江西省南昌二中、临川一中2017届高三下学期期中联考数学(理科)试题含答案

高三联考数学（理科）试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{

}

2

340M x x x =--≤，集合{}

ln 0N x x =≥，则M N ?=（ ） A. {}14x x ≤≤ B. {}1x x ≥ C. {}14x x -≤≤ D. {}

1x x ≥- 2. 若复数z 满足2015z z i ?=-，则z 为（ ） A.43i + B.43i - C.34i + D. 34i -

3. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：42,43,46,52,42,50,若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都减5后所得数据，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．平均数 B ．标准差 C ．众数 D ．中位数

4. 在ABC ?中，11

tan ,tan 23

A B =

=，则tan C =（ ）

A.1-

B. 1 D.2-

5. 如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球o 的球面上，则球o 的表面积为（ ）

A.50π

B.25π

C. 75π

D.100π

6.2cos 0444x x x m -≥对于,33ππ??

?∈-????

x 恒成立，则实数m 的取值范围是

（ ）

A ．(,-∞

B ．,2?-∞ ??

C ．2?

D ．)

+∞

7. 设,m n R ∈，若直线2mx ny +=与圆22

1x y +=相切，则m n +的取值范围是（ ）

A.[]2,2-

B. (][),22,-∞-?+∞

C.?-?

D.(

)

,?-∞-?+∞?

8.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如下图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入

6102,2016a b ==时，输出的a =（ ）

A. 6

B. 9

C. 18

D. 54

9. 已知函数1

()),(0,),(,0)23

f x x A π

ω?ω?=+><

为()f x 图像的对称中心，若该图像上相邻两条对称轴间的距离为2，则()f x 的单调递增区间是( )

A.24(2,2),33

k k k Z -

+∈ B.24(2,2),33k k k Z ππ

ππ-+∈ C. 24(4,4),33

k k k Z -+∈ D.24(4,4),33k k k Z ππ

ππ-+∈

10. 如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点,C D 的动点，将ADE ?沿AE 翻折成SAE ? ，

使得平面SAE ⊥平面ABCE ，则下列说法中正确的有( )

①存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ； ②平面SBC 内存在直线与SA 平行 ③平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行； ④存在点E 使得SE BA ⊥．

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

11. 等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2

120dx a x +≥的解集为[]0,9，则使数列{}n a 的前n

项和n S 最大的正整数n 的值是（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

12. 已知函数2

()ln f x a x bx =-，,a b R ∈.若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2

(,]x e e ∈都成立，则a 的取值范围是（ ）

A ．[,)e +∞

B ．2[,)2e +∞ C. 22[,)2

e e D ．2

[,)e +∞

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13. 若向量,a b 满足2,3a b ==,且(+b a b ⊥）则a 与b 的夹角为

14.6

()(2)x y x y z -++的展开式中，2

23x

y z 项前的系数为

15. 已知数列{}n a 的通项公式5n a n =-，其前n 项和为n S ，将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 前n 项和为n T ，若存在*∈m N ，使对任意

*∈n N ，总有n m S T λ<+恒成立，则实数λ的取值范围是

16. 下列命题正确的是

①若函数()y f x =满足(1)(1)f x f x -=+，则函数()f x 的图像关于直线1x =对称；

②在线性回归分析中，相关系数()()

n

i

i

x x y

y

r --=

∑且r 越接近于1，该组数据的线性相

关程度越大；

③在△ABC 中，AB ?BC ＞0是△ABC 为钝角三角形的充要条件； ④命题“x R ?∈，ln 0x x ->”的否定是“0x R ?∈，00ln 0x x -<”； ⑤由样本数据得到的回归方程y bx a =+必过样本点的中心()

y x ,.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. (本题满分12分)如图，在ABC ?中，2AB =，1

cos 3

B =

，点D 在线段BC 上．

（1）若2BD DC =，ACD ?AC 的长； （2）若23

ADC π

∠=，求三角形ABD 的面积ABD S ?.

18(本题满分12分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面

11A ADD ⊥底面ABCD ，11D A D D ==ABCD 为直

角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，

O 为AD 中点．

（1）求证：1

//AO 平面1AB C ； （2）求直线1B C 与平面11C CDD 所成角的正弦值.

