高中数学-圆锥曲线题型总结
直线和圆锥曲线常考题型
运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22
x x y y
x ++=
=，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，
则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
=320v = 42c a
=。 ，如l 是等解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2
(1)y k x y x
=+??
=?消y 整理，得2222
(21)0k x k x k +-+=① 由直线和抛物线交于两点，得 2
2
4
2
(21)4410k k k ?=--=-+> 即2
1
04
k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k --
。线段的垂直平分线方程为：2
2
1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122x k =
-，则2
11(,0)22
E k - ABE ?为正三角形，∴2
11
(
,0)22
E k -到直线AB 的距离d
。
AB
=2
2
1k k =
+
2d k
=2
2
122k k k
+=
y 12x -和是，1
4,)k ，同理，设直线)1(p y k t =2112x y x y - 椭圆的焦点为故当43
3
t =
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22
221x y a b
+= (0)a b >>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，直线BC
过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC
关于直线x =直线PQ 的斜率。
(I) 2BC AC =，且BC OC AC = 0AC BC = ∴∠又
A (23,0) ∴点C 的坐标为A 3,0)是椭圆的右顶点，a ∴=212x (II)
PC
y (10
3x =是方程的一个根，2931P
k -=即183
k - P Q y y -=P x 解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),Q DP DQ l =uuu r uuu r (x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3)即121
23(3)x x y y l l ì=??í?=+-???
方法一：方程组消元法又Q P 、Q 是椭圆29x +24y =1上的点\22222222
194
()(33)19
4x y x y l l l ì??+=???í?+-?+=????
消去x 2，可得222
222(33)14y y l l l l +--=-即y 2=1356l l -又Q －2￡y 2￡2，\－2￡135
6l l -￡2解之得：155
λ≤≤
则实数l 的取值范围是1,55??
????
。方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠，由22
34936
y kx x y =+??+=?消y 整理后，得22
(49)54450k x kx +++=P 、Q 是曲线M 上的两点22
(54)445(49)
k k ∴?=-?+1212()2x x x x ++
，代入②，整理得1的取值面积把y kx m =+代入椭圆方程，整理得2
2
2
(31)6330k x kmx m +++-=，12231
x x k ∴+=+，12231x x k =+。
2
2
2
21(1)()AB k x x ∴=+-2222
222
3612(1)(1)(31)31k m m k k k ??-=+-??++??
22222222212(1)(31)3(1)(91)
(31)(31)k k m k k k k ++-++==++
2422212121233(0)34196123696k k k k k k =+=+≠+=++?+++≤。当且仅当2
2
19k k =
，即k =时等号成立。当0k =
时，AB =，综上所述max 2AB =。∴当AB 最大时，AOB △
面积取最大值max 12S AB =?=。 题型七：弦或弦长为定值问题
例题
+=.
2p kx py
消去＝x p ∴当H ，则）点的坐标为（
2,2,11p y x O PQ H O +'⊥'2121)(2121p y x AC P O -+==' ＝22
12
1p y +.
,22
1
211p y a p y a H O --=+-
='2
22H
O P O PH '-'=∴=
21221)2(41)(41p y a p y ---+＝),()2(1a p a y p
a -+- 22)2(PH PQ =∴=.)()2(42??
????-+-a p a y p a
令
a
解
式
得
AB ＝2.222p
,
0)1=y P （x 令a 例题
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若2
·1cos PM PN MPN
-∠＝
,求点P 的坐标.
解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴
b
=， 所以椭圆的方程为22
1.95
x y += (Ⅱ)由2
,1cos PM PN MPN
=
-得 cos 2.PM PN MPN PM PN =-①
因为c o s 1,M P N P
≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形.在△PMN 中4,MN =由余弦定理有
cos PN MPN 2).PN -
为焦点，实轴长为23的双曲线由(
足AP QB AQ PB =，证明：点解 22211c ?=?
?+=(2),,,AP PB AQ QB 均不为零，记
AP AQ PB
QB
λ=
=
,则λ,PB AQ QB λ=于是4x =
，
1211y y λλ-=- 121x x λ+=+， 12
1y λ=+从而
12241x λ=-，（1）
222
12
2
1y y y λλ-=-，（2）
又点A 、B 在椭圆C 上， 22
1124,
(3)x y += 22
2224,
(4)x y +=（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y +=
即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上
,,,PA PB AQ QB 均不为零。且PA PB AQ
QB
=
又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是1141,11x y
x y λλλλ
--=
=
--（1） 2241,11x y x y λλλλ
++=
=
++（2）由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程22
24,x y +=整理得
2
(x +(4)－设1F 值；l 解：
1PF ?因为为椭圆短轴端点时，PF PF ?有最小值时，，所以(13,0F -2
2
2
1212
1cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-?=??∠=??
?1
2?=?
?联立222
14y kx x y =-???+=??，消去y ，整理得：22
14304k x kx ??+++= ???∴12122243,1144
k x x x x k k +=-?=++ 由()2
2
14434304k k k ?
??=-+
?=-> ?
?
?
得：2k <或2k >-
又0
0090cos 000A B A B OA OB <∠??>∴12120OA OB x x y y ?=+>
又()()()2
121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++2
2
223841144
k k k k -=++
++
2211
4k k -+=+
∵223
1
11k k -+2（I A,B,且
OA 解:（所以
（2）为y 2
80m -=, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则△11x x ?
+??????
2
2
212121212222
()()()121212y y kx m kx m k x x km x x m m k k k =++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥,需使
12120x x y y +=,即22222
28801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=,所以223808
m k -=≥又22
840k m -+>,所以22
238
m m ?>?≥?,所以2
83m ≥,即m ≥或m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径
为r=,
22
2
2
2
8
38
13
1
8
m m
r
m
k
===
-
+
+
,r=,所求的圆为22
8
3
x y
+=,此时圆的切线y kx m
=+
都满足m≥
或m≤,而当切线的斜率不存在时切线
为x=±与椭圆
22
1
84
x y
+=的两个交点
为
22
8
|
=