NLS方程的守恒数值格式及其收敛性分析

收稿日期:2006 05 26

作者简介:王震(1977 ),男,讲师,硕士,研究方向:偏微分方程数值解.

文章编号:1671 9352(2007)03 0013 05

NLS 方程的守恒数值格式及其收敛性分析

王震1

,张

(1 山东科技大学信息科学与工程学院,山东青岛 266510;2.济南大学信息科学与工程学院,山东济南 250022)

摘要:研究了一类不稳定非线性Schr odinger 方程初边值问题的有限差分方法,证明了差分格式的两个离散守恒律,用能量方法得到了差分解的收敛性和稳定性.给出了数值算例.关键词:NLS 方程;守恒;差分法;收敛性中图分类号:O241.82 文献标识码:A

A conservative numerical scheme and its convergence analysis

for a class of the NLS equation

WANG Zhen 1and Z HANG Jin 2

(1.Department of Information,Shandong University of Science and Technology,Qingdao 266510,Shandong,China;

2.Department of Informati on,Jinan Univ.,Jinan 250022,Shandong,China)

Abstract :The finite difference scheme is devised for a class of the unstable nonlinear Schr odinger eq uation.Two discrete conser vation laws of the difference scheme are proved.By using the energy method,the convergence and stability of the difference scheme are proved.

Key w ords :NLS equation;conservation;difference scheme;convergence

0 引言

非线性Schr o dinger 在非线性光纤光学、等离子体物理等领域有着广泛的应用.近年来,关于不稳定介质

中孤子现象的研究引起了众多科学工作者的兴趣,文献[1]引入了方程i u x +u tt +2|u |2

u + u xt =0( 1),用来描述变化的波列中某些不稳定性,并得到了解的一系列守恒律.文献[2,3]研究了此类方程的一些精确解.

本文在有限区域Q =[0,1] [0,T ]上考虑如下问题:

i u x +u tt + u xt +f (|u |2

)u =0,(0< 1),

(1)u (x ,0)= (x ),u t (x ,0)=

(x ),

(2)u (0,t )=u (1,t )=0.

(3)

其中,u (x ,t )为复值函数,f (s ), (x ), (x )是给定的实值函数,i 2

=- 1.该问题有着如下的守恒关系[4]

E 1=(i u x ,u )+!u t !2

F (|u |2

)d x =const,

(4)E 2= (i u x ,u )+2Im(u ,u t )=const.

(5)

其中,F (s )=

f (r )d r ,Im,Re 分别表示虚部和实部.

第42卷第3期

Vol.42 No.3

山东大学学报 (理学版)

JOURNAL OF SHANDONG UNI VERSITY

2007年3月 Mar.2007

本文对问题(1)~(3)构造了3层隐式差分格式,用能量方法证明了差分格式满足两个离散守恒律,并证明了差分格式的收敛性和稳定性.

1 差分格式及其守恒律

对平面区域Q 作网格剖分,x j =jh (j =0,1,#J ),t n

=n !(n =0,1,#N ),其中Jh =1,N !=T ;J ,N 都是正整数.记u n

j =u (x j ,t n

),u n

={u n

j }J

j =0表示第n 时间层上的网格函数.本文中的C 表示不依赖于h ,!的正常数,在不同的地方可取不同的值.

引进如下差分记号:

(w n

)x =w n

j +1-w n

j h ,(w n j )x ^=w n

j +1-w n

j -12h ,(w t )n j =w n +1

j -w n

j !

,(w n

j )^t =w n +1

j -w n -1

,(w n

)!t =w n j -w n -1j !

,(v n ,w n

)=?

J -1j =0

v n j ?w n j h ,!w n !2=(w n ,w n

),!w !=sup j

|w n

j |.对于方程(1)~(3)提出如下差分格式:

12i(u n +1j +u n -1j )x ^+(u n j )t !t + (u n

j )x ^!t +F (|u n +1

j |2

)-F (|u n -1

j |2

)|u n +1j |2-|u n -1j |

2%u n +1

j +u n -1

j 2

=0,

j =1,#J -1,n =1,#N -1;

(6)u 0

j = j ,u 1

j =u -1

j +2! j ,j =0,#J ;

(7)u n

0=u n

J =0,n =1,#N .