19. (本题满分12分)甲、乙两学校各派出3名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员进行第一局比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员进行第二局比赛，……,直到一方队员全被淘汰为止，已知甲队的1号与乙队的1、2、3号队员比赛获胜的概率分别为4

3、32、21

，甲队的2号与乙队的1、2、3号队员比赛获胜的概率分别为

32、21、3

1

. （1）在所有的比赛过程中，甲队的1号、2号队员都只参加一局比赛的概率；

（2）在所有的比赛过程中，将甲队1号、2号队员一共参加了的比赛的局数作为随机变量ξ，求ξ的

分布列与期望

20. (本题满分12分) 过原点O 作斜率为11(0)k k ≠的直线l 交抛物线

2

1:14

y x Γ=

-于,A B 两点， （1）当11k =时，求

11OA OB

+的值； (2)已知(0,3)M ，延长AM 交抛物线Γ于C 点，延长BM 交抛物线Γ

于D 点。记直线CD 的斜率为2k ，问是否存在实数λ，都有21k k λ=成立，如果存在，请求出λ的值；如果不存在，请说明理由.

21. (本题满分12分)已知函数1

()(1)ln x f x a e x a a

=-+-

(0a >且1)a ≠，

e 为自然对数的底数。 (1)当a e =时，求函数()y

f x =在区间[]0,2x ∈上的最大值； (2) 若函数()f x 只有一个零点，求a 的值。

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

22. (本题满分10分)已知直线l 的参数方程为12t x y ?

=+

???=?

（t 为参数）．在以坐标原点为极点,x 轴

非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的方程为:2

sin cos 0θθ=．

（1）求曲线C 的直角坐标方程；

（2）写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标(0,02)ρθπ>≤<．

23．(本题满分10分)设函数()2,0f x x a x a a =-++>.

（1）当1,a =时，求()f x 的最小值； （2）（2）若关于x 的不等式5

()f x a x

<

+在[]1,2x ∈上有解，求实数a 的取值范围.

13. 【答案】

6

14.【答案】120 15.【答案】2λ> 16.【答案】⑤

17. 解：（1）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ??=，3ABC ADC S S ??=，

又ADC S ?=ABC S ?=3分 ∵1

sin 2

ABC

S AB BC ABC ?=∠，∴6BC =， 在ABC ?中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠．

∴AC =………………5分

（2）在三角形中，∵1

cos 3

B =，∴sin B =．………………6分

在ABD ?中，由正弦定理得

sin sin AB AD ADB B

=

∠，

又2AB =，3

ADB π

∠=

，sin B =

．∴．AD =………………9分

22sin sin()336BAD B BAD B ππ∠=

-∴∠=-=

1sin 227

?∴=

???∠=ABD S AB AD BAD …………12分

18. 解析：（1）如图，连接CO 、1A O 、AC 、1AB ， 则四边形ABCO 为正方形，所以11OC AB A B ==， 所以四边形11A B CO 为平行四边形，所以11//A O B C ，

又1AO ?平面1AB C ，1B C ?平面1AB C ， 所以1

//AO 平面1AB C ．…………6分 （2）因为11D A D D =，O 为AD 中点，所以1D O AD ⊥， 又侧面11A ADD ⊥底面ABCD ， 所以1D O ⊥底面ABCD ，

以O 为原点，OC 、OD 、1OD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的坐标系，则(1,0,0)C ，(0,1,0)D ，1(0,0,1)D ，(0,1,0)A -，1(0,2,1)A -

所以(1,1,0)DC =-，1(0,1,1)DD =-，1(0,1,1)D A =--，11(1,1,0)DC =-， 设m (,,)x y z =为平面11C CDD 的一个法向量， 由m DC ⊥，1m DD ⊥，得0,

0,x y y z -=??

-+=?

