人教版-九年级-数学上弧、弦、圆心角-PPT课件剖析

人教版-九年级-数学上弧、弦、圆心角-PPT课件剖析
人教版-九年级-数学上弧、弦、圆心角-PPT课件剖析

弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解(基础)

弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解(基础) 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念; 2.理解圆周角定理及其推论,能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题; 3.掌握在同圆或等圆中,三组量:两个圆心角、两条弦、两条弧,只要有一组量相等,就可以推出其它 两组量对应相等,及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 3.推论: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等. 要点诠释: (1)一个角要是圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征; (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点二、圆周角 1.圆周角定义: 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2.圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 要点诠释: (1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4.圆内接四边形: (1)定义: 圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形.

(2)性质:圆内接四边形对角互补,外角等于内对角(即它的一个外角等于它相邻内角的对角).5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系: 在同圆或等圆中,弦,弧,圆心角,弦心距等几何量之间是相互关联的,即它们中间只要有一组量相等,(例如圆心角相等),那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。 *如果它们中间有一组量不相等,那么其它各组量也分别不等。 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.如图,在⊙O中,,求∠A的度数. 【答案与解析】 . 【总结升华】在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的圆周角相等,所对的 弦也相等. 举一反三: 【变式】如图所示,中弦AB=CD,求证:AD=BC. 【答案】 证法1:∵AB=CD,∴(在同圆中,相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等) ∴ ∴AD=BC(在同圆中,相等的弧所对的弦也相等) 证法2:如图,连接OA,OD,OB,OC,

弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习(提高)

弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习(提高) 【巩固练习】 一、选择题 1. 如图,在⊙O 中,若圆心角∠AOB=100°,C 是上一点,则∠ACB 等于( ). A .80° B .100° C .130° D .140° 2.已知,如图, AB 为⊙O 的直径,AB =AC ,BC 交⊙O 于点D ,AC 交⊙O 于点E ,∠BAC =45°。给出以下 五个结论:①∠EBC =22.5°;②BD =DC ;③AE =2EC ;④劣弧?AE 是劣弧?DE 的2倍;⑤AE =BC 。其中正确的有( )个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图,设⊙O 的半径为r ,弦的长为a ,弦与圆心的距离为d ,弦的中点到所对劣弧中点的距离为h ,下面说法或等式:①r d h =+ ②2 2 2 44r d a =+ ③已知r 、a 、d 、h 中任意两个,可求其它两个。其中正确结论的序号是( ) A .仅① B .②③ C .①②③ D .①③ 4.如图,在⊙O 中,弦AB 的长是半径OA 的3倍,C 为?AB 中点,AB 、OC 交于点P ,则四边形OACB 是( ) A .平行四边形 B .矩形 C .菱形 D .正方形 5.如图所示,AB 是⊙O 的直径,AD=DE ,AE 与BD 交于点C ,则图中与∠BCE 相等的角有( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 第4题图 第5题图 第6题图 6.如图所示,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,∠CDB =30°,⊙O 3cm ,则弦CD 的长为( ). A . 3 2 cm B .3cm C .23.9cm 二、填空题

垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习

垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习 1.已知:AB交圆O于C、D,且AC=BD.你认为OA=OB吗?为什么? 2. 如图所示,是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面,若油面宽AB=600mm,求油面的最大深度。 600 3. 如图所示,AB是圆O的直径,以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段?为什么? A D B O C E 4.如图所示,OA是圆O的半径,弦CD⊥OA于点P,已知OC=5,OP=3,则弦CD=____________________。 5. 如图所示,在圆O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD ⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则圆O的半径为____________cm。 6. 如图所示,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,E为垂足,若AB=9,BE=1,则CD=_________________。

C A P O D C E O A D B 7. 如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,以AC为直径作圆与斜边交于点P,则BP的长为________________。 8. 如图所示,四边形ABCD内接于圆O,∠BCD=120°,则∠BOD=____________度。 9.如图所示,圆O的直径为10,弦AB的长为6,M是弦AB上的一动点,则线段的OM的长的取值范围是() A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3<OM<5 D. 4<OM<5 10.下列说法中,正确的是() A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 11.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1:3的两条弧,则劣弧所对的圆周角等于() A. 45° B. 90° C. 135° D. 270° 12. 如图所示,A、B、C三点在圆O上,∠AOC=100°,则∠ABC 等于() A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°

