【备战2014】高考数学 高频考点归类分析 关于空间距离和空间角的问题(真题为例)

【备战2014】高考数学 高频考点归类分析 关于空间距离和空间角的问题(真题为例)
【备战2014】高考数学 高频考点归类分析 关于空间距离和空间角的问题(真题为例)

关于空间距离和空间角的问题

典型例题:

例1. (2012年全国大纲卷理5分)已知正四棱柱1111ABCD A B C D -

中,12AB CC E ==,为1CC 的 中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为【 】

A .2 B

D .1 【答案】D 。

【考点】正四棱柱的性质,点到面的距离,线面平行的距离,勾股定理。 【解析】连接AC ,AC 和BD 交于点O ,则在1ACC ?中, ∵ABCD 是正方形,∴BO OD =, 又∵E 为1CC 的中点,∴1OE AC ∥。

∴则点1C 到平面BED 的距离等于C 到平面BED 的距离。 过点C 作CH OE ⊥于点H ,则CH 即为所求。

∵ABCD 是正方形,2AB =,∴根据勾股定理,

得CO =。 ∵E 为1CC

的中点,1CC =

CE =2OE =。

在Rt OCE ?中,利用等面积法得CH OE CO CE =

,即2CH =1CH =。故选D 。

例2. (2012年四川省理5分)如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径CD 作平面α成45

角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距

离最大的点为B ,该交线上的一点P 满足60BOP ∠=

,则A 、P 两点间的球面距离为【 】

A 、arccos 4R

B 、

4R π C 、R 、

3

R

π 【答案】A 。

【考点】球面距离及相关计算,向量和反三角函数的运用。

【解析】要求A 、P 两点间的球面距离,由于OA OP R ==,故只要求得AOP ∠即可。从而可求出AP 即可求(比较繁)或用向量求解:

如图,以O 为原点,分别以OB 在平面α上的射影、OC OA 、所在直线为x y z 、、轴。

过点P 作OB (即面OBx )的垂线PE ,分别过点,B E 作x 轴的垂线,BH EF 。

∵60BOP ∠=

,∴1

,2

PE OE R =

= 。 ∵面CDB 与平面α的角为45

,即45BOx ∠=

∴2OH BH R ==

。∴4

OF EF ==。 ∴(

)0,0,,,,44A R P R R ??

? ??

? 。

∴24AO PO COS AOP R ?∠==

。∴4AOP ∠=。∴

4

AP R =?。故选A 。 例3. (2012年陕西省理5分)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为【 】

3

5

【答案】A 。

【考点】异面直线间的角的求法,特殊元素法的应用。

【解析】设122CA CC CB ===,则11(2,2,1),(0,2,1)AB C B =-=-

∴111111cos ,5AB C B AB C B AB C B

×<>==

=-

。 又∵直线1BC 与直线1AB

。选A 。 例4. (2012年全国大纲卷理5分)三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,01160BAA CAA ∠=∠=,

则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 ▲ 。

【考点】斜棱柱中异面直线的角的求解。 【解析】用空间向量进行求解即可:

设该三棱柱的边长为1,依题意有1111, AB AB AA BC AC AA AB =+=+-

则()

2222

1111=2=22cos60=3AB AB AA AB AB AA AA =++?++ ,

()

2222211111 =222BC AC AA AB AC AA AB AC AA AC AB AA AB =+-+++?-?-?

00032cos602cos602cos60=2=+--,

而()()

111111111 =AB BC AB AA AC AA AB AB AC AB AA AB AB AA AC AA AA AA AB ?=++-?+?-?+?+?-?

1111

11=12222

=

+-++-。

∴111111

cos ,AB BC AB BC AB BC ?==?

。 例5. (2012年全国大纲卷文5分)一直正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别为1BB 、1CC 的中点,那么一面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为 ▲ . 【答案】

3

5

。 【考点】异面直线的角的求解。 【解析】用空间向量进行求解即可:

设该直正方体的边长为1,依题意有

11111111, 22

AE AB BE AB BB D F D C C F AB BB =+=+=+=-

则22

22111111=2222AE AB BB AB AB BB BB ????=++?+ ? ?????

220

11115=cos90=10=444

AB AB BB BB +?+++ ,

2222111111115

=2122444D F AB BB AB AB BB BB ??=--?+=+= ???

而22111111113 122444AE D F AB BB AB BB AB BB ?????=+-=-=-= ???????

∴11133cos ,5AE D F

AE D F AE D F

?==

=?

例6. (2012年四川省理4分)如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是CD 、1CC 的中点,则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是 ▲ 。

N

A 1

【答案】90o。

【考点】异面直线夹角问题。

【解析】如图,以D 为原点,分别以1, , DA DC DD 为, , x y z 轴,建立空间直角坐标系—D xyz .设正方体边长为2,则D (0,0,0),N (0,2,1),M (0,1,0)

A 1(2,0,2)

∴),(),(2,121,2,01-==MA 。

∴cos<|

MA ||DN |11

1MA DN MA ?=?? = 0。

∴1DN D M ⊥,即异面直线1A M 与DN 所成角为90o。

例7. (2012

年辽宁省理5分)已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C

PA ,

PB ,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为 ▲ 。

【答案】

3

。 【考点】组合体的线线,线面,面面位置关系,转化思想的应用。 【解析】∵在正三棱锥

P

-ABC 中,PA ,PB ,PC 两两互相垂直,

∴可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分,(如图所示),此

正方体内接于球,正方体的体对角线为球的直径EP ,球心为正方体对角线

的中点O ,且EP ⊥平面ABC ,EP 与平面ABC 上的高相交于点F 。

∴球O 到截面ABC 的距离OF 为球的半径OP 减去正三棱锥P -ABC 在面ABC 上的高FP 。

x ,则由勾股定理得)2

2

2

+=

x 。

解得正方体的棱长x =2

∴截面ABC , PF =

∴在Rt△BFP 中,由勾股定理得,正三棱锥P -ABC 在面ABC 上的高FP 。

∴所以球心到截面ABC =

。 例8. (2012年全国大纲卷理12分)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥底面ABCD ,

2AC PA E ==,是PC 上的一点,2PE EC =。

(1)证明:PC ⊥平面BED ;

(2)设二面角A PB C --为090,求PD 与平面PBC 所成角的大小。

【答案】解:设AC BD O = ,以O 为原点,OC 为x 轴,OD 为y 轴建立空间直角坐标系。

则由PA ⊥底面,2ABCD AC PA ==得())()

,,A C

P 。

设()()()0,,0,0,,0,,,B a D a E x y z - 。

(1)证明:由2PE EC =得233E ?? ? ???