(8)

对于方程(6),令n =0,与(7)联立即可消掉u -1

j .

引理1 对满足齐次边界条件的网格函数{u j },{v j }有下列等式成立: (&)Re(i u x ^,u )=(i u x ^,u ); (?)Re(u x ^,u )=Re(u ,u x ^)=0; (()Re(u x ^,v )=-Re(v x ^,u );())Re(i u x ^,v )=(i v x ^,u ).

证明令复值网格函数u j =u 1j +i u 2j ,其中u 1j ,u 2j 为满足齐次边界条件的实值网格函数.易于验证上

述结论成立.

同理可得下述引理.

引理2 对满足齐次边界条件的网格函数{u j },{v j }有下列等式成立: (&)Im(u ,v )=-Im(v ,u ); (?)Im(u x ^,v )=Im(v x ^,u ); (()(u x ^,v )=-(v x ^,u );

())Im(u x ^,u )=-(i u x ^,u ).定理1 差分格式(6)~(8)满足如下守恒关系:

E n

1=E n -11=#=E 0

1,(9)E n 2=E n -12

=#=E 02.

(10)

其中

E n

=12[(i u n +1x ^

,u n +1)+(i u n x ^,u n )]+!u n t !2+h

j =1

F (|u n +1

E n 2=2Im(u n t ,u

n +1

)- 2[(i u n +1x ^,u n +1)+(i u n x ^,u n

)].

证明 (6)式两边与(u n

j +u n -1

j )t 做内积,取实部,并应用引理可得:第1项

12!Re(i u n +1x ^+i u n -1x ^,u n +1-u n -1)=12!

Re[(i u n +1x ^,u n +1)-(i u n +1x ^,u n -1

)+(i u n -1

x ^

,u n +1

)-(i u n -1x ^,u

n -1

)]=

12!

[(i u n +1x ^,u n +1)-(i u n -1x ^,u n -1

)];(11)

第2项

山东大学学报 (理学版)第42卷

1!3Re(u

n +1-2u n +u n -1,u n +1-u n -1)=1!

3(!u n +1-u n !2-!u n -u n -1!2

)=1!

(!u n t !2-!u n -1t !2);(12)

第3项

2Re(u n +1x ^-u n -1x ^,u n +1-u n -1)=0;(13)

第4项

h Re

F (|u n +1j |2)-F (|u n -1j |2)|u n +1j |2-|u n -1j |2%u n +1

+u n -1

j 2

%(?u n +1

j -?u n -1

j )=

h 2

[F (|u n +1

)-F (|u n -1

)].

(14)

综合上述4项可得

E n 1=12[(i u n +1x ^

,u n +1)+(i u n x ^,u n )]+!u n t !2

+h 2

j [F (|u n +1

|2)+F (|u n j |2

)]=

12[(i u n x ^,u n )+(i u n -1x ^,u n -1)]+!u n -1t !2+h 2

[F (|

u n

j |2

)+F (|u n -1

|2)]=E n -1

(15)

由上式递推即得

E n

1=E n -1

=#=E 0

(6)式两边与u n +1

j +u n -1

做内积,取虚部可得:

第2项

Im(u n

t !t ,u

n +1+u n -1

)=Im[!2(u n t !t ,u n t !t )+2(u n t !t ,u n )]=2Im(u n t !t ,u n

2!Im(u n t -u n -1t ,u n +1-!u n t )=2!

Im[(u n t ,u n +1)-(u n -1t ,u n

)];(16)

第3项

2!Im(u n +1x ^-u n -1x ^,u n +1+u n -1)=- 2!

