分式函数的图像与性质(又称作双钩函数、奈克函数、对号函数)

学习是件快乐的事情

分式函数的图像与性质

形如22(,,,,,)a x b x c

y a b c d e f

R d x e x f

++=∈++的函数称为分式函数。如2

21

x y x x

+=

+，21

2

x y x +=-，413x y x +=+等。

2、分式复合函数

形如22

[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f

++=∈++的函数称为分式复合函数。如221

12x x y +=-，sin 2

3sin 3x y x +=

-，y =

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：函数(0)b

y ax ab x

=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=

∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数21

1

x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x

=

的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：

12

111211

y y y x x x =

??→=??→=+--右上 由此可以画出函数21

1

x y x -=

-的图像，如下：

单调减区间：)+∞；

值域：(,2)(2,)-∞+∞ ； 对称中心：(1,2)。 【反思】(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=

∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，

数学有时候是折磨人的工具

需要借助“分离常数”的处理方法。

分式函数(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}d

x x c ≠- ；

（2）值域：{|}a

y y c

≠；

（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d d

c c

-∞--∞；

（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a

c c

-；

（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；

（6）图象：如图所示

问题2：(0)b

y ax ab x

=+

≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1

y x x

=+的图像，并结合函数图像指出

函数具有的性质。

【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。 解：函数的定义域为：{|0}x x ≠； 根据单调性定义，可以求出1

y x x

=+的单调区间 增区间：(,1][1,)-∞-+∞ 减区间：[1,0),(0,1]-

函数的值域为：(,2][2,)-∞-+∞ 函数的奇偶性：奇函数

函数图像的渐近线为：,y x =0x = 函数的图像如下：

高中数学大学毕业后能记得的还有多少呢？

【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？

【小结】分式函数(,0)

b

y ax a b

x

=+>的图像与性质：

（

1）定义域：{|0}

x x≠；

（2）值域：{|y y y

≥≤-

或；

（3）奇偶性：奇函数；

（4

）单调性：在区间(,)

-∞∞

上是增函数，

在区间上为减函数；

（5）渐近线：以y轴和直线=为渐近线；

（6

例3、根据y x

=与

1

y

x

=的函数图像，绘制函数

1

y x

x

=-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出

1

y x

x

=-的图像

解：函数的定义域为：{|0}

x x≠；

根据单调性定义，可以判断出

1

y x

x

=-的单调性，单调增区间为：(,0),(0,)

-∞+∞

x

可是为什么还要学数学，还要考数学呢?

函数的值域为：R

函数的奇偶性：奇函数

函数图像的渐近线为：,y x =0x = 函数的图像如下：

【反思】结合刚才的两个例子， 1y x x =-

-

与1

y x

x

=-的图像又是怎样的呢？思考12+y x x =与2

3y x x =-的图像是怎样的呢？(,,0)b

y ax a b R

ab x

=+∈≠的图像呢？

函数1

y x =--的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。

【注】()y x x x x =--

=-+，由于()y f x =与()y f x =-的图像关于x 轴对称，所以还可以根据1y x x =+的图像，对称的画出1y x x =--的图像。同样的道理1

y x x =-的图像

与1

y x x

=-的图像关于x 轴对称，所以图像如下：

x

其中还是有着一定道理的

【小结】(,,0)b

y ax a b R ab x

=+∈≠的图像如下： （i ）(0,0)b

y ax a b x

=+

>>

(ii) (0,0)b

y ax a b x

=+

>< (iii) (0,0)b

y ax a b x

=+

<>

其实，数学学下来，更多的是学习种种思维方式

(iv) (0,0)b

y ax a b x

=+

<< (,,0)b

y ax a b R ab x

=+∈≠的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。

探究任务二：函数22(,,,,,)ax bx c

y a b c d e f R dx ex f

++=∈++的图像与性质

问题3：函数221

1

x x y x ++=+的图像是怎样的？单调区间如何？

【分析】22212(1)3(1)22

2(1)3111x x x x y x x x x +++-++=

==++-+++ 22y x x =+122(1)1y x x ??→=+++左23

211

x x y x ++??→=+下

所以221

1

x x y x ++=+的图像与22y x x =+的图像形状完全相同，只是位置不同。

图像的对称中心为：(1,3)--

单调增区间为：(,2][0,)-∞-+∞ 单调减区间为：[2,1),(1,0]--- 值域：(,7][1,)-∞-+∞

图像如下：

【反思】函数2

1

21

x y x x +=

++的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？ 【小结】对于分式函数22(,,,,,)ax bx c

y a b c d e f R dx ex f

++=∈++而言，分子次数高于分母时，

可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：

22

111

(1)221212(1)311

x y x x x x x x x x +=

==≠-++++++-++ ※ 典型例题

例1、若,,3x y R x y xy +∈++=则x y +的最小值是__________．

解：由(1)3x y xy x x y ++=++=，得3

1

x y x -+=+

3(1)444

11221111

x x x y x x x x x x x x -+-+++=+=+=+-=++-≥++++

【注】此处可以借助函数4

2(1)y t t x t

=+-=+的图像与性质

【变式】若,,3x y R x y xy ∈++=且，求x y +的取值范围.

例2、求函数[]2412

(),2,51

x x f x x x -+=

∈-的值域. 解：22412(1)2(1)99

()=12111x x x x f x x x x x -+---+=

=-+----，令1t x =-，则 9()2,[1,4]f t t t t =+-∈，结合9

y t t

=+图像与性质，可知当[1,3]t ∈时函数单调递减，当

[3,4]t ∈时函数单调递增，又17

(1)8,(3)4,(4)4

f f f ===，所以()[4,8]f x ∈

【注】“换元”后必须注意新元的范围。“换元法”是转化思想的一个非常重要的途径。 【变式】求函数[]21

(),2,5412

x f x x x x -=

∈-+的值域.