,,()

()202,,,02,033PC BE a BD a ??=-== ? ???

,,。

∴()

202,03PC BE a ?

?=-?=????

,()

()0202,00PC BD a ?=-?= ,

,。

∴PC BE ⊥ ,PC BD ⊥ 。

又∵BE BD B = ,∴PC ⊥平面BED 。

(2)设平面PAB 的法向量为(),n x,y z =

,又(

))

00,2,,0AP AB a == ,

由0,0n AP n AB ?=?=

得n = 。

设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =

又,0),(BC a CP ==-

由0,0m BC m CP ?=?=

,得(1,m a

=- 。

∵二面角A PB C --为090,∴0m n ?=

,解得a =

∴2)PD =- ,平面PBC

的法向量为(1,m =-

∴PD 与平面PBC 所成角的正弦值为||12

||||PD m PD m ?=?

。 ∴PD 与平面PBC 所成角为

6

π。 【考点】四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。

【解析】从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度,并加以证明和求解。 例9. (2012年全国课标卷理12分)如图,直三棱柱111ABC A B C -中,11

2

AC BC AA ==

, D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1

(1)证明:BC DC ⊥1 (2)求二面角11C BD A --的大小。[来

源:Z*xx*https://www.360docs.net/doc/77900131.html,]

【答案】解:(1)证明:∵11

2

AC BC AA ==

,D 是棱1AA 的中点,∴AD AC =。 ∴在Rt DAC ?中,0

45ADC ∠=。

同理,0

1145A DC ∠=。

∴ 0

190CDC ∠=。∴1DC DC ⊥。

又∵1DC BD ⊥,且DC BD D = ,∴1DC ⊥面BCD 。 ∴1DC BC ⊥。

(2)∵11,DC BC CC BC ⊥⊥,∴BC ⊥面11ACC A 。 ∴BC AC ⊥。∴111, ABC A B C ??都是等腰直角三角形。

取11A B 的中点O ,连接1, BO DO C O ,。设AC BC a ==,则

11111

122

AD A D a BB a AB A B AO B O =======,,,。 ∴在11, , Rt A DO Rt ABD Rt BB O ???中,应用勾股定理,得 2

2222239

322

OD a BD a OB a =

==,,。 ∴22

2

OD BD OB +=。∴OBD ?是直角三角形。∴OD BD ⊥。 又∵BD DC ⊥1,∴1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角。

∵111 A B C ?是等腰直角三角形,点O 是斜边11A B 的中点,∴111C O A B ⊥。

在1Rt OC D ?中,12C O OD =

, ,

∴11tan C O C DO OD ∠=

=。∴0130C DO ∠= 。 ∴二面角11C BD A --的大小为0

30。

【考点】直三棱柱的性质,空间两直线的位置关系,等腰直角三角形的判定和性质,二面角,勾股定理和逆定理,锐角三角函数定义。

【解析】(1)要证BC DC ⊥1,只要1DC ⊥面BCD 即可,由于已知BD DC ⊥1,从而只要证平面BCD 内与BD 相交的另一条直线与1DC 垂直即可,易证1DC DC ⊥。从而得证。

(2)要求二面角11C BD A --的大小,先要找出二面角11C BD A --。连接1, BO DO C O ,,通过已知,应用勾股定理和逆定理,证得OD BD ⊥,结合已知BD DC ⊥1即可知1C DO ∠是二面角

11C BD A --的平面角。在1Rt OC D ?中,易求得0130C DO ∠=。

例10. (2012年上海市理12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点.已知AB=2,AD=22,PA=2.求:

(1)三角形PCD 的面积;(6分)

(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小.(6分)

【答案】解:(1)∵PA⊥底面ABCD ,CD ?底面ABCD ,∴PA⊥CD。

又∵AD⊥CD,∴底面ABCD⊥平面PAD 。 又∵CD ?底面ABCD ,∴CD⊥平面PAD 。

又∵PD ?平面PAD ,∴CD⊥PD。 ∵PD=32)22(22

2

=+,CD=2,

∴三角形PCD 的面积为1

22

??=

(2)如图所示,建立空间直角坐标系。

则A (0,0,0),B(2, 0, 0),C(2, 22,0),E(1, 2, 1)。

∴(

)()

AE=1,1BC 0,0=

, 设AE 与BC

的夹角为?,

AE BC cos =2

AE BC

??? 。 ∴=

4

π

?,即异面直线BC 与AE 所成的角的大小是

4

π。 【考点】直线与直线、直线与平面的位置关系,异面直线间的角,勾股定理。

【解析】(1)要求三角形PCD 的面积,由于底边CD 已知,只要找并求出底边CD 上的高即可。由线面、面面垂直的判定和性质,可证CD⊥PD,从而根据勾股定理求出PD 即可求得三角形PCD 的面积。

(2)建立空间直角坐标系,即可表示出各点坐标,从而用向量表示AE 和BC

,即可直接用公式

求二者之间的夹角余弦,从而求出二者之间的夹角。

本题不用向量的解法:取PB 中点F ,连接EF 、AF ,

则EF∥BC,从而∠AEF (或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角。

在△AEF 中,由EF=2、AF=2、AE=2, 知△AEF 是等腰直角三角形, 所以∠AEF=

。 因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4

π

例11. (2012年上海市文12分)如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC

,D 是PC 的中点,已

知∠BAC =

2

π

,2AB =,AC =2PA =,求: (

1)三棱锥P ABC -的体积(6分)

(2

)异面直线BC 与AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)

(6分)

【答案】解:(1)1

2

2

ABC S ?=

??= 三棱锥P-AB C 的体积为

11

2

33

ABC

V S PA

?

=?=?=。

(2)取PB的中点E,连接,

DE AE,则

DE∥BC,所以ADE

∠(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角。

在ADE

?

中,22

DE AE AD

==

,,

22

2+223

cos

2224

ADE

-

∠==

??

,∴

3

arccos

4

ADE

∠=。

因此,异面直线BC与AD所成的角的大小是

3

arccos

4

【考点】棱锥的体积,异面直线及其所成的角。

【解析】(1)首先根据三角形面积公式,算出直角三角形ABC的面积,然后根据PA⊥底面ABC,结合锥体体积公式,得到三棱锥P ABC

-的体积;

(2取PB的中点E,连接,

DE AE,在PBC

?中,根据中位线定理得到DE∥BC,所以ADE

∠(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.然后在ADE

?中,利用余弦定理得到cos ADE

∠,从而求得异面直线BC与AD所成的角的大小。

例12. (2012年四川省理12分)如图,在三棱锥P ABC

-中,90

APB

∠= ,60

PAB

∠= ,AB BC CA

==,平面PAB⊥平面ABC。

(Ⅰ)求直线PC与平面ABC所成角的大小;

(Ⅱ)求二面角B AP C

--的大小。

【答案】解:(Ⅰ)设AB中点为D,AD中点为O,连接OC,OP,CD。

∵AB BC CA

==,∴CD⊥AB。

∵9060

APB PAB

∠=?∠=?

