2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(广东卷)

12广东(理)

1.(2012广东,理1)设i 为虚数单位,则复数56i i

-=( ).

A .6+5i

B .6-5i

C .-6+5i

D .-6-5i

D 56i i -=(56i)i i i -??=2

2

5i 6i i -=65i 1+-=-6-5i .

2.(2012广东,理2)设集合U ={1,2,3,4,5,6},M ={1,2,4},则?U M =( ). A .U B .{1,3,5} C .{3,5,6} D .{2,4,6} C ∵U ={1,2,3,4,5,6},M ={1,2,4},

∴?U M ={3,5,6}.

3.(2012广东,理3)若向量BA =(2,3),CA =(4,7),则BC

=( ). A .(-2,-4) B .(2,4)

C .(6,10)

D .(-6,-10)

A ∵BA =(2,3),CA

=(4,7),

∴BC =BA +AC =BA -CA

=(2,3)-(4,7)=(2-4,3-7) =(-2,-4).

4.(2012广东,理4)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ). A .y =ln (x +2) B .y

C .y =12x

?? ???

D .y =x +1x

A ∵函数y =ln (x +2)的定义域为(-2,+∞),y '=12

x +在(-2,+∞)上大于0恒成立,(0,+∞)?(-2,+∞),

∴函数y =ln (x +2)在区间(0,+∞)上为增函数.

5.(2012广东,理5)已知变量x ,y 满足约束条件2,

1,1,y x y x y ≤??+≥?

?-≤?则z =3x +y 的最大值为( ).

A .12

B .11

C .3

D .-1

B 由约束条件作出可行域,如图,

∴可得最优解2,1,

y x y =??-=?即3,2,

x y =??

=? ∴z max =3×3+2=11.

6.(2012广东,理6)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )

.

A .12π

B .45π

C .57π

D .81π

C 由三视图知该几何体是由圆锥和圆柱构成的组合体,示意图如图所示,∴该几何体的体积为V =V 圆锥+V 圆柱=13πr 2h 1+πr 2h 2=13

π×32×4+π×32×5=12π+45π=57π. 7.(2012广东,理7)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是( ). A .49 B .13 C .29 D .19 D 在个位数与十位数之和为奇数的两位数中:

(1)当个位数是偶数时,由分步计数乘法原理知,共有5×5=25个; (2)当个位数是奇数时,由分步计数乘法原理知,共有4×5=20个. 综上可知,基本事件总数共有25+20=45(个), 满足条件的基本事件有5×1=5(个), ∴概率P =545=19

.

8.(2012广东,理8)对任意两个非零的平面向量α和β,定义α =α·ββ·β

.若平面向量a ,b 满足|a |≥|b |>0,a 与b 的夹角θ∈0,4π?? ?

?

?

,且a b 和b a 都在集合 n 2n Z ??∈????

中,则a b =( ). A .12

B .1

C .32

D .52

C 由题意知|a |≥|b |>0,∴|b ||a |

≤1.

∵θ∈0,4π?? ???,∴cos θ∈?????

,

即a b =a b b b ??=2|a ||b |θ|b |cos ??=|a ||b |

·cos θ;

b a =b a a a ??=2|b ||a |θ|a |cos ??=|b ||a |

·cos θ.

又∵a b 和b a 都在集合 n 2n Z ??∈??

??

中,且|b ||a |·cos θ<1,∴|b ||a |·cos θ=12,即得|b ||a |=12θcos , ∴a b =|a ||b |cos θ=2cos 2θ∈(1,2),∴a b =32.

9.(2012广东,理9)不等式|x +2|-|x |≤1的解集为 .

1x|x }2?

≤-??

由题意知,-2和0将R 分成三部分.

(1)当x ≤-2时,原不等式可化简为-(x +2)-(-x )≤1,即-2≤1,∴x ≤-2. (2)当-2

.

(3)当x ≥0时,化简为x +2-x ≤1,即2≤1,此时无解.

综上可得不等式的解集为1x|x }2?≤-??

. 10.(2012广东,理10)6

21x x ??+ ?

?

?的展开式中x 3的系数为 .(用数字作答)

20 T r +1=r 6

C ·(x 2)r

·6r

1x -??

???

=r 6C ·x 3r -6,∴要求展开式中x 3的系数,即3r -6=3,∴r =3,即T 4=36C ·x 3=20x 3,∴x 3的

系数为20.

11.(2012广东,理11)已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1,a 3=22a -4,则a n = . 2n -1 设等差数列{a n }的公差为d (d >0).

由a 3=22

a -4得a 1+2d =(a 1+d )2-4,即1+2d =(1+d )2-4,d 2=4.又{a n }是递增数列,∴d =2, ∴a n =a 1+(n -1)d =1+(n -1)·2=2n -1.

12.(2012广东,理12)曲线y =x 3-x +3在点(1,3)处的切线方程为 . 2x -y +1=0 由y =x 3-x +3得y '=3x 2-1,∴切线的斜率k =y '|x =1=3×12-1=2,

∴切线方程为y -3=2(x -1),即2x -y +1=0.

13.(2012广东,理13)执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为 .

8 i =2,k =1,2<8,s =11

×(1×2)=2;

i =4,k =2,4<8,s =12

×(2×4)=4;

i =6,k =3,6<8,s =13

×(4×6)=8;

i =8,k =4,8=8,输出s =8.

14.(2012广东,理14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1和C 2的参数方程分别为

x t,

y =???=??t 为参数)和x θ,y θ?=????(θ为参数),则曲线C 1与C 2的交点坐标为 .

(1,1) 由C 1得y 即y 2=x (y ≥0).①

由C 2得x 2+y 2=2.②

由①②联立222

y x,x y 2,

?=?

+=?得x 1,y 1.

=??=?

15.(2012广东,理15)(几何证明选讲选做题)如图,圆O 的半径为1,A ,B ,C 是圆周上的三点,满足∠ABC =30°,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA = .

连接AO ,则由∠ABC =30°知∠AOP =60°.

又OA =1,∴PA =OA ·tan 60°16.(2012广东,理16)已知函数f (x )=2cos ωx 6π??+ ???

(其中ω>0,x ∈R )的最小正周期为10π.

(1)求ω的值;

(2)设α,β∈0,2π??????,f 55α3π??+ ???=-65,f 55β6π??- ???=1617,求cos (α+β) 的值.

17.(2012广东,理17)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

(1)求图中x 的值;

(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望

.

18.(2012广东,理18)如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE . (1)证明:BD ⊥平面PAC ;

(2)若PA =1,AD =2,求二面角B -PC -A 的正切值.

19.(2012广东,理19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,满足2S n =a n +1-2n +1+1,n ∈N *,且a 1,a 2+5,a 3成等差数列. (1)求a 1的值;

(2)求数列{a n }的通项公式;

(3)证明:对一切正整数n ,有11a +21a +…+n 1a <32.

20.(2012广东,理20)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22x a +2

2y b =1(a >b >0)的离心率e

且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3.

(1)求椭圆C 的方程;

(2)在椭圆C 上,是否存在点M (m ,n ),使得直线l :mx +ny =1与圆O :x 2+y 2=1相交于不同的两点A ,B ,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由.

21.(2012广东,理21)设a <1,集合A ={x ∈R |x >0},B ={x ∈R |2x 2-3(1+a )x +6a >0},D =A ∩B . (1)求集合D (用区间表示);

(2)求函数f (x )=2x 3-3(1+a )x 2+6ax 在D 内的极值点.