飞机起飞轨迹论文

东北大学第十届大学生数学建模竞赛暨2012年全国大学生数学建模竞赛校内选赛

参赛队编号：（20112130）

选择题目：√A B

东北大学大学生创新中心主办

目录

一.摘要 (3)

二.问题重述 (3)

三.问题的分析 (4)

四.建模假设 (4)

五.定义符号说明 (5)

六.模型建立 (5)

1）建立飞机起飞航迹模型 (5)

2）第一阶段计算 (6)

3）第二阶段计算 (8)

4）第三阶段计算 (9)

5）第四阶段计算 (10)

七.模型求解 (11)

八.模型检验 (12)

九.模型评价 (12)

十.参考文献 (12)

一：摘要

本文主要利用飞行力学、运动学等物理知识对飞机起飞轨迹进行模拟。首先把飞机的起飞过程分解成四个阶段：起飞滑跑阶段、上升加速阶段、平飞增速阶段、稳定上升阶段，然后分别对每个阶段进行分析。起飞滑跑阶段——该阶段飞机在跑道上加速，当然它的轨迹就是航道，而速度的求解就用功能关系解出来。上升加速阶段——由于时间段、相对于其它阶段运动距离太短，大部分变量都保持不变，所以就利用几何关系求解轨迹。平飞增速阶段——飞机在该阶段加速且速度不变，根据能量关系，就可求出飞机在这段的水平距离。稳定上升阶段——在该段速度大小不变，及飞机处在平衡阶段，合外力为零，建立坐标系就可解出飞机仰角的大小，然后飞机就是沿着该方向匀速上升，就可得出轨迹及速度关系。

最后以B737——800型飞机来验证模型的可行性，理论计算结果为：

m 57.1423L 1= m L 3252= m L 43.45903=

实际结果为：m 8.13181=真L m 3.522=真L m 5.45423=真L （数据来自于ANP 数

据库，由SAE 建立）从数据上我们可以看到理论值和真实值差不多，而且效果还很好。因此在一定误差允许范围内该模型合理的。

关键词：模拟 飞行力学 运动学

二：问题重述

民航客机不同于军事使用的战斗机，由于大多乘客都没有经过严格的飞

行员训练，因此民航客机的驾驶有其特殊性。由于飞机起飞和降落的技术性能要求，飞机场的大小有一定限制。飞机在起飞时必须达到一定的速度以产生飞机起飞所需要的升力，由于乘客的特殊性飞机的爬升高度不能变化太快。

问题：以某型民航飞机为例，建立数学模型，设计飞机起飞时直至达到预定高度为止的航迹(飞机在空中形成的飞行轨迹)，包括在各个时刻对应的飞行速度。

三：问题分析

本题的任务：（1）模拟出飞机起飞航迹，（2）求出任意时刻速度。而模拟航迹可以转化为图像函数问题，所以只要推导出飞机航迹和时间的关系式，利用MATLAB画出函数图像就可以得出飞机的航迹图，同时推导出速度时间函数，大致就可以解决该问题，下面我们把该问题分解成以下两方面的问题：1）飞机轨迹问题；

不同机型的起飞航迹一般是不同的，所以我们查了一下我们国家现役机型。截止至2010年5月，中国民航运行着614架B737飞机，其中B737-300/40客机113架，B737-300/400货机32架，B737-7/8/900型飞机469架。与此同时全民航运行的干线飞机1353架，B737飞机所占比例接近50%，所以我们选用B737系列机型研究。

B737系列机型是涡轮喷气式飞机，由飞行器的制造可知，涡轮喷气式飞机，由于发动机的推力大，起飞时一般分为两个阶段，即“加速和爬升”阶段。

当飞机爬升到25米高的时候，便是起飞的结束，25米的高度是人为规定的，是为了避开机场附近的房屋：以保证飞机的安全。利用飞行力学及数学知识就可以建立起位置时间函数。

2）瞬时速度求解问题；

飞机的运动必然是变速运动，而且还有空气阻力、重力、摩擦力、升力等诸多不确定因素影响，所以我们假设飞机是在净空环境下起飞，然后根据力学和能量关系建立起速度时间函数。