九年级圆垂径定理弦弧圆心角圆周角提高练习

垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角提高练习 一、选择题 A1.有下列四个命题:①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有( ) A .4个 B .3个 C . 2个 D . 1个 A2如图,△ ABC 内接于⊙O ,D 为线段AB 的中点,延长OD 交⊙O 于点E ,连接AE ,BE ,则下列五 个结论①AB ⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C ,⑤ , 正确结论的个数是( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 A3.如图,点B 、C 在⊙O 上,且BO=BC ,则圆周角BAC ∠等于( ) A .60? B .50? C .40? D .30? A4.如图,⊙O 的直径CD ⊥AB ,∠AOC =50°,则∠B 大小为 ( ) A .25° B .35° C .45° D .65° 5. 下列说法中,正确的是( ) A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 A6、如图,AB 是⊙O 的弦,半径OA=2, 120=∠AOB ,则弦AB 的长是 ( ) (A )22 (B )32 (C )5 (D )23 B7.如图2,△ABC 内接于⊙O ,若∠OA B=28°,则∠C 的大小是( ) A .62° B .56° C .28° D .32° B8. 如图,点A 、B 、P 在⊙O 上,且∠APB=50°若点M 是⊙O 上的动 点,要使△ABM 为等腰三角形,则所有符合条件的点M 有 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 (第2题图) (第3题图) (第4题图)

弧、弦、圆心角练习题及答案

一.教学内容: 弧、弦、圆心角 二. 教学目标: 1. 使学生理解圆的旋转不变性,理解圆心角、弦心距的概念; 2. 使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论,并初步学会运用这些关系解决有关问题; 3. 使学生理解并掌握1°的弧的概念 4. 培养学生观察、分析、归纳的能力,向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律. 三. 教学重点、难点: 圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点;从圆的旋转不变性出发,推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点。 四. 教学过程设计: 1. 圆的旋转不变性 圆是轴对称图形。也是中心对称图形。不论绕圆心旋转多少度,都能够和原来的图形重合。 圆所特有的性质——圆的旋转不变性 圆绕圆心旋转任意一个角度α,都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角,弦心距的概念. 顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧AB是∠AOB所对的弧,弦AB既是圆心角∠AOB也是弧AB所对的弦. 圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。 同样还有: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都也相等。 4. 1°的弧的概念. (投影出示图7-59)

圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 这里指的是角与弧的度数相等,而不是角与弧相等。即不能写成圆∠AOB=,这是错误的。 【典型例题】 例1. 判断题,下列说法正确吗?为什么? (1)如图所示:因为∠AOB=∠A ′OB ′,所以 = . (2)在⊙O 和⊙O ′中,如果弦AB=A ′B ′,那么=。 分析:(1)、(2)都是不对的。在图中,因为不在同圆或等圆中,不能用定理。对于(2)也缺少了等圆的条件. 可让学生举反例说明。 例2. 已知:如图所示,AD=BC 。 求证:AB=CD 。 证:∵AD=BC ? ?=∴BC AD ? ???? ?+=+∴=BC AC AD AC AC AC DC AB AB DC =∴=∴? ? 变式练习。已知:如图所示, = ,求证:AB=CD 。 证:∵? ?? ?==AC AC BC AD ∴? ???+=+AC BC AC DA ? ?=∴AB DC CD AB =∴ 例3. 在圆O 中,?=∠=? ?60ACB AC AB 求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC

弧、弦、圆心角、圆周角—知识讲解(提高)

弧、弦、圆心角、圆周角—知识讲解(提高) 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念; 2.理解圆周角定理及其推论,能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题; 3.掌握在同圆或等圆中,三组量:两个圆心角、两条弦、两条弧,只要有一组量相等,就可以推出其它 两组量对应相等,及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 知识点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 3.推论: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等. 要点诠释: (1)一个角要是圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征. (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 知识点二、圆周角 1.圆周角定义: 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2.圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 要点诠释: (1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

