2008年全国初中数学竞赛试题

2008年全国初中数学竞赛试题

一、选择题

1、已知实数x ，y 满足

42423x x -=，423y y +=，则444y x

+的值为（ ）。

A 、7

B 、12

C 、72

+ D 、5 ［答］A 解：因为2x ＞0，2y ≥0，由已知条件得

21x ==2y ==， 所以 444y x +＝2222223367y y x x

++-=-+=

2、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）。

A 、512

B 、49

C 、1736

D 、12 ［答］C 解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数，由题意知△＝24m n -＞0，即

24m n 通过枚举知，满足条件的m ，n 有17对，故1736

p = 3、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（ ）。

A 、6条

B 、8条

C 、10条

D 、12条

［答］B 解：如图，大圆周上有4个不同的点

A 、

B 、

C 、

D ，两两连线可以确定6条不

同的直线；小圆周上的两个点E 、F 中，至

少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与

BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，

至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线，

从而这6个点可以确定的直线不少于8条。

当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线，

所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。

4、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）。

A 、2

a B 、1 C 、2 D 、a ［答］B 解：如图，连接OE ，OA ，OB ，设∠D ＝a ，则 ∠ECA ＝120°－a ＝∠EAC 又因为∠ABO ＝

11(601802)12022ABD a a ∠=?+?-=?- 所以 △ACE ≌△ABO ，于是AE ＝OA ＝1

5、将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）。

A 、2种

B 、3种

C 、4种

D 、5种

［答］D 解：设12345,,,,a a a a a 是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列，

首先，对于1234,,,a a a a ，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾。 又如果1a （1≤i≤3）是偶数，11a +是奇数，则12a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数。

所以12345,,,,a a a a a 只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：

2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3；

4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1。

二、填空题

6、对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u *v ＝uv ＋v ，若关于x 的方程1()4x a x **=-

有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 。

［答］a ＞0，或a ＜－1 解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04

a x a x ++++=， 依题意有210,(1)(1)0,a a a +≠???=+-+?

解得，a ＞0，或a ＜－1 7、小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是

分钟。

［答］4。 解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米。

每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则66x y s -= ①

每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则33x y s += ②

由①，②可得4s x =，所以4s x

= 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟。 8、如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝11，点M 是BC 的中点，AD 是

∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 。

［答］9。解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，

则MN ∥AB 又MF ∥AD ，

所以∠FMN ＝∠BAD ＝∠DAC ＝∠MFN ，

所以FN ＝MN ＝

12

AB ， 因此FC ＝FN ＋NC ＝12AB ＋12AC ＝9。

9、△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心l 作DE ∥BC ，分别与AB 、AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 。 ［答］

163

解：如图，设△ABC 的三边长为,,a b c ， 内切圆l 的半径为r ，BC 边上的高为a h ，则

11()22a ABC ah S a b c r ?==++，所以 a r a h a b c =++， 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例， 因此

,a a h r DE h BC

-= 所以DE ＝()(1)(1)a a a h r r a a b c a a a h h a b c a b c -+?=-=-=++++故 DE ＝8(79)168796?+=++。10、关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 。

［答］48,32,x y =??=? 160,32x y =??=?

解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数。

设：2,2,x a y b ==则22104()a b a b +=-，

同上可知，,a b 都是偶数，设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，

所以，,c d 都是偶数，设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，

于是 222(13)(13)213s t -++=?，其中,s t 都是偶数。

所以 222222(13)213(13)2131511s t -=?-+≤?-

所以｜s －13｜可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337,329,313,289,257，故只能是2(13)t +＝289，从而｜s －13｜＝7，于是6,4;s t =??=? 20,4,

s t =??=? 因此48,32,s y =??=? 160,32s y =??=?

三、解答题

11、已知一次函数12y x =，二次函数221y x =+，是否存在二次函数c bx ax y ++=23，其图象经过点（－5,2），且对于任意实数x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值12,y y ，3y ，都有123y y y ≤≤成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，请说明理由。

解：存在满足条件的二次函数。

因为222122(1)21(1)0y y x x x x x -=-+=-+-=--≤，所以，当自变量x 取任意实数时，12y y ≤均成立。

由已知，二次函数c bx ax y ++=23的图象经过点（－5,2），得

2552a b c -+= ①

当1x =时，有122y y ==，3y a b c =++

由于对于自变量x 取任实数时，132y y y ≤≤均成立，所以有2≤a b c ++≤2，

故 2a b c ++= ②

由①，②，得4b a =，25c a =-，所以234(25).y ax ax a =++- ……5分

当13y y ≤时，有224(25)x ax ax a ≤++-，即2(42)(25)0ax a x a +-+-≥

所以，二次函数2(42)(25)y ax a x a =+-+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故

