第五章 相交线与平行线

第五章相交线与平行线

测试1 相交线

学习要求

1．能从两条直线相交所形成的四个角的关系入手，理解对顶角、互为邻补角的概念，掌握对顶角的性质．

2．能依据对顶角的性质、邻补角的概念等知识，进行简单的计算．

课堂学习检测

一、填空题

1．如果两个角有一条______边，并且它们的另一边互为____________，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．

2．如果两个角有______顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的___________ ________，那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．

3．对顶角的重要性质是_________________．

4．如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOE＝90°．

(1)∠1和∠2叫做______角；∠1和∠4互为______角；

∠2和∠3互为_______角；∠1和∠3互为______角；

∠2和∠4互为______角．

(2)若∠1＝20°，那么∠2＝______；

∠3＝∠BOE－∠______＝______°－______°＝______°；

∠4＝∠______－∠1＝______°－______°＝______°．

5．如图，直线AB与CD相交于O点，且∠COE＝90°，则

(1)与∠BOD互补的角有________________________；

(2)与∠BOD互余的角有________________________；

(3)与∠EOA互余的角有________________________；

(4)若∠BOD＝42°17′，则∠AOD＝__________；∠EOD＝______；∠AOE＝______．

二、选择题

6．图中是对顶角的是( )．

7．如图，∠1的邻补角是( )．

(A)∠BOC (B)∠BOC 和∠AOF (C)∠AOF

(D)∠BOE 和∠AOF

8．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，若AOD AOC ∠=

∠3

1

，则∠BOD 的度数为( )．

(A)30° (B)45° (C)60° (D)135°

9．如图所示，直线l 1，l 2，l 3相交于一点，则下列答案中，全对的一组是( )．

(A)∠1＝90°，∠2＝30°，∠3＝∠4＝60° (B)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝30° (C)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝60°

(D)∠1＝∠3＝90°，∠2＝60°，∠4＝30° 三、判断正误

10．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． ( ) 11．如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角． ( ) 12．有一条公共边的两个角是邻补角． ( ) 13．如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角． ( ) 14．对顶角的角平分线在同一直线上． ( ) 15．有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角． ( )

综合、运用、诊断

一、解答题

16．如图所示，AB ，CD ，EF 交于点O ，∠1＝20°，∠BOC ＝80°，求∠2的度数．

17．已知：如图，直线a，b，c两两相交，∠1＝2∠3，∠2＝86°．求∠4的度数．

18．已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠DOE＝4∶1．求∠AOF的度数．

19．如图，有两堵围墙，有人想测量地面上两堵围墙内所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量?

拓展、探究、思考

20．如图，O是直线CD上一点，射线OA，OB在直线CD的两侧，且使∠AOC＝∠BOD，试确定∠AOC与∠BOD是否为对顶角，并说明你的理由．

21．回答下列问题：

(1)三条直线AB，CD，EF两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?

(2)四条直线AB，CD，EF，GH两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补

角?

(3)m条直线a1，a2，a3，…，a m－1，a m相交于点O，则图中一共有几对对顶角(平角除

外)?几对邻补角?

测试2 垂线

学习要求

1．理解两条直线垂直的概念，掌握垂线的性质，能过一点作已知直线的垂线．

2．理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离．

课堂学习检测

一、填空题

1．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线______，其中一条直线叫做另一条直线的______线，它们的交点叫做______．

2．垂线的性质

性质1：平面内，过一点____________与已知直线垂直．

性质2：连接直线外一点与直线上各点的_________中，_________最短．

3．直线外一点到这条直线的__________________叫做点到直线的距离．

4．如图，直线AB，CD互相垂直，记作______；直线AB，CD互相垂直，垂足为O点，记作____________；线段PO的长度是点_________到直线_________的距离；点M到直线AB的距离是_______________．

二、按要求画图

5．如图，过A点作CD⊥MN，过A点作PQ⊥EF于B．

图a 图b 图c

6．如图，过A点作BC边所在直线的垂线EF，垂足是D，并量出A点到BC边的距离．

图a 图b 图c

7．如图，已知∠AOB及点P，分别画出点P到射线OA、OB的垂线段PM及PN．

图a 图b 图c

8．如图，小明从A村到B村去取鱼虫，将鱼虫放到河里，请作出小明经过的最短路线．

综合、运用、诊断

一、判断下列语句是否正确(正确的画“√”，错误的画“×”)

9．两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直．( ) 10．若两条直线相交所构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直．( ) 11．一条直线的垂线只能画一条．( )

12．平面内，过线段AB 外一点有且只有一条直线与AB 垂直． ( ) 13．连接直线l 外一点到直线l 上各点的6个有线段中，垂线段最短． ( ) 14．点到直线的距离，是过这点画这条直线的垂线，这点与垂足的距离． ( ) 15．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． ( ) 16．在三角形ABC 中，若∠B ＝90°，则AC ＞AB ． ( )

二、选择题

17．如图，若AO ⊥CO ，BO ⊥DO ，且∠BOC ＝α，则∠AOD 等于( )．

(A)180°－2α

(B)180°－α (C)α2

1

90+?

