时间序列分析方法 (刘金全)
时间序列分析讲义
Time Series Analysis
吉林大学商学院刘金全
时间序列分析原来是“概率论与数理统计”领域当中的一个重要分支，其中有国际著名的学术杂志“时间序列分析”。由于在过去的二十几年当中，时间序列分析方法在经济学的定量分析当中获得了空前的成功应用，因此所出现的“时间序列计量经济学”已经成为了“实证宏观经济学”的同意语或者代名词。由此可见，作为宏观经济研究，甚至已经涉及到微观经济分析，时间序列分析方法是十分重要的。
时间序列分析方法之所以在经济学的实证研究中如此重要，其主要原因是经济数据大多具有时间属性，都可以按照时间顺序构成时间序列，而时间序列分析正是分析这些时间序列数据动态属性和动态相关性的有力工具。从一些典型的研究案例中可以看出，时间序列分析方法在揭示经济变量及其相关性方法取得了重要进展。
目前关于时间序列分析的教科书和专著很多。仅就时间序列本身而言的理论性论著也很多，例如本课程主要参考的Hamilton的“时间序列分析”，以及Box和Jankins的经典性论著“时间序列分析”；近年来出现了两本专门针对经济学和金融学所编写的时间序列专著，这也是本课程主要参考的教材。另外需要注意的是，随着平稳性时间序列方法的成熟和解决问题所受到的局限性的暴露，目前研究非平稳时间序列的论著也正在出现，其中带有结构性特征的非平稳时间序列分析方法更是受到了广泛重视。
本课程将介绍时间序列分析的基本方法，预计讲授时间为54学时。本课程将布置一定的作业，并且进行笔试。
主要参考书目：
[1] Box, G. E. P. and Jenkins, G. M., Time Series Analysis: Forecasting and Control, Holden Day, 1976.
[2] Enders W., Applied Econometric Time Series, John Wiley & Sons, Inc., 1995.
[3] Mill, T. C., The Econometric Modelling of Financial Time Series, second edition, Cambridge University Press, 1999.
[4] 李子奈, 叶阿忠, 高等计量经济学, 清华大学出版社, 2000年.
[5] Hargreaves, C. P., Nonstationary Time Series Analysis and Cointegration, Oxford University Press, 1994.
[6] Kim, C. J. and Nelson, C. R., State-Space Models with Regime Switching: Classical and Gibbs-Sampling Approaches with Applications. The MIT Press, 1999.
[7] Banerjee, A., Dolado, J. J. and Hendry, D. F., Cointegration, Error Correction and the Economic Analysis of Non-Stationary Data, Oxford University Press, 1993.
[8] Hendry, D. F., Dynamic Econometrics, Oxford University Press, 1995.
[9] Barnett, W. A., Kirman, A. P. and Salmon, M., eds., Nonlinear Dynamics and Economics, Cambridge University Press, 1996.
[10] Harvey, A. C., Forecasting Structural Time Series Models and the Kalman Filter, Cambridge University Press, 1989.
第一章 差分方程
差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。
§1.1 一阶差分方程
假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程：
t t t w y y ++=-110φφ (1.1)
在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。
例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为：
ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=-
上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。
1.1.1 差分方程求解：递归替代法
差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。
由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程：
0=t ：01100w y y ++=-φφ 1=t ：10101w y y ++=φφ
t t =：t t t w y y ++=-110φφ
依次进行叠代可以得到：
1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ
0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=-
i t
i i t t i i
t w y y ∑∑=-=++=0
111
1
0φφφφ (1.2)
上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将
t y 表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出t y 对这些变量取值的依赖性和动态变化
过程。
1.1.
2. 差分方程的动态分析：动态乘子(dynamic multiplier)
在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如0w 的变化对t 阶段以后的t y 的影响。假设初始值1-y 和t w w ,,1 不受到影响，则有：
t t
w y 10
φ=?? (1.3) 类似地，可以在解的表达式中进行计算，得到： j t
j
t w y 1φ=??+ (1.4) 上述乘子仅仅依赖参数1φ和时间间隔j ，并不依赖观测值的具体时间阶段，这一点在任何差分方程中都是适用的。
例1.2 货币需求的收入乘子 在我们获得的货币需求函数当中，可以计算当期收入一个单位的变化，对两个阶段以后货币需求的影响，即： t
t
t t t t t t I w I w w m I m ??=?????=??++2122φ 利用差分方程解的具体系数，可以得到： 19.0=??t
t
I w ，72.01=φ 从而可以得到二阶乘子为： 098.02
=??+t
t I m 注意到上述变量均是对数形式，因此实际上货币需求相对于两个阶段以前收入的弹性系数，这意味着收入增长1%，将会导致两个阶段以后货币需求增加0.098%，其弹性是比较微弱的。
定义1.1 在一阶线性差分方程中，下述乘子系列称为t y 相对于外生扰动t w 的反应函数：
j t j
t j w y L 1φ=??=+， ,1,0=j (1.5)
显然上述反应函数是一个几何级数，其收敛性依赖于参数1φ的取值。 (1) 当101<<φ时，反应函数是单调收敛的； (2) 当011<<-φ时，反应函数是震荡收敛的； (3) 当11>φ时，反应函数是单调扩张的； (4) 当11-<φ时，反应函数是震荡扩张的；
可以归纳描述反应函数对于参数的依赖性：当1||1<φ时，反应函数是收敛的；当1||1>φ时，反应函数是发散的。
一个特殊情形是11=φ的情形，这时扰动将形成持续的单一影响，即t w 的一个单位变化将导致其后任何时间j t y +的一个单位变化：
1≡??=+t
j
t j w y L ， ,1,0=j
为了分析乘子的持久作用，假设时间序列t y 的现值贴现系数为β，则未来所有时间的
t y 流贴现到现在的总值为：
∑∞
=+0
j j t j y β (1.6)
如果t w 发生一个单位的变化，而t s w s >,不变，那么所产生的对于上述贴现量的影响为边际导数：
∑∑∑∞
=∞
=+∞=+-=
=??=??0
11/)(j j j j t
j t j
j t j t j w y w y φ
βφββ
β，1||<φβ
上述分析的是外生变量的暂时扰动，如果t w 发生一个单位的变化，而且其后的t s w s >,也都发生一个单位的变化，这意味着变化是持久的。这时持久扰动对于)(j t +时刻的j t y +的影响乘数是： 0111111φφφ+++=??++??+??-+++++ j j j
t j
t t t t j t w y w y w y (1.7) 当1||1<φ时，对上式取极限，并将其识为扰动所产生的持久影响：
11111
)(lim φ-=
??++??+??+++++∞→j t j t t t t j t j w y w y w y (1.8) 例1.3 货币需求的长期收入弹性 在例1.1中我们已经获得了货币的短期需求函数，从中可以求出货币需求的长期收入弹性为： 68.072
.0119
.0=-=?=t t t t t t dI dw dw dm dI dm 这说明收入增加1%最终将导致货币需求增加0.68%，这是收入对于货币需求反馈的持久影响效果。
如果换一个角度考察扰动的影响，那么我们需要分析一个单位的外生扰动对于t y 以后路径的累积影响，这时可以将这种累积影响表示为： φ-=??∑
∞=+110j t
j
t w y (1.9) 由此可见，如果能够估计出差分方程中的系数，并且了解差分方程解的结构，则可以对经济变量进行稳定性的动态分析。另外，我们也发现，内生变量对外生变量反应函数的性质比较敏感地依赖差分方程中的系数。
§1.2 p 阶差分方程
如果在方程当中允许t y 依赖它的p 阶前期值和输入变量，则可以得到下述p 阶线性差分方程(将常数项归纳到外生变量当中)：
t p t p t t t w y y y y ++++=---φφφ 2211 (1.10)
为了方便起见，将上述差分方程表示成为矩阵形式：
t t t v F +=-1ξξ (1.11)
其中：
???????
?????????=+---121p t t t t t y y y y ξ，????????
????????=-0
001
000000
100011321
p p F φφφφφ，???????
?
????????=000 t t w v 其实在方程(1.11)所表示的方程系统当中，只有第一个方程是差分方程(1.10)，而其余方程均是定义方程：
j t j t y y --=，p j ,,2,1 =
将p 阶差分方程表示成为矩阵形式的好处在于，它可以进行比较方便的叠代处理，同时可以更方便地进行稳定性分析。另外，差分方程的系数都体现在矩阵F 的第一行上。
进行向前叠代，可以得到差分方程的矩阵解为：
t t t t t t v v F v F v F F +++++=---+1111011 ξξ (1.12) 利用)(t j i f 表示矩阵t F 中第i 行、第j 列元素，则方程系统(1.12)中的第一个方程可以表
示为：
t t t t p t p t t t w w f w f w f y f y f y f y ++++++++=---+-+-+1)
1(111)1(110)(11)1(12)1(121)1(11
(1.13) 需要注意，在p 阶差分方程的解中需要知道p 个初值：),,,(21p y y y --- ，以及从时刻0开始时的所有外生变量的当前和历史数据：),,,(10t w w w 。
由于差分方程的解具有时间上的平移性，因此可以将上述方程(1.12)表示为：
j t j t t j t j t j j t v v F v F v F F +-++--+++++++=11111 ξξ (1.14) 类似地，表示成为单方程形式：
j
t j t t j t j p
t j p t j t j j t w w f w f w f y f y f y f y +-++--+-+-++++++++++=1)
1(111)1(11)(11)1(12)
1(121)1(11 (1.15)
利用上述表达式，可以得到p 阶差分方程的动态反应乘子为： )
(11
j t j
t j f w y L =??=+， ,1,0=j 由此可见，动态反应乘子主要由矩阵j F 的首个元素确定。 例1.4 在p 阶差分方程中，可以得到一次乘子为：
111)
1(1111φ===??=+F f w y L t t
二次乘子为：
221211)2(1121φφ+===??=+F f w y L t
t 虽然可以进一步通过叠代的方法求出更高阶的反应乘子，但是利用矩阵特征根表示则更为方便，主要能够更为方便地求出矩阵j F 的首个位置的元素。
根据定义，矩阵F 的特征根是满足下述的λ值：
0||=-p I F λ (1.16)
一般情况下，可以根据行列式的性质，将行列式方程转换为代数方程。 例1.5 在二阶差分方程当中，特征方程为： 01)(2122
1=--=--φλφλλφλφ
具体可以求解出两个特征根为：
()22111421φφφλ++=
，()
2211242
1
φφφλ+-= (1.17) 上述特征根的表达式在讨论二阶线性差分方程解的稳定性时，我们还要反复用到。 距阵F 的特征根与p 阶差分方程表达式之间的联系可以由下述命题给出：
命题1.1 距阵F 的特征根满足下述方程，此方程也称为p 阶线性差分方程的特征方程：
012211=--------p p p p p φλφλφλφλ
证明：根据特征根的定义，可知特征根满足：
0001
00000
10
1)(||1321=???