,,∴△PAD为等边三角形,

∴PO⊥AD。

又∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AD,

PO⊥平面ABC,∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角,

不妨设PA=2,则OD=1,OP=3, AB=4。

∴CD=23,OC=13

12

1

2

2=

+

=

+

CD

OD。

在Rt OCP ?中,tan 1339

13

3===

∠OC OP OPC 。 ∴直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为arctan

13

39

。 (Ⅱ)过D 作DE AP ⊥于E ,连接CE 。

由已知可得,CD ⊥平面PAB ,

根据三垂线定理可知,CE ⊥PA 。

∴CED ∠为二面角B AP C --的平面角。 由(1)知,DE =3,

在Rt△CDE 中,tan 2==

∠DE

CD

CED 。 ∴二面角B AP C --的大小为arctan2。

【考点】线面关系、直线与平面所成的角、二面角。

【解析】(Ⅰ)设AB 中点为D ,AD 中点为O ,连接OC ,OP ,CD ,可以证出∠OCP 为直线P C 与平面ABC 所成的角.不妨设PA =2,则OD =1,OP=3,AB =4,在Rt OCP ?中即可。

(Ⅱ)过D 作DE AP ⊥于E ,连接CE ,则CED ∠为二面角B AP C --的平面角,在 Rt△CDE

中求解即可。

另解:以O 为坐标原点,OB ,OE ,OP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系O-xyz ,应用向量求解。

例13. (2012年天津市理13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA 丄平面ABCD ,AC 丄AD ,AB 丄BC ,0

=45ABC ∠,==2PA AD ,=1AC . (Ⅰ)证明PC 丄AD ;

(Ⅱ)求二面角A PC D --的正弦值;

(Ⅲ)设E 为棱PA 上的点,满足异面直线BE 与CD 所成的角为0

30,求AE 的长.

【答案】解:(Ⅰ)证明:如图,以A 为原点,建立空间直角坐标系,

则A (0,0,0),D (2,0,0),C (0,1,0),11,,022B ??

- ???

P (0,0,2)

∴012200PC AD =

-=

(,,), (,,)。 ∴ 0PC AD ?=

。所以PC 丄AD 。

(Ⅱ)由(Ⅰ),012200PC AD =

-=

(,,), (,,)。 设平面PCD 的一个法向量为 n x y z =(,,)

, 则 0 0n PC n CD ?=??

?=? , 即 20 20y z x y -=??-=?

。 取1z =,则 121n = (,,)

。 又平面PAC 的一个法向量为 100m = (,,),

∴cos =

m n m n m n ??,

。∴sin m n ,

∴二面角A PC D --

。 (Ⅲ)设00[02]E h h ∈ (,,),,,∴11

22

BE h =- (,,)

。 又∵ =210CD -

(,

,),

∴011+

cos , BE CD BE CD BE CD

?==

?

解得h

AE 【考点】用空间向量求平面间的夹角,用空间向量求直线间的夹角、距离,二面角的平面角及求法。

【分析】(Ⅰ) 以A 为原点,建立空间直角坐标系,通过点的坐标得出PC 和AD ,求出PC ·AD

=0即可

证明。

(Ⅱ)求出平面PCD ,平面PAC 的一个法向量,利用两法向量夹角求解。

(Ⅲ)00[02]E h h ∈ (,,),,,利用0cos ,=cos30 BE CD

BE CD BE CD

?=?

,得出关于h 的方程求解即

可。

非向量解法:

(Ⅰ)通过证明AD ⊥平面PAC 得出PC 丄AD 。

(Ⅱ)如图1作AH PC ⊥于点H ,连接DH ,∠AHD 为二面角A PC D --的平面角.在t R DAH

?中求解即可。

(3)如图2,因为∠ADC <45°,故过点B 作CD 的平行线必与线段AD 相交,设交点为F ,

连接,BE EF ,故∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CD 所成的角。在△EBF 中,因为EF <BE ,从而∠EBF =30°,由勾股定理用AE 表示,BE BF 的长。在△EBF 中由余弦定理得出关于AE 的方程求解即可。

例14. (2012年天津市文13分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩形,AD⊥PD,BC=1,

,PD=CD=2.

(I )求异面直线PA 与BC 所成角的正切值; (II )证明平面PDC⊥平面ABCD ;

(III )求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。

【答案】解:(I )如图,在四棱锥P -ABCD 中,

∵底面ABCD 是矩形,∴AD=BC,且AD∥BC。 又∵AD⊥PD,∴∠PAD 为异面直线PA 与BC 所成角。 ∵在Rt△PDA 中,PD

tan PAD 2AD

∠=

=, ∴异面直线PA 与BC 所成角的正切值为:2。 (II )证明:∵底面ABCD 是矩形,∴AD⊥BC。

∵AD⊥PD,CD∩PD=D,∴AD⊥平面PDC 。 ∵AD ?平面ABCD ,∴平面PDC⊥平面ABCD 。

(III )在平面PDC 中,过点P 作PE⊥CD 于E ,连接EB 。

∵平面PDC⊥平面ABCD ,而直线CD 是平面PDC 与平面

ABCD 的交线,

∴PE⊥平面ABCD 。

∴∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成角。

在△PDC 中,∵PD=CD=2,

在Rt△PEC

∵AD∥BC,AD⊥平面PDC ,∴BC⊥平面PDC 。∴BC⊥PC。

在Rt△PCB 中,PB

在Rt△PEB 中,PE sin PBE PB ∠=

=

∴直线PB 与平面ABCD 。

【考点】直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定。

【分析】(I )判断∠PAD 为异面直线PA 与BC 所成角,在Rt△PDA 中,求异面直线PA 与BC 所成角的正切值。

(II )说明AD⊥BC,通过AD⊥PD,CD∩PD=D,证明AD⊥平面PDC ,然后证明平面PDC⊥平面ABCD 。 (III )在平面PDC 中,过点P 作PE⊥CD 于E ,连接EB .说明∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成角,求出PE ,PB ,在Rt△PEB 中,通过PE

sin PBE PB

∠=

,求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。 例15. (2012年安徽省理12分)平面图形111ABB AC C 如图4所示,