(D)2α－90°

18．如图，点P 为直线m 外一点，点P 到直线m 上的三点A 、B 、C 的距离分别为P A ＝4cm ，

PB ＝6cm ，PC ＝3cm ，则点P 到直线m 的距离为( )．

(A)3cm (B)小于3cm (C)不大于3cm (D)以上结论都不对

19．如图，BC ⊥AC ，CD ⊥AB ，AB ＝m ，CD ＝n ，则AC 的长的取值范围是( )．

(A)AC ＜m (B)AC ＞n (C)n ≤AC ≤m (D)n ＜AC ＜m 20．若直线a 与直线b 相交于点A ，则直线b 上到直线a 距离等于2cm 的点的个数是( )．

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

21．如图，AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，DE ⊥BC 于点E ，能表示点到直线(或线段)

的距离的线段有( )．

(A)3条

(B)4条

(C)7条 (D)8条 三、解答题

22．已知：OA ⊥OC ，∠AOB ∶∠AOC ＝2∶3．求∠BOC 的度数．

23．已知：如图，三条直线AB ，CD ，EF 相交于O ，且CD ⊥EF ，∠AOE ＝70°，若OG 平

分∠BOF ．求∠DOG ．

拓展、探究、思考

24．已知平面内有一条直线m 及直线外三点A ，B ，C ，分别过这三个点作直线m 的垂线，

想一想有几个不同的垂足?画图说明．

25．已知点M ，试在平面内作出四条直线l 1，l 2，l 3，l 4，使它们分别到点M 的距离是1.5cm ．

·M

26．从点O 引出四条射线OA ，OB ，OC ，OD ，且AO ⊥BO ，CO ⊥DO ，试探索∠AOC

与∠BOD 的数量关系．

27．一个锐角与一个钝角互为邻角，过顶点作公共边的垂线，若此垂线与锐角的另一边

构成

75直角，与钝角的另一边构成直7

3

角，则此锐角与钝角的和等于直角的多少倍?

测试3 同位角、内错角、同旁内角

学习要求

当两条直线被第三条直线所截时，能从所构成的八个角中识别出哪两个角是同位角、内错角及同旁内角．

课堂学习检测

一、填空题

1．如图，若直线a，b被直线c所截，在所构成的八个角中指出，下列各对角之间是属于哪种特殊位置关系的角?

(1)∠1与∠2是_______；(2)∠5与∠7是______；

(3)∠1与∠5是_______；(4)∠5与∠3是______；

(5)∠5与∠4是_______；(6)∠8与∠4是______；

(7)∠4与∠6是_______；(8)∠6与∠3是______；

(9)∠3与∠7是______；(10)∠6与∠2是______．

2．如图所示，图中用数字标出的角中，同位角有______；内错角有______；同旁内角有______．

3．如图所示，

(1)∠B和∠ECD可看成是直线AB、CE被直线______所截得的_______角；

(2)∠A和∠ACE可看成是直线_______、______被直线_______所截得的______角．4．如图所示，

(1)∠AED和∠ABC可看成是直线______、______被直线______所截得的_______角；

(2)∠EDB和∠DBC可看成是直线______、______被直线_______所截得的______角；

(3)∠EDC和∠C可看成是直线_______、______被直线______所截得的______角．

综合、运用、诊断

一、选择题

5．已知图①～④，

图①图②图③图④在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有( )．

(A)①②③④(B)①②③

(C)①③(D)①

6．如图，下列结论正确的是( )．

(A)∠5与∠2是对顶角(B)∠1与∠3是同位角

(C)∠2与∠3是同旁内角(D)∠1与∠2是同旁内角

7．如图，∠1和∠2是内错角，可看成是由直线( )．

(A)AD，BC被AC所截构成

(B)AB，CD被AC所截构成

(C)AB，CD被AD所截构成

(D)AB，CD被BC所截构成

8．如图，直线AB，CD与直线EF，GH分别相交，图中的同旁内角共有( )．

(A)4对(B)8对

(C)12对(D)16对

拓展、探究、思考

一、解答题

9．如图，三条直线两两相交，共有几对对顶角?几对邻补角?几对同位角?几对内错角?几对同旁内角?