????
?
?????
???----=--λφφλφλφλφλ
p p p I F
对上述行列式进行初等变化，将第p 列乘以)/1(λ加到第1-p 列，然后将第1-p 列乘以)/1(λ加到第2-p 列，依次类推，可以将上述行列式方程变化为对角方程，并求出行列式值为：
012211=--------p p p p p φλφλφλφλ
这便是所求的p 阶线性差分方程的特征方程。 END 如果知道p 阶线性差分方程的特征方程及其特征根，不仅可以分析差分方程的动态反应
乘子，而且可以求解出差分方程解析解的动态形式。
1.2.1 具有相异特征根的p 阶线性差分方程的通解
根据线性代数的有关定理，如果一个方阵具有相异特征根，则存在非奇异矩阵T 将其化为对角矩阵，且对角线元素便是特征根：
1-Λ=T T F ，),,(1p diag λλ =Λ (1.18)
这时矩阵F 的乘级或者幂方矩阵可以简单地表示为：
11)(--Λ=Λ=T T T T F j j j ，),,(1j p j j diag λλ =Λ (1.19)
假设变量ij t 和ij t 分别表示矩阵T 和1-T 的第i 行、第j 列元素，则可以将上述方程利用矩阵形式表示为：
?
?
?
?
?
?
????
???????????
???
?????????????
???=pp p p p p p j p j
j
pp p p p p j t t t t t t t t t t t t t t t t t t F
2
1
2222112
112
12
122221
112
1100
000000
λλλ
从中可以获得：
j
p
p j j j p
p p j j j c c c t t t t t t F λλλλλλ+++=+++= 2211112211211111)(11)()()( (1.19)
其中：11j j j t t c =， ,1,0=j ，如此定义的序列具有下述约束条件(自行证明)：
121=+++p c c c (1.20)
具有上述表达式以后，在差分方程的解：
j
t j t t j t j p
t j p t j t j j t w w f w f w f y f y f y f y +-++--+-+-++++
++
+
+++=1
)1(111)1(11
)
(11
)1(12)1(121)1(11 (1.15)
中可以得到动态乘子为：
j
p
p j j j t
j
t j c c c f w y L λλλ+++==??=+ 2211)(11， ,1,0=j (1.21) 究竟系数序列j c 取值如何，下述命题给出了它的具体表达式。 命题1.2 如果矩阵F 的特征根是相异的，则系数j c 可以表示为：
∏≠=--=
p
i
k k k i p i i c ,11
)
(λλλ (1.22)
证明：由于假设矩阵F 具有相异的特征根，因此对角化的非奇异矩阵可以由特征向量构造。令向量i t 为：
]1,,,[21'=--i p i p i i t λλλ ，p i ,,2,1 =
其中i λ是矩阵F 的第i 个特征根。 经过运算可以得到：
i i i t t F λ=
由此可知i t 是矩阵F 的对应特征根i λ的特征向量，利用每个i t 做列就可以得到矩阵T 。
将矩阵p I T T =-1的第一列表示出来：
???
?????????????????=?????????????????
??
?????????????????????----------0000111
1
11,131
21
11112
1133231222211
1211
p p p p p
p p p p p p p p
p p t t t t t λλλλλλλλλλλλ 可以求解上述线性方程的解为： )
())((1
1312111p t λλλλλλ---= ，
)
())((1
2321211p t λλλλλλ---=
)
())((1
12111----=
p p p p t λλλλλλ
注意到：11i i i t t c =，p i ,,2,1 =，带入上述表达式即可得到结论。 END
例1.6 求解二阶差分方程：t t t t w y y y ++=--212.06.0 解：该方程的特征方程为：
02.06.02=--λλ
特征根为：
()84.0)2.0(4)6.0(6.02121=++=
λ，()
24.0)2.0(4)6.0(6.021
22-=+-=λ 778.0)(2111=-=λλλc ，222.0)
(122
2=-=λλλc
此方程的动态乘子为： j j j
j t
j
t j c c w y L )24.0(222.0)84.0(788.02211-+=+=??=+λλ， ,1,0=j
在上述乘子的作用过程中，绝对值教大的特征根决定了乘子的收敛或者发散过程。一般情形下，如果1λ是绝对值最大的特征根，则有：
11
)1
(
lim c w y j
t j t j =??+∞
→λ (1.23) 则动态乘子的收敛或者发散是以指数速度进行。
当一些特征根出现复数的时候，差分方程解的性质出现了新的变化，扰动反应函数将出现一定的周期性质。为此，我们讨论二阶差分方程的情形。
当04221<+φφ时，特征方程具有共扼复根，可以表示为：
bi a +=1λ，bi a -=2λ，
2/1φ=a ，2/1221)4)(2/1(φφ--=b
利用复数的三角函数或者指数表示法，可以将其写作：
)][exp(]sin [cos 1θθθλi R i R =+=，22b a R +=，a b /tan =θ
这时动态乘子可以表示为：
)][sin()()][cos()(21212211j R c c j R c c c c w y L j j j
j t
j
t j θθλλ-++=+=??=+
对于实系统的扰动分析，上述反应乘子应该是实数。由于1c 和2c 也是共扼复数，因此有：
βαi c +=1，βαi c -=2
则有：
)][sin(2)][cos(2j R j R w y L j j t j
t j θβθα-=??=+ (1.24)
如果1=R ，即复数处于单位圆上，则上述动态乘子出现周期性变化，并且影响不会消失；如果1
例1.7 求解二阶差分方程：t t t t w y y y +-=--218.05.0 解：该方程的特征方程为：
08.05.02=+-λλ
特征根为：
()i 86.025.0)8.0(4)5.0(5.021
21+=-+=
λ， ()
i 86.025.0)8.0(4)5.0(5.02
1
22-=--=λ
上述共扼复数的模为：
9.0)86.0()25.0(22=+=R
因为1 28.0/)cos(==R a θ，29.1=θ 由此可知动态乘子的周期为： 9.42=θ π 由此可知动态乘子的时间轨迹上，大于4.9个时间阶段便出现一次高峰。 1.2.2 具有相异特征根的二阶线性差分方程的通解 针对具体的二阶线性差分方程，可以讨论解的性质与参数21,φφ之间的关系。 a. 当04221<+φφ时，参数取值处于抛物线2214φφ-=的下方。这时特征方程具有复特征根，且复数的模为： 2221212224/)4()2/(φφφφ-=+-=+=b a R 因此，当102<-<φ时，此时解系统是震荡收敛的；当12=-φ是震荡维持的；当12>-φ时是震荡发散的。 b. 当特征根为实数时，我们分析最大特征根和最小特征的性质。此时04221>+φφ，且 ()()2211222111421421φφφλφφφλ+-=>++= () 142 1 22111>++=φφφλ 当且仅当1112<<<-λλ时解及其动态反应乘子是稳定的。下面我们判断非稳定情形。 如果： () 142 1 22111>++= φφφλ 即： 1221124φφφλ->+= 求解可知，使得不等式11>λ成立的参数解为： 21>φ，或者，121φφ-> 同理，使得不等式12-<λ成立的参数解为： 21-<φ，或者，121φφ+> 因此当特征方程具有相异实根的时候，稳定性要求参数落入抛物线上的三角形区域内。 c. 类似地可以说明，当特征方程具有相等实根的时候，即处于三角形内的抛物线上时，方程仍然具有稳定解，同时动态反应乘子也是收敛的。 1.2.3 具有重复特征根的p 阶线性差分方程的通解 在更为一般的情形下，矩阵F 可能具有重复的特征根，即具有重根。此时可以利用Jordan 标准型表示差分方程的解及其动态反应乘子。下面以二阶差分方程为例说明。 假设二阶差分方程具有重根，则可以将矩阵F 表示为： 1 01-??????=T T F λλ 计算矩阵乘积得到： 1 10--??????=T j T F j j j j λλλ 于是动态反应乘子可以表示为： j j j t j t j j k k f w y L λλ21) (11+==??=+ §1.3 长期和现值的计算 如果矩阵F 的所有特征根均落在单位圆内(即所有特征根的模小于1)，当时间间隔j 逐渐增大时，矩阵乘积j F 将趋于零矩阵。如果外生变量t w 和t y 的数据均是有界的，则可以利用t w 的所有历史数据表示差分方程的一个解： ++++=---332211t t t t t w w w w y ψψψ 其中) (11i i f =ψ，即矩阵j F 中的(1, 1)位置元素。可以在矩阵表示下，计算t w 的一个暂 时性变化形成的对t y 现值的影响。注意到利用向量求导得到： j t j t F v =' ??+ξ 这样一来，现值影响乘子可以表示为： 10 0)(-∞=∞=+-=∑=??????∑'??F I F v p j j j j j t j t ββξβ 上述矩阵级数收敛的条件是F 所有特征根的模均小于1-β。此时，t w 的一个暂时性变 化形成的对t y 现值的影响是矩阵1)(--F I p β的(1, 1)元素，可以利用下述命题求出。 命题：如果F 所有特征根的模均小于1-β，则有： (1) t w 的一个暂时性变化形成的对t y 现值的影响乘子是： p p j j t j t y w βφβφβφβ----=??? ???∑??∞=+ 221011 (2) t w 的一个暂时性变化形成的对t y 的持续影响乘子是： p j t j t w y φφφ----=∑ ??∞=+ 21011 (3) 发生在t w 上的持续变化导致的累积影响乘子是： p j t j t t j t t j t j w y w y w y φφφ----= ??? ???????++??+??+++++∞→ 21111 lim 证明：我们首先证明：如果F 所有特征根的模均小于1-β，则矩阵1)(--F I p β存在。假设此时逆矩阵不存在，则有)(F I p β-的行列式为零，即 0||)(||1=--=--p p p I F F I βββ 上式说明1-β是F 的特征根，这与F 所有特征根的模均小于1-β的假设矛盾，因此可知逆矩阵1)(--F I p β存在。 下面我们求1)(--F I p β当中(1, 1)位置的元素。假设ij x 表示1)(--F I p β当中(i , j )位置的元素，则有： ????? ???????=????????????------??????????????-100 010001 100 001112 1212222111211 β βφβφβφβφβp p pp p p p p x x x x x x x x x 仅仅考虑上述矩阵的第一行，则有： [] []001100001112111211 =? ???? ???????