高考湖南师大附中高三第六次月考试卷数学(文)(4)

湖南师大附中高三第六次月考试卷

数 学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），试题满分150分.考试时量120分钟.

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的选项中只有一项是

符合题目要求的） 1．给出下列函数：①3x x y -=，②x x x y cos sin +?=，③x x y cos sin ?=， ④x x y -+=22，其中是偶函数的有

（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 2．若α、β终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是

（ ）

A ．βαsin sin =

B ．βαcos cos =

C ．βαtan tan =

D ．βαcot cot =

3．设全集U=R ，(},034|{},2|||{2

A x x x

B x x A 则<+-=>= B ）是 （ ）

A ．}2|{-

B ．}32|{≥-

C ．}3|{≥x x

D ．}32|{<≤-x x 4．函数x

x x f 9

)(+=的单调递增区间是

（ ）

A ．（－3，3）

B ．),3(),3,(+∞--∞

C ．（－3，+∞）

D ．（－3，0），（0，3）

5．设等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，若2:1:36=S S ，则=39:S S （ ）

A ．1:2

B ．2:3

C ．3:4

D ．1:3

6．若1212221012)23(x a x a x a a x ++++=+ ，则-++++2

11531)(a a a a 212420)(a a a a ++++ 的值是 （ ）

A ．1

B ．－1

C ．2

D ．－2

7．在平面α内的两条直线l 、m 都平行于平面β是平面βα//的 （ ）

C ．充分必要条件

D ．不充分也不必要条件

8．把)(x f =3x 的反函数)(1

x f -图象向右平移2个单位就得到曲线C ，函数)(x g 的图象与曲

线C 关于x y =成轴对称，那么)(x g 等于

（ ）

A ．2)()(+=x f x g

B ．2)()(-=x f x g

C ．)2()(+=x f x g

D ．)2()(-=x f x g

9．已知点A 为双曲线122=-y x 的顶点，点B 和点C 在双曲线的同一分支上，且A 与B

在y 轴的异侧，则正△ABC 的面积是 （ ）

A ．

3

3

B ．

33

2 C ．33

D ．36

10．设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过其焦点的直线交于两点A 、B ，则?等于

（ ）

A ．

4

3 B ．4

3-

C ．－3

D ．3

11．记函数x x x f sin 3)(2

+=在区间[－2，2]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M+m 的 值为 （ ） A ．0 B ．3 C ．6 D ．8

12．13年前有一笔扶贫助学资金，每年的存款利息（年利率11.34%，不扣税）可以资助100

人上学，平均每人每月94.50元。现在（存款年利率1.98%，并且扣20%税）用同样一 笔资金每年的存款利息最多可以资助（ ）人上学（平均每人每月100元）. A ．10 B ．13 C ．15 D ．20

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分，请把各题答案填在题中横线上） 13．若5

3

)4tan(-=+

π

α则α2tan 的值是 . 14．一个单位有职工360人，其中业务人员276人，管理人员36人，后勤人员48人.为了了

解职工的住房情况，要从中抽取一个容量为30的样本，则应该采用 的抽样方法，且应从后勤人员中抽取 人.

15．某学校要从高三的6个班中派9名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派1人，

则这9个名额的分配方案共有 种.（用数字作答）

CE、BE把梯形折成四个面都是直角三角形的三棱锥，使点A、D重合，则这三棱锥的体积等于.

三、解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在人寿保险业中，要重视某一年龄的投保人的死亡率，经过随机抽样统计，得到某城市一个投保人能活到75岁的概率为0.60，试问：

（1）3个投保人都能活到75岁的概率；

（2）3个投保人中只有1人能活到75岁的概率；

（3）3个投保人中至少有1人能活到75岁的概率.（结果精确到0.01）

18．（本小题满分12分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a3=6, S9=36, （1）写出数列{a n}的通项公式；

（2）若b n=n a2

2证明数列{b n}是等比数列，并求数列{b n}的各项和.

19．（本小题满分12分）已知三棱锥P —ABC 中PB ⊥底面ABC ，?=∠90BCA ，

PB=BC=CA=a ，E 是PC 的中点，点F 在PA 上，且3PF=FA. （1）求证：平面PAC ⊥PBC ；

（2）求平面BEF 与底面ABC 所成角（用一个反三角函数值表示）.

20．（本小题满分12分）已知向量))3(,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA +--=-=-=.

①若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；

②若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值. .

21．（本小题满分12分）设函数d cx bx ax x f 42)(2

3

++-= （a 、b 、c 、d ∈R ）图象关于

原点对称，且x =1时，)(x f 取极小值.3

2

- （1）求a 、b 、c 、d 的值；

（2）当]1,1[-∈x 时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明

你的结论；

（3）若]1,1[,21-∈x x 时，求证：3

4|)()(|21≤-x f x f .

