是指三相静止 abc 坐标系任意速度旋转两相 d q坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、 前进 - 后退 F B坐标系，以及它们对应的特殊坐标系的变量之间的 相互转换。电路方程坐标变换的主要目的是使电压、电流、磁链方程系数矩阵对角化和非时变化，从而简化数学模型，使分析和控制变得简单、准确、易行。还有一类电路方程变换，其目的是用旧变量表示出新变量，例如变压器中由原边变量利用变比变换而来的副边变量，把这类电路方程变换称为变压器变换。坐标变换已有很多文献进行了阐述，但这些阐述大都是基于物理概念的。变压器变换在复杂绕组变
特征值和特征向量的物理意义
特征向量体现样本之间的相关程度，特征值则反映了散射强度。 特征向量的几何意义.矩阵(既然讨论特征向量的问题.当然是方阵.这里不讨论广义特征向量的概念)乘以一 个向量的结果仍是同维数的一个向量.因此.矩阵乘法对应了一个变换.把一个向量变成同维数的另一个向量.那么变换的效果是什么呢?这当然与方阵的构造有密切关系.比如可以取适当的二维方阵.使得这个变换 的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度.这时我们可以问一个问题.有没有向量在这个变换下不 改变方向呢?可以想一下.除了零向量.没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的.所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意:特征向量不能是零向量).所以一个变换的特征向量 是这样一种向量.它经过这种特定的变换后保持方向不变.只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx.你就恍然大悟了.看到了吗?cx是方阵A对向量x进行变换后的结果.但显然cx和x的方向相同).而且x是特征向量的话.ax也是特征向量(a是标量且不为零).所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族. 另外.特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已.对一个变换而言.特征向量指明的 方向才是很重要的.特征值不是那么重要.虽然我们求这两个量时先求出特征值.但特征向量才是更本质的 东西! 比如平面上的一个变换.把一个向量关于横轴做镜像对称变换.即保持一个向量的横坐标不变.但纵坐标取相反数.把这个变换表示为矩阵就是［1 0,0 -1］.其中分号表示换行.显然［1 0,0 -1］＊［a b］＇=［a -b］＇. 其中上标＇表示取转置.这正是我们想要的效果.那么现在可以猜一下了.这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变.显然.横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像 对称变换.那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化).所以可以直接猜测其特征向量是［a 0］＇(a不为0).还有其他的吗?有.那就是纵轴上的向量.这时经过变换后.其方向反向.但仍在同一条轴上.所以也被认为是方向没有变化。 综上，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值似乎不是那么重要；但是，当我们引用了Spectral theorem（谱定律）的时候，情况就不一样了。 Spectral theorem的核心内容如下：一个线性变换（用矩阵乘法表示）可表示为它的所有的特征向量的一个线性组合，其中的线性系数就是每一个向量对应的特征值，写成公式就是： T(V)=λ1(V1.V)V1+λ2(V2.V)V2+λ3(V3.V)V3+... 从这里我们可以看出，一个变换（矩阵）可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向量所对应的特征值，就代表了矩阵在这一向量上的贡献率——说的通俗一点就是能量（power），至此，特征值翻身做主人，彻底掌握了对特征向量的主动：你所能够代表这个矩阵的能量高低掌握在我手中，你还吊什么吊？ 我们知道，一个变换可由一个矩阵乘法表示，那么一个空间坐标系也可视作一个矩阵，而这个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示，用图来表示的话，可以想象就是一个空间张开的各个坐标角度，这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间的“特征”，而他们的特征值就表示了各个角度上的能量（可以想象成从各个角度上伸出的长短，越长的轴就越可以代表这个空间，它的“特征”就越强，或者说显性，而短轴自然就成了隐性特征），因此，通过特征向量/值可以完全描述某一几何空间这一特点，使得特征向量与特征值在几何（特别是空间几何）及其应用中得以发挥。 关于特征向量（特别是特征值）的应用实在是太多太多，近的比如俺曾经提到过的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法；近的比如Google公司的成名作PageRank，也是通过计算一个用矩阵表示的图（这个图代表了整个Web各个网页“节点”之间的关联）的特征向量来对每一个节点打“特征值”分；再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面，都有应用，
特征值和特征向量习题集