-------ββφβφβφβφβp p p x x x 对于上述矩阵通过右乘初等矩阵进行初等变换，例如对最后一列乘以β加到倒数第2 列，然后倒数第2列乘以β加到倒数第3列，依次类推，可以得到： 1)1(22111=----p p x βφβφβφ 从中可以求出11x ，即可以证明命题中的三个等式。 第二章 滞后算子及其性质 §2.1 基本概念 时间序列是以观测值发生的时期作为标记的数据集合。一般情况下，我们是从某个特定的时间开始采集数据，直到另一个固定的时间为止，我们可以将获得的数据表示为： ),,,(21T y y y 如果能够从更早的时间开始观测，或者观测到更晚的时期，那么上面的数据区间可以进一步扩充。相对而言，上述数据只是一个数据的片段，整个数据序列可以表示为： +∞=-∞==t t t T y y y y }{),,,,,,(21 例2.1 (1) 时间趋势本身也可以构成一个时间序列，此时：t y t =；(2) 另一种特殊的时间序列是常数时间序列，即：c y t =，c 是常数，这种时间的取值不受时间的影响；(3) 在 随机分析中常用的一种时间序列是高斯白噪声过程，表示为：t t y ε=，+∞=-∞=t t t }{ε是一个独立 随机变量序列，每个随机变量都服从),0(2σN 分布。 时间序列之间也可以进行转换，类似于使用函数关系进行转换。它是将输入时间序列转换为输出时间序列。 例2.2 (1) 假设t x 是一个时间序列，假设转换关系为：t t x y β=，这种算子是将一个时间序列的每一个时期的值乘以常数转换为一个新的时间序列。(2) 假设t x 和t w 是两个时间序列，算子转换方式为：t t t w x y +=，此算子是将两个时间序列求和。 定义：如果算子运算是将一个时间序列的前一期值转化为当期值，则称此算子为滞后算子，记做L 。即对任意时间序列t x ，滞后算子满足： 1)(-≡t t x x L 类似地，可以定义高阶滞后算子，例如二阶滞后算子记为2L ，对任意时间序列t x ，二阶滞后算子满足： 22)]([)(-=≡t t t x x L L x L 一般地，对于任意正整数k ，有： k t t k x x L -=)( 命题2.1 滞后算子运算满足线性性质： (1) )()(t t x L x L ββ= (2) )()()(t t t t w L x L w x L +=+ 证明：(1) 利用滞后算子性质，可以得到： )()(1t t t x L x x L βββ==- (2) )()()(11t t t t t t w L x L w x w x L +=+=+-- 由于滞后算子具有上述运算性质和乘法的交换性质，因此可以定义滞后算子多项式，它的作用是通过它对时间序列的作用获得一个新的时间序列，并且揭示这两个时间序列之间的关系。 显然，滞后算子作用到常数时间序列上，时间序列仍然保持常数，即：c c L =)(。 §2.2 一阶差分方程 利用滞后算子，可以将前面的一阶差分方程表示成为滞后算子形式： t t t t t w y L w y y +=+=-φφ1 也可以表示为： t t w y L =-)1(φ 在上述等式两边同时作用算子：)1(22t t L L L φφφ++++ ，可以得到： t t t t t t w L L y L L L )1()1)(1(φφφφφ+++=-+++ 计算得到： t t t t t t w L L y L )1()1(11φφφ+++=-++ 利用滞后算子性质得到： 0111w w w y y t t t t t φφφ+++++=--+ 上述差分方程的解同利用叠代算法得到的解是一致的。 注意到算子作用后的等式： t t t t t t y y y L L L 1)1)(1(+-=-+++φφφφ 如果时间序列t y 是有界的，即存在有限的常数M ，使得任意时间均有：M y t ≤||，并且1||<φ，则上式当中的尾项随着时间增加趋于零。从而有： t t t t t y y L L L =-+++∞ →)1)](1[(lim φφφ 如果利用“1”表示恒等算子，则有： 1)1)](1[(lim =-+++∞ →L L L t t t φφφ 记： )]1[(lim )1(1t t t L L L φφφ+++=-∞ →- 因此得到了“逆算子”的表达式，这类似于以滞后算子为变量的函数展开式。 定义2.1：当1||<φ时，定义算子)1(L φ-的逆算子为1)1(--L φ，它满足： (1) I L L L L =--=----)1()1()1)(1(11φφφφ 其中I 表示单位算子，即对任意时间序列t y ，有：t t y y I =)( (2) 在形式上逆算子可以表示为： ∑=-∞ =-0 1)1(j j j L L φφ 这表示逆算子作为算子运算规则是：对于任意时间序列t y ，有： ∑=∑=-∞ =-∞ =-0 1 )()1(j j t j j t j j t y y L y L φφ φ 当1||≥φ时，逆算子1)1(--L φ的定义以后讨论。 如果时间序列t y 是有界的，则一阶差分方程的解可以表示为： ∑=+++=∞ =---0 22 1j j t j t t t t w w w w y φφφ 可以验算上述表达式确实满足一阶线性差分方程。但是解并惟一，例如对于任意实数 0a ，下述形式的表达式均是方程的解。 ∑+=∞ =-00j j t j t t w a y φφ 上述差分方程的解中含有待定系数，这为判断解的性质留出一定的余地。 §2.3 二阶差分方程 我们考察二阶差分方程的滞后算子表达式： t t t t w y y y ++=--2211φφ 将其利用滞后算子表示为： t t w y L L =--)1(221φφ 对二阶滞后算子多项式进行因式分解，即寻求1λ和2λ使得： ])(1[)1)(1()1(2212121221L L L L L L λλλλλλφφ++-=--=-- 显然1λ和2λ是差分方程对应的特征方程的根： 0212=--φλφλ 当特征根1λ和2λ落在单位圆内的时候(这也是差分方程的稳定性条件)，滞后算子多项式分解为： ++++=--3312211111)1(L L L L λλλλ， ++++=--3322222121)1(L L L L λλλλ 这时二阶差分方程解可以表示为： t t w L L y 1211)1()1(----=λλ 注意到算子分式也可以进行分项分式分解(如此分解需要证明，参见Sargent ，1987，p. 184)： ??? ? ??----=--)1()1()(1 )1)(1(122112121L L L L λλλλλλλλ 将上述表达式带入到二阶差分方程解中： () ++++++=+++++++-=???? ??----=--222221112211212222221121221121)()()(11) (1)1()1()(1 t t t t t t w c c w c c w c c w L L L L w L L y λλλλλλλλλλλλλλλλ 其中：2111λλλ-= c ，1 22 2λλλ-=c 利用上述公式，可以得到外生扰动的动态反应乘子为： j j t j t c c w y 2 211λλ+=??+， ,1,0=j 上述利用滞后算子运算得到的乘数与以前所得完全一致。 例2.3 对于二阶差分方程而言，其特征方程是： 0212=--φλφλ 得到特征根为： )4(21 2111φφφλ++=，)4(2 12112φφφλ+-= 上述方程的稳定性与滞后算子多项式的根落在单位圆内是一致的。 §2.4 p 阶差分方程 上述算子多项式的分解方法可以直接推广到p 阶差分方程情形。将p 阶差分方程表示成为滞后算子形式： t t p p w y L L L =----)1(221φφφ 将上式左端的算子多项式分解为： )1()1)(1()1(21221L L L L L L p p p λλλφφφ---=---- 这相当于寻求),,(1p λλ 使得下述代数多项式恒等： )1()1)(1()1(21221z z z z z z p p p λλλφφφ---=---- 定义1-=z λ，则可以将上述多项式表示成为： )())(()(212211p p p p p λλλλλλφλφλφλ---=------ 这意味着算子多项式的分解，就相当于求出差分方程特征方程的根。 如果差分方程的根相异，且全部落在单位圆内，则可以进行下述分式分解： )1()1()1()1()1)(1(1 121121L c L c L c L L L p p p λλλλλλ-+ +-+-=--- 通过待定系数法，可以得到上述分式中的参数为： 1 12111 ----+++= p p p p p i i c λλλλ ，p j ,,2,1 = 显然有： 121=+++p c c c 利用上述算子多项式分解，可以得到差分方程的解为： +++++++++++++=++++++++++++=-++-+-=----=--j p j p p j j p p p p p t p p p t t t p p t t t p p t w c c c w c c c w c c c w L L c w L L c w L L c w L c w L c w L c w L L L y )()()()1()1()1() 1()1()1() 1(1 2211122112122222222211122 11221λλλλλλλλλλλλλλλφφφ 通过上述方程通解，可以得到动态反应乘子为： j p p j j t j t c c c w y λλλ+++=??+ 2211， ,2,1=j 命题2.1 外生变量t w 对t y 现值的影响和外生变量t w 持续扰动对t y 的动态影响乘子是： p p j j t j t y w βφβφβφβ----=??? ??∑??∞=+ 221011 p j t j t t j t t j t j w y w y w y φφφ----= ??????? ???++??+??+++++∞→ 21111 lim 证明：将差分方程的解表示为： +++=--33221t t t t w w w y ???， 其中： ][11j p p j j c c λλ?++= ， ,2,1=j 设： ++++=332210)(L L L L ????? 利用算子多项式表示： t t w L y )(?= t w 对t y 现值的影响可以表示为： ∑==∑??=??? ??∑??∞=∞ =+∞=+00 0)(j j j j t j t j j j t j t w y y w β??βββ 注意到： 11332210)]1()1[()(---=++++=L L L L L L p λλ????? 因此有： 122111]1[)]1()1[()(------=--=p p p βφβφβφβλβλβ? 长期乘数相当于1=β的情形，从而得到公式所示的公式。 上述命题结论是利用滞后算子多项式推导的，其结论同利用差分方程矩阵表示所得到的结论是一致的。 §2.5 初始条件和无界序列 假设给定下述线性差分方程： t p t p t t t w y y y y ++++=---φφφ 2211 一般情况下，求解p 阶差分方程的特解，需要p 个初值：p y y y ---,,,21 ，也需要外生 变量的一个输入序列：t w w w ,,,10 ，这样一来根据差分方程结构，便可以确定t y 的时间路径。