4.圆内接四边形: (1)定义: 圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形. (2)性质:圆内接四边形对角互补,外角等于内对角(即它的一个外角等于它相邻内角的对角). 5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系: 在同圆或等圆中,弦,弧,圆心角,弦心距等几何量之间是相互关联的,即它们中间只要有一组量相等,(例如圆心角相等),那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等,那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.已知:如图所示,⊙O 中弦AB =CD .求证:AD =BC . 【答案与解析】 证法一:如图①,∵ AB =CD ,∴ AB CD =. ∴ AB BD CD BD -=-,即AD BC =, ∴ AD =BC . 证法二:如图②,连OA 、OB 、OC 、OD , ∵ AB =CD ,∴ ∠AOB =∠COD . ∴ ∠AOB -∠DOB =∠COD -∠DOB , 即∠AOD =∠BOC ,∴ AD =BC . 【点评】在同圆或等圆中,证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等,而 图中没有已知的等弧和等圆心角,必须借助已知的等弦进行推理.本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系,要证AD =BC ,只需证AD BC =或证∠AOD =∠BOC 即可. 举一反三: 【变式】如图所示,已知AB 是⊙O 的直径,M 、N 分别是AO 、BO 的中点,CM ⊥AB ,DN ⊥AB . 求证:AC BD =.

【中考冲刺】圆心角、弧、弦的关系

【中考冲刺】圆心角、弧、弦的关系

【中考冲刺】圆心角、弧、弦的关系 一、选择题(共7小题) 1.(2004?昆明)如图是中国共产主义青年团团旗上的图案,点A、B、C、D、E五等分圆,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数是() A.180°B.150°C.135°D.120° 2.(2009?永州)下列命题是真命题的是() A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B.平移不改变图形的形状和大小 C.对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 D.相等的弦所对的弧相等 3.(2008?台湾)如图,圆上有A,B,C,D四点,圆内有E,F两点且E,F在BC上.若四边形AEFD为正方形,则下列弧长关系,何者正确() A. <B.=C. < D.= 4.(2005?哈尔滨)半径为6的圆中,圆心角α的余弦值为,则角α所对的弦长等于()A.B.10 C.8D.6 5.(2000?武汉)已知下列四个命题: ①过原点O的直线的解析式为y=kx(k≠0); ②有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等; ③有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等; ④在同圆或等圆中,若圆周角不等则所对的弦也不等. 其中不正确的命题是() A.只有①②B.①②③C.①②④D.②③④

A.105°B.120°C.135°D.150° 7.(2007?江苏)如图,MN为⊙O的弦,∠M=50°,则∠MON等于() A.50°B.55°C.65°D.80° 二、填空题(共7小题)(除非特别说明,请填准确值) 8.(2010?广安)如图,在⊙O中,点C是弧AB的中点,∠A=50°,则∠BOC等于_________度. 9.(2005?武汉)长度相等的两弧是等弧._________(填“正确”或“错误”) 10.一条弧所对的圆心角为135°,弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍,则这条弧的半径为_________cm. 11.如图,⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为(0,4),M是圆上一点,∠BMO=120°.⊙C 的半径和圆心C的坐标分别是_________,_________. 12.(2010?扬州)如图,AB为⊙O直径,点C、D在⊙O上,已知∠BOC=70°,AD∥OC,则∠AOD=_________度.

第十讲-弧、弦、圆心角、圆周角

B A O B ' B A A 'O 第十讲弧、弦、圆心角、圆周角 知识点一弧、弦、圆心角的关系 【定义】、如图所示,∠AOB 的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做. 【探究】如图所示的⊙O 中,分别作相等的圆心角∠AOB?和∠A?′OB?′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置,你能发现哪些等量关系?为什么? 相等的弦:;相等的弧: 【探究】在等圆中,相等的圆心角是否也有所对的弧相等,所对的弦相等呢? 如图1,在⊙O 和⊙O ′中,?分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2,滚动一个圆,使O 与O ′重合,固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA 与O ′A ′重合. 你能发现哪些等量关系?说一说你的理由? 因此,我们可以得到下面的定理: 【归纳】 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧,所对的弦。 几何语言: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的相等,?所对的也相等. 几何语言: 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的相等,?所对的也相等. 几何语言: 【辨析】 定理“在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等”中,可否把条件“在同圆或等圆中”去掉?为什么?你能举出反例吗? 【拓展】 如图,在⊙O 中,AB 、CD 是两条弦. (1) 如果AB=CD ,那么______,________ (2) 如果弧AB=弧CD ,那么______,_______ (3) 如果∠AOB=∠COD ,那么______,_______ (4) 如果AB=CD,OE ⊥AB ,OF ⊥CD,OE 与OF 相等吗? (5)如果OE=OF ,那么与的大小有什么关系?AB 与CD 的大小有什么关系??为什么?∠AOB 与∠COD 呢? 【归纳】:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也 。 【应用】 例、如图,在⊙O 中,AB=AC ∠ACB=60 °,求证∠AOB=∠BOC=∠AOC . 方法小结:圆中证明圆心角相等,可通过证明__________ 例、如图,AB 是⊙O 的直径,BC =CD =DE ,∠COD=35 °,求∠AOE 的度数。 O(O ') O ' O B A ' B B O(O ') O ' O B A A A 'A B CD O B A C E D F

