07-08第2学期高数C试卷A试题及答案

海南师范大学

电子商务、金融、经济、会计专业高等数学（C）

2007 —2008 学年度第二学期期末考试（A）卷答案注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚

2. 所有答案请直接答在试卷上

3．考试形式：闭卷

4. 本试卷共四大题，满分100分，考试时间100分钟

一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18 分）在

每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代

码填在题后的括号内。错选或未选均无分。

1.在下列方程中，表示旋转曲面的方程为（C ）

A．1

2

2=

+

-z

y

x B.1

2

2=

-

+z

y

x

C.1

2

2=

-

+z

y

x D. 1

2

2=

-

-z

y

x

2．

2

2

)1,0(

)

,

(

lim

y

x

y

y

x+

→

=（B ）

A. 0

B. 1

C. ∞

D. 2

3. 设D由x轴、ln

y x

=、x e

=围成，则D的面积可表示为（A）

A．??

e x

dy

dx

1

ln

B.??

e x

dy

dx

ln

C. ??

1

ln

x

dy

dx D. ??

e x

dy

dx

1

ln

2

4．差分方程0

3

1

=

-

-

x

x

y

y的通解为（ D）

A.

3

x

c

y

x

= B. x

x

y)

3

1

(2

=

C. c

y x

x

+

=)

3

1

( D. x

x

c

y)

3

1

(

=

5.以x

x e

C

e

C

y-

+

=

2

1

为任意常数）

2

1

,

(C

C为通解的微分方程为( D )

A. 0

='

-''y

y B. 0

1

2=

+'

-''y

y

C. 0

1

2=

+'

+''y

y D. 0

=

-''y

y

6. 设级数∑∞

=

-

+

1

)1

(

n

n

n

a

，其中0

>

a，则下列说法正确的是（A）

A．该级数发散B．该级数条件收敛

C．该级数绝对收敛D．当1

<

a时该级数收敛

二、填空题（每空 4分，共24分）

1．向量B

A

的终点坐标为B=(2,-1,0),它在坐标轴上的投影分别为1，-4，1，

则该向量的起点坐标为A=(1,3,-1)

2.过点（1，-1，0）并且垂直于平面0

=

+z

x的直线方程为

1

1

1

1-

=

+

=

-z

y

x

3．设x y

z=，则=

dz dy

xy

ydx

y x

x1

ln-

+

4、变换二次积分的次序：=

??-+-

1

1

1

2

2

)

,

(

y

y

dx

y

x

f

dy??---

2

1

)

1(

1

2

2

x

x

dy

dx

5. 将二次积分化为极坐标形式的积分：=

+

??-

2

4

2

2

2

)

(

x

dy

y

x

dx??

2

2

3

π

θdr

r

d

6. 设f具有一阶连续偏导数，)

(2y

x

f

z=，则=

?

?

x

z

)

(

22y

x

f

xy'

三、计算题（本题共6小题，每小题 7分，共 42 分）

1．求过点(0,1,-2)且与直线???=+=-+1

1

y x z y x 垂直的平面方程.

解：直线???=+=-+1

1y x z y x 由两平面相交得到，}0,1,1{:},1,1,1{:2211=∏-=∏n n

.

可得直线的方向向量}0,1,1{0

1111121-=-=?=k

j i n n s

,平面的法向量

s n

=, 故所求平面的方程为

01=+-y x

2. 设221ln y x z ++=，求y

x z

???2

.

解：,122y x x x z ++=??2

222)

1(2y x xy y x z ++-=???

3．计算二重积分dxdy e D

y )1(2

??+，其中D 是由直线y x =，1=y 及y 轴所

围成的闭区域.

解：221)1(1010022

2

e

dy ye dx e dy dxdy dxdy e y y

y D

D y =+=+=+???????

4．求差分方程x x x x y y y 23212?=++++的通解。

解：对应的齐次方程的特征方程为： 0122=++λλ

121-==λλ，对应的齐次方程的通解：x x c c Y )1)((21-+=，21,c c 为任意常数。

令自身特解为：)2,1,0(,20==*

s x b y x s x ，代原差分方程得：,3

1.00==b s 特解为：

,2)31(x x y =*原差分方程的通解为：.2)3

1()1)((21x x x x c c y Y y +-+=+=*

5. 求幂级数∑

∞

=-1

)1(1n n x n

的收敛域

解：研究∑∑

∞∞

==-1

1

)1(1n n n

u x n

11)1(1)1(1

1

lim

lim

1

1<-=--+=+∞→+∞→x x n

x n u u n

n n n n n ，收敛

当,

2,11时即==-x x ∑

∞

=1

1n n

发散；当,0,11时即=-=-x x n n n

)1(11

-∑

∞

=收敛；故收敛

域为.20<≤x

6. 判定级数∑∞

=1

n n

n a 的收敛性.

解：∑∞1

n u =∑

∞

=1

n n

n

a ， 11

lim lim

11

<=+=+∞

→+∞→a n

a n a u u n

n n n

n n ，收敛

当,1,11∑∞

==n n a 发散，,)1(,11

∑∞

=--=n n

n a 收敛。故当,11<≤-a 收敛；其它，发

散。

四、综合题（每小题 8分，共 16 分）

1．设函数)(x ?连续，且满足dt t e x x x ?+=0

)()(??，求)(x ?. 解：等式两边对x 求导：

x

x e

y y x y x e x =-'=+=',)

(),()(即设???

解此一阶线性微分方程，

)()()()1()1(x xe ce c dx e c dx e e e y x x x dx

x dx ?=+=+=+??=??---

2. 根据统计资料，某厂生产的A 、B 两种产品的价格分别为y x ,时，销售利润 881028281422---++=y x xy y x R ，问价格y x ,为多少时利润最大？

解：

,04814=-+=??x y x R )14,2

63

(),(,020828=∴=-+=??y x y x y R ,016,20,8,042<-=--====<-==AC B R C R B R A yy xy xx 最大 所以，当价格14,2

63

==

y x 时，利润最大。