但是，在一些常见的经济或者金融时间序列当中，无法给定具体的初值或者完整的外生输入变量，那么这时差分方程解的性质如何？ 例2.4 假设变量t P 表示股票价格，t D 表示股票派发的红利。如果一个投资者在时刻t 买入股票，然后在时刻1+t 卖出股票，则他将获得实际红利收入t t P D /1+和价格收益 t t t P P P /)(1-+，因此投资者的收益率为： t t t t t t P D P P P r //)(111++++-= 在简单的股票市场模型当中，假设收益率是常数，则上述方程可以转化为股票价格的差分方程模型： t t t D P r P -+=-1)1( 如果知道红利序列},,,{21t D D D 和股票价格的初值0P ，则可以得到股票价格路径为： t t t t t D D r D r P r P --+-+-+=-- 22110)1()1()1( 但是如果仅仅知道红利序列，而不知道股票价格初值，则可能有很多价格轨迹满足价格的差分方程。为了说明这个问题，进一步假设红利为常数，则有： ) /()]/([)1() 1(1)1(1)1(] 1)1()1[()1(00210r D r D P r D r r P r r r D P r P t t t t t t t +-+=+-+--+=+++++-+=-- (1) 如果初始时期股票价格等于红利贴现，即r D P /0=，则有： r D P t /=， ,2,1,0=t 此时股票价格保持常数，股价等于红利除以收益率。这种股票价格被称为在收益率是常数情形的股价基础成分。 (2) 假设初始股价超过了r D /，即r D P /0>，这时股票价格出现了扩散现象，这与资产定价理论相符。因为为了保持资产收益率不变，股票的价格就会出现持续上升，同时假设红利是固定的，红利带来的实际收益减少将被股价的加速增长所弥补，这样就出现了股票价格膨胀的现象，即出现股票价格泡沫。 (3) 为了消除股价当中的投资泡沫，一种方法是对股票价格路径给予有界性限制。例如，假设对于所有时期的股票价格满足： P P t ≤， ,2,1,0=t 这样一来，满足上述约束的股票价格路径便是常数的市场基础价格。 上面假设了常数红利，现在假设红利序列是有界的。将股价表示为： ][11 11++++= t t t D P r P 进行向前叠代运算有： 111 11111111+-+-++?? ? ???+++? ?????++??????++??????+=t T t T T t T T t T t D r D r D r P r P 如果价格序列}{t P 满足约束条件： 011lim =?? ? ???++∞→T t T T P r 在假设}{t D 和}{t P 均是有界序列，则得到股票价格水平满足： ∑?? ????+=∞ =+011j j t j t D r P 这是红利随时间变化时股票价格的市场基础成分。 需要注意的是，对于上述情形的市场基础成分，需要投资者对于未来红利具有完全预期。当引入预期红利时，上述表达式仍然适用，这时可以修改为： ∑?? ????+=∞ =+0)(11j j t t j t D E r P 利用红利预期的股价公式，可以确定价格初值0P ： ∑?? ? ???+=∞ =0011j j j D r P 如此初值是否满足一般的股价模型，我们可以代入到具有初值的确定解中验证： t t t t t D D r D r P r P --+-+-+=-- 22110)1()1()1( 将0P 代入上式后得到： ∑?? ????+=∞ =+011j j t j t D r P 这正是在边界条件下所推导的向前预期解，由此可见该解与初值选择是吻合的。 例2.5 我们继续利用滞后算子方法讨论股票价格路径的性质。利用算子表示为： t t D P L r -=+-])1(1[ 在上述表达式中，滞后算子多项式的特征根小于1，无法采用逆算子的一般表达式，为此我们需要采取新的定义。 定义滞后算子L 的逆算子为1-L ，具有性质： (1) I L L L L ==--11 (2) 11)(+-=t t y y L 这样一来，滞后算子乘积就具有幂乘的性质： 对于任意正整数i 和j ，有：j i j i L L L --= 对方程(2.12)两端乘以算子多项式： ? ?????+++++++-----)1(1221)1(1)1(1)1(11T T L r L r L r 整理得到： []T t T t t t T T D r D r D r P L r ++--++++++= ++)1(1 )1(1)1(1)1(11 2 当0>r ，且红利序列是有界的，则上述极限为： ∑+=∞=+0)1(1j j t j t D r P 根据上述运算，可以定义下述算子的逆算子： ??????+++++??????+-=+- 22)1(1)1(11)1(1)1(11L r L r L r L r §2.6 差分方程的求解方法 上面我们主要论述了差分方程的表示和外生扰动的动态乘子，下面我们给出差分方程的一般求解过程。 第一步：构造p 阶齐次差分方程，并且寻求齐次方程的p 个解：h ti y ，p i ,2,1 = 第二步：构造p 阶非齐次差分方程的特解。 第三步：齐次方程p 个解的线性组合加上非齐次方程的一个特解，得到非齐次方程的通解。 第四步：根据给定的边界条件，确实通解当中的未知参数，得到非齐次方程的确定解。 2.6.1 齐次差分方程的通解和稳定性 p 阶齐次差分方程的形式是： p t p t t t y y y y ---+++=φφφ 2211 命题2.1 (1) 如果h t y 是方程的解，则对任意常数A ，h t y A 也是解。 (2) 如果h t y 1和h t y 2是方程的解，则对任意实数1A 和2A ，h t h t y A y A 2211+也是方程的解。 证明：留做练习。 对于p 阶齐次差分方程，我们尝试地检验解的形式是：t h t A y λ=，代入差分方程为： 012211=--------p p p p p φλφλφλφλ 由此可见，λ应该是上述特征方程的根。因此，如果差分方程具有相异实数根的时候，可以得到p 个解为：t i h t i y λ=，p i ,2,1 =，此时解的稳定性要求所有根落在单位圆内。 命题2.2 (1) 齐次方程所有特征根落在单位圆内的必要条件是：∑<=p i i 11φ；(2) 齐次方程 所有特征根落在单位圆内的充分条件是：∑<=p i i 1 1||φ；(3) 齐次方程至少具有一个单位根的充 要条件是：∑==p i i 1 1φ 如果齐次方程的特征根出现重根，则应该寻求多项式与指数函数乘机形式的解。例如， 如果二阶齐次差分方程具有重根，则两个解应该分别是t h t y 11λ=，t h t t y 12λ=。 2.6.2 非齐次差分方程的特解 如何寻求非齐次线性差分方程的特解，需要根据非齐次项的具体性质判断。 (1) 指数形式的非齐次项 此时方程形式是： rt t t d b y y ++=-110φφ 可以尝试特解形式为：rt p t d c c y 10+=，可以求解出特解为： rt r r p t d d bd y )]/([)]1/([110φφφ-+-= 如果11=φ，尝试解的形式为：rt p t d c t c y 1+=；如果r d =1φ，可以选取其他形式的尝试解。 (2) 确定性时间趋势 此时方程形式是： d p i i t i t t b y y +∑+==-1 0φφ 此时尝试解的形式选为： d d p t t c t c c y +++= 10 第三章 平稳ARMA 过程 一元ARMA 模型是描述时间序列动态性质的基本模型。通过介绍ARMA 模型，可以了解一些重要的时间序列的基本概念。 §3.1 预期、平稳性和遍历性 3.1.1 预期和随机过程 假设可以观察到一个样本容量为T 的随机变量t Y 的样本： },,,{21T y y y 这意味着这些随机变量之间的是相互独立且同分布的。 例3.1 假设T 个随机变量的集合为：},,,{21T εεε ，),0(~2σεN i 且相互独立，我们称其为高斯白噪声过程产生的样本。 对于一个随机变量t Y 而言，它是t 时刻的随机变量，因此即使在t 时刻实验，它也可以具有不同的取值，假设进行多次试验，其方式可能是进行多次整个时间序列的试验，获得I 个时间序列： +∞=-∞=t t t y }{)1(，+∞=-∞=t t t y }{)2(，…，+∞=-∞=t t I t y }{)( 将其中仅仅是t 时刻的观测值抽取出来，得到序列：},,,{)()2()1(I t t t y y y ，这个序列便是对随机变量t Y 在t 时刻的I 次观测值，也是一种简单随机子样。 定义3.1 假设随机变量t Y 是定义在相同概率空间},,{P Ω上的随机变量，则称随机变 量集合},2,1,0,{ ±±=t Y t 为随机过程。 例3.2 假设随机变量t Y 的概率密度函数为： ]21 exp[21)(22t t Y y y f t σσ π= 此时称此时密度为该过程的无条件密度，此过程也称为高斯过程或者正态过程。 定义3.2 可以利用各阶矩描述随机过程的数值特征： (1) 随机变量t Y 的数学期望定义为(假设积分收敛)： ?==+∞ ∞-t t Y t t t dy y f y Y E t )()(μ 此时它是随机样本的概率极限： ∑==∞→I i i t I t y I P Y E 1 ) (1lim )( (2) 随机变量t Y 的方差定义为(假设积分收敛): 20)(t t t Y E μγ-= 例3.3 (1) 假设},,{21 εε是一个高斯白噪声过程，随机过程t Y 为常数加上高斯白噪声过程：t t Y εμ+=，则它的均值和方差分别为： μεμμ=+==)()(t t t E Y E 2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E (2) 随机过程t Y 为时间的线性趋势加上高斯白噪声过程：t t t Y εβ+=，则它的均值和 方差分别为： t E t Y E t t t βεβμ=+==)()( 2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E 3.1.2 随机过程的自协方差 将j 个时间间隔的随机变量构成一个随机向量),,(1'=--j t t t t Y Y Y X ，通过随机试验可以获得该随机向量的简单随机样本。假设函数),,,(1),,(1j t t t Y Y Y y y y f j t t t ---- 为随机向量t X 的 联合概率分布密度，则可以类似地定义： 定义3.3 随机过程t Y 的自协方差定义为： )])([(j t j t t t t j Y Y E ----=μμγ 上述协方差可以利用联合概率分布密度求解。 3.1.3 平稳性 定义：假设随机过程t Y 的均值函数t μ和协方差函数t j γ与时间t 无关，则称此过程是协方差平稳过程，也称为弱平稳过程。此时对任意时间t 有： μ=t EY j j t t Y Y E γμμ=---)])([( 例3.4 (1) 假设随机过程t Y 为常数加上高斯白噪声过程：t t Y εμ+=，则它的均值和方差与时间无关，因此该过程是协方差平稳过程。 (2) 假设随机过程t Y 为时间的线性趋势加上高斯白噪声过程：t t t Y εβ+=，则它的均值为：t E t Y E t t t βεβμ=+==)()(，它依赖时间t ，因此它不是协方差平稳过程。 由于协方差平稳过程仅仅依赖时间间隔，因此有： j j -=γγ 定义：假设随机过程t Y 满足条件：对于任意正整数值n j j j ,,,21 ，随机向量 ),,,(21n j t j t j t Y Y Y +++ 的联合概率分布只取决于时间间隔n j j j ,,,21 ，而不依赖时间t ，则 称该过程是严格平稳过程，简称为严平稳过程。 如果一个随机过程是严平稳过程，而且具有有限的二阶矩，则该过程一定是协方差平稳过程，即宽平稳过程。但是，一个宽平稳过程却不一定是严平稳过程。 例 3.4 假设随机过程t Y 是具有高斯分布的高斯过程，如果该过程是宽平稳过程，则此过程一定是严平稳过程。 3.1.4 遍历性 遍历性是时间序列中非常重要的。对于时间序列而言，我们可以得到一个随着时间顺序 的样本观测值：),,,()1()1(2)1(1T y y y ，对此可以得到一个时间平均值： ∑= =T t t y T y 1 ) 1(1 定义：假设时间序列t Y 是一个平稳过程，如果时间平均值按照概率收敛到总体平均值，则称该随机过程是关于均值遍历的。 遍历性是平稳时间序列非常重要的一个性质，如果一个平稳时间序列是遍历的，那么它在每个时点上的样本矩性质(均值和协方差等)就可以在不同时点上的样本中体现出来。这就是遍历性的含义。 定理：如果一个协方差平稳过程，如果自协方差函数满足： ∞<∑∞ =0 ||j j γ 则随机过程是关于均值遍历的。 定义：假设时间序列t Y 是一个协方差平稳过程，如果样本协方差按照概率收敛到总体协方差，即 j P T j t j t t Y Y j T γμμ?→? ∑---+=-1 ))((1 则称该过程是关于二阶矩遍历的。高阶矩遍历意味着过程不同时间上的统计性质更接近同一时点上的随机抽样性质。 例3.4 如果随机过程t Y 是高斯协方差平稳过程，则它是均值遍历过程，也是二阶矩遍历过程。 一般情况下，平稳性和遍历性之间没有必然联系，下面的例子可以说明这一点。 例3.5 假设随机过程t Y 的均值过程满足： t i i t Y εμ+=)()( 其中均值满足：),0(~2)(λμN i ，t ε是)(i μ独立的白噪声过程。 因为 0)(][)()(=+==t i i t t E Y E εμμ 222)(0)(σλεμγ+=+=t i t E 2)()())((λεμεμγ=++=-j t i t i t j E ，0≠j 上式表明，该过程是协方差平稳过程，但是由于 t i P T t t i T t i t T Y T μμεμμ≠?→? ∑+=∑-==)(1 )(1)()(1)(1 因此，该过程不是均值遍历过程。 §3.2 移动平均过程 3.2.1 一阶移动平均过程 假设}{t ε是白噪声过程，考虑下述随机过程： 1-++=t t t Y εθεμ 其中μ和θ是任意常数。由于这个随机过程依赖最近两个时间阶段的t ε的加权平均，因此称此过程为一阶移动平均过程，表示为)1(MA 。下面我们通过求解)1(MA 过程的均值函数和协方差函数来说明它是一个宽平稳过程。 求解均值函数为： μεθεμμ=++==-)()(1t t t t E Y E 一阶自协方差为： 2 2121111)()])([()] )([(σθεθεθεεθεμμγ==++=--=-----t t t t t t t t E E Y Y E 对于更高阶的自协方差，则有： 0 )])([()] )([(11=++=--=-----j t j t t t j t t jt E Y Y E εθεεθεμμγ 上述结果表明，)1(MA 过程是一个平稳随机过程。 注意到： ∞<++=∑∞ =||)1(||2220σθσθγj j 因此，)1(MA 也是均值遍历过程。 定义：将协方差平稳过程的第j 个自相关系数表示为j ρ，则有： 课程论文时间序列分析 题目时间序列模型在人口增长中的应用学院数学与统计学院 专业统计学 班级统计（二）班 学生殷婷 2010101217 指导教师翠霞 职称 2012 年10 月29 日 引言 人口问题是一个世界各国普遍关注的问题。人作为一种资源，主要体现在人既是生产者，又是消费者。作为生产者，人能够发挥主观能动性，加速科技进步，促进社会经济的发展；作为消费者，面对有限的自然资源，人在发展的同时却又不得不考虑人口数量的问题。我国是一个人口大国，人口数量多，增长快，人口素质低；由于人口众多，不仅造成人均资源的数量很少，而且造成住房、教育、就业等方面的很大压力。所以人口数量是社会最为关注的问题，每年新增加的国民生产总值有相当一部分被新增加的人口所抵消，从而造成社会再生产投入不足，严重影响了国民经济的可持续发展。因此，认真分析研究我国目前的人口发展现状和特点，采取切实可行的措施控制人口的高速增长，已经成为我国目前经济发展中需要解决的首要问题。 本文通过时间序列模型对人口的增长进行预测，国家制定未来人口发展目标和生育政策等有关人口政策的基础，对于国民经济计划的制定和社会战略目标的决策具有重要参考价值。人口的预测，作为经济、社会研究的需要，应用越来越广泛，也越来越受到人们的重视。在描绘未来小康社会的蓝图时，首先应要考虑的是未来中国的人口数量、结构、分布、劳动力、负担系数等等，而这又必须通过人口的预测来一一显示。人口数量在时间上的变化，可以用时间序列模型来预测其继后期的数量。 本文通过时间序列分析的方法对人口增长建立模型,取得了较好 的预测结果。时间序列分析是研究动态数据的动态结构和发展变化规律的统计方法。以1990年至2008年中国人口总数为例,用时间序列分析Eviews软件建立模型,并对人口的增长进行预测,研究时间序列模型在人口增长中的应用。 基本假设 (1) 在预测中国人口的增长趋势时，假设全国人口数量的变化是封闭的即人口的出生率和死亡率是自然变化的，而不考虑与其他国家的迁移状况； (2)在预测的年限，不会出现意外事件使人口发生很大的波动，如战争，疾病； (3) 题目数据能够代表全国的整体人数。。 问题分析 根据抽样的基本原理，预测人口增长趋势最直接的方法就是预测出人口总数的增长量，因此我们运用中华人民国国家统计局得到的1990年到2008年度总人口数据。考虑到迁移率、死亡率、出生率、年龄结构等多个因素对人口数量的影响，求解人口增长趋势的关键是如何在我们的模型中充分的利用这些影响因素从而使我们的预测结果具有较高的精确性。 研究数据： 青海民族大学 毕业论文 论文题目：时间序列分析方法及应用—以青海省GDP 增长为例研究 学生姓名：学号： 指导教师：职称： 院系：数学与统计学院 专业班级：统计学 二○一五年月日 时间序列分析方法及应用——以青海省GDP增长为例研究 摘要: 人们的一切活动，其根本目的无不在于认识和改造世界，让自己的生活过得更理想。时间序列是指同一空间、不同时间点上某一现象的相同统计指标的不同数值，按时间先后顺序形成的一组动态序列。时间序列分析则是指通过时间序列的历史数据，揭示现象随时间变化的规律，并基于这种规律，对未来此现象做较为有效的延伸及预测。时间序列分析不仅可以从数量上揭示某一现象的发展变化规律或从动态的角度刻画某一现象与其他现象之间的内在数量关系及其变化规律性，达到认识客观世界的目的。而且运用时间序列模型还可以预测和控制现象的未来行为，由于时间序列数据之间的相关关系（即历史数据对未来的发展有一定的影响），修正或重新设计系统以达到利用和改造客观的目的。从统计学的内容来看，统计所研究和处理的是一批有“实际背景”的数据，尽管数据的背景和类型各不相同，但从数据的形成来看，无非是横截面数据和纵截面数据两类。本论文主要研究纵截面数据，它反映的是现象以及现象之间的关系发展变化规律性。在取得一组观测数据之后，首先要判断它的平稳性，通过平稳性检验，可以把时间序列分为平稳序列和非平稳序列两大类。主要采用的统计方法是时间序列分析，主要运用的数学软件为Eviews软件。大学四年在青海省上学，基于此，对青海省的GDP十分关注。本论文关于对1978年到2014年以来的中国的青海省GDP（总共37个数据）进行时间序列分析，并且对未来的三年中国的青海省GDP进行较为有效的预测。希望对青海省的发展有所贡献。 关键词: 青海省GDP 时间序列白噪声预测 《时间序列分析》案例案例名 称：时间序列分析在经济预测中的应用内容要 求：确定性与随机性时间序列之比较设计作 者：许启发，王艳明 设计时 间：2003年8月 案例四：时间序列分析在经济预测中的应用 一、案例简介 为了配合《统计学》课程时间序列分析部分的课堂教学，提高学生运用统计分析方法解决实际问题的能力，我们组织了一次案例教学，其内容是：对烟台市的未来经济发展状况作一预测分析，数据取烟台市1949—1998年国内生产总值（GDP）的年度数据，并以此为依据建立预测模型，对1999年和2000年的国内生产总值作出预测并检验其预测效果。国内生产总值是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果，是反映国民经济活动最重要的经济指标之一，科学地预测该指标，对制定经济发展目标以及与之相配套的方针政策具有重要的理论与实际意义。在组织实施时，我们首先将数据资料印发给学生，并讲清本案例的教学目的与要求，明确案例所涉及的教学内容；然后给学生一段时间，由学生根据资料，运用不同的方法进行预测分析，并确定具体的讨论日期；在课堂讨论时让学生自由发言，阐述自己的观点；最后，由主持教师作点评发言，取得了良好的教学效果。 经济预测是研究客观经济过程未来一定时期的发展变化趋势，其目的在于通过对客观经济现象历史规律的探讨和现状的研究，求得对未来经济活动的了解，以确定社会经济活动的发展水平，为决策提供依据。 时间序列分析预测法，首先将预测目标的历史数据按照时间的先后顺序排列，然后分析它随时间的变化趋势及自身的统计规律，外推得到预测目标的未来取值。它与回归分析预测法的最大区别在于：该方法可以根据单个变量的取值对其自身的变动进行预测，无须添加任何的辅助信息。 本案例的最大特色在于：它汇集了统计学原理中的时间序列分析这一章节的所有知识点，通过本案例的教学，可以把不同的时间序列分析方法进行综合的比较，便于学生更好地掌握本章的内容。 二、案例的目的与要求 （一）教学目的 1．通过本案例的教学，使学生认识到时间序列分析方法在实际工作中应用的必要性和可能性； 2．本案例将时间序列分析中的水平指标、速度指标、长期趋势的测定等内容有机的结合在一起，以巩固学生所学的课本知识，深化学生对课本知识的理解； 3．本案例是对烟台市的国内生产总值数据进行预测，通过对实证结果的比较和分析，使学生认识到对同一问题的解决，可以采取不同的方法，根据约束条件，从中选择一种合适的预测方法； 4．通过本案例的教学，让学生掌握EXCEL软件在时间序列分析中的应用，对统计、计量分析软件SPSS或Eviews等有一个初步的了解； 5．通过本案例的教学，有助于提高学生运用所学知识和方法分析解决问题的能力、合作共事的能力和沟通交流的能力。 （二）教学要求 1．学生必须具备相应的时间序列分析的基本理论知识； 2．学生必须熟悉相应的预测方法和具备一定的数据处理能力； 3．学生以主角身份积极地参与到案例分析中来，主动地分析和解决案例中的问题； 4．