四：模型假设

①飞机都是一次性起飞成功及不考虑起飞遇到特殊情况；

②飞机在起飞开始到预定高度时飞机总质量不变；

③飞行条件是净空条件及不考虑恶性天气起飞

④假设第二阶段飞机飞行仰角始终不变；

⑤飞机始终以最大牵引力飞行；

⑥飞机侧面始终没有速度；

五：符号定义说明

G 飞机的总重力 F 飞机的牵引力 g 重力加速度 f 地面的摩擦力、 V 飞机的速度 N 飞机对地面的压力 Y 飞机的升力 Q 空气的阻力

1L 地面滑跑距离 θ 飞行的仰角

0V 飞机离地速度 T 时间（从起飞机时）

六：原理及模型的建立

1）建立飞机起飞航迹模型：由问题分析可知B737的起飞大致分成两个阶段——加速和爬升，现在我们把这两个阶段细分成四个阶段：

① 起飞滑跑阶段 ② 上升加速阶段 ③ 平飞增速阶段 ④ 稳定上升阶段 图解为：

3L 3T

◎

H

H1

起飞线

起飞滑跑

1

1T L 、稳定上升

平飞增速

上升加速 2L 2T

0V

h V

飞机受力图：

2）第一阶段计算，近似计算：假设滑跑过程中两主轮着地，推理与地面平行。

（x C ——阻力系数，y C ——升力系数，下同）

由于该阶段是平飞，所以轨迹的确定就只需要把它滑跑的距离和总时间算出来即可，如下一个方程

F

Q

G

f

Y

N

f

Q F t

V g G --=d d uN

F =Y

G N -=???

??=干硬土草地湿水泥跑道干水泥跑道摩阻系数

,10.0~07.0,05.0~03.0,04.0~02.0 u )

(d d Y G u Q F uN Q F t

V

g G ---=--=???????=??

????---=

t V L uC C G S V u G F g V t y x d d )(2d d 2

ρ

而速度可以用动量定理解，即

初末合—V g

G V g G =

T F 初V =0

??

? ??=Cx 21G C 21F 2y 2S V u S V F ρρ———

合

就可以得到V 和T 的函数关系，

?

?

? ??=Cx 21G C 21F 2y 2S V u S V V g

G T ρρ———

3）第二阶段的计算

由假设得飞机飞行过程中仰角不变，牵引力不变，这飞机受力图为：

)

(2d d 12

y

x uC C G S V u G F G uY Q u G F t V g ---=---=ρ?

???

?????

---=

---=??2

002210021)(2d 21)(2d 1V y x V y x uC C G S V u G F V g L uC C G S V u G F V g T ρρ

y

Y

V F

Q

X

G

第二阶段我们只要达到一定高度H 即可，通过问题分析可得H=25m ，通过 正交分解得下列关系式： 飞机刚起飞时升力等于重力：

G SC y =2V 2

1

ρ可得初速度0V 。 y

SC G

V ρ20=

X 方向上：x a g

G

θθF =Y

sin Q cos —— x C SV Q 22

1

ρ=

x a 是水平方向上的加速度。

??

? ??--=

Cy SV C SV θF G g a x x 2

22121cos ρρ Y 方向上：y a g

G

G θY θ

F =

-+cos sin y C SV Y 22

1

ρ=

y a 是竖直方向的加速度。

??

? ??-+=

G θC SV θF G g a y y cos 21sin 2

ρ 现在我们就来算飞机的航迹和速度，由以上数据可知飞机的上升加速阶段由周围的环境所决定的，就是说找到一个安全的高度去加速不致以碰到建筑物，而这个高度一般是25m ，对于飞机来说25m 的爬升不到一秒，所以在这我们就不

考虑速度的变化了，及上式中Y 和Q 中的V 不变，又因为速度不变，高度变化小，所以在这一阶段Y 和Q 就近似不变，最后就是确定飞机的航迹，前面我们假设飞机在侧面上是没有速度的，所以航迹只要有水平方向位移和竖直方向上的位移就可以确定了。下面就来推导一下水平位移、竖直位移时间函数。

202

1

t a t V L x x +

= …………………………① y

SC G V ρ20=

………………………………………②

??

? ??-=

x x C SV θF G g a 2

21cos ρ………………③ 1T T t -=……………………………………④

由①②③④可得

()()212

212121cos 21cos 2T T Cy SV C SV θF G g T T θSC G L x y x -??

? ??--+-=

ρρρ

同理可求的

()()212

121sin 21sin 2T T G C SV θF G g T T θSC G L y y y -??

? ??-++-=

ρρ在该阶段时间极短，就近似02=T

4）第三阶段的计算

该阶段为平飞加速阶段，所以轨迹就是一条直线（虽然地球是圆的，但是地

球的半径相对于飞机在改阶段飞行的距离很大，所以就不讨论飞机沿球面飞行的情况），在该阶段的任务就是求速度时间函数。

由于速度在该阶段变化最大所以空气阻力Q 变化很快无法直接计算出速度，所以就用功能关系求解，设离h V 点的距离为d 、则空气阻力所做的功为：

x x d C V W 2d 0

S 2

1

ρ?