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆心 弧 弦 弦心距之间的关系 [知识要点归纳] 1. 圆不但是轴对称图形,而且也是中心对称图形,实际上圆绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。 4. 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意:要正确理解和使用圆心角定理及推论。 例1. 例2. A C .. 例3. 例4.

【模拟试题】 一. 选择题。 1. 在⊙O 与⊙O'中,若∠=∠AOB A O B '''中,则有( ) A. AB A B ?=? '' B. AB A B ?>?'' C. AB A B ??2 C. AB CD ? B. OM ON = C. OM ON < D. 无法确定 6. DAC 二. 1. 2. 3. 4. 弦CD 的弦心距OF =_______cm ,弦CD 的长为________cm 。 5. 已知⊙O 的半径为5cm ,过⊙O 内一已知点P 的最短的弦长为8cm ,则OP =_______。 6. 已知A 、B 、C 为⊙O 上三点,若AB BC CA ??? 、、度数之比为1:2:3,则∠AOB = _______,∠BOC =________,∠COA =________。 7. 已知⊙O 中,直径为10cm ,AB ?是⊙O 的1 4 ,则弦AB =_________,AB 的弦心距= _________。

圆:弧弦圆心角圆周角关系经典练习

1.半径为6cm 的圆中,垂直平分半径OA 的弦长为 cm. 2. 过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ,最短的弦长为4cm ,则OM 的长等于 cm 3.将半径为2cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O ,则折痕AB 的长为 4.一个拱形石桥,跨度为8米,拱高8米,那么这拱形石桥所在圆的半径是___________米 5. 某地有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部 为方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗? 1.下列说法中正确的是( ). A .相等的圆心角所对的弧相等 B .等弧所对的圆心角相等 C .相等的弦所对的弦心距相等 D .弦心距相等,则弦相等 2. 在两个半径不同的圆中,分别有 和,若和的度数相等,那么下面结论中正确的是( ). A .= B .和所对的两个圆心角相等 C . 所对的弦和所对的弦相等 D . 和 所对的弦的弦心距相等 3. 在⊙O 中,弦AB 所对的劣弧为圆的 3 1 ,圆的半径为4cm ,则弦AB 的长是( ). A .3cm B .2cm C .32cm D .34cm 4半径为4cm ,120°的圆心角所对的弦长为( ) A. 5cm B. 43cm C. 6cm D. 33cm CD ? ,则∠DAC 的度数是( ) A. 70° ) A. CD ? 3∶2∶5,则∠AOC= °,E ∠,则A B +=∠∠ o. 10. 如图3,已知⊙O 中,30C ∠=,2cm AB =,则⊙O 的半径为 cm . 11,如图4,已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A 、B 、C 。用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M 的位置; 强化练习: 12. 如图5,所示,AB 是⊙O 的直径,AD =DE ,AE 与BD 交于点C ,则图中与∠BCE 相等的角有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5 个 A B M N E F C D