22．（本小题满分14分）已知).)),,1(),0,(b b y b x a -⊥+== （1）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；

（2）若直线2:+=x y l 与曲线C 交于P 、Q 两点，求|PQ|的长；

（3）若直线1:-=kx y l 与曲线C 交于A 、B 两点，并且A 、B 在y 轴的同一侧，求实

湖南师大附中高三第六次月考试卷

数学参考答案（文科）

一、选择题答案：

1.B

2.A

3.B

4.B

5.C

6.B

7.B

8.A

9.C 10.B 11.C 12.B

二、填空题答案：

13．

158 14．分层抽取；4 15．56 16．12

6 三、解答题

17．（1）22.0)6.0()3(33≈=P

（2）29.016.06.03)6.01(6.0)1

(21

33≈??=-??=C P （3）94.0064.01)6.01(13≈-=--=P 18．（1）已知等差数列分中2,4,2

292)(936,6}{55

9193 =∴?=+=

==a a a a S a a n 分4,8,12,2211335 =-=∴+=-=-=a d d a a a a d

∴数列{a n }的通项公式分即59),1(8 n a n a n n -=--= 证明：（2）由（1）分常数则若8)(21222

2,2,2922927122)1(22 ====-=--++n n a a

n n a n n n n n

b b b n a

又7122

2

==a b ，

∴数列{b n }是首项为27，公比为4

1

的等比数列……10分 ∵数列{b n }的公比0<

4

1

<1， ∴数列{b n }的各项和分123512

4

112171 =-=-=

q b S 19．（1）证明：∵PB ⊥底面ABC ，∴PB ⊥AC …………1分，又∠BCA=90°

∴AC ⊥平面PBC …………4分

又AC ?平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBC …………5分 （2）解：设FE 的延长线与AC 的延长线交于M ，连MB ，

则MB 为平面BEF 与平面ABC 的交线…………6分

在平面PCA 中，由已知E 是PC 的中点，F 是PA 的四等分点，

a AC MC 2

1

21==

∴…………7分 取BC 的中点H ，则EH//PB ， ∴EH ⊥底面ABC …………8分

过H 作HO ⊥MB 于O ，由三垂线定理，EO ⊥MB

在a HO BCM Rt 10

5

,=

?中，在a EH EHO Rt 21,....=?中…………10分

5tan ==

∠∴HO

EH

EOH …………11分 即平面BEF 与底面ABC 所成二面角的大小为5arctan …………12分

若利用面积射影法，指出△HDB 是△EFB 在底面ABC 上的射影，并计算出其面积

2161a S =

射影…………7分 计算出2

16

6a S EFB =?…………10分 6

1cos =

=

?EFB

S S 射影θ…………11分

即平面BEF 与底面ABC 所成二面角的大小为6

6

arccos

…………12分 20．解①已知向量))3(,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA +--=-=-=

若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线，………………2分

),1,2(),1,3(m m --== …………5分 故知m m -≠-2)1(3……7分

∴实数2

1

≠

m 时，满足的条件…………8分 （若根据点A 、B 、C 能构成三角形，必须|AB|+|BC|＞|CA|…相应给分） ②若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AC AB ⊥，

0)1()2(3=-+-∴m m …………10分 解得4

7

=

m …………12分

21．解（1）∵函数)(x f 图象关于原点对称，∴对任意实数)()(x f x f x -=-有，

d cx bx ax d cx bx ax 42422323--+-=+---∴，即022=-d bx 恒成立……1分 0,0==∴d b …………2分 c ax x f cx ax x f +='+=∴233)(,)(，

1=x 时，)(x f 取极小值3203,32-=+=+∴-c a c a 且，解得1,3

1

-==c a …4分

（2）当]1,1[-∈x 时，图象上不存在这样的两点使结论成立.…………5分

假设图象上存在两点),(11y x A 、),(22y x B ，使得过此两点处的切线互相垂直，

则由,1)(2-='x x f 知两点处的切线斜率分别为1,12

22211-=-=x k x k ， 且1)1()1(2221-=-?-x x …………（*）…………7分

1x 、]1,1[2-∈x ，0)1()1(,01,0122212221≥-?-∴≤-≤-∴x x x x

此与（*）相矛盾，故假设不成立.………………8分

证明（3）)1,(,1,0)(,1)(2--∞∈±=='-='x x x f x x f 得令， 或0)(,)1,1(;0)(,),1(<'-∈>'+∞∈x f x x f x 时时，

]1,1[)(-∴在x f 上是减函数，且3

2

)1()(,32)1()(min max -===

-=f x f f x f ……10分 ∴在[－1，1]上，]1,1[,,3

2

|)(|21-∈≤

x x x f 于是时， 3

4

3232|)(||)(||)()(|2121=+≤+≤-x f x f x f x f .…………12分

22．解（1）由0))),)=-?+-⊥+b b b b 得到…………1分

又),13(,13(),,1(),0,(y x y x y x --=-+=+==………3分

0)()13()13(=-?+-?+∴y y x x ，故所求的轨迹方程是1322=-y x ……5分

（2）设),(11y x P 、),(22y x Q ，把,1322

2

=-+=y x x y 代入整理得

分由韦达定理分

75.2,26054221212 -==+=--x x x x x x

972)524(2]4)[(2||21221 =?+=-+∴x x x x PQ 分

(3) 设),(11y x A 、),(22y x B ，把1312

2

=--=y x kx y 代入，得

366,003,022)3(222±≠<<->?≠-=-+-k k k kx x k 且得且由…11分

∵A 、B 在y 轴的同一侧，021>∴x x ，得到33>-

综上，得)6,3()3,6( --∈k .…………14分