例3、已知()a

f x x x

=+

在区间[2,)+∞单调递增，求a 的取值范围. 【分析】先定性分析，再定量研究，借助分类讨论思想展开. 解：当0a =时，()f x x =在区间[2,)+∞显然单调递增；

当0a <时，结合()a

f x x x

=+

的图像与性质，可知函数在区间[2,)+∞单调递增

当0a >时()f x 在区间)+∞2≤，所以(0,4]a ∈ 综上所述，实数a 的取值范围为(,4]-∞.

【变式】已知()a

f x x x

=-+在区间[2,3)单调递减，求a 的取值范围.

例4、某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为

8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为

1

)(+=

n k

n g （0,k k >为常数，n ∈Z 且0n ≥），若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为)(n f 万元．

（1）求k 的值，并求出)(n f 的表达式；

（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 解：（1）由1

)(+=

n k

n g ，当0n =时，由题意，可得8k =， 所以()(10010)(10100

f n n n =+-- （2）由

()(10010)(101001000100080520

f n n n =+-=-≤-?=当且仅当1+n 1

9+=

n ，即8n =时取等号，

所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元.

例5、已知221

n n a n =

+，若8n a n λ<+对所有的*

n N ∈均成立，求实数λ的取值范围. 【分析】典型的恒成立问题，可以采用分离变量的方法，转化成函数最值问题研究 解：由题易知(8)(21)2n n n λ++<

，令(8)(21)

()2n n f n n

++=，

(8)(21)41725()222

n n f n n n n ++==++≥，当且仅当2n =时取等号

所以252λ<

，即25(,)2

λ∈-∞. 【注】若*

6(),f n n n N n

=+∈，注意取到等号的条件，关注函数的定义域，不能一味的根

据基本不等式求解.

【变式】数列{}n a 满足：2156

n n

a n =

+，则数列{}n a 中n a 的最大值为_______．

※ 自我评价 你本节课程学习情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1、若,,3,x y R xy y +

∈+=则x y +的最小值是________．

2、函数234

x

y x =+的值域是________．

3、已知[)221

(),1,ax x f x x x

--=

∈+∞内单调递减，求实数a 的取值范围。 4、（1）若函数

()log 4,(0,1)a a f x x a a x ??

=+->≠ ???

的定义域为R +，

求实数a 的取值范围； （2）若函数()log 4,(0,1)a a f x x a a x ??

=+

->≠ ??

?

的值域为R +，求实数a 的取值范围。 5、设(),[0,+)1

a

f x x x x =+

∈∞+． （1）当4a

=时，求()f x 的最小值；

（2）当(0,1)a ∈时，判断()f x 的单调性，并写出()f x 的最小值。

1、函数[]1

2

(),1,21f x x x

x

=

∈-的值域为__________． 2、不等式2

0x a x

-->的在[]2,1内有实数解，则实数a 的取值范围________． 3、不等式2

0x a x

-

->的在[]2,1内恒成立，则实数a 的取值范围________． 4、函数221

x x

y x x -=-+的值域是________．

5、定义在R 上函数()f x ，集合{A a a =为实数，且对于任意}

,()x R f x a ∈≥恒成立，且存在常数

m A ∈，对于任意n A ∈，均有m n ≥成立，则称m 为函数()f x 在R 上的“定下界”．

若21()12x x

f x -=+，则函数()f x 在R 上的“定下界”m =__________．

6、【11年闸北】据测算：2011年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1万件；如果搞促销活动，那么该产品销售量（亦即该产品的年产量）m 万件与年促销费用x 万元（0≥x

）满足

1

3+-

=x k

m （k 为常数）．已知2011年生产该产品的前期投入需要8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（定价不考虑促销成本）． （1）若2011年该产品的销售量不少于2万件，则该产品年促销费用最少是多少？ （2）试将2011年该产品的年利润

y （万元）表示为年促销费用x （万元）的函数，并求2011年的最大

利润．

7、已知函数()2a

f x x x

=+

的定义域为(]0,2（a 为常数）. （1）证明：当8a ≥时，函数()y f x =在定义域上是减函数；

（2）求函数()y f x =在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值．

8、【06年上海】已知函数

a

y x x

=+

有如下性质：如果常数0a >,那么该函数在上是减函数, 在

)+∞上是增函数.

（1）如果函数2b

y x x

=+

在(0,4]上是减函数, 在[4,)+∞上是增函数,求实常数b 的值；

（2）设常数[1,4]c ∈，求函数(12)c

y x x x =+≤≤的最大值和最小值；

（3）当n 是正整数时, 研究函数(0)n

n c y x c x

=+>的单调性,并说明理由.

9、【08年上海】已知函数||

1

()22x x f x =-

。

（1）若

()2f x =，求x 的值；

（2）若2(2)()0t

f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围。

10、【11年虹口】对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间[,]m n D ?，同时满足：

①

)(x f 在[,]m n 内是单调函数；

②当定义域是[,]m n 时，)(x f 的值域也是[,]m n ．则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．

（1）求证：函数

x

x g y 5

3)(-

==不存在“和谐区间”．

（2）已知函数x

a x a a y 2

21

)(-+=（0,≠∈a R a ）有“和谐区间”[,]m n ，当a 变化时，求出m n -的最大值． （3）易知，函数

x y =是以任一区间[,]m n 为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，

并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的x y =及形如ax

c

bx y +=

的

函数为例）