《 特征值与特征向量》习题2 1．求矩阵M ＝???? ?? －1 0 5 6的特征值和特征向量． 2. 已知矩阵M ＝?? ?? ?? 1 22 x 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量． 3. 已知矩阵M ＝?????? 1 －2－1 －3，向量α＝?????? 3－5，β＝???? ?? 24. (1)求向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象； (2)向量γ＝?????? 12是矩阵M 的特征向量吗为什么 4. 已知矩阵A ＝?? ???? 1 2－1 4，设向量β＝???? ??74，试计算A 5 β的值． 5. 已知矩阵A ＝???? ?? 1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0， －3) (1)求实数a 的值； (2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 6. 已知矩阵A ＝?? ???? 3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝???? ?? 11，属于特征值1的一个特征向量α2＝???? ?? 3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵． 7. 已知矩阵A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°. (1)求矩阵A 及A 的逆矩阵B ； (2)已知矩阵M ＝?? ?? ??3 32 4，求M 的特征值和特征向量； (3)若α＝???? ??81在矩阵B 的作用下变换为β，求M 50 β.(结果用指数式表示) 8. 已知二阶矩阵M 的一个特征值λ＝8及与其对应的一个特征向量α1＝???? ?? 11，并且矩 阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ； (2)求矩阵M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量α2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．
矩阵的特征值与特征向量专题讲解
矩阵的特征值与特征向量专题讲解 一、内容提要 一、矩阵的特征值和特征向量 1、基本概念 设A 为n 阶方阵，若存在数λ和n 为非零向量0,a ≠使Aa a λ=，则称λ是A 的特征值，a 是属于λ的特征向量；矩阵E A λ-称为A 的特征矩阵；E A λ-是 λ的n 次多项式，称为A 的特征多项式；E A λ-=0称为A 的特征方程； 2、特征值、特征向量的求法 （1）计算A 的特征值，即解特征方程E A λ-=0； （2）对每一个特征值0λ，求出相应的齐次线性方程组()00E A X λ-= 一个基础解系123,ξξξ，，...,则属于0λ的全部特征向量为11...s s k k ξξ++，其中1,...,s k k 为不全为零的任意常数； 3、特征值、特征向量的性质 （1）A 与T A 的特征值相同（但特征向量一般不同）； （2）属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量； （3）属于不同特征值的特征向量线性无关； （4）设()0Aa a a λ=≠，则(),,m kA A P A 的特征值分别为(),,m k P λλλ，其中 ()P x 为任一多项式，而a 仍为相应的特征向量； （5）若A 可逆，()0Aa a a λ=≠，则 1 λ 是1A -的特征值； A λ 是*A 的特征值， a 仍为相应的特征向量； （6）设12n λλλ，，...是n 阶方阵的特征值，则有()1 1 n n i ii i i a tr A λ====∑∑（迹）； 1 n i i A λ ==∏;推论：A 可逆当且仅当A 的特征值全不为零； （7）若A 为实对称阵，则A 的所有特征值均为实数，且属于不同特征值的 特征向量彼此正交。 二、相似矩阵
矩阵的特征值和特征向量
第五章矩阵的特征值和特征向量 来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对 角矩阵. (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2．教学重点： (1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵. 4．教学内容： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. §1矩阵的特征值和特征向量 定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程 (1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特 征向量． （1）式也可写成， (2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3) 即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的 次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．
== = 显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值． 设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明 （ⅰ） （ⅱ） 若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为 方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非 零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式； 第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组： 的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是 （其中是不全为零的任意实数）． 例1 求的特征值和特征向量. 解的特征多项式为 =
特征值与特征向量定义与计算