其中11BB C C 是矩形,12,4BC BB ==,

AB AC ==,1111A B A C ==BC 和11B C 折叠,使ABC ?与111A B C ?所

在平面都与平面11BB C C 垂直,再分别连接111,,AA BA CA ,得到如图2所示的空间图形,对此空间图形解答下列问题。

(Ⅰ)证明:1AA BC ⊥;

(Ⅱ)求1AA 的长;

(Ⅲ)求二面角1A BC A --的余弦值。

【答案】解:(I )取11,BC B C 的中点为点1,O O ,连接1111,,,AO OO AO AO ∵AB AC =,∴AO BC ⊥。

∵面ABC ⊥面11BB C C ,∴AO ⊥面11BB C C 。 同理:11AO ⊥面11BB C C 。 ∴11//AO AO 。∴11,,,A O A O 共面。 又∵11, OO BC OO AO O ⊥= , ∴BC ⊥面11AOO A 。∴1AA BC ⊥。

(Ⅱ)延长11A O 到D ,使1O D OA = ,连接AD 。

∵11//AO AO ,∴1//O D OA 。 ∴1//AD OO 。

∵1OO BC ⊥,面111A B C ⊥面11BB C C , ∴1OO ⊥面111A B C 。∴AD ⊥面111A B C 。 ∴在1Rt AA D ?

中,15AA =

==。

(Ⅲ)∵1

, AO BC AO BC ⊥⊥,∴1AOA ∠是二面角1A BC A --的平面角。

∴在11Rt OO A ?

中,1A O ==

=

在1Rt OAA ?

中,2221111cos 25

AO A O AA AOA AO A O +-∠==-?

∴二面角1A BC A --

的余弦值为 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面所成的角,余弦定理。

【解析】(I )要证1AA BC ⊥,即要BC ⊥面11AOO A ,从而通过证明AO ⊥面11BB C C 和11AO ⊥面

11BB C C ,得到11//AO AO ?11,,,A O A O 共面。

由11, OO BC OO AO O ⊥= ,得到BC ⊥面11AOO A 。从而是证。

(Ⅱ)在1Rt AA D ?中,应用勾股定理即可求得1AA 的长。

(Ⅲ)要求二面角1A BC A --的余弦值,先要找出二面角1A BC A --的平面角。由, AO BC ⊥

1 AO BC ⊥知,1AOA ∠是二面角1A BC A --的平面角。在11Rt OO A ?中,应用勾股定理求得1

AO 的长,在1Rt OAA ?中,应用余弦定理即可求得1AOA ∠的余弦值,即二面角1A BC A --的余弦值。

例16. (2012年山东省理12分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD ,AE⊥BD,CB=CD=CF 。 (Ⅰ)求证:BD⊥平面AED ; (Ⅱ)求二面角F -BD -C 的余弦值。

【答案】解:(Ⅰ)在等腰梯形ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD ,

在BCD ?中,由余弦定理得,

22202

2cos(180BD CD CB CD CB AB CD )3D =+-??-∠=,即BD 。

在ABD ?中,∠DAB=60°,BD D =,

∴由正弦定理得

BD AD

=

sin DAB sin DAB ∠∠,A D

s i n D A B s i n 60

,解得1

sin DAB=

2

∠。 ∴0DAB=30∠。∴0ADB=90∠。∴AD DB ⊥。

又∵AE⊥BD,AD ?平面AED ,AE ?平面AED ,且AD AE A = , ∴BD⊥平面AED 。

(Ⅱ)如图,取BD 中点G ,连接CG ,FG 。

设 CB=CD=CF=AD=1,则由(Ⅰ),BD =

BG =

∵BC,CD ,CG ?平面ABCD ,FC⊥平面ABCD , ∴△BCF,△DCF 都是等腰直角三角形,△FCG 是

等腰三角形。

∴FG⊥DB,CG⊥D B 。

又∵FG ?平面FBD ,CG ?平面CBD ,FG CG=G , ∴∠FGC=二面角F -BD -C 。

∵由勾股定理,在Rt△BCF 中得;在Rt△BGF 中得

在Rt△BCG 中得1

2=

∴在Rt△FCG

中,1CG cos FGC==FG ∠。 ∴二面角F -BD -C

。 【考点】线面垂直的判定,等腰梯形的性质,余弦定理,正弦定理,勾股定理,等腰三角形的性质,二面角。

【解析】(Ⅰ)要证BD⊥平面AED ,由于已知AE⊥BD,所以只要证平面AED 上AE 的一条相交直线与BD 平行即可。由余弦定理和正弦定理的应用,分别解BCD ?和ABD ?,即可得到0ADB=90∠。从而得证。 (Ⅱ)要求二面角F -BD -C 的余弦值,即要找出二面角。故取BD 中点G ,连接CG ,FG ,可以证明∠FGC=二面角F -BD -C 。从而通过应用勾股定理解直角三角形可求出CG

cos FGC=

FG

∠的值。 例17. (2012年湖北省理12分)如图1,∠ACB =45°,BC =3,过动点A 作AD ⊥BC ,垂足D 在线段BC 上且异于点B ,连接AB ,沿AD 将△ABD 折起,使∠BDC =90°(如图2所示), (Ⅰ)当BD 的长为多少时,三棱锥A-BCD 的体积最大;

(II )当三棱锥A-BCD 的体积最大时,设点E ,M 分别为棱BC ,AC 的中点,试在棱CD 上确定一点N ,使得

EN ⊥BM ,并求EN 与平面BMN 所成角的大小

【答案】解:(Ⅰ)在如图1所示的△ABC 中,设(03)BD x x =<<,则3CD x =-。

∵AD BC ⊥,45ACB ∠= ,∴△ADC 为等腰直角三角形。∴3AD CD x ==-。 ∵折起前AD BC ⊥,∴折起后(如图2),A D D C ⊥,AD BD ⊥,且BD DC D = 。

∴AD ⊥平面BCD 。 又∵90BDC ∠= ,∴11

(3)22

BCD S BD CD x x ?=

?=-。 ∴1111

(3)(3)2(3)(3)33212

A BCD BCD V AD S x x x x x x -?=?=-?-=?--

3

12(3)(3)2

1233x x x +-+-??≤=????

