淮安市2013届高三第一次调研测试数学试题

淮安市2013届高三第一次调研测试数学试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。请将答案填写在答题卷对应的位置上）

1.集合{}1,0,1A =-，{}

2

|1,B x x m m R ==+∈，则A B = ．

2.若复数z

满足1iz =-，其中i 是虚数单位，则z = ．

3.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，则抽取的动物类食品的种数是 ．

4.已知某同学五次数学成绩分别是：121,127,123，a ，125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是 ．

5.如图，是一个算法的伪代码，则输出的结果是 ．

6.已知点P 在圆221x y +=上运动，则P 到直线34150x y ++=的距离的最小值是 ． 7过点()1,0-.与函数()x

f x e =（e 是自然对数的底数）图像相切的直线方程是 ．

8.连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）两次，则出现向上点数之和大于9的概率是 ．

9.如图，一个封闭的三棱柱容器中盛有水，且侧棱长18AA =，若侧面11AA B B 水平放置时，液面

恰好过1111,,,AC BC AC B C 的中点，当底面

ABC 水平放置时，液面高度为 ．

10.已知5,,36ππ

αβ??∈

???，若455

sin ,cos 65613

ππαβ???

?+=-= ?

?????，则()sin αβ-的值 为 ．

11.若数列{}n a

是各项均为正数的等比数列，则当n b =

时，数列{}n b 也是等比数

列；类比上述性质，若数列{}n c 是等差数列，则当n d = 时，数列{}n d 也是等差数列．

11.已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>，1,B B 分别是双曲线虚轴的上、下端点，,A F 分别是

双曲线左顶点和坐焦点，若双曲线的离心率为2，则AB 与1B F

夹角的余弦值为 ．

12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4514,23,a a ≤≤≤≤6S 取值范围是 ． 14.已知函数()11f x x =--，若关于x 的方程()()f x m m R =∈恰有四个互不相等的实数根

1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围是 ．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分14分）

已知a ，b ，c 分别是A B C ?的三个内角A ，B ，C 的对边，若向量

()()2,cos ,,cos ,b c C n a A =-= m ∥n

，

（1）求角A 的大小；

（2）求函数sin 6y B C π??

=+- ??

?

的值域

16.（本题满分14分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，

1,,AC BC BC BB ⊥=D 为AB 的中点. （1）求证：1BC ⊥平面1ABC ； （2）求证：1BC ∥平面1ACD .

17.（本题满分14分）

小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元，小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25x -万元（国家规定大货车的报废年限为10年）

（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ （2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？

（利润=累计收入+销售收入-总支出）

18.（本题满分16分）

已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =x =

⑴求椭圆C 的方程；

⑵设,G H 为椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，且OG OH ⊥． ①当直线OG 的倾斜角为60

时，求GOH ?的面积；

②是否存在以原点O 为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH 相切？若存在，请求出该定

圆方程；若不存在，请说明理由．

19.（本题满分16分）

已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项的和为n S ，数列{}

2

n a 的前n 项的和为n T ，且

()

2

*234,n n S T n N -+=∈．

⑴证明数列{}n a 是等比数列，并写出通项公式； ⑵若20n n S T λ-<对*

n N ∈恒成立，求λ的最小值； ⑶若12,2,2x y n n n a a a ++成等差数列，求正整数,x y 的值．

20.（本题满分16分） 已知函数

()ln ()ln ,x f x x x h x x =-=

．

（1）求()h x 的最大值；

（2）若关于x 的不等式2()212xf x x ax ≥-+-对一切()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；

（3）若关于x 的方程()3

2

20f x x ex bx -+-=恰有一解，其中e 为自然对数的底数，求实数b

的值．

淮安市2012—2013学年度高三年级第一次调查测试

数学试题参考答案与评分标准

数学Ⅰ部分

一、填空题：

1．{}1 2．2 3． 6 4．4 5．5 6．2 7． 1+=x y 8．

6

1

9．6 10． 6516 11． n

c c c n +++ 21 12

13． ]30,0[ 14． ()0,3-

二、解答题：

15．(1) 因为向量)cos ,2(C c b -=，)cos ,(A a =，且∥，

所以

2cos =cos b c A a C -（）, …………………………………………………………2分 由正弦定理，得C A A C A B cos sin cos sin cos sin 2+=)sin(C A +=, …………4分 即B A B sin cos sin 2=，所以1

cos 2

A =， ………………………………………6分 因为()π,0∈A ，所以3

π

=A ； …………………………………………………………8分

(2) 因为 )632sin(

sin 3ππ--+=B B y )6

sin(2cos sin 3π

+=+=B B B ,…12分 而

656

6

ππ

π

<

+

sin(2π

+=B y 的值域为(]2,1, ……………………14分 16．（1）因为在直三棱柱111C B A ABC -中，所以⊥1CC 平面ABC , 因为AC ?平面ABC ，所以AC CC ⊥1，

又BC AC ⊥，C BC CC = 1,所以⊥AC 平面CB C B 11, 因为111BC B C CB ?平面，所以AC BC ⊥1 ……………4分 又因为1BC BB =，所以C C BB 11是正方形，所以C B BC 11⊥，

又C AC C B = 1，所以⊥1BC 平面C AB 1， ……………………………………………8分 (2)在正方形CA C A 11中，设G C A AC =11 ，则G 为1AC 中点,D 为AB 的中点，结DG ,在1ABC ?中，1BC ∥DG ， ………………………………………………………………12分 因为DG ?平面CD A 1，1BC ?平面CD A 1，所以1BC ∥平面CD A 1，………………14分 17．（1）设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则25[6(1)]50,(0<10)y x x x x x x =-+--∈≤，N ，