特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念及其计算 定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，是一个未知量， 称为A的特征多项式，记()=| E-A|，是一个P上的关于 的n次多项式，E是单位矩阵。 ()=| E-A|=n+1n-1+…+n= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程()=| E-A|=0的根 (如：0) 称为A的特征根(或特征值)。 n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A 有关，与数域P也有关。 以A的特征值0代入 (E-A)X=，得方程组 (0E-A)X=，是一个齐次方程组，称为A的关于0的特征方程组。因为 |0E-A|=0，(0E-A)X=必存在非零解X(0)，X(0) 称为A的属于 的特征向量全体构成了0的特征向量空间。 0的特征向量。所有0
一.特征值与特征向量的求法 对于矩阵A，由AX=0X，0EX=AX，得： [0E-A]X=即齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是： 即说明特征根是特征多项式 |0E-A| =0的根，由代数基本定理 有n个复根1, 2,…, n，为A的n个特征根。
当特征根i(I=1,2,…,n)求出后，(i E-A)X=是齐次方程， |i E-A|=0，(i E-A)X=必存在非零解，且有无穷个解i均会使 向量，(i E-A)X=的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。 例1. 求矩阵的特征值与特征向量。 解：由特征方程 解得A有2重特征值1=2=-2，有单特征值3=4 对于特征值1=2=-2，解方程组 (-2E-A)x= 得同解方程组 x1-x2+x3=0 解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)
matlab结课论文
山西大同大学matlab课程结课作业MATLAB程序应用 姓名： 课程序号： 2 班级： 学号： 2013年12月
1.实验内容：已知!123n n =????? ，编写一个程序求满足100!10n ≤的 最大的n 值以及此时!n 的值。 function n n=2;m=1; while m<=10^100 m=m.*n;n=n+1; end m=m/(n-1)；n=n-2; m n m = 1.7112e+098 n =69 2.设)15113111191715131 1(22 +--++--+=π，试根据公式编出计算pi 的Mat lab 主程序文件，pi 的精度为0.00001。 程序： k=0;n=1;b=0;a=0; while abs((pi-a))>0.00001 a=2*sqrt(2)*k; k=( bcos( *pi/2)+sin(b*pi/2))/n+k; n=n+2; b=b+1; end a 输出a=3.141602572083633 ; a-pi= 9.918493839577991e-006 3.有两个矩阵A 和B 如下：????????????---=771175420132861-1A ，????????????------=0162310013125673B ， 将A 中所有等于-1的元素改为-2，将B 中所有小于0的元素改为1，然后将B 中等于0的元素的值改为A 的相应位置元素的值。请用Matlab 函数文件实现上述运算。
clear; clc; A=[1 -1 6 8;2 3 -1 0;-2 4 5 7;1 -1 7 7]; B=[-3 -7 6 -5;-2 1 3 -1;0 0 1 3;2 6 -1 0]; C=A;A(A==-1)=-2;U=A; D=B;B(B<0)=1;V=B; A=C;B=D;[i,j]=find(B==0);A(i,j)=0;W=A; A=C;B=D; A,B,W,U,V %用函数文件实现矩阵中元素的变换。 %A、B为输入变量。 %U、V、W分别存放A、B中间变换结果。 ; 4.用matlab主程序文件产生动画：呈现一小圆（半径为1）在一大圆（半径为3）的圆周外部滚动的动画，要求连续滚动20周。 clea close;clc;r; axis([-6 6 -6 6],'equal','manual');hold on; ezplot('x^2+y^2-9'); h=ezplot('x^2+y^2-1'); x=get(h,'xdata'); y=get(h,'ydata'); for t=1:7200 set(h,'xdata',x+4*cosd(t),'ydata',y+4*sind(t)); drawnow; end
矩阵的特征值与特征向量习题
第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1)?? ? ? ? ??=931421111) , ,(321a a a (2)???? ?? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 2 设x 为n 维列向量 x T x 1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交 阵 3 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)??? ?? ??----20133 521 2; (2)??? ? ? ??633312321. 4 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同 5 设 0是m 阶矩阵A m n B n m 的特征值 证明 也是n 阶矩阵BA 的特 征值. 6 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 35A 2 7A | 7 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A * 3A 2E | 8 设矩阵??? ? ? ??=50413102x A 可相似对角化 求x