=阻

2

0221G 21V g

G V g W Fd -=

-阻 G g d C V Fd V g G V x x ???

? ??-+=

?2

d 020S 21212ρ 由于后一阶段是平稳上升。合外力为零、所以该阶段的末速度就是最终的飞行速

度（飞机型号确定，则这个速度是确定的）。于是该阶段的飞行距离就可以算出来了为3L 。

5）飞机的稳定上升阶段

在这个阶段飞机稳定上升则合外力为零，则竖直方向上和水平方向上合

外力为零，加速度为零，有第二阶段的方程得x a 和y a 为零。

02121cos 2

2=??

? ??--=

Cy SV C SV θF G g a x x ρρ

0cos 21sin 2

=??

? ??-+=

G θC SV θF G g a y y ρ 则仰角为

??

??

?

? ??+=F Cy SV C SV θx 2

22121arccos

ρρ 则飞行轨迹横坐标和竖坐标确定：

)(cos 321321T T T T θV L L L L x ---+++= 02=T )(sin 3211T T T T θV H L y ---+=

这阶段就求好了。轨迹由上式确定，速度不变，与水平方向夹角为θ

七:模型的求解

本论文选用的机型是B747——200；相关参数如下：数据来自以中国民航资料库 机型：B737-800

飞机制造公司：Boeing

国际民航组织代码：B738

按尾流强弱分类M

机长(m)：39.5

机高(m)：12.55

翼展(m)：34.31

主轮距(m)：5.71

最小转弯半径(m)：21.8

发动机型号：CFM56-7 turbofans

发动机台数：B737-800

Tsh：Boeing

发动机推力(马力)：2×117KN

45度侧风(m/s)：25.4

90度侧风(m/s)：18

顺风(m/s)：5

最大起飞重量(Kg)：70553

最大着陆重量(Kg)：65310

最大无油重量(Kg)：61690

最大业载(Kg)：17000

最大载油量(Kg)：22000

燃油容量(Ltr)：28200

平均小时耗油量(Kg)：2650

最大爬升率(ft/min)：4500

最大爬升率(m/s)：22.7

最大下降率(ft/min)：

最大下降率(m/s)：

实用升限(m)：12500

起飞距离(m)：B737-800

着陆距离(m)：1600

满载最大航程(Km)：3565

ACN值：56R/B/W/T

最大巡航速度(Kts)：487

最大巡航速度(Km/h)：885

最大巡航速度(M)：.83

正常巡航速度(Kts)：453

正常巡航速度(Km/h)：839

正常巡航速度(M)：.78

最小光洁速度(Kts)：210

最小光洁速度(Km/h)：388

最后进近速度(Kts)：139

最后进近速度(Km/h)：258

跑道入口速度(Kts)：134

=1.293kg/m3；跑道入口速度(Kts,Km/h)：249以及净空条件下各系数的值：

y C =18000N/2m ，x C =0.1 03.0=u ?=30θ

假设飞机以最大载重量飞行。 由以上数据0V =258km/h y

SC G V ρ20

=

将相关数据带入上面推导的公式可求的：m 57.1423L 1= m L 3252=

m L 43.45903=

八：模型的检验

从ANP 数据库取得该飞机在改情况下的数据：m 8.13181=真L

m 3.522=真L m 5.45423=真L

从数据来看模型的求解答案和实际情况还是佷接近的，所以还模型是合理的。由于还没有找到速度的数据，所以有关速度的求解就只停留在理论上了。

九：模型评价

从模型计算结果可以知道该模型还是能很好描绘出飞机起飞的大致轨迹的，

尤其是在在理论方面都是经过了严密的数学逻辑及飞行力学、运动学来求解的，也可以说本模型的最大优点就是建模理论部分利用了大量的公式推导，从而保证了模型的可靠性。

当然本模型还是存在佷多不如，列如没有大量的数据去论证我们的公式，所以该模型还可以在这方面加以改进，找到更多数据去支持该模型的可靠性。

十：参考文献

【1】 飞行力学专业组.飞机飞行性能计算手册[ M] .西安: 飞行力学编辑 部,1987.

【2】 李嘉林.飞机飞行航迹计算[ D]. 西安:西北工业大学,1991.

【3】赵静 但琦 数学建模与数学实验（第3版） 高等教育出版社 2008.1 【4】中国民用航空总局.中国民用航空规章第36部[S].中国民用航空总局，2005