在提出解决问题的方案之前，学生可以根据提供的样本数据，自己选择不同的统计分析方法，对这一案例进行预测，比较不同预测方法的异同，提出若干可供选择的方案； 5．学生必须提交完整的分析报告。分析报告的内容应包括：选题的目的及意义、使用数据的特征及其说明、采用的预测方法及其优劣、预测结果及其评价、有待于进一步改进的思路或需要进一步研究的问题。 三、数据搜集与处理 时间序列数据按照不同的分类标准可以划分为不同的类型，最常见的有：年度数据、季度数据、月度数据。本案例主要讨论对年度数据如何进行预测分析。考虑到案例设计时的侧重点，本案例只是对烟 利用ARMA模型对2010年的第一产业GDP进行预测统计082，李琦，08041213 统计082，刘婧瑛，08041218 第一产业GDP是具有重要经济意义的指标，它的增长具有一定的内在规律性，本文建立了我国第一产业GDP的时间序列模型，分析模型的稳定性和可外推性。深入分析这一指标对于反映我国经济发展历程、探讨增长规律、研究波动状况，制定相应的宏观调控政策有着十分重要的意义。通过对1978年-2009年第一产业GDP进行了时间序列建模，应用Eviews 软件分析，并预测出统计年鉴上没有的2010年的第一产业GDP发展水平，说明GDP有一定的时间趋势。 选取1978年-2009年的全国的第一产业GDP作为时间序列，并进行ARMA建模 一、首先用Eviews对该序列进行平稳性判定，得出时序图： 可以明显看出来该序列不平稳，序列有明显的递增趋势。 二、因为序列不平稳，所以对序列进行差分，二阶差分后，得出时序图 一阶差分提取了原序列中部分长期趋势，但长期趋势信息提取不够充分，一阶差分后序列中仍蕴含着长期递增的趋势，因此，进行二阶差分。由上时序图可以看出，提取的原序列信息比较充分，使得差分后不再呈现确定性趋势了。P=2。 三、 观看自相关图，分辨模型类型， 由图中可以看出，自相关拖尾，偏自相关系数拖尾，认定为ARMA （1，1）模型 四、 利用Eviews 参数进行最小二乘估计 五、 接下来用Eviews 对序列进行预测，得出2010年，第一产业的GDP 值预计是45411.20 亿元。 111---?-?=?t p t p t p x x x 由以上分析可以看出，对本数据样本建立了ARIMA模型，并经过差分运算后对序列进行ARMA模型拟合了。ARMA模型的分析较为简单可靠，便于进行模型预测。 南通大学应用时间序列分析 课程论文 学生姓名邱艳 所在院系理学院 专业统计学 学号0902092013 指导教师陆志峰 南通大学理学院 2011年12月20日 统计091班 实证项目研究（课程论文）--------货币数量论的实证分析 一问题的提出 近几十年来，国内的房地产业发展迅速，开发的面积和规模也越来越大。大 多数国人对房地产这个话题的热情是经久不衰，房地产业内任何重大的政策和举 措都对普通老百姓的生活产生深刻的影响。 2010年上半年，全国房地产开发投资19747亿元，同比增长38.1%，其中，商品住宅投资13692亿元，同比增长34.4%，占房地产开发投资的比重为69.3%。6月当月，房地产开发完成投资5830亿元，比上月增加1845亿元，增长46.3%。 2010年上半年，全国房地产开发企业房屋施工面积30.84亿平方米，同比 增长28.7%；房屋新开工面积8.05亿平方米，同比增长67.9%；房屋竣工面积2.44亿平方米，同比增长18.2%，其中，住宅竣工面积1.96亿平方米，增长15.5%。2010年上半年，全国房地产开发企业完成土地购置面积18501万平方米，同比增长35.6%，土地购置费4221亿元，同比增长84.0%。 那么，房地产销售价格指数是否存在一定的内在规律呢，我们是否可以对其 进行预测从而指导居民做出正确的选择呢？这便是本文所要探求和解决的问题。 理论综述 时间序列分析就是对一组按时间顺序排列的随机变量进行统计分析，建立模 型并对未来的趋势走向进行分析的统计方法。本文运用时间序列分析软件SAS 进行分析。 数据的收集 本文获取了我国1998-3-31到2009-12-31的房地产销售价格指数数据 . 《时间序列分析》 课程论文 基于ARMAX模型的财政收入与税收 的时间序列分析与预测 班级：13级应用统计学1班 学号：131412820 ：乐乐 基于ARMAX模型的财政收入与税收 的时间序列分析与预测 摘要 财政收入，是指政府为履行其职能、实施公共政策和提供公共物品与服务需要而筹集的一切资金的总和，是衡量一国政府财力的重要指标。其中税收收入是国家财政收入的重要组成部分，一般占到财政收入的90％以上，是政府机器的经济基础。 本文利用《应用时间序列分析》的知识通过sas 统计软件对1978-2012年中国财政收入与税收数据进行分析，通过单位根检验，发现两者都是非平稳时间序列，并且存在协整关系，所以拟合了ARIMAX模型。由于残差序列非白噪声，所以对残差序列又进行了进一步的拟合，最后对模型进行预测，做出预测图。 关键词:财政收入与税收 ARIMAX模型预测 一、引言 财政与税收关系到国家发展、民生大计。财政收入与税收对社会资源配置、收入分配、国民经济发展、企业经济活动、居民切身利益及政府决策行为都有重 大影响。近年来，随着我国经济的持续高速发展和国家财政与税收的大幅度增长，以及我国经济体制改革的不断深化和国家对经济发展宏观调控力度的不断加大，国家也适时出台了一系列有关财政与税收管理的新规定、新政策和新的监管制度。可以看出两者地位越来越重要，作用越来越明显。通过本文的分析，旨在找出两者的关系，为我国财政与税收做出合理的解释，为以后的收入做出合理的预测。 二、数据分析 （一）、序列平稳性检验 1、时序图： 图 1 原数据时序图 图1中，红色为y（财政收入）序列书序图；黑色为x（税收收入）序列时 - - . 时间序列分析结课论文全国社会消费品零售总额的时间序列分析 全国社会消费品零售总额的时间序列分析 摘要 时间序列分析是经济领域研究的重要工具之一，它描述历史数据随时间变化的规律，并用于预测经济变量值。市场经济中，政府对市场变化的即时反应是各国经济工作的重点。在我国，随着市场经济的日益成熟，各级政府逐渐认识到短期计划的重要性。在要求减少对市场干预的同时，政府在经济中的作用主要体现在保证经济运行的正常轨道，由于社会消费品零售总额反映了经济运行中的一个重要环节———消费，尤其是目前我国市场上的消费需求不足现象，使我国经济发展受到外需与内需两方的困扰。因此对于社会消费品零售总额预测中的研究一直具有积极意义。 本文就以以我国1952年至2011年我国社会消费品零售总额为研究对象，做时间序列分析。首先，对全国60多年来社会消费品零售总额的发展变化规律，运用SAS软件进行分析其发展趋势。再则，通过检验说明模型拟合效果的好坏，再利用模型对下一年进行预测。最后，从国家经济、政策和社会消费品零售市场发展等方面对社会消费品零售总额变化规律及未来走势进行分析。 关键字：社会消费品零售总额SAS软件时间序列分析预测 一．引言 社会消费品零售总额是指各种经济类型的批发零售业、贸易业、餐饮业、制造业和其他行业对城乡居民和社会集团的消费品零售额和农民对非农民居民零售额的总和。这个指标能够反映通过各种商品流通渠道向居民和社会集团供应生活消费品来满足他们生活需求的情况，是研究人民生活、社会消费品购买力、货币流通等问题的重要指标。随着消费环境的逐步改善，人们的消费能力不断增强，人们消费能力的增强直接带动了社会消费品零售总额的发展，“十一五”期间，面对复杂多变的国内外形势，特别是为应对国际金融危机的冲击，国家出台了一系列扩大内需、促进消费等政策措施，消费品市场的稳定发展对我国缓冲金融危机起到了明显的积极作用，消费需求已经成为经济增长的重要组成部分。 中国社会消费品零售业的发展将进入参与国际化竞争的新阶段，可靠准确的数据体系有利于政府的宏观决策，而零售总额的数据受多种因素的影响。因此对我国社会消费品零售总额进行预测是有积极意义的。 本文利用时间序列分析方法对我国社会消费品零售总额进行分析和预测。时间序列分析是根据动态数据揭示系统动态结构的规律的统计方法。其基本思想是根据系统的有限长度的运行记录（观察数据），建立能够比较准确地反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型，并借以对系统的未来行为进行预报 时 间 序 列 期 末 论 文 平顶山第二电厂电力生产率时间序列分析 摘要 利用Eviews软件判断该电厂电力生产率数据为平稳序列且为非白噪声序列，通过对数据一系列处理，运用三阶自回归AR（3）模型拟合时间序列，由于时间序列数据之间的相关关系，且历史数据对未来的发展有一定影响，并对未来的电力增长进行预测。 理论准备：拿到一个观测值序列之后，首先要判断它的平稳性，通过平稳性检验，序列可分为平稳序列和非平稳序列两大类。 如果序列值彼此之间没有任何向关性，那就意味着该序列是一个没有任何记忆的序列，过去的行为对将来的发展没有丝毫影响，这种序列我们称之为纯随机序列，从统计分析的角度而言，纯随机序列式没有任何分析价值的序列。 如果序列平稳，通过数据计算进行模型拟合，并利用过去行为对将来的发展预测，这是我们所期望得到的结果。可采用下面的流程操作。 一、本实验采用2000-01~2004-11月电力生产增长率数据做时 间序列分析模型，数据如下： 首先对数据进行平稳性与纯随机性的检验与判别 （一）平稳性的检验我们先采用图示法，时序图如下： 由图所示，该序列有很大的波动，周期性不明显。更重要的是该序列的上升或下降趋势并不明显，基本可以确认该序列是平稳的，但直观感受不能认定它就是平稳的，需进一步做检验。 样本自相关图如下: 根据序列自相关图可以看出：该序列具有短期相关性，就是随着延期数的增加，平稳序列的自相关系数很快地接近于零，自相关图大部分都在2倍的标准差范围内。所以确认该序列就是平稳序列。 下面进行纯随机性检验：由自相关图可以知道，该序列延迟16期的自相关系是0.285 0.318 0.418 0.288 0.346 0.282 0.212 0.276 0.211 0.185 0.102 0.087 0.164 0.137 0.063 0.019 延迟期的Q 统计值和对应得P值如图： 吉林财经大学2011-2012学年第一学期 统计软件应用与实践 基于时间序列分析的论文 院别：统计学院 专业：统计学 年级：0836 姓名：王立伟 学号：0401083608 基于ARMA模型的吉林省居民消费时间序列分析与预测 【摘要】本文以1993—2010年吉林省居民消费统计数据为依据，用ARIMA模型进行分析，结果显示ARIMA（1，2，3）具有较为准确的预测效果。利用该模型对我其进行分析。 【关键词】固定资产投资时间序列分析 ARIMA模型 一.引言 消费水平是指一个国家一定时期内人们在消费过程中对物质和文化生活需要的满足程度。现在的中国市场已完全消除了日用品和食物短缺的现象。居民消费结构亦发生很大变化。在居民全部消费支出中，反映基本生存需要的食品、衣着和基本生活用品支出所占的比重大幅度下降，而体现发展与享受需求的住房、交通通信、医疗保健、文教娱乐、休闲旅游等项支出的比重则迅速上升，生活质量进一步提高。 二.数据的时间序列特征分析 将1993年至2010年吉林省县居民消费数额绘制成折线图，如图1所示，可以很容易地看出序列具有明显的增长趋势，并且可以看出，从2004年到2005年开始，有了显著提高，并且增加的幅度也有所增大，这主要是因为自生活节奏加快，消费自然上升。 