9 已知p (1 1 1)T 是矩阵???? ? ??---=2135212b a A 的一个特征向量 (1)求参数a b 及特征向量p 所对应的特征值 (2)问A 能不能相似对角化？并说明理由 10 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵??? ? ? ??----020212022化为对角 阵. 11 设矩阵????? ??------=12422421x A 与??? ? ? ? ?-=Λy 45 相似 求x y 并 求一个正交阵P 使P 1AP 12 设3阶方阵A 的特征值为1 2 2 2 3 1 对应的特征 向量依次为p 1 (0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A . 13 设3阶对称矩阵A 的特征值 1 6 2 3 3 3 与特征值 1 6对应的特征向量为p 1 (1 1 1)T 求A . 14 设?? ? ? ? ??-=340430241A 求A 100
矩阵论课程论文
西安理工大学 研究生课程论文报告 课程名称：矩阵论 课程代号： 任课教师： 论文报告题目：矩阵函数在线性定常系统 状态转移矩阵求解中的应用完成日期：2015 年10 月25 日学科：电力电子与电力传动 学号： 姓名： 成绩：
矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵 求解中的应用 摘 要 控制系统的运动是系统性能定量分析的重要内容。“运动”是物理学上的一个概念，它是通过求系统方程的解)(t x 、)(t y 来分析研究的。由于状态方程是矩阵微分（差分）方程，输出方程式为矩阵代数方程，因此求系统方程的解主要是求状态方程的解。而求状态方程的解的关键是求状态转移矩阵。本文主要介绍了矩阵对角化标准型，约当标准型，凯莱-哈密顿定理及矩阵函数知识在线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵求解中的应用。 关键词：状态转移矩阵，约当标准型，凯莱-哈密顿定理，矩阵函数. 1.问题提出 线性系统有线性定常系统和线性时变系统，最为基本的是线性定常系统。而线性定常系统根据有无初始输入，分为线性定常齐次方程，和线性定常非齐次方程。本文只给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解。 线性定常系统齐次方程的解亦即系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。 线性定常系统齐次状态方程为 ()()t Ax t x = ()1-1 其中，x 是n 维状态向量；A 为n n ?系数矩阵。设初始时刻00=t ，系统的初始状态()()00x t x =。仿照标量微分方程求解的方法求方程()1-1的解。 设方程()1-1的解为t 的向量幂级数形式，即 )(t x = ++++++k k t b t b t b t b b 332210 ()2-1 式中，() ,2,1,0=i b i 为n 维向量。 式()2-1代入方程()1-1得 () +++++=+++++-k k k k t b t b t b b b A t kb t b t b b 3322101232132 ()3-1 既然式()2-1是方程()1-1的解，则式()3-1对任意的t 都成立。因此，式()3-1的等式两边t 的同次幂项的系数应相等，有
矩阵分析结课论文
矩阵分析结课论文 《矩阵分析的应用与学习心得》 姓名：雷仁鹏 学号：2120120053 学院：宇航学院
矩阵分析的应用 摘要：本文主要通简单的实例，进行浅显地说明矩阵在求解方程过程中的应用：第一，通过矩阵进行相容方程的求解；第二，通过矩阵进行不相容方程的求解；其中，在不相容方程的求解过程中，会涉及到广义逆矩阵、伪逆矩阵以及矩阵的满秩分解。在具有实际物理背景下的有关方程组能够通过矩阵的理论知识，得到、高效地求解。 关键字：矩阵方程求解相容方程 不相容方程 最小二乘解 满秩分解 一、 矩阵在相容方程求解中的应用 已知n 元线性方程组如下表示： 11112211 21122222 1122...............n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=?? ??+++=? 其矩阵的表达形式如下： 111112********* 2 n n n n nn n n x b a a a a a a x b a a a x b ???? ???????????? ??=?????????? ???????? 矩阵A 可记为 1112121 2221 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ?????? =???? ?? 如果矩阵A 满秩，且非矛盾方程，则可以通过消元法计算出每个未知量。见如下示例： 例1设桥式电路中闭合回路的电流分别为 3 21I I I 、、，如图2所示：
图2 已知14 ,1,2,1,1,254321======E R R R R R ，计算流过中央支路AB 的电 流AB I . 解：由基尔霍夫第二定律（电压定律）得如下方程组： ??? ??=-+-=-+-+=-+-+E I I R I I R I I R I I R I R I I R I I R I R )()(0)()(0)()(2341321253242331221511 即 ??? ??=+--=-+-=--14 3202404321 321321I I I I I I I I I 同样计算如下几个行列式 2132124 1 114=------=A 84321424 110 1=----=D 1263 14120 1 1042=----=D 210 14 2104 1 014 3=----=D 所以 10,6,4332211====== A D I A D I A D I 从而，流过中央支路AB 的电流为221-=-=I I I AB . 即电流是从B 流向A 的.