弦、弧、圆心角、圆周角

第1题. (2005 大连课改)如图,A C B 、、是O 上三点,若 40AOC ∠= ,则的度数是 ( ) A.10 B.20 C.40 D.80 答案:B 第2题. (2005 泉州课改)如图,O 为ABC △的外接圆,AB 为直径,AC BC =,则A ∠的度数为( ) A.30 B.40 C.45 D.60 答案:C 第3题. (2005 桂林课改)如图,已知AB ,CD 是O 的两条直径且50AOC ∠= ,过A 作AE CD ∥交O 于E ,则 AE 的 度数为( ) A.65 B.70 C.75 D.80 答案:D 第4题. (2005 南宁课改)如图,在O 中, 50BOC OC AB ∠= ,∥.则BDC ∠ 的度数为 . 答案:75 第5题. (2005 江西课改)如图,在 90O AOB ACB ∠=∠= 中,,则 度. 答案:135 第6题. (2005 聊城课改)如图,圆心角∠AOB =120?,P 是 AB 上任一点(不与A ,B 重合),点C 在AP 的延长线上,则∠BPC 等 于 ( ) A.45? B.60? C.75? D.85? 答案:B ABC ∠ A E D O C B B

第7题. (2005 成都课改)如图,点D 在以AC 为直径的O 上, 如 果 20BDC ∠= ,那么ACB ∠= . 答案:70 第8题. (2005 海淀课改)如图,C O 是上一点,O 是圆心.若35C ∠= ,则AOB ∠的度数为 A.35 B.70 C.105 D.150 答案:B 第9题. (2005 安徽课改)下列图中能够说明12∠>∠的是( ) A B C D 答案:B 第10题. (2005 泉州大纲)如图,点A ,B ,C ,D 在O 上,若30BDC ∠= ,则BAC ∠=_________度. 答案:30 第11题. (2005 吉林大纲)如图,AB 是O 的直径,60CAB ∠= , 则D ∠= 度. 答案:30 第12题. (2005江西大纲)如图,在 2 1 1 2 C

圆的确定,圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系

儒洋教育学科教师辅导讲义 课 题 圆的确定,圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系 教学目的 1、圆的确定 2、圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系 教学内容 第一部分:圆的确定 一、知识点梳理 1、与圆有关常用的公式:周长:2c R π= 面积2 s R π= 弧长180 n R l π= 扇形面积2 360 n R l π= 2、圆的定义 ① 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。定点是圆心,定长是圆的半径。 ② 在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 随之旋转所形成的图形(运动观点) 注:圆心半径确定圆的大小;圆心确定圆的位置。 同心圆:圆心相等、半径不同的两个圆。 等圆:半径相同、圆心不同的两个圆。 圆既是轴对称图形(经过圆心的任一条直线都是对称轴),又是中心对称图形(圆心是对称中心)。 3、点与圆的位置关系 点P 与圆心的距离为d ,则点在直线外?r d >; 点在直线上?r d =; 点在直线内?r d <。 4、重要定理:不在同一直线上的三点确定一个圆。 5、三角形的外心和内心 (1)三角形的外心:三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心就是三角形三边的 垂直平分线的交点,叫做三角形的外心. (2)三角形的内心:和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交 点,叫做三角形的内心 思考:(1)如何作三角形的外接圆?如何找三角形的外心? (2)三角形的外心一定 在三角形内吗? (3)如何作三角形的内切圆?如何找三角形的内心?

6、多边形与圆 如果一个圆经过一个多边形的各顶点,那么这个圆叫做这个多边形的外接圆,这个多边形叫做这个圆的内接多边形, 提示:1、与圆的确定有关的两个图形一定要学生重点理解。 2、补充两个知识点:线段垂直平分线的性质和角平分线的性质 3、和学生一起重点分析课本例题1和2,理解题目考察的细节和解题方法。 二、例题分析: 1、以线段AB为弦的圆的圆心的轨迹是___________。 2、已知扇形的圆心角为120°,半径为2cm,则扇形的弧长是cm,扇形的面积是2 cm。 3、点和圆的位置关系有三种:点在圆,点在圆,点在圆; 例1:已知圆的半径r等于5厘米,点到圆心的距离为d, (1)当d=2厘米时,有d r,点在圆 (2)当d=7厘米时,有d r,点在圆 (3)当d=5厘米时,有d r,点在圆 4、下列四边形:①平行四边形,②菱形;③矩形;④正方形。其中四个顶点一定能在同一个圆上的有() A、①②③④ B、②③④ C、②③ D、③④ 5、(07上海中考)小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃, 小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是() A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 6、三角形的外接圆的圆心是(), A.三条中线的交点B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点D.三条边的垂直平分线的交点 7、直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm,则其外接圆半径长为。 (三)巩固练习 1、圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条的直线;圆是中心对称图形,对称中心为. 2、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点; 三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点; 3、三角形的外心一定在该三角形上的三角形() (A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)等腰三角形

