第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)

第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2010

(150分钟)

一、（25分，每小题5分）

（1）设22(1)(1)(1),n

n x a a a =+++ 其中||1,a <求lim .n n x →∞ （2）求2

1lim 1x x x e x -→∞??+ ???。 （3）设0s >，求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞

-==? 。

（4）设函数()f t

有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ??== ???，求2222g g x y ??+??。 （5）求直线10:0

x y l z -=??=?与直线2213:421x y z l ---==--的距离。 解：（1）22(1)(1)(1)n n x a a a =+++ =22(1)(1)(1)(1)/(1)n n x a a a a a =-+++-

=222(1)(1)(1)/(1)n a a a a -++- = =1

2(1)/(1)n a a +-- 1

2lim lim(1)/(1)1/(1)n n n n x a a a +→∞→∞=--=-∴ (2) 2

2211ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x x x x x x e e e x -++--→∞→∞→∞??+== ??? 令x=1/t,则

原式=21(ln(1))

1/(1)112(1)220

00lim lim lim t t t t t t t t t e e e e +-+---+→→→=== （3）0000112021011()()[|](1)!!sx

n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞∞∞---∞-∞----+==-=--=-=====???? （4）略（不难，难得写）

（5

二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且

()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞→-∞

''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根。

解：（简要过程）

二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。

将f(x)二阶泰勒展开

'''

2()()(0)(0)2f f x f f x x ξ=++ 因为二阶倒数大于0，所以

lim ()x f x →+∞=+∞，lim ()x f x →-∞

=-∞ 证明完成。

三、（15分）设函数()y f x =由参数方程2

2(1)()

x t t t y t ψ?=+>-?=?所确定，其中()t ψ具有二阶

导数，曲线()y t ψ=与22132t u y e du e

-=+?在1t =出相切，求函数()t ψ。 解：（这儿少了一个条件22d y dx

= ）由()y t ψ=与22132t u y e du e -=+?在1t =出相切得 3(1)2e ψ=，'2(1)e

ψ= '//()22dy dy dt dx dx dt t t

ψ==+ 22d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)

2)2()d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t ψψ==++-=。。。 上式可以得到一个微分方程，求解即可。

四、（15分）设10,,n

n n k k a S a =>=

∑证明： （1）当1α>时，级数1n n n

a S α+∞=∑收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数

1n n n a S α+∞=∑发散。 解：

（1）n a >0, n s 单调递增

当1n n a ∞=∑收敛时，1n n n a a s s αα< ，而1n a s α收敛，所以n n

a s α收敛；

当1n n a

∞=∑发散时，

lim n n s →∞

=∞ 111n n n n s s n n n s s n n n a s s dx dx s s s x

αααα----==

∞==<+=+∑∑?? 而1111111111lim 11

n

s n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--?，收敛于k 。 所以，1n n n

a s α∞=∑收敛。 （2）lim n n s →∞=∞

所以1n n a

∞=∑发散，所以存在1k ，使得

112k n n a a =≥∑ 于是，11

1122212k k k n n n n n k a a a s s s α≥≥≥∑∑∑ 依此类推，可得存在121...k k <<< 使得112i i k n k n

a s α+≥∑成立 所以112N k n n

a N s α≥?∑ 当n →∞时，N →∞ 所以1n n n

a s α∞=∑发散 五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球

222

222

1x y z a b c ++≤，其中（0,c b a <<<密度为1）绕l 旋转。 （1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。

解：

（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离

2222222(1)(1)(1)222d x y z xy yz zx αβγαββγγα=-+-+----

0xydV yzdV zxdV ΩΩΩ

===?????????

222222

22223214(1)15c c

c c x

y z a b c z z dV z dz dxdy ab z dz abc c ππ--Ω+≤-==-=??????? 由轮换对称性，

232344,1515x dV a bc y dV ab c ππΩΩ

=

=?????? 2232323444(1)

(1)(1)151515I d dV a bc ab c abc απβπγπΩ

==-+-+-??? 2222224[(1)(1)(1)]15

abc a b c παβγ=

-+-+- （2）a b c >>

∴当1γ=时，22max 4()15

I abc a b π=+ 当1α=时，22min 4()15I abc b c π=+ 六、(15分)设函数()x ?具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422()c

xydx x dy x y ?++? 的值为常数。 （1）设L 为正向闭曲线22(2)1,x y -+=证明422()0;c

xydx x dy x y ?+=+? （2）求函数()x ?；

（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求

422()c

xydx x dy x y ?++? 。 解：

（1） L 不绕原点，在L 上取两点A ，B ，将L 分为两段1L ，2L ，再从A ，B 作一曲线3L ，

使之包围原点。

则有

1323

4242422()2()2()L L L L L xydx x dy xydx x dy xydx x dy x y x y x y ???-+++++=-+++??? （2） 令4242

2(),xy x P Q x y x y ?==++ 由（1）知0Q P x y

??-=??，代入可得 '42352()()()422x x y x x x xy ??+-=-

上式将两边看做y 的多项式，整理得

2''4325()()()4(2)2y x x x x x y x x ???+-=-+

由此可得

'()2x x ?=-

'435()()42x x x x x ??-=

解得：2()x x ?=-

（3） 取'

L 为424x y ξ+=，方向为顺时针 0Q P x y

??-=?? '''4242422

42()2()2()12c c L L L xydx x dy xydx x dy xydx x dy x y x y x y xydx x dy ???πξ-

-++++∴=++++=-=???? （最后一步曲线积分略去，不知答案对不对）