。 当且仅当23x x =-,即1x =时,等号成立。

∴当1x =,即1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大。 (Ⅱ)以D 为原点,建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -。

由(Ⅰ)知,当三棱锥A BCD -的体积最大时,1BD =,

2AD CD ==。

∴(0,0,0)D ,(1,0,0)B ,(0,2,0)C ,(0,0,2)A ,(0,1,1)M ,1

(,1,0)2

E ,

且(1,1,1)BM =-

设(0,,0)N λ,则1

(,1,0)2

EN λ=-- 。

∵EN BM ⊥,∴0EN BM ?= ,即11

(,1,0)(1,1,1)1022

λλ--?-=+-=。

∴12λ=

,1

(0,,0)2

N 。 ∴当1

2

DN =

(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时,EN BM ⊥。 设平面BMN 的一个法向量为(,,)x y z =n ,

∵,,BN BM ?⊥??⊥?? n n 1(1,,0)2BN =- ,∴2,.y x z x =??

=-? ∴可取(1,2,1)=-n .

设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ,则由11

(,,0)22EN =-- ,(1,2,1)=-n ,

∴1|1|

sin cos(90)||||EN EN θθ--?=-===? n n 60θ= 。

∴EN 与平面BMN 所成角的大小为600

【考点】立体几何线面的基本关系,用均值不等式求最值,直线与平面所成角,空间向量的应用。 【解析】(Ⅰ)应用线面垂直的判定证得AD 为三棱锥A-BCD 的BCD 面上的高,从而求出三棱锥A-BCD 的体积关于BD 的解析式,应用均值不等式即可求得最值。

求得三棱锥A-BCD 的体积关于BD 的解析式后也可应用导数的知识求最值:

321111

(3)(3)(69)3326

A BCD BCD V AD S x x x x x x -?=?=-?-=-+,

令321()(69)6f x x x x =-+,由1

()(1)(3)02

f x x x '=--=,且03x <<,解得1x =。

当(0,1)x ∈时,()0f x '>;当(1,3)x ∈时,()0f x '<。 ∴当1x =时,()f x 取得最大值。

∴当1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大。

(Ⅱ)以D 为原点空间直角坐标系D xyz -,应用空间向量的知识可求EN 与平面BMN 所成角的大小。

另解:由(Ⅰ)知,当三棱锥A BCD -的体积最大时,1BD =,2AD CD ==。

如图b ,取CD 的中点F ,连结MF ,BF ,EF ,则MF ∥AD 。 由(Ⅰ)知AD ⊥平面BCD ,∴MF ⊥平面BCD 。

如图c ,延长FE 至P 点使得FP DB =,连BP ,DP ,则四边形DBPF 为正方形。 ∴DP BF ⊥。

取DF 的中点N ,连结EN 。

又∵E 为FP 的中点,则EN ∥DP 。∴EN BF ⊥。 ∵MF ⊥平面BCD , EN ?面BCD ,∴MF EN ⊥。 又∵MF BF F = ,∴EN ⊥面BMF 。 又∵BM ?面BMF ,∴EN BM ⊥。

∵EN BM ⊥当且仅当EN BF ⊥,而点F 是唯一的, ∴点N 是唯一的, 即当1

2

DN =

(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点),EN BM ⊥。

连接MN ,ME ,由计算得NB NM EB EM ====

。 ∴△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形。

如图d 所示,取BM 的中点G ,连接EG ,NG ,则BM ⊥平面EGN 。 在平面EGN 中,过点E 作EH GN ⊥于H ,则EH ⊥平面BMN 。 ∴ENH ∠是EN 与平面BMN 所成的角。

在△EGN 中,易得EG GN NE ===

EGN 是正三角形。 ∴60ENH ∠= ,即EN 与平面BMN 所成角的大小为600

历年高考数学试题分类汇编

2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. ( 4 1 ,-1) B. (4 1 ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a <22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)

2013年北京高考理科数学试题及标准答案

绝密★启封前 机密★使用完毕前 2013年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理)(北京卷) 本试卷共5页,150分,考试时长120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)已知集合{}101A =-, ,,{}|11B x x =-<≤,则A B = A.{}0 B.{}10-, ? C.{}01,?D.{}101-,, (2)在复平面内,复数()2 2i -对应的点位于( ) A.第一象限?B.第二象限?C .第三象限 D.第四象限 (3)“π?=”是“曲线()sin 2y x ?=+过坐标原点”的( ) A .充分而不必要条件?? ?B.必要而不充分条件 C .充分必要条件? D.既不充分也不必要条件 (4)执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 A .1? B . 23??C.1321 D.610987 (5)函数()f x 的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称,则()f x = A .1e x +????B.1e x - C.1e x -+? D.1e x -- (6)若双曲线22 221x y a b -= 则其渐近线方程为 A .2y x =± ?? B.y = C .1 2 y x =± D .y = (7)直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于 A.43 ? ?B .2 C.8 3 ?

[最新修正版]2014高考数学全套知识点(通用版)

[最新修正版]2014高考数学全套知识点(通用版) 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 若,则实数的值构成的集合为 B A a ? (答:,,)-??? ??? 1013 3. 注意下列性质: {} ()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n ()若,;2A B A B A A B B ??== (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==, 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()(∵,∴ ·∵,∴ ·,,)335 30 555 50 15392522∈--

若为真,当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真,当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B 中有元素无原象) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? ()() 例:函数的定义域是y x x x = --432 lg ()()() (答:,,,)022334 10. 如何求复合函数的定义域? []如:函数的定义域是,,,则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_。 [](答:,)a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? ( ) 如:,求f x e x f x x +=+1(). 令,则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--21 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-21 210 12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗?

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值

2014年高考文科数学真题解析分类汇编:N单元 选修4系列(纯word可编辑)

数 学 N 单元 选修4系列 N1 选修4-1 几何证明选讲 15.[2014·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1-1所示,在平行四边形ABCD 中,点E 在AB 上且EB =2AE ,AC 与DE 交于点F ,则△CDF 的周长△AEF 的周长 =________. 图1-1 15.3 [解析] 本题考查相似三角形的性质定理,周长比等于相似比.∵EB =2AE ,∴AE =13AB =13CD .又∵四边形ABCD 是平行四边形,∴△AEF ~△CDF ,∴△CDF 的周长△AEF 的周长=CD AE =3. 21.[2014·江苏卷] A .[选修4-1:几何证明选讲] 如图1-7所示,AB 是圆O 的直径,C ,D 是圆O 上位于AB 异侧的两点. 证明:∠OCB =∠D . 图1-7 证明:因为B ,C 是圆O 上的两点,所以OB =OC , 所以∠OCB =∠B . 又因为C ,D 是圆O 上位于AB 异侧的两点, 所以∠B ,∠D 为同弧所对的两个圆周角, 所以∠B =∠D ,因此∠OCB =∠D . [2014·江苏卷] B .[选修4-2:矩阵与变换] 已知矩阵A =??????-1 21 x ,B =???? ??1 12 -1,向量α=??????2y ,x ,y 为实数.若=,求x +y 的值. 解:由已知得,=???? ??-1 2 1 x 错误!=错误!), B α=错误! ))错误!)=错误!). 因为=,所以??????-2+2y 2+xy )=???? ??2+y 4-y ). 故?????-2+2y =2+y ,2+xy =4-y ,解得?????x =-12,y =4,