[(i u n +1x ^,u n +1)-(i u n -1x ^,u n -1

)];(17)

第1项和第4项为0.综合上述4项可得

E n

2=2Im(u n

t ,u

n +1

[(i u n +1x ^,u n +1)+(i u n x ^,u n )]=2Im(u n -1t ,u n )- 2

[(i u n x ^,u n )+(i u n -1x ^,u n -1)]=E n -1

2.(18)

由上式递推即得

E n

2=E n -1

=#=E 0

证毕.

易见,E n 1,E n

2是对(4),(5)式的数值模拟.

2 差分格式的收敛性和稳定性

设v n

j =u (x j ,t n

),则有

12i(v n +1j +v n -1j )x ^+(v n j )t !t + (v n j )x ^^t +F (|v n +1

j |2

)-F (|v n -1

j |2

)|v n +1j |2-|v n -1j |

%v n +1

j +v n -1

=R n

j .

其中,R n

j 为截断误差,显然R n

j =O (h 2

+!2

定理2 设u (x ,t )?C

3,4

(Q ),f +(s )?C 1

,则守恒差分格式(6)~(8)的解收敛到定解问题(1)~(3)

的解,且收敛阶为O (h 2

+!2).

第3期王震,等:NLS 方程的守恒数值格式及其收敛性分析

证明设

e n j=v n j-u n j,G(u n+1j)=F(|u n+1j|2)-F(|u n-1j|2)/|u n+1j|2-|u n-1j|2,则有

1 2i(e n+1j+e n-1j)x^+(e n j)t!t+ (e n j)x^^t=R n j-[G(v n+1j)%

v n+1j+v n-1j

-G(u n+1j)%

u n+1j+u n-1j

].(19)

上式两边与(e n j+e n-1j)t做内积,取实部可得:

等号右端

-h Re?j[G(v n+1j)%v n+1j+v n-1j2-G(u n+1j)%u n+1j+u n-1j2](!e n j+!e n-1j)t=

-h Re?j[G(v n+1j)%v n+1j+v n-1j2-G(u n+1j)%v n+1j+v n-1j2+G(u n+1j)%v n+1j+v n-1j2]-

G(u n+1j)%u n+1

j+u

n-1

](!e n j+!e n-1j)t#C(!e n+1!2+!e n-1!2+!e n t!2+!e n-1t!2);(20) Re(R n,e n t+e n-1t)#C!(!R n!2+!e n t!2+!e n-1t!2).(21)

左端各项与(11)~(13)的处理方式相同,可得

[(i e n+1x^,e n+1)-(i e n-1x^,e n-1)]+!e n t!2-!e n-1t!2#

C!(!e n+1!2+!e n-1!2+!e n t!2+!e n-1t!2).(22) (19)式两边与e n+1j+e n-1j做内积,取虚部并注意到f+(s)?C1,可得:

等号右端

-h Im?j[G(v n+1j)%v n+1j+v n-1j2-G(u n+1j)%v n+1j+v n-1j2+G(u n+1j)%v n+1j+v n-1j2-

G(u n+1j)%u n+1j+u n-1j

](!e n+1j+!e n-1j)#C(!e n+1!2+!e n-1!2);(23)

Im(R n,e n+1+e n-1)#C!(!R n!2+!e n+1!2+!e n-1!2).(24)左端各项与(16),(17)的处理方式相同,可得

2Im[(e n t,e n+1)-(e n-1t,e n)]-

[(i e n+1x^,e n+1)-(i e n-1x^,e n-1)]#C!(!e n+1!2+!e n-1!2).(25)

(22) +(25),然后两端对n从1到N-1求和,得

2Im(e N-1t,e N)+ !e N-1t!2#C(!e0!2+!e1!2+!e0t!2+!e1t!2+h4+!4)+

C!?N-1n=1(!e n+1!2+!e n t!2).(26)由e n+1j-e n j=!(e n j)t,两边同乘以!e n+1j+!e n j,然后对j求和取实部,得

!e N!2#C!e1!2+C!?N-1

n=1

(!e n+1!2+!e n t!2).(27)因为

2|Im(e N-1t,e N)|#

!e N-1t!2+2 !e N!2,(28)