测试4 平行线及平行线的判定

学习要求

1．理解平行线的概念，知道在同一平面内两条直线的位置关系，掌握平行公理及其推论．

2．掌握平行线的判定方法，能运用所学的“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行．用作图工具画平行线，从而学习如何进行简单的推理论证．

课堂学习检测

一、填空题

1．在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b平行，则记作______．2．在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______．

3．平行公理是：_______________________________________________________________．4．平行公理的推论是如果两条直线都与______，那么这两条直线也______．即三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则______．

5．两条直线平行的条件(除平行线定义和平行公理推论外)：

(1)两条直线被第三条直线所截，如果____________，那么这两条直线平行．这个判定方

法1可简述为：____________，两直线平行．

(2)两条直线被第三条直线所截，如果____________，那么____________．这个判定方法

2可简述为：____________，____________．

(3)两条直线被第三条直线所截，如果____________，那么____________．这个判定方法

3可简述为：____________，____________．

二、根据已知条件推理

6．已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．

(1)如果∠2＝∠3，那么____________．

(____________，____________)

(2)如果∠2＝∠5，那么____________．

(____________，____________)

(3)如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．

(____________，____________)

(4)如果∠5＝∠3，那么____________．

(____________，____________)

(5)如果∠4＋∠6＝180°，那么____________．

(____________，____________)

(6)如果∠6＝∠3，那么____________．

(____________，____________)

7．已知：如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．

(1)∵∠B＝∠3(已知)，

∴______∥______．(____________，____________)

(2)∵∠1＝∠D(已知)，

∴______∥______．(____________，____________)

(3)∵∠2＝∠A(已知)，

∴______∥______．(____________，____________)

(4)∵∠B＋∠BCE＝180°(已知)，

∴______∥______．(____________，____________)

综合、运用、诊断

一、依据下列语句画出图形

8．已知：点P是∠AOB内一点．过点P分别作直线CD∥OA，直线EF∥OB．

9．已知：三角形ABC及BC边的中点D．过D点作DF∥CA交AB于M，再过D点作DE ∥AB交AC于N点．

二、解答题

10．已知：如图，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．

(1)分析：如图，欲证AB∥CD，只要证∠1＝______．

证法1：

∵∠1＝∠2，(已知)

又∠3＝∠2，( )

∴∠1＝_______．( )

∴AB∥CD．(___________，___________)

(2)分析：如图，欲证AB∥CD，只要证∠3＝∠4．

证法2：

∵∠4＝∠1，∠3＝∠2，( )

又∠1＝∠2，(已知)

从而∠3＝_______．( )

∴AB∥CD．(___________，___________)

11．绘图员画图时经常使用丁字尺，丁字尺分尺头、尺身两部分，尺头的里边和尺身的上边应平直，并且一般互相垂直，也有把尺头和尺身用螺栓连接起来，可以转动尺头，使它和尺身成一定的角度．用丁字尺画平行线的方法如下面的三个图所示．画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是什么?

拓展、探究、思考

12．已知：如图，CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2．试确定射线DF与AE的位置关系，并说明你的理由．

(1)问题的结论：DF ______AE ．

(2)证明思路分析：欲证DF ______AE ，只要证∠3＝______． (3)证明过程：

证明：∵CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，( )

∴∠CDA ＝∠DAB ＝______°．(垂直定义) 又∠1＝∠2，( )

从而∠CDA －∠1＝______－______，(等式的性质) 即∠3＝＿＿＿．

∴DF ＿＿＿AE ．(＿＿＿＿，＿＿＿＿)

13．已知：如图，∠ABC ＝∠ADC ，BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ．且∠1＝∠3．

求证：AB ∥DC ．

证明：∵∠ABC ＝∠ADC ，

.2

1

21ADC ABC ∠=∠∴( ) 又∵BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ，

.2

1

2,211ADC ABC ∠=∠∠=

∠∴ ( ) ∴∠______＝∠______．( )

∵∠1＝∠3，( ) ∴∠2＝∠______．(等量代换) ∴______∥______．( )