2018-2020三年高考数学分类汇编

专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.(2020?北京卷)已知集合{1,0,1,2}A =-,{|03}B x x =<<,则A B =( ). A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.(2020?全国1卷)设集合A ={x |x 2–4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |–2≤x ≤1},则a =( ) A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.(2020?全国2卷)已知集合U ={?2,?1,0,1,2,3},A ={?1,0,1},B ={1,2},则()U A B ?=( ) A. {?2,3} B. {?2,2,3} C. {?2,?1,0,3} D. {?2,?1,0,2,3} 4.(2020?全国3卷)已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B 中元素的个数为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.(2020?江苏卷)已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=,则A B =_____. 6.(2020?新全国1山东)设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2

2014年北京市高考数学试卷(理科)

2014年北京市高考数学试卷(理科) 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1.(5分)(2014?北京)已知集合A={x|x2﹣2x=0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2} 2.(5分)(2014?北京)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是() A.y=B.y=(x﹣1)2 C.y=2﹣x D.y=log0.5(x+1) 3.(5分)(2014?北京)曲线(θ为参数)的对称中心() A.在直线y=2x上B.在直线y=﹣2x上 C.在直线y=x﹣1上D.在直线y=x+1上 4.(5分)(2014?北京)当m=7,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出的S的值为() A.7B.42C.210D.840 5.(5分)(2014?北京)设{a n}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{a n}为递增数列” 的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.(5分)(2014?北京)若x,y满足,且z=y﹣x的最小值为﹣4,则k的值为() A.2B.﹣2C.D.﹣ 7.(5分)(2014?北京)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C (0,2,0),D(1,1,),若S1,S2,S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy,yOz,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则() A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3 C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1 8.(5分)(2014?北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,则这一组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) 9.(5分)(2014?北京)复数()2=. 10.(5分)(2014?北京)已知向量,满足||=1,=(2,1),且+=(λ∈R),则|λ|=. 11.(5分)(2014?北京)设双曲线C经过点(2,2),且与﹣x2=1具有相同渐近线,则 C的方程为;渐近线方程为. 12.(5分)(2014?北京)若等差数列{a n}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=时,{a n}的前n项和最大. 13.(5分)(2014?北京)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种. 14.(5分)(2014?北京)设函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0) 若f(x)在区间[,]上具有单调性,且f()=f()=﹣f(),则f(x)的最小正周期为.

2014高考数学必考知识点:立体几何

2014高考数学必考知识点:立体几何 考试内容 平面及其基本性质.平面图形直观图的画法. 平行直线.对应边分别平行的角.异面直线所成的角.异面直线的公垂线.异面直线的距离.直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定与性质.点到平面的距离.斜线在平面上的射影.直线和平面所成的角.三垂线定理及其逆定理. 平行平面的判定与性质.平行平面间的距离.二面角及其平面角.两个平面垂直的判定与性质. 多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球. 考试要求 (1)掌握平面的基本性质,会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形,能够根据图形想像它们的位置关系.(2)掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理,掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离. (3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理;掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理;掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理. (4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理,掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念,掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理. (5)会用反证法证明简单的问题. (6)了解多面体、凸多面体的概念,了解正多面体的概念. (7)了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图. (8)了解棱锥的概念,掌握正棱锥的性质,会画正棱锥的直观图. (9)了解球的概念,掌握球的性质,掌握球的表面积、体积公式. 9(B).直线、平面、简单几何体 考试内容: 平面及其基本性质.平面图形直观图的画法. 平行直线. 直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定.三垂线定理及其逆定理. 两个平面的位置关系. 空间向量及其加法、减法与数乘.空间向量的坐标表示.空间向量的数量积. 直线的方向向量.异面直线所成的角.异面直线的公垂线.异面直线的距离. 直线和平面垂直的性质.平面的法向量.点到平面的距离.直线和平面所成的角.向量在平面内的射影. 平行平面的判定和性质.平行平面间的距离.二面角及其平面角.两个平面垂直的判定和性质. 多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球. 考试要求: (1)掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图:能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系.(2)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理;理解直线和平面垂直的概念.掌握直线和平面垂直的判定定理;掌握三垂线定理及其逆定理. (3)理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘.

2017年高考数学空间几何高考真题

2017年高考数学空间几何高考真题

2017年高考数学空间几何高考真题 一.选择题(共9小题) 1.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是() A.B.C. D. 2.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为() A.πB.C.D. 3.在正方体ABCD﹣A 1B 1 C 1 D 1 中,E为棱CD的中点,则() A.A 1E⊥DC 1 B.A 1 E⊥BD C.A 1 E⊥BC 1 D.A 1 E⊥AC 4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为() A.60 B.30 C.20 D.10

5.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm2)是() A.+1 B.+3 C.+1 D.+3 6.如图,已知正四面体D﹣ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点,AP=PB,==2,分别记二面角D﹣PR﹣Q,D﹣PQ﹣R,D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ,则() A.γ<α<β B.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α 7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为() A.90πB.63πC.42πD.36π

1.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为() A.10 B.12 C.14 D.16 2.已知直三棱柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1 =1,则异面直线 AB 1与BC 1 所成角的余弦值为() A. B.C.D. 二.填空题(共5小题) 8.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC的体积为9,则球O的表面积为. 9.长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为. 10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为. 11.由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.