图1 1993年1月至2010年9月中国外汇储备的折线图 1、数据的检验 对此序列进行单位根检验，如图2所示，t检验结果为1，无法拒绝序列存在单位根的原假设，且t检验P值大于等于1，说明此序列至少具有一阶单位根。之后对序列进行一阶差分的单位根检验，结果如图3所示，t检验值的P值为0.0271，在置信水平为95%的情况下，可以拒绝原假设，说明此序列不具有二阶单位根，但具有一阶单位根，序列不是平稳序列。 图2 序列的单位根检验结果 图3 一阶差分后序列的单位根检验结果 对该序列绘制了自相关、偏自相关图，如图4所示，由图中可以看出，序列的自相关系数衰减缓慢，没有很快趋于0，同样可以说明该序列是非平稳序列。 浙江农林大学 2009 - 2010 学年第 二 学期考试卷（A 卷） 课程名称： 应用时间序列分析 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确 答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题2分，共12分） 1. 关于严平稳与（宽）平稳的关系，不正确的为 。 ( ) A. 严平稳序列一定是宽平稳序列 B. 当序列服从正态分布时，两种平稳性等价 C. 二阶矩存在的严平稳序列一定为宽平稳的 D. MA(p)模型一定是宽平稳的 2. 下图为某时间序列的相关检验图，图1为自相关函数图，图2为偏自相关函数图，请选择模型 。 ( ) 图1 图2 题号 一 二 三 四 五 得分 得分 评阅人 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题 得分 A. AR(1) B. AR(2) C. MA(1) D. MA(2) 3. 下图中，图3为某序列一阶差分后的自相关函数图，图4为某序列一阶差分后的 偏自相关函数图，请对原序列选择模型。( ) 图3 图4 A.ARIMA(4，1，0) B. ARIMA(0，2，1) C. ARIMA(0，1，2) D.ARI MA(0，1，4) 4. 记B 为延迟算子，则下列不正确的是 。 ( ) A. 0 1B = B. (1)k t t k t X X B X --=- C. 12t t BX X --= D. 11()t t t t B X Y X Y --±=± 5.对于平稳时间序列，下列错误的是 ( ) A.)(212εσεE = B.),(),(k t t k t t y y Cov y y Cov -+= C.k k -=ρρ D.)(?)1(?1k y k y t t +=+ 6.下图为对某时间序列的拟合模型进行显著性水平0.05α=的显著性检验，请选择 该序列的拟合模型 。 ( ) 【时间简“识”】 说明：本文摘自于经管之家(原人大经济论坛) 作者：胖胖小龟宝。原版请到经管之家(原人大经济论坛) 查看。 1.带你看看时间序列的简史 现在前面的话—— 时间序列作为一门统计学，经济学相结合的学科，在我们论坛，特别是五区计量经济学中是热门讨论话题。本月楼主推出新的系列专题——时间简“识”，旨在对时间序列方面进行知识扫盲（扫盲，仅仅扫盲而已……），同时也想借此吸引一些专业人士能够协助讨论和帮助大家解疑答惑。 在统计学的必修课里，时间序列估计是遭吐槽的重点科目了，其理论性强，虽然应用领域十分广泛，但往往在实际操作中会遇到很多“令人发指”的问题。所以本帖就从基础开始，为大家絮叨絮叨那些关于“时间”的故事！ Long long ago，有多long估计大概7000年前吧，古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，这一记录也就被我们称作所谓的时间序列。记录这个河流涨落有什么意义当时的人们并不是随手一记，而是对这个时间序列进行了长期的观察。结果，他们发现尼罗河的涨落非常有规律。掌握了尼罗河泛滥的规律，这帮助了古埃及对农耕和居所有了规划，使农业迅速发展，从而创建了埃及灿烂的史前文明。 好~~从上面那个故事我们看到了 1、时间序列的定义——按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。 2、时间序列分析的定义——对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。 既然有了序列，那怎么拿来分析呢 时间序列分析方法分为描述性时序分析和统计时序分析。 1、描述性时序分析——通过直观的数据比较或绘图观测，寻找序列中蕴含的发展规律，这种分析方法就称为描述性时序分析 描述性时序分析方法具有操作简单、直观有效的特点，它通常是人们进行统计时序分析的第一步。 2、统计时序分析 （1）频域分析方法 原理：假设任何一种无趋势的时间序列都可以分解成若干不同频率的周期波动 发展过程： 1）早期的频域分析方法借助富里埃分析从频率的角度揭示时间序列的规律 2）后来借助了傅里叶变换，用正弦、余弦项之和来逼近某个函数 3）20世纪60年代，引入最大熵谱估计理论，进入现代谱分析阶段 特点：非常有用的动态数据分析方法，但是由于分析方法复杂，结果抽象，有一定的使用局限性 （2）时域分析方法 梧州学院 论文题目基于时间序列分析梧州市财政 收入研究 系别数理系 专业信息与计算科学 班级 09信息与计算科学 学号 200901106034 学生姓名胡莲珍 指导老师覃桂江 完成时间 摘要 梧州市财政收入主要来源于基金收入，地方税收收入和非税收收入等几方面。近年来梧州市在自治区党委、自治区政府和市委的正确领导下，全市广大干部群众深入贯彻落实科学发展观，抢抓机遇，开拓进取，克难攻坚，使得全市经济连续几年快速发展，全市人民的生活水平也大幅度提高，但伴随着发展的同时也存在一些问题，本文主要通过研究分析梧州财政收入近几年的状况，根据采用时间序列分析中的一次简单滑动平均法研究分析梧州市财政收入和支出的情况，得到的结果是梧州市财政收入呈现下降状态，而财政支出却逐年上涨，这种状况将导致梧州市人民生活水平下降，影响梧州市各方面的发展。给予一些有益于梧州市财政发展的建议。本文首先介绍主要运用的时间序列分析的概念及其一次简单滑动平均法的方法，再用图表说明了梧州市财政近几年的财政收入和支出状况，然后建立模型，分析由时间序列分析方法得出的对2012年财政收入状况的预测结果，最后，鉴于提高梧州市财政收入的思想，给予了一些合理性建议，比如：积极实施工业强县战略，壮大工业主导财源；大力发展第三产业，强化地方财源建设；完善公共财政支出机制，着力构建和谐社会。 关键词：梧州市；财政收入；时间序列分析；建立模型；建议 Based onThe Time Series Analysis of Wuzhou city Finance Income Studies Abstract Wuzhou city, fiscal revenue mainly comes from fund income, local tax revenue and the tax revenue etc. Wuzhou city in recent years in the autonomous region party committee, the government of the autonomous region and the municipal party committee under the correct leadership, the cadres and masses thoroughly apply the scientific outlook on development, catch every opportunity, pioneering and enterprising, g hard, make the crucial economic rapid development for several years, the people's living standard has also increased significantly, but with the development at the same time, there are also some problems, this paper mainly through the research and analysis the condition of wuzhou fiscal revenue in recent years, according to the time series analysis of a simple moving average method research and analysis of financial income and expenditure wuzhou city, the result obtained is wuzhou city, fiscal revenue decline present condition, and fiscal spending is rising year by year, the situation will lead to wuzhou city, the people's living standards decline, influence all aspects of wuzhou city development. Give some Suggestions on the development of the financial benefit wuzhou city. This paper first introduces the main use of the time series analysis of the concept and a simple moving average method method, reoccupy chart illustrates the wuzhou city, in recent years the financial revenue and expenditure situation, then set a model, analysis the time series analysis method to draw 2012 fiscal income condition prediction results, finally, in view of wuzhou city, improve the financial income thoughts, give some advice, for instance: rationality vigorously implement the strategy of industrial county, strengthen the industry leading financial sources, A vigorous development of the third industry, and to strengthen the construction of local revenue; 季节性时间序列分析方 法 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 第七章季节性时间序列分析方法 由于季节性时间序列在经济生活中大量存在，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为一章加以研究，具有较强的现实意义。