初中数学《弧弦和圆心角》教案

初中数学《弧弦和圆心角》教案 作课类别课题24.1.3弧、弦、圆心角课型新授 教学媒体多媒体 教 学 目 标知识 技能1.通过观察实验,使学生了解圆心角的概念. 2.掌握在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,就可以推出它们所对应的其余各组量也相等,以及它们在解题中的应用. 过程 方法通过复习旋转的知识,产生圆心角的概念,然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等,最后应用它解决一些具体问题,进一步理解和体会研究几何图形的各种方法.情感 态度激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 教学重点在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对弦也相等及其两个推论和它们的应用.

教学难点探索定理和推导及其应用. 教学过程设计 教学程序及教学内容师生行为设计意图 一、导语这节课我们继续研究圆的性质,请同学们完成下题. 1.已知 OAB,如图所示,作出绕O点旋转30、45、60的图形. 2.圆是中心对称图形吗?将圆旋转任意角度后会出现什么情况?我们学过的几何图形中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是?二、探究新知 (一)、圆心角定义 在纸上任意画一个圆,任意画出两条不在同一条直线上的半径,构成一个角,这样的角就是圆心角.如图所示,AOB的顶点在圆心,像这样,顶点在圆心的角叫做圆心角. (二)、圆心角、弧、弦之间的关系定理 1.按下列要求作图并回答问题: 如图所示的 O中,分别作相等的圆心角AOB 和A OB 将圆心角AOB 绕圆心O旋转到A OB 的位置,你能发现哪些等量关系?为什么?得到:在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.2.在等圆中相等的圆心角是否也有所对的弧相等,所对的弦相等呢?综合1、2,我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.

《弧、弦、圆心角》教学设计

图2 《弧、弦、圆心角》教学设计 教学内容:人教版九年级上册24.1.3弧、弦、圆心角 教学目标:1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性。 2.利用圆的旋转不变性,发现圆中弧、弦、圆心角关系,并能正确推理和应用。 3.通过观察、比较、推理、归纳等活动,发展推理能力以及概括问题的能力。 4.培养学生探索数学问题的积极态度和科学的方法。 教学重点:探索圆心角、弧、弦之间关系定理,并利用其解决相关问题。 教学难点:定理中条件的理解及定理的探索。 教学过程:一.情景引入: 1. 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?把圆绕圆心旋转任意一个角度呢?(课件演示)结论:圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心。不仅如此,把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得图形都与原图形重合。 2. 定义:像∠AOB 这样顶点在圆心的角叫做圆心角。 3. 认识:圆心角∠AOB 所对的弧是、弦是AB ,它们在⊙O 中是一一对应的。 二.探究新知: 1. 课件演示:在圆形的纸片上画一个圆心角∠AOB ,并把它切下,把∠AOB 绕圆心O 旋转一个角度到∠A ′OB ′位置,同时在该圆形纸上记下。(在这个过程中你能发现哪些等量关系?) 2. 命题:如图2在⊙O 中,若∠AOB =∠A ′OB ′ , 则AB =A ′B ′, = .(想一想,如何证明这个命题?) (教学说明:学生通过观察发现△AOB ≌△A ′OB ′,从而得到AB =A ′B ′, 于 是 与 重合, 则 = ) 3. 形成结论:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。 4. 变式:如果把上述命题中的条件“∠AOB =∠ A ′OB ′”改为“AB =A ′B ′或= ”,那么可以得到怎样的结论呢? 图1