即22050,(0<10)y x x x x =-+-∈≤，N ，…………………………………………………4分 由220500x x -+->，解得25102510+<<-x ，…………………………………6分

B A

C

D

A 1

B 1

C 1

G

而325102<-<，故从第3年开始运输累计收入超过总支出． ……………………8分 （2）因为利润=累计收入+销售收入-总支出，所以销售二手车后，小张的年平均．．

利润为 211

[(25)]=(1925)y y x x x x x =+--+-)25(19x

x +

-=，…………………………………12分

而2519()199x x -+

-=≤，当且仅当5x =时等号成立． 答：小张应当在第5年将大货车出售，才能使年平均．．

利润最大，………………………14分 18．（1）因为36=a c ，2632=

c a ，2

22c b a +=， …………………………………2分 解得3,3==b a ，所以椭圆方程为13

92

2=+y x ． ……………………………………4分 （2）①由?????=+=139322y

x x y ，解得???

????==102710922y x ，………………………………………………6分 由???????=+-=1

39

3322y x x y 得???????==2329

22y x ， …………………………………………………………8分

所以6,5103==

OH OG ，所以5

15

3=

?GOH S ． …………………………………10分 ②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R ，则GH R OH OG ?=? 因为2

2

2

GH OH OG =+，故

2

221

11R

OH OG =+， 当OG 与OH 的斜率均存在时，不妨设直线OG 方程为：kx y =，

由?????=+

=13922y x kx y ，得???

????+=+=22

222

319319k k y k x G G ，所以222

3199k k OG ++=， ………………………12分 同理可得2

22

399k k OH ++= （将2

OG 中的k 换成k 1-可得）……………………………14分

2

221

9411R

OH OG ==+，23=R ， 当OG 与OH 的斜率有一个不存在时，可得

2

221

9411R OH OG ==+，………………15分

故满足条件的定圆方程为：4

9

2

2=

+y x ．………………………………………………16分 19．（1）因为2(2)34n n S T -+=，其中n S 是数列}{n a 的前n 项和，n T 是数列}{2

n a 的前n 项和，

且0>n a ，

当1=n 时，由2211(2)34a a -+=，解得11a =，……………………………………………2分 当2n =时，由2222(12)3(1)4a a +-++=，解得21

2

a =

； ………………………………4分 由43)2(2=+-n n T S ，知43)2(121=+-++n n T S ，两式相减得

03)4)((2

111=+-+-+++n n n n n a S S S S ，即03)4(11=+-+++n n n a S S ，………………5分

亦即221=-+n n S S ，从而122,(2)n n S S n --=≥，再次相减得

11

,(2)2

n n a a n +=≥，又1221a a =，所以11,(1)2n n a n a +=≥

所以数列}{n a 是首项为1，公比为1

2

的等比数列， ………………………………………7分 其通项公式为1

2

1-=

n n a *n ∈N ．……………………………………………………………8分

（2）由（1）可得??????????? ??-=-

??? ??-=n n

n S 21122

11211，11414113414n

n

n T ??- ???????==-?? ???????-，……10分

若02<-n n T S λ对*

N n ∈恒成立，

只需126321121132

+-=??

?

??+?

?? ??-=>n

n n

n

n

T S

λ对*

N n ∈恒成立， 因为31

263<+-

n

对*

N n ∈恒成立，所以3λ≥,即λ的最小值为3；………………12分 （3）若212,2,++n y

n x

n a a a 成等差数列，其中y x ,为正整数，则112

2,22,21

+-n y

n x n 成等差数列，

整理得2

2

12-+=y x

，………………………………………………………………………14分

当2>y 时，等式右边为大于2的奇数，等式左边是偶数或1，等式不能成立，

所以满足条件的y x ,值为2,1==y x ．……………………………………………………16分

20．（1）因为()()ln ,0x h x x x =

>，所以()2

1ln x

h x x -'=

，…………………………………2分 由()0h x '>，且0>x ，得0x e <<，由()0h x '<，且0>x ，x e >，…………………4分 所以函数()h x 的单调增区间是(0,]e ，单调减区间是[,)e +∞，

所以当x e =时，()h x 取得最大值1

e

；………………………………………………………6分 （2）因为2()212xf x x ax -+-≥对一切),0(+∞∈x 恒成立， 即22ln 212x x x x ax --+-≥对一切),0(+∞∈x 恒成立， 亦即12

ln a x x x

++

≤对一切),0(+∞∈x 恒成立，…………………………………………8分 设x x x x 12ln )(++=?，因为2

22)

4)(3(12)(x x x x x x x +-=-+='?，

故)(x ?在]3,0(上递减，在),3[+∞上递增，

3ln 7)3()(min +==??x ，

所以7ln 3a +≤． …………………………………………………………………………10分 （3）因为方程02)(23=-+-bx ex x x f 恰有一解，即02ln 2

3

=-+--bx ex x x x 恰有一解，即

12ln 2++-=b ex x x

x

恰有一解， 由（1）知，)(x h 在e x =时，e

x h 1

)(max =

， …………………………………………12分 而函数()122++-=b ex x x k 在],0(e 上单调递减，在),[+∞e 上单调递增，

故e x =时，()2min 1e b x k -+=，…………………………………………………………14分

故方程12ln 2++-=b ex x x x 恰有一解当且仅当e e b 1

12=-+， 即112

-+=e

e b ． …………………………………………………………………………16分