14．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°．试确定直线a 与直线c 的位置关系，并说

明你的理由．

(1)问题的结论：a ______c ．

(2)证明思路分析：欲证a ______c ，只要证______∥______且______∥______． (3)证明过程：

证明：∵∠1＝∠2，( )

∴a ∥______．(________，________)①

∵∠3＋∠4＝180°，( )

∴c∥______．(________，________)②

由①、②，因为a∥______，c∥______，

∴a______c．(________，________)

测试5 平行线的性质

学习要求

1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理．

2．了解平行线的判定与平行线的性质的区别．

3．理解两条平行线的距离的概念．

课堂学习检测

一、填空题

1．平行线具有如下性质：

(1)性质1：______被第三条直线所截，同位角______．这个性质可简述为两直线______，

同位角______．

(2)性质2：两条平行线__________________，_______相等．这个性质可简述为______

_______，_____________．

(3)性质3：__________________，同旁内角______．这个性质可简述为_____________，

__________________．

2．同时______两条平行线，并且夹在这两条平行线间的______________叫做这两条平行线的距离．

二、根据已知条件推理

3．如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．

(1)如果AB∥EF，那么∠2＝______．理由是____________________________________．

(2)如果AB∥DC，那么∠3＝______．理由是____________________________________．

(3)如果AF∥BE，那么∠1＋∠2＝______．理由是______________________________．

(4)如果AF∥BE，∠4＝120°，那么∠5＝______．理由是________________________．4．已知：如图，DE∥AB．请根据已知条件进行推理，分别得出结论，并在括号内注明理由．

(1)∵DE∥AB，( )

∴∠2＝______．(__________，__________)

(2)∵DE∥AB，( )

∴∠3＝______．(__________，__________)

(3)∵DE∥AB( )，

∴∠1＋______＝180°．(______，______)

综合、运用、诊断

一、解答题

5．如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4．

解题思路分析：欲求∠4，需先证明______∥______．

解：∵∠1＝∠2，( )

∴______∥______．(__________，__________)

∴∠4＝______＝______°．(__________，__________) 6．已知：如图，∠1＋∠2＝180°．求证：∠3＝∠4．

证明思路分析：欲证∠3＝∠4，只要证______∥______．

证明：∵∠1＋∠2＝180°，( )

∴______∥______．(__________，__________)

∴∠3＝∠4．(______，______)

7．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠B．

求证：CD是∠BCE的平分线．

证明思路分析：欲证CD是∠BCE的平分线，

只要证______＝______．

证明：∵AB∥CD，( )

∴∠2＝______．(____________，____________)

但∠1＝∠B，( )

∴______＝______．(等量代换)

即CD是________________________．

8．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠2．求证：BE∥CF．

证明思路分析：欲证BE∥CF，只要证______＝______．

证明：∵AB∥CD，( )

∴∠ABC＝______．(____________，____________)

∵∠1＝∠2，( )

∴∠ABC－∠1＝______－______，( )

即______＝______．

∴BE∥CF．(__________，__________)

9．已知：如图，AB∥CD，∠B＝35°，∠1＝75°．求∠A的度数．

解题思路分析：欲求∠A，只要求∠ACD的大小．

解：∵CD∥AB，∠B＝35°，( )

∴∠2＝∠______＝_______°．(____________，____________)

而∠1＝75°，

∴∠ACD＝∠1＋∠2＝______°．

∵CD∥AB，( )

∴∠A＋______＝180°．(____________，____________)

∴∠A＝_______＝______．

10．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝50°．求∠D的度数．分析：可利用∠DCE作为中间量过渡．

解法1：∵AB∥CD，∠B＝50°，( )

∴∠DCE＝∠_______＝_______°．(____________，______)

又∵AD∥BC，( )

∴∠D＝∠______＝_______°．(____________，____________) 想一想：如果以∠A作为中间量，如何求解?