并行计算-矩阵特征值计算--
9 矩阵特征值计算 在实际的工程计算中，经常会遇到求n 阶方阵 A 的特征值(Eigenvalue)与特征向量(Eigenvector)的问题。对于一个方阵A，如果数值λ使方程组 Ax=λx 即(A-λI n )x=0 有非零解向量(Solution Vector)x，则称λ为方阵A的特征值，而非零向量x为特征值λ所对应的特征向量，其中I n 为n阶单位矩阵。 由于根据定义直接求矩阵特征值的过程比较复杂，因此在实际计算中，往往采取一些数值方法。本章主要介绍求一般方阵绝对值最大的特征值的乘幂(Power)法、求对称方阵特征值的雅可比法和单侧旋转(One-side Rotation)法以及求一般矩阵全部特征值的QR 方法及一些相关的并行算法。 1.1 求解矩阵最大特征值的乘幂法 1.1.1 乘幂法及其串行算法 在许多实际问题中，只需要计算绝对值最大的特征值，而并不需要求矩阵的全部特征值。乘幂法是一种求矩阵绝对值最大的特征值的方法。记实方阵A的n个特征值为λi i=(1,2, …,n)，且满足： │λ1 │≥│λ2 │≥│λ3 │≥…≥│λn │ 特征值λi 对应的特征向量为x i 。乘幂法的做法是：①取n维非零向量v0 作为初始向量；②对于 k=1,2, …,做如下迭代： 直至u k+1 ∞ - u k u k =Av k-1 v k = u k /║u k ║∞ <ε为止，这时v k+1 就是A的绝对值最大的特征值λ1 所对应的特征向∞ 量x1 。若v k-1 与v k 的各个分量同号且成比例，则λ1 =║u k ║∞；若v k-1 与v k 的各个分量异号且成比例，则λ1 = -║u k ║∞。若各取一次乘法和加法运算时间、一次除法运算时间、一次比较运算时间为一个单位时间，则因为一轮计算要做一次矩阵向量相乘、一次求最大元操作和一次规格化操作，所以下述乘幂法串行算法21.1 的一轮计算时间为n2+2n=O(n2 )。 算法21.1 单处理器上乘幂法求解矩阵最大特征值的算法 输入：系数矩阵A n×n ，初始向量v n×1 ，ε 输出：最大的特征值m ax Begin while (│diff│>ε) do (1)for i=1 to n do (1.1)sum=0 (1.2)for j= 1 to n do sum=sum+a[i,j]*x[j] end for
特征值与特征向量优秀教学设计
特征值与特征向量 【教学目标】 1．亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。 2．掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。 3．能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。 【教学重难点】 重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。 难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。 【教学过程】 一、新课引入 教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？为了解决我们的问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。 二、讲授新课 教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？ 学生：伸缩变换，反射变换等等。 教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。 例1：对于相关x 轴的反射变换σ：1001x x y y '???? ??= ? ? ?'-? ?????，从几何直观上可以发现，只有x 轴和平行于y 轴的直线在反射变换σ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。因此，反射 变换σ只把形如10k α??= ???和20k β?? = ??? 的向量（其中1k ，2k 是任意常数），分别变成与自身共线的 向量。可以发现，反射变换σ分别把向量10k α??= ???，20k β??= ???变成10k α??= ???，20k β?? -= ?-??。特别的，反射变换σ把向量110ξ??= ???变成110ξ??= ???，把向量201ξ??= ???变成01?? ?-?? 。用矩形的形式可表示为
矩阵特征值和特征向量解法的研究
矩阵特征值和特征向量解法的研究 周雪娇 （德州学院数学系，山东德州 253023） 摘 要：对矩阵特征值和特征向量的一些方法进行了系统的归纳和总结.在比较中能够 更容易发现最好的方法，并提高问题的解题效率. 关键词： 矩阵； 特征值； 特征向量； 解法 引言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.矩阵计算问题是很多科学问题的核心.在很多工程计算中，常常会遇到特征值和特征向量的计算问题，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等，这些特征值的计算往往意义重大.很多科学问题都要归结为矩阵计算的问题，在这里主要研究矩阵计算中三大问题之——特征值问题. 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称 λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括： （1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤. （2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. （3）若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是 n x x x ,,,21 ，则这组特征向量线性无关.
（4）若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21 ，则 nn n a a a +++=+++ 221121λλλ，A n =λλλ 21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量. （7）设λ为矩阵A 的特征值，()x P 为多项式函数，则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值.[]1 2 普通矩阵特征值与特征向量的求法 2.1 传统方法 确定矩阵A 的特征值和特征向量的传统方法可以分为以下几步： （1）求出矩阵A 特征多项式()A E f -=λλ的全部特征根； （2）把所求得的特征根()n i i ,,2,1 =λ逐个代入线性方程组()0=-X A E i λ， 对于每一个特征值，解方程组()0=-X A E i λ，求出一组基础解系，这样，我们也就求出了对应于每个特征值的全部线性无关的特征向量.[]2 例1 已知矩阵 ???? ? ?????-=11 111 110 A 求矩阵A 的特征值和特征向量. 解 A E -λ = 1 1 1 1 1 11 ------λλλ = ()21-λλ 所以，由()012=-λλ知A 的特征根1,0321===λλλ.