(28)式代入(26)+(27)(1+2 ),可得

!e N-1t!2+!e N!2#C(!e0!2+!e1!2+!e0t!2+!e1t!2+h4+!4)+

C!?N-1n=1(!e n+1!2+!e n t!2).(29)由初值条件易于验证

!e0!2+!e1!2+!e0t!2+!e1t!2=O(h4+!4).(30)由(29),(30)并应用离散的Gronwall不等式可得

16 山东大学学报 (理学版)第42卷

!e N -1

!+!e N !#C (h 2+!2

(31)

证毕.

类似地,可以证明差分格式的稳定性.

定理3 在定理2的条件下,守恒差分格式(6)~(8)的解依平方模稳定.

3 数值实验

考虑如下算例:

取q =2,?=2,#=2;x l =20,x m =-20;t ?[0,1],精确解为

[2,3]

U (x ,t )=b sec h (b

a (x -vt ))exp(i(kx -?t )).

其中

k =2,?=3,v =4, =0.1 1;

a 2

=v 2

+ v ,b 2

=k +?2

+ k ?.

初边值条件相应得到.利用本文所给格式进行计算,结果如图1,图2所示.由计算结果可见该格式的有效性

图1 取不同值时的误差图像Fig.1 The error imag e of different

values

图2 精确解与数值解的图像比较

F ig.2 The comparisons between precise solution and numer ical solution

(下转第22页)

第3期王震,等:NLS 方程的守恒数值格式及其收敛性分析

R (l %)#2?<2,故l %是WNUS 的.

定理3 令l

(p i

)

是一个赋Luxemburg 范数的Nakano 序列空间,则R (l

(p i

)

)=21

p .

证明对于任意弱收敛于零的序列{x n }?S (l (p i )),x ?S (l (p i )

)且N (x )是有限的,不是一般性,我们可

以假设对于所有的n ?N 都有N (x ),N (x n )= .所以

I %

c +I %x n c

=1,即??

i =1x (i )c

+??

i =1x n (i )

=1,因此有

1c p

i =1

|x (i )|p

+1c p ??

i =1

|x n (i )|

p i #2c p #1,也就是c #21

p ,这表明不等式R (l

(p i

)

)#21

另一方面,取序列(e n )?S (l (p i )),如果C n ,m 是方程I %e n c +I %e m

=1的一个解,不失一般性,假定

n >m ,则我们有不等式2c p m %1,故有R (l

(p i

)

)%21

p ,综上得R (l

(p i

)

)=21

参考文献:

[1]J Garcia Falset.Stability and fixed poi nts for nonexpansive mappings[J].Houston Math,1994,(20):495~505.

[2]J Garcia Falset.The fixed point property in Banach spaces with NUS property[J].Math Anal Appl,1997,(215):532~542.[3]R Goebel,W A Kirk.Topics in metric fixed poin t theory[M].Cambridge:Cambridge Universi ty Press,1990.[4]S Prus.Nearly uniformly smooth Banach space[J].Boll U M I,1989,7(3 B):507~521.[5]S T Chen.Geometry of Orlicz spaces[M ].Warszawa:Dissertatioes Mathematicae,1996.

[6]J Musielak.Orlicz spaces and modular spaces[A].Lecture Notes in Math 1034[C].New York:Sp r i nger verlag,1983.

(编辑:李晓红)

(上接第17页)

参考文献:

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[2]Zhenya Yan.Symbolic computation and new families of solitary wave soluti ons to a Hamiltonian ampli tude equation[J].Z Angew Math

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[3]Yong Chen,Biao Li,Hongqing Zhang.E xplicit exact solutions for a new generalized Hamiltonian amplitude equation with nonlinear terms

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[4]H Beub.On unstable nonlinear schr odinger equations[J].Nonlinear Analysis,Theory,Methods &Applications,1996,26(5):903~

914.

(编辑:冯保初)

山东大学学报 (理学版)第42卷