2019-2020高考数学试题分类汇编

2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1,(全国1理1)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N = A .}{43x x -<< B .}42{x x -<<- C .}{22x x -<< D .}{23x x << 2,(全国1文2)已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===,,,则U B A = A .{}1,6 B .{}1,7 C .{}6,7 D .{}1,6,7 3,(全国2理1)设集合A ={x |x 2–5x +6>0},B ={x |x –1<0},则A ∩B = A .(–∞,1) B .(–2,1) C .(–3,–1) D .(3,+∞) 4,(全国2文1)已知集合={|1}A x x >-,{|2}B x x =<,则A ∩B = A .(-1,+∞) B .(-∞,2) C .(-1,2) D .? 5,(全国3文、理1)已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤,,则A B = A .{}1,0,1- B .{}0,1 C .{}1,1- D .{}0,1,2 6,(北京文,1)已知集合A ={x |–11},则A ∪B = (A )(–1,1) (B )(1,2) (C )(–1,+∞) (D )(1,+∞) 7,(天津文、理,1)设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤∈R ,则A B = . 10,(上海1)已知集合{1A =,2,3,4,5},{3B =,5,6},则A B = . 一、 集合(2020) 1.(2020?北京卷)已知集合{1,0,1,2}A =-,{|03}B x x =<<,则A B =( ). A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.(2020?全国1卷)设集合A ={x |x 2–4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |–2≤x ≤1},则 a =( ) A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.(2020?全国2卷)已知集合U ={?2,?1,0,1,2,3},A ={?1,0,1},B ={1,2},则()U A B ?=( ) A. {?2,3} B. {?2,2,3} C. {?2,?1,0,3} D. {?2,?1,0,2,3} 4.(2020?全国3卷)已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B 中元素的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.(2020?江苏卷)已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=,则A B =_____.

2014年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年北京市高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 2 y= 3.(5分)(2014?北京)曲线(θ为参数)的对称中心() ( (

4.(5分)(2014?北京)当m=7,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出的S的值为() 1>

6.(5分)(2014?北京)若x,y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4,则k的值为 作出可行域如图, (﹣ (﹣ ﹣

7.(5分)(2014?北京)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C (0,2,0),D(1,1,),若S1,S2,S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy,yOz,zOx , = 8.(5分)(2014?北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语

二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) 9.(5分)(2014?北京)复数()2=﹣1. ) 10.(5分)(2014?北京)已知向量,满足||=1,=(2,1),且+=(λ∈R),则|λ|= . =.由于向量,|,且+( = ,满足||=1=+=( 故答案为:

11.(5分)(2014?北京)设双曲线C经过点(2,2),且与﹣x2=1具有相同渐近线,则 C的方程为;渐近线方程为y=±2x. ﹣具有相同渐近线的双曲线方程可设为 , ﹣, 故答案为:, 12.(5分)(2014?北京)若等差数列{a n}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=8时,{a n}的前n项和最大. 13.(5分)(2014?北京)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有36种.

2018年高考数学空间几何高考真题

2017年高考数学空间几何高考真题 ?选择题(共9小题) 1 ?如图,在下列四个正方体中,A, B为正方体的两个顶点,M , N, Q为所在 棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是() 2. 已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为() A. n B. C. D. 3. 在正方体ABCD- A i B i CD i中,E为棱CD的中点,贝U( ) A. A i E± DC i B. A i E丄BD C A i E丄BG D. A i E丄AC 4. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( A. 60 B. 30 C. 20 D . i0 侧〔左)视圄 C

5?某几何体的三视图如图所示(单位:cm ), 则该几何体的体积(单位:cm 2) 是( ) 6?如图,已知正四面体 D -ABC (所有棱长均相等的三棱锥),P 、Q 、R 分别为 AB 、BC CA 上的点,AP=PB ==2,分别记二面角 D- PR- Q , D- PQ- R, D - A .产 aV B B. aV 产 B C ? a< Y D. p< 产 a 7. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( ) A . 90 n B. 63 n C. 42 n D . 36 n 1 .某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 D . +3 +1

4 角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中 有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ) A . 10 B. 12 C. 14 D . 16 2. 已知直三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中,/ ABC=120, AB=2, BC=CC=1,则异面直线 AB 1与BG 所成角的余弦值为( ) A . B. C. D. 二.填空题(共5小题) 8. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球0的球面上,SC 是球0的直径.若平 面SCAL 平面SCB SA=AC SB=BC 三棱锥S-ABC 的体积为9,则球0的表面 积为 _______ . 9. 长方体的长、宽、高分别为3, 2,1,其顶点都在球0的球面上,则球0的 表面积为 _______ . 10. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为 18, 则这个球的体积为 ________ . 11. 由一个长方体和两个亍圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的

2014年北京市高考理科数学试卷及答案解析(word版)

2014年北京高考数学(理科)试题 一.选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==,则A B =( ) .{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D 2.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( ) .A y 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ =-+??=+?(θ为参数)的对称中心( ) .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上 4.当7,3m n ==时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ) .7A .42B .210C .840D 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列,则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的( ) .A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥?? -+≥??≥? 且z y x =-的最小值为-4,则k 的值为( )

.2A .2B - 1.2C 1 .2 D - 7.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知()2,0,0A ,()2,2,0B ,()0,2,0C ,(D ,若 1S ,2S ,3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ,yOz ,zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积,则( ) (A )123S S S == (B )12S S =且 31S S ≠ (C )13S S =且 32S S ≠ (D )23S S =且 13S S ≠ 8.有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学,且至少有一科成绩比B 高,则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学, 他们之间没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生( ) (A )2 (B )3 (C )4 (D )5 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) 9.复数2 11i i +?? = ?-?? ________. 10.已知向量a 、b 满足1a =,()2,1b =,且()0a b R λλ+=∈,则 λ=________. 11.设双曲线C 经过点()2,2,且与2 214 y x -=具有相同渐近线,则C 的方程为________; 渐近线方程为________. 12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>,7100a a +<,则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 13. 把5件不同产品摆成一排,若产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(?ω+=x x f ,0,0>>ωA ,若)(x f 在区间]2 ,6[π π上具有单调性,且 ?? ? ??-=??? ??=??? ??6322πππf f f ,则)(x f 的最小正周期为________.

2014高考数学大纲——知识点总结

(一)必考容与要求 1. 集合 (1) 集合的含义与表示 ① 了解集合的含义、元素与集合的属于关系。 ② 能用自然语言、图形语言、几何语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。 (2) 集合间的基本关系 ① 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。 ② 在具体情境中,了解全集与空集的含义。 (3) 集合的基本运算 ① 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。 ② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会要求给定及子集的补集。 ③能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系与运算。 2. 函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数。幂函数) (1) 函数 ① 了解构成函数的要素,会简单求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。 ② 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数。 ③ 了解简单的分段函数,并能简单应用。 ④ 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义:结合具体函数,了解函数奇偶性的含义。 ⑤ 会运用函数图象理解和研究函数的性质。 (2) 指数函数 ① 了解指数函数模型的实际背景。 ② 理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的含义,掌握幂的运算。 ③ 理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点。 ④ 知道指数函数是一类重要的函数模型。 (3) 对数函数 ① 理解对数函数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用。 ② 理解对函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点。 ③ 知道对数函数是一类重要的函数模型。 ④ 了解指数函数与对数函数互为反函数(a﹥0,且a≠1) (4) 幂函数 ① 了解幂函数的概念。 ② 结合函数的图像,了解它们的变化情况。 (5) 函数与方程 ①结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 ③ 根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解。 (6) 函数模型及其应用