20(42)4(25)0a a a a ??---≤? 即20,(31)0,

a a ??-≤? 所以13a = 当23y y ≤时，有224(25)1ax ax a x ++-≤+，即2(1)4(51)0a x ax a --+-≥，

所以，二次函数2(1)4(51)y a x ax a =--+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故

210,(4)4(1)(51)0,a a a a -??----≤? 即21,(31)0,

a a ??-≤? 所以13a = 综上，141,4,25333

a b a c a ====-= 所以，存在二次函数23141333

y x x =++，在实数范围内，对于x 的同一个值，都有132y y y ≤≤成立。 ……………15分

12、是否存在质数,p q ，使得关于x 的一元二次方程2

0px qx p -+=有有理数根？

解：设方程有有理数根，则判别式为平方数。

令△＝2224q p n -=，其中n 是一个非负整数，则2()()4q n q n p -+=……5分

由于1q m q n ≤-≤+且q n -与q n +同奇偶，故同为偶数。因此，有如下几种可能情形： 22,2,q n q n p -=??+=? 24,,q n q n p -=??+=? ,4,q n p q n p -=??+=? 2,2,q n p q n p -=??+=? 2,4.

q n p q n ?-=?+=?

消去n ，解得2

1q p =+，222p q =+，52p q =，2q p =，2

22

p q =+……10分 对于第1,3种情形，2p =，从而5q =；对于第2,5种情形，2p =，从而4q =（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q 是合数（不合题意，舍去）。

又当2,5p q ==时，方程为22520x x -+=，它的根为121,22x x ==，它们都是有理数。 综上有述，存在满足题设的质数。 ………15分

13、是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC ？证明你的结论。

解：存在满足条件的三角形。

当△ABC 的三边长分别为6,4,5a b c ===时，∠A ＝2∠B ，

如图，当∠A ＝2∠B 时，延长BA 至点D ，使

AD ＝AC ＝b ，连接CD ，则△ACD 为等腰三角形。

因为∠BAC 为△ACD 的一个外角，所以

∠BAC ＝2∠D ，由已知，∠BAC ＝2∠B ，所以

∠B ＝∠D ，所以△CBD 为等腰三角形。

又∠D 为△ACD 与△CBD 的一个公共角，

有△ACD ∽△CBD ，于是

AD CD CD BD =，即 b a a b c

=+，所以2().a b b c =+ 而264(45),=?+所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形。

说明：满足条件的三角形是唯一的。

若∠A ＝2∠B ，可得2()a b b c =+，有如下三种情形；

(i)当a c b 时，设1,,1a n c n b n =+==-（n 为大于1的正整数），

代入2()a b b c =+，得2(1)(1)(21)n n n +=--，解得5n =，有6,4,5a b c ===；

(ii)当b a c 时，设1,,1c n a n b n =+==-（n 为大于1的正整数），

代入2()a b b c =+，得2(1)2n n n =-?，解得2n =，有2,1,3a b c ===，此时不能构成三角形； (iii)当a b c 时，设1,,1a n b n c n =+==-（n 为大于1的正整数），

代入2()a b b c =+，得2(1)(21)n n n +=-，即2

310n n --=，此方程无整数解。

所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件。

14、已知有6个互不相同的正整数126,,,a a a ，且126a a a ，从这6个数中任意取出3个数，分别设为,,i j k a a a ，其中i j k ，记123(,,)i j k

f i j k a a a =++。 证明：一定存在3个不同的数组(,,)i j k ，其中16i j k ≤≤ ，使得对应着的3个(,,)f i j k 两两之差的绝对值都小于0.5。

证明：在6个正整数中任意取出3个数共有20种取法，从而确定了20个数组(,,)i j k ，

由于012312313(,,)3213

i j k f i j k a a a =

++≤++= …………5分 把数轴上的点0到点133

分成如下9个部分； 012x ≤ ，112x ≤ ，312x ≤ ，322x ≤ ，522x ≤ ，532

x ≤ ， 732x ≤ ，742x ≤ ，1343x ≤ 由于20＝9×2＋2，由抽屉原则知，在上述9个部分中，一定有一个至少含有3个(,,)f i j k ，从而，这3

f i j k两两之差的绝对值都小于0.5。个(,,)