弧、弦、圆心角导学案

B ' 24.1.3弧、弦、圆心角 学习目标:(注:红字部分为弧,请手写加上) 1.了解圆心角的概念:掌握在同圆或等圆中,圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等,及其它们在解题中的应用. 2.通过复习旋转的知识,产生圆心角的概念,然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等,最后应用它解决一些具体问题. 重点、难点 重点:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,?所对弦也相等及其两个推论和它们的应用. 难点:探索定理和推导及其应用. 导学过程:阅读教材P82 — 83 , 完成课前预习 【课前预习】 1:知识准备 (1)圆是轴 图形,任何一条 所在直线都是它的对称轴. (2)垂径定理 推论 . 2:探究 如图所示,∠AOB 的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做 . 请同学们按下列要求作图并回答问题: 如图所示的⊙O 中,分别作相等的圆心角∠AOB?和∠A?′OB?′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置,你能发现哪些等量关系?为什么? 相等的弦: ;相等的弧: 理由: 结论:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 相等,所对的弦也 . 表达式: 同样,还可以得到: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的 相等,?所对的弦也 . 表达式: 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角 ,?所对的 也相等. 表达式:

D 注:同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也 。 【课堂活动】 活动1:预习反馈 活动2:典型例题 例1.如图,在⊙O 中,AB=AC ,∠AOB=60 °, 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC 活动3:随堂训练 1、如图,AB ,CD 是⊙O 的两条弦。 (1)如果AB=CD ,那么 , (2)如果AB=CD ,那么 , (3)如果∠AOB=∠COD ,那么 , (4)如果AB=CD ,OE ⊥AB 于点E ,OF ⊥CD 于点F ,OE 与OF 相等吗?为什么? 2、如图,AB 是⊙O 的直径,BC=CD=DE ,∠COD=35 °,求∠AOE 的度数。 活动4:课堂小结 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 相等,所对的弦也 . 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的 相等,?所对的弦也 . 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角 ,?所对的 也相等. B

弧.弦、圆心角之间的关系

弧、弦、圆心角之间的关系(教学设计) 竹山县竹坪中学 程少林何艳华 一、教学目标 知识与技能 掌握圆的有关性质,了解圆心角概念,掌握在同圆或等圆中,圆心角、弦、弧中有一个量的两个值相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值相等以及它们在解题中的应用。过程与方法 通过复习旋转的知识,产生圆心角的概念,然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它所对应的其余各组量都分别相等,最后应用它解决一些具具体问题。 二、教学过程 复习:圆是轴对称图形,其对称轴是__________________________。它是中心对称图形吗?如果是,它的对称中心在哪里? 观察: 课件演示圆绕圆心旋转 从上面圆绕圆心旋转的过程可以看出,实际上圆绕圆心旋转任意角 我们把圆的这种特性叫做圆的旋转不变性 归纳:圆的性质 1、圆既是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴又 其对称中心是圆心 2、圆具有旋转不变性。 学生自学课本理解圆心角的概念 练习:1、判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由。

观察一下:在⊙O中有哪些圆心角?并观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?(请举出两个例子,并说出圆心角所对的弧,弦。) 已知:如图∠AOB=∠COD, 求证: AB=CD 证明:∵OA=OC ,OB=OD, ∠AOB=∠COD, ∴当点A与点C重合时, 点B与点D也重合。 ∴AB=CD, 相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。(一定对吗?) 在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. ∠AOB=∠AOB′,为什么? 此时成立吗? 相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等 圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,讨论: 1. 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对 的圆心角,所对的弦及弦的弦心距有何关系? 2. 在同圆或等圆中,如果相等,那么它们所对 的圆心角,所对的弧及弦的弦心距有何关系? O O β α∠ = ∠ A B=C D? 在同圆或等圆中,

圆心角、弧、弦(教案)

24.1.3弧、弦、圆心角 教学任务分析

图1 (3)将其中的一个圆旋转一个角度.使得OA与O′A′重合. 通过上面的做一做,你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下,说一说你的理由. 进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理: 在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 2.根据对上述定理的理解,你能证明下列命题是正确的吗? (1)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等; (2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优(劣)弧相等. 二、主体活动,巩固新知,进一步理解三量关系定理. 活动2: 1.如图2,在⊙O中,弧AB=弧AC,∠ACB =60°,求证∠AOB=∠AOC=∠BOC.可知'' AB A B =. 在学生分析完毕后,教师指 出在上述做一做的过程中发 现, 固定圆心,将其中一个 圆旋转一个角度,使半径OA 与O′A′重合时,由于∠AOB =∠A′O′B′.这样便得到半径 OB与O′B′重合.因为点A 和点A′重合,点B和点B′ 重合,所以弧AB和弧A′B′ 重合,弦AB与弦A′B′重合, 即弧AB=弧A′B′,AB=A′B′. 师生活动设计: 本问题由学生在思考的 基础上讨论解决,可以证明 上述命题是真命题 学生活动设计: 学生独立思考,根据对三量 定理的理解加以分析.由弧 AB=弧AC,得到AB AC =, △ABC是等腰三角形,由∠ ACB=60°,得到△ABC是 等边三角形,AB=AC=BC, 所以得到∠AOB=∠AOC=∠ 巩固对知 识的理解.