最新高考数学分类理科汇编

精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月

1.(2018 全国卷 1 理科)设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = ( ) A.0 B. 1 C.1 D. 2 2(2018 全国卷 2 理科) 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3(2018 全国卷 3 理科) (1 + i )(2 - i ) = ( ) A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4(2018 北京卷理科)在复平面内,复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5(2018 天津卷理科) i 是虚数单位,复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6(2018 江苏卷)若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ,其中 i 是虚数单位,则 z 的实部为 . 7(2018 上海卷)已知复数 z 满足(1+ i )z = 1- 7i (i 是虚数单位),则∣z ∣= . 2

集合 1.(2018 全国卷1 理科)已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =() A. {x | -1 2} B. {x | -1 ≤x ≤ 2} D. {x | x ≤-1}Y{x | x ≥ 2} 2(2018 全国卷2 理科)已知集合A={(x,y)x2 元素的个数为() +y2 ≤3,x ∈Z,y ∈Z}则中 A.9 B.8 C.5 D.4 3(2018 全国卷3 理科)已知集合A ={x | x -1≥0},B ={0 ,1,2},则A I B =() A. {0} B.{1} C.{1,2} D.{0 ,1,2} 4(2018 北京卷理科)已知集合A={x||x|<2},B={–2,0,1,2},则A I B =( ) A. {0,1} B.{–1,0,1} C.{–2,0,1,2} D.{–1,0,1,2} 5(2018 天津卷理科)设全集为R,集合A = {x 0

2014北京市高考理科数学(理)试题真题及答案

2014年北京市高考数学(理科)试题及答案 一.选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==,则A B =( ) .{0}A .{0,1} B .{0,2} C .{0,1,2} D 2.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( ) .A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.l o g (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ =-+??=+?(θ为参数)的对称中心( ) .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上 4.当m=7,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ) .7A .42B .210C .840D 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列,则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的( ) .A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥??-+≥??≥? 且z y x =-的最小值为-4,则k 的值为( ) .2A .2B - 1.2C 1.2 D - 7.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知()2,0,0A ,()2,2,0B ,()0,2,0C ,(D ,若 1S ,2S ,3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ,yOz ,zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积,则( ) (A )123S S S == (B )12S S =且 31S S ≠ (C )13S S =且 32S S ≠ (D )23S S =且 13S S ≠ 8.有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学,且至少有一科成绩比B 高,则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学, 他们之间没有一个人比另一个成绩好,学科 网且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生( ) (A )2 (B )3 (C )4 (D )5 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) 9.复数211i i +??= ?-?? ________. 10.已知向量a 、b 满足1a =,()2,1b =,且()0a b R λλ+=∈,则λ=________. 11.设双曲线C 经过点()2,2,且与2 214 y x -=具有相同渐近线,则C 的方程为________; 渐近线方程为________.

2020年高考数学 空间几何体解答题 专练(含答案)

2020年高考数学空间几何体解答题专练 1.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠PDA=45°,点E、F分别为 棱AB、PD的中点. (1)求证:AF∥平面PCE; (2)求证:平面PCE⊥平面PCD; (3)求三棱锥C-BEP的体积. 2.如图,在直三棱柱ABC-A B1C1中,AB=AC,P为AA1的中点,Q为BC的中点。 1 (1)求证:PQ//平面A1BC1; (2)求证:BC⊥PQ。

3.如图,在直三棱柱ABC-A B1C1中,AC⊥BC,A1B与AB1交于点D,A1C与AC1交于点E.求证: 1 (1)DE∥平面B1BCC1; (2)平面A1BC⊥平面A1ACC1. 4.如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形,平面PBD⊥平面ABCD,PB=PD,PA⊥PC, CD⊥PC,O,M分别是BD,PC的中点,连结OM. (1)求证:OM∥平面PAD; (2)求证:OM⊥平面PCD.

5.如图,在直四棱柱ABCD–A B1C1D1中,已知底面ABCD是菱形,点P是侧棱C1C的中点. 1 (1)求证:AC1∥平面PBD; (2)求证:BD⊥A1P. 6.如图,直四棱柱ABCD–A B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC, 1 BB1,A1D的中点. (1)证明:MN∥平面C1DE; (2)求二面角A?MA1?N的正弦值.

7.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AD=2AB,E,F是线段BC,AB的中 点. (1)证明:ED⊥PE; (2)在线段PA上确定点G,使得FG∥平面PED,请说明理由. 8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面是棱长为1的菱形,∠ADC=60°,, M是PB的中点. (1)求证:PD∥平面ACM; (2)求直线CM与平面PAB所成角的正弦值.

2015-2019全国卷高考数学分类汇编——集合

2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥},B={x |-2≤x <2=,则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2) C .[-1,1] D .[1,2) 2014年2卷 1.设集合M={0,1,2},N={}2|320x x x -+≤,则M N ?=( ) A. {1} B. {2} C. {0,1} D. {1,2} 2015年2卷 (1) 已知集合A ={-2,-1,0,2},B ={x |(x -1)(x +2)<0},则A ∩B = (A ){-1,0} (B ){0,1} (C ){-1,0,1} (D ){0,1,2} 2016年1卷 (1)设集合2{|430}A x x x =-+<,{|230}B x x =->,则A B =( ) (A )3(3,)2--(B )3(3,)2-(C )3(1,)2(D )3 (,3)2 2016-2 (2)已知集合{1,}A =2,3,{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ,则A B =( ) (A ){1}(B ){12},(C ){0123},,,(D ){10123}-,,,,

2016-3 (1)设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ,则S I T =( ) (A) [2,3] (B)(-∞ ,2]U [3,+∞) (C) [3,+∞) (D)(0,2]U [3,+∞) 2017-1 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =< B .A B =R C .{|1}A B x x => D .A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =,{}240x x x m B =-+=.若{}1A B =,则B =( ) A .{}1,3- B .{}1,0 C .{}1,3 D .{}1,5 2017-3 1.已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ,B ={}(,)x y y x =│,则A B 中元素的个数为 A .3 B .2 C .1 D .0 2018-1 2.已知集合{}220A x x x =-->,则A =R e A .{}12x x -<< B .{}12x x -≤≤ C .}{}{|1|2x x x x <-> D .}{}{|1|2x x x x ≤-≥

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