解法2：∵AD∥BC，∠B＝50°，( )

∴∠A＋∠B＝______．(____________，____________)

即∠A＝______－______＝______°－______°＝______°．

∵DC∥AB，( )

∴∠D＋∠A＝______．(_____________，_____________)

即∠D ＝______－______＝______°－______°＝______°．

11．已知：如图，AB ∥CD ，AP 平分∠BAC ，CP 平分∠ACD ，求∠APC 的度数．

解：过P 点作PM ∥AB 交AC 于点M ．

∵AB ∥CD ，( )

∴∠BAC ＋∠______＝180°．( ) ∵PM ∥AB ，

∴∠1＝∠_______，( )

且PM ∥_______．(平行于同一直线的两直线也互相平行) ∴∠3＝∠______．(两直线平行，内错角相等) ∵AP 平分∠BAC ，CP 平分∠ACD ，( )

∠=

∠∴21

1______，∠=∠2

14______．( ) 902

1

2141=∠+∠=∠+∠∴ACD BAC ．( )

∴∠APC ＝∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝90°．( ) 总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线______．

拓展、探究、思考

12．已知：如图，AB ∥CD ，EF ⊥AB 于M 点且EF 交CD 于N 点．求证：EF ⊥CD ．

13．如图，DE ∥BC ，∠D ∶∠DBC ＝2∶1，∠1＝∠2，求∠E 的度数．

14．问题探究：

(1)如果一个角的两条边与另一个角的两条边分别平行，那么这两个角的大小有何关

系?举例说明．

(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的大小有何关系?

举例说明．

15．如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．

16．如图，AB，CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A，C两点，点E 是橡皮筋上的一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A，∠AEC，∠C之间具有怎样的关系并说明理由．(提示：先画出示意图，再说明理由)．

测试6 命题

学习要求

1．知道什么是命题，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分构成的．

2．对于给定的命题，能找出它的题设和结论，并会把该命题写成“如果……，那么……”的形式．能判定该命题的真假．

课堂学习检测

一、填空题

1．______一件事件的______叫做命题．

2．许多命题都是由______和______两部分组成．其中题设是____________，结论是______ _____．

3．命题通常写成“如果……，那么……．”的形式．这时，“如果”后接的部分是______，“那么”后接的部分是______．

4．所谓真命题就是：如果题设成立，那么结论就______的命题．相反，所谓假命题就是：

如果题设成立，不能保证结论______的命题．

二、指出下列命题的题设和结论

5．垂直于同一条直线的两条直线平行．

题设是___________________________________________________________；

结论是___________________________________________________________．

6．同位角相等，两直线平行．

题设是___________________________________________________________；

结论是___________________________________________________________．

7．两直线平行，同位角相等．

题设是___________________________________________________________；

结论是___________________________________________________________．

8．对顶角相等．

题设是___________________________________________________________；

结论是___________________________________________________________．

三、将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式

9．90°的角是直角．

__________________________________________________________________．

10．末位数字是零的整数能被5整除．

__________________________________________________________________．

11．等角的余角相等．

__________________________________________________________________．

12．同旁内角互补，两直线平行．

__________________________________________________________________．

综合、运用、诊断

一、下列语句哪些是命题，哪些不是命题?

13．两条直线相交，只有一个交点．( ) 14． 不是有理数．( )

15．直线a与b能相交吗?( ) 16．连接AB．( )

17．作AB⊥CD于E点．( ) 18．三条直线相交，有三个交点．( ) 二、判断下列各命题中，哪些命题是真命题?哪些是假命题?(对于真命题画“√”，对于假命

题画“×”)

19．0是自然数．( )

20．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．( )

21．相等的角是对顶角．( )

22．如果AC＝BC，那么C点是AB的中点．( )

23．若a∥b，b∥c，则a∥c．( )

24．如果C是线段AB的中点，那么AB＝2BC．( )

25．若x2＝4，则x＝2．( )

26．若xy＝0，则x＝0．( )

27．同一平面内既不重合也不平行的两条直线一定相交．( )

28．邻补角的平分线互相垂直．( )

29．同位角相等．( )

30．大于直角的角是钝角．( )

拓展、探究、思考

31．已知：如图，在四边形ABCD中，给出下列论断：

①AB∥DC；②AD∥BC；③AB＝AD；④∠A＝∠C；⑤AD＝BC．

以上面论断中的两个作为题设，再从余下的论断中选一个作为结论，并用“如果……，那么……”的形式写出一个真命题．

答：_____________________________________________________________________．32．求证：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行．

测试7 平移

学习要求

了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计．

课堂学习检测

一、填空题

1．如图所示，线段ON是由线段______平移得到的；线段DE是由线段______平移得到的；

线段FG是由线段______平移得到的．

2．如图所示，线段AB在下面的三个平移中(AB→A1B1→A2B2→A3B3)，具有哪些性质．

图a

图b 图c

(1)线段AB上所有的点都是沿______移动，并且移动的距离都________．因此，线段AB，

A1B1，A2B2，A3B3的位置关系是____________________；线段AB，A1B1，A2B2，A3B3