第五章 习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)----高等代数
习题 1. (1) 若A 2 = E ，证明A 的特征值为1或-1; (2) 若A 2 = A ，证明A 的特征值为0或1. 证明（1）2 2A E A =±所以的特征值为1，故A 的特征值为1 （2） 2222 2 ,,()0,001 A A A X A X AX X X X λλλλλλλ===-=-==所以两边同乘的特征向量得即由于特征向量非零，故即或 2. 若正交矩阵有实特征值，证明它的实特征值为1或 -1. 证明 1,1 T T T A A A E A A A A A λλλλ -=∴==±设是正交阵，故有与有相同的特征值， 1 故设的特征值是，有=，即 3．求数量矩阵A=aE 的特征值与特征向量. 解 A 设是数量阵，则 000000000000a a A aE a a a E A a λλλλ?? ? ?== ? ??? ---= -L L L L L L L L L L L L 所以：特征值为a (n 重), A 属于a 的特征向量为 k 1(1,0,…,0)T + k 2(0,1,…,0)T + k n (0,0,…,1)T ，(k 1, k 2, …, k n 不全为0)
4．求下列矩阵的特征值与特征向量. （1）113012002-?? ? ? ??? （2）324202423?? ? ? ??? （3）??? ?? ??---122212 221 （4）212533102-?? ?- ? ?--?? ()1112221211(5) , , (0,0)0.T T n n n n a a b a a b A b b b a b a a b αβαβαβ?? ???? ? ? ? ? ? ?====≠≠= ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? L M M M 其中，且 解（1） 11 3 0120,1,2,00 2A E AX λλλ λλλλ ---=-====-0,123求得特征值为:分别代入=求得 A 属于特征值1的全部特征向量为k(1,0,0)T ，(k ≠0) A 属于特征值2的全部特征向量为k(1，2，1)T ，(k ≠0) 解（2）
矩阵特征值与特征向量在图像处理中的应用
特征值与特征向量在图像处理中的应用 姓名：张x 学号：20092430 班级：2009121 摘要：正所谓学以致用，在长期以来的学习过程中，我们真正能够将所学到的知识运用到生活中的能有多少，我们对课本上那些枯燥的公式虽牢记于心，却不知道它的实际用途。在学习了矩阵论以来，虽然知道很多问题的求法，就如矩阵特征值和特征向量，它们有何意义我们却一点不知。我想纯粹的理知识已经吸引不了我们了，我们需要去知道它们的用途，下面就让我们一起来看看矩阵特征值与特征向量在图像处理中是如何发挥它们的作用的。 关键字： 特征值、特征向量、图像、 正文： 生活中的我们，每天清晨醒来，随之映入眼帘的就是各种形形色色的图像，我们确实也很难想象，在我们的生活中，图像的处理和矩阵特征值、特征向量有什么关系？首相我们先来了解下，何为特征值、特征向量。 定义：设是阶方阵，若有数和非零向量，使得 称数是的特征值，非零向量是对应于特征值的特征向量。 例如对，有及向量，使得，这说明 是的特征值，是对应于的特征向量。 特征值和特征向量的求法： 1．由得，并且由于是非零向量，故行列式，即 （称之为的特征方程） 由此可解出个根（在复数范围内），这就是的所有特征值。
2．根据某个特征值，由线性方程组解出非零解，这就是对应于特征值的特征向量。 特征值和特征向量的性质： 1 ．， 2 ．若是的特征向量，则对，也是的特征向量。 3 ．若是的特征值，则是的特征值，从而是的特征值。 4 ．是的个特征值，为依次对应的特征向量，若 各不相同，则线性无关。 我想在了解了特征值和特征向量的基本理论之后，你们很难想象，为什么这些知识会和图像有联系吧。说实话，我自己也不是很清楚，我也是看了别人的理论讲解，才略微理解了一二。让我们一起去了解下。 根据特征向量数学公式定义，矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以一个特定的变换特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax=cx, cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)。 这里给出一个特征向量的简单例子，比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]（分号表示换行），显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]'（上标'表示取转置），这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是[a 0]'（a不为0），还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0 b]'（b不为0）也是其特征向量。