令1z =，则1y =，1x =，∴(1,1,1)m =， 由(1)知11//B C A O ,所以直线1A O 与平面11C CDD 所成的角和直线1B C 与平面11C CDD 所成的角相等.记直线1B C 与平面11C CDD 所成的角为θ, 且1(0,2,1)OA =-

,

11sin 5OA m OA m

θ?∴=

=

=

?, 所以,直线1B C 与平面11C CDD 所成角的正弦值是15

.…………12分 19． 解：(1) 321

(1)(1),4312

p =--=

……………………（4分） (2) 设i A )3,2,1(=i 表示甲学校1号队员参赛了i 局，i B )3,2,1(=i 表示甲学校2号队员参赛了i 局，ξ可能的取值为2,3,4; 12

1

3141)()2(11=?=

==B A P P ξ；……………………………………（6分） 30211232131112111

(3)()43243243224

P P A B A B A B ξ==++=??+??+??=

；………（8分） 24

11213241213143213243)()4(312213=??+??+??=

++==B A B A B A P P ξ…（10分）

8

27

)(=

ξE …………………………（12分）

20. 解： (1)2114

y x y x =???=-??消去y 得2

440x x --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，

则12124,4x x x x +==-，12,x x 一正一负

11OA OB +==

1=

=

=

= …………5分 (2)12114

y k x y x =???=-??消去y 得21440x k x --=，2116160k ?=+>恒成立

设1122(,),(,)A x y B x y ，则121124,4x x k x x +==-， 设3344(,),(,)C x y D x y ， 直线AM 方程为1133y y x x -=

+代入21

14

y x =-得21131404y x x x ---=， 由韦达定理知1316x x =-，所以31

16

x x -= 同理，42

16

x x -=

所以34234341

()4

CD y y k k x x x x -==

=+-

1211212

4()11616

()44x x k x x x x -+--=

+== 即214k k =,

4λ∴= …………12分

21. (1) 当a e =时，1()(1)x f x e e x e

=-+-

， ()x

f x e e '=-令()01f x x '=?=， (0,1)x ∈时，()0f x '<，(1,2)x ∈时，()0f x '>，

{}max ()max (0),(2),f x f f ∴=而211

(0)1,(2)3,f e f e e e e

=--=--

即2max 1

()(2)3.f x f e e e

==-- …………6分 (2) 1()(1)ln x f x a e x a a

=-+-

，

()ln ln ln ()x x f x a a e a a a e '=-=-

令()0f x '=，得log a x e =，则 （1）当1a >时，ln 0a >

所以当log a x e =时，()f x 有最小值min ()(log )ln a f x f e e a a

==--

因为函数()f x 只有一个零点，且当x →-∞和x →+∞时，都有()f x →+∞ 所以min 1()ln 0f x e a a =--

=，即1

ln 0e a a

+= 因为当1a >时，ln 0a >，所以此方程无解 （2）当01a <<时，ln 0a <

所以当log a x e =时，()f x 有最小值min ()(log )ln a f x f e e a a

==--

因为函数()f x 只有一个零点，且当x →-∞和x →+∞时，都有()f x →+∞ 所以min 1()ln 0f x e a a =--=，即1

ln 0e a a

+=(01)a <<()* 设1()ln g a e a a =+

(01)a <<，则2211()e ae g a a a a -'=-=，

令()0g a '=，得1

a e

= 当10a e

<<

时，()0g a '<；当1

a e >时，()0g a '>；

所以当1a e =

时，min 11

()()ln 0g a g e e e e

==+= 所以方程()*有且只有一解1

a e

= 综上，1

a e

=

时函数()f x 只有一个零点 …………12分

22. 解:（1

）∵222

sin cos 0sin cos 0θθρθθ=∴=，

即2y =.…………5分

（2

）将12t x y ?=+?

?

?=?

代入2y =

2(1)2t =+即0t =,

从而，交点坐标为. 所以，交点的一个极坐标为(2,)3

π

.…………10分

23. 解：（1）当1,a =时，

1113

()21110()(1),2222

f x x x x x x x x =-++=-

+-++≥+--+= 当且仅当1

2

x =

时，取等号. …………5分 （2）[]1,2x ∈时，5

()f x a x

<+,

55

22x a x a a x a x a a x x -++<+?-++<+,

555

23x a x x a x x x x

?-<-?-<<+,

因为[]1,2x ∈时53x x -的最小值为2-，5

x x

+的最大值为6，所以26a -<<，又因为

0a >，所以06a <<.…………10分