O A B C 〔证明〕∵弧AB=弧AC ∴AB=AC,△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°, ∴△ABC是等边三角形,AB=BC=CA. ∴∠AOB=∠AOC=∠BOC. 2.如图3,AB是⊙O的直径,BC、CD、DA是⊙O的弦,且BC=CD=DA,求∠BOD的度数. 图3 三、拓展创新、应用提高,培养学生的应用意识和创新能力 活动3:定理“在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等”中,可否把条件“在同圆或等圆中”去掉?为什么? 小组讨论,可以在教师的引导下,举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉,比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图.BOC. 教师活动设计: 这个问题是对三量关系 定理的简单应用,因此应当 让学生独立解决,在必要时 教师可以进行适当的启发和 提醒,最后学生交流自己的 做法. 学生活动设计: 学生分析,由BC=CD =DA可以得到这三条弦所 对的圆心角相等,所以考虑 连接OC,得到∠AOD=∠ DOC=∠BOC,而AB是直 径,于是得到∠BOD= 2 3 × 180°=120°. 教师活动设计: 此问题的解决方式和活 动3类似,不过要注意学生 对辅助线OC的理解,添加 辅助线OC的原因. 拓展创新、 应用提高, 培养学生 的应用意 识和创新 能力.

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解(提高) 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念; 2.理解圆周角定理及其推论,能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题; 3.掌握在同圆或等圆中,三组量:两个圆心角、两条弦、两条弧,只要有一组量相等,就可以推出其它 两组量对应相等,及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 3.推论: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等. 要点诠释: (1)一个角要是圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征. (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点二、圆周角 1.圆周角定义: 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2.圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 要点诠释: (1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4.圆内接四边形: (1)定义: 圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形. (2)性质:圆内接四边形对角互补,外角等于内对角(即它的一个外角等于它相邻内角的对角).5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系: 在同圆或等圆中,弦,弧,圆心角,弦心距等几何量之间是相互关联的,即它们中间只要有一组量相等,(例如圆心角相等),那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等,那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆心弧弦弦心距之间的关系 [知识要点归纳] 1. 圆不但是轴对称图形,而且也是中心对称图形,实际上圆绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。 4. 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意:要正确理解和使用圆心角定理及推论。 (1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件,若没有这一条件虽然圆心角相等, 一般地,n°的圆心角对着n°的弧,n°的弧对着n°的圆心角,也就是说,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 注意:这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等,在书写时要防

止出现“∠=? AOB AB ”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧 一定是相同度数的弧,但相同度数的弧却不一定是相等的弧。 6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系 (1)在同圆或等圆中,如果弦不等,那么弦心距也就不等,大弦的弦心距较小,小弦的弦心距反而大,反之弦心距较小时,则弦较大。 当弦为圆中的最大弦(直径)时,弦心距缩小为零;当弦逐步缩小时,趋近于零时,弦心距逐步增大,趋近于半径。 (2)在同圆或等圆中,如果弧不等,那么弧所对的弦、圆心角也不等,且大弧所对的圆心角较大,反之也成立。 注意:不能认为大弧所对的弦也较大,只有当弧是劣弧时,这一命题才能成立,半圆对的弦最大,当弧为优弧时,弧越大,对的弦越短。 7. 辅助线方法小结: (1)有弦的中点时,常连弦心距,进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理;另外,证明两弦相等也常作弦心距。 (2)在计算弧的度数时,或有等弧的条件时,或证等弧时,常作弧所对的圆心角。 (3)有弧的中点或证弧的中点时,常有以下几种引辅助线的方法: (I )连过弧中点的半径;(II )连等弧对的弦;(III )作等弧所对的圆心角。 ∴AB =CD 弦AB 、DC 若PO 平分∠APC 弦AB 、CD 交于P 点(

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