本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的建立、季节调整方法X-11程序。 本章的学习重点是季节模型的一般形式和建模。 §1 简单随机时序模型 在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。比如：建筑施工在冬季的月份当中将减少，旅游人数将在夏季达到高峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性变化所引起的。对于这各时间数列我们可以说，变量同它上一年同一月（季度，周等）的值的关系可能比它同前一月的值的相关更密切。 一、季节性时间序列 1．含义：在一个序列中，若经过S个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以S为周期的周期性特性。具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里S为周期长度。 注：①在经济领域中，季节性的数据几乎无处不在，在许多场合，我们往往可以从直观的背景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为4）、月度数据（周期为12）、周数据（周期为7）；②有的时间序列也可能包含长度不同的若干种周期，如客运量数据（S=12，S=7） 2．处理办法： （1）建立组合模型； （1）将原序列分解成S个子序列（Buys-Ballot 1847） 对于这样每一个子序列都可以给它拟合ARIMA 模型，同时认为各个序列之间是相互独立的。但是这种做法不可取，原因有二：（1）S 个子序列事实上并不相互独立，硬性划分这样的子序列不能反映序列{}t x 的总体特征；（2）子序列的划分要求原序列的样本足够大。 启发意义：如果把每一时刻的观察值与上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除（ 或实现平稳化），在经济上，就是考查与前期相比的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差分算子。 定义：季节差分可以表示为S t t t S t S t X X X B X W --=-=?=)1(。 二、 随机季节模型 1．含义：随机季节模型，是对季节性随机序列中不同周期的同一周期点之间的相关关系的一种拟合。 AR （1）：t t S t S t t e W B e W W =-?+=-)1(11??，可以还原为：t t S S e X B =?-)1(1?。 MA （1）：t S t S t t t e B W e e W )1(11θθ-=?-=-，可以还原为：t S t S e B X )1(1θ-=?。 2．形式：广而言之，季节型模型的ARMA 表达形式为 t S t S e B V W B U )()(= （1） 这里，?? ? ??----=----=?=qS q S S S pS P S S S t d S t B V B V B V B V B U B U B U B U X W 2212211)(1)()(平稳。 注：（1）残差t e 的内容；（2）残差t e 的性质。 §2 乘积季节模型 一、 乘积季节模型的一般形式 由于t e 不独立，不妨设),,(~m d n ARIMA e t ，则有 时间序列A R I M A期末 论文 标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N] ARIMA模型在总人口预测中的应用 【摘要】人口发展与社会经济的发展是密不可分的,研究我国总人口的发展,对我国人口数进行分析和预测,有利于及时控制人口的增长调节人口平衡,利于政府及时了解发展趋势并做出反应对策使我国人口发展步入健康的轨道。本文利用时间序列建模原理和思路，并结合软件对1962年——2014年我国年底总人口数据做分析和预测。找到对原始数据有着较好的拟合度和较高的预测精度的模型。利用此模型可对我国年底总人口进行合理的预测。 【关键词】ARIMA建模总人口人口预测 目录 一、引言 (3) 研究背景 (3) 研究现状 (4) 二、模型建立 (5) 模型识别 (5) 模型的参数估计 (8) 模型的诊断 (10) 2.模型的预测 (12) 三、模型的优缺点及推广 (13) 模型的优缺点 (13) 模型的推广 (13) 结束语 (14) 【参考文献】 (15) 附录 (16) 一、引言 研究背景 我国是世界上人口最多的国家，自1980年开始，年末中国大陆总人口就已经超过了10亿，并一直保持约占世界总人口的五分之一，亚洲人口的三分之一。中国人口的发展同中国社会的发展一样经过了漫长而曲折的道路。在世纪的进程中，目前我国进入了一个全新的时代，要想在21世纪——这个充满竞争与挑战的时代中变的富强、屹立于世界民族之林，实现我们的中国梦，这全取决于人。能否顺利解决人口现状等问题，是我国乃自世界共同面临的问题，由于地球的资源是有限的，它不可能无限制的容纳人口，当人口过多，会由于经济跟不上，工作岗位欠缺，医疗等水平不足，从而导致整个社会处于一种动荡之中；然而如果人口过少，又会由于人员不足，导致各方面人力资源不足，无法正常完成各项必须社会活动，这也会极大地限制一个国家的发展，因此，对人口的研究是具有相当的意义的。 我国由于幅员广阔，民族众多，各民族发展水平不一，同时作为世界第一人口大国，我国的耕地面积却相对不足，因此我国每年都需要从国外大量进口粮食，由于过分依赖于进口 基于ARIMA模型的我国全社会固定资产投资预测 摘要：本文采用ARIMA模型，用Eviews6.0软件对我国1980—2012年的全社会固定资产投资额进行了深入分析，并预测了2013年我国全社会固定资产投资额。结果表明，ARIMA(4，1，3)模型能够提供较准确的预测效果，可以用于未来的预测，并为我国固定资产投资提供可靠的依据。 关键词：ARIMA模型固定资产投资额时间序列预测 一、引言 改革开放以来，我国的经济发展取得了举世瞩目的成就。投资是拉动经济增长的三驾马车之一，因此研究我国全社会固定资产投资对研究我国经济增长有着重要的现实意义。我国的全社会固定资产投资总额持续增加：1980年仅为910.9亿元，1993年首次突破10000亿元达到13072.3亿元；到2006年则猛增至109998.2亿元。尤其是进入21世纪以来，随着中国加入WTO，外商投资大量增加，推动了经济政策的调整与完善，也给经济与投资增长增添了活力。 此前，已经有学者做过相关研究。2010年李惠在《ARIMA模型在我国全社会固定资产投资预测中的应用》中，通过1980-2007年我国全社会固定资产投资的相关数据，运用统计学和计量经济学原理，从时间序列的定义出发，运用ARIMA建模方法，将ARIMA模型应用于我国历年全社会固定资产投资数据的分析与预测，检验得出ARIMA(4，2，4)模型为最佳，建议政府抓住投资机遇，合理安排投资比例和投资金额，促进经济的健康发展。2007年靳宝琳和赫英迪在《ARIMA模型在太原市全社会固定资产投资预测中的应用》一文中采用Eviews软件系统中的时间序列建模方法对太原市的固定资产投资总额资料进行了分析，建立了ARIMA模型。结果显示ARIMA(2，1，3)模型提供了较准确的预测效果，可用于未来的预测，为太原市全社套固定资产投资的预测提供了一种方便实用的方法。王新华在《ARIMA模型在武汉市全社会固定投姿预测中的应用》中，采用ARIMA模型，对武汉市1950—2003年的全社会固定资产投资额进行了深入分析。结果表明，ARIMA(8，1，9)模型提供较准确的预测效果，可以用于未来的预测，并为武汉市固定资产投资提供可靠的依据。 对全社会固定资产投资有影响的因素很多，而这些因素彼此之间的关系很复杂。因此运用数理经济模型（即揭示经济活动中各个因素间的理论关系用确定性数学方程加以表述的方法来分析和预测是较为困难的）。所以，本文把我国全社会固定资产投资总额看成是 关于居民消费价格指数的时间序列分析 摘要 本文以我国1997年4月至2014年4月间每月的烟酒及用品类居民消费价格指数为原始数据，利用EVIEWS软件判断该序列为平稳序列且为非白噪声序列，通过对数据一系列的处理，建立AR(1)模型拟合时间序列，由于时间序列之间的相关关系和历史数据对未来的发展有一定的影响，对我国的烟酒及用品类居民消费价格指数进行了短期预测，阐述该价格指数所表现的变化规律。 关键字：烟酒及用品类居民消费价格指数，时间序列，AR模型，预测 引言 一、理论准备 时间序列分析是按照时间顺序的一组数字序列。时间序列分析就是利用这组数列，应用数理统计方法加以处理，以预测未来事物的发展。 时间序列分析是定量预测方法之一。 基本原理： 1.承认事物发展的延续性。应用过去数据，就能推测事物的发展趋势。 2.考虑到事物发展的随机性。任何事物发展都可能受偶然因素影响，为此要利用统计分析中加权平均法对历史数据进行处理。 该方法简单易行，便于掌握，但准确性差，一般只适用于短期预测。 时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论和方法。 二、基本思想 1. 拿到一个观测值序列之后，首先判断它的平稳性，通过平稳性检验，判断序列是平稳序列还是非平稳序列。 2.若为非平稳序列，则利用差分变换成平稳序列。 3.对平稳序列，计算相关系数和偏相关系数，确定模型。 4.估计模型参数，并检验其显著性及模型本身的合理性。 5.检验模型拟合的准确性。 6.根据过去行为对将来的发展做出预测。 三、背景知识 CPI（居民消费价格指数），是反映与居民生活有关的商品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标。居民消费价格指数，是对一个固定的消费品篮子价格的衡量，主要反映消费者支付商品和劳务的价格变化情况，也是一种通货膨胀水平的工具。一般来说，当CPI>3%的增幅时我们称为通货膨胀。 国外许多发达国家非常重视消费价格统计，美国、加拿大等国家都计算和公布每月经过季节调整的消费价格指数，以满足不同信息使用者的要求。经济学家用消费价格指数进行经济分析和利用时间序列构建经济模型。 总所周知，居民消费价格指数是反映一个国家或地区宏观经济运行状况好坏的必不可少的统计指标之一，是世界各国判断通货膨胀（紧缩）的主要标尺，是反映市场经济景气状态必不可少的经济晴雨表。因此，我国也采用国际惯例，用消费价格指数作为判断通货膨胀的主要标尺。 由于CPI是反映社会经济现象的综合指标，对其定量分析必须建立在定性分析的基础上，因此CPI的预测趋势还要与国家宏观经济政策及我国市场的供求关系相结合。如果消费价格指数升幅过大，表明通胀已经成为经济不稳定因素，央行会有紧缩货币政策和财政政策的风险，从而造成经济前景不明朗。因此，该指数过高的升幅往往不被市场欢迎。 基于以上种种，CPI指数的预测对我国各方面显得尤为重要。 本文针对烟酒及用品类居民消费价格指数，分析其时间序列，并进行了相关预测。 模型的建立 一、数据的选择： 选取2007年4月—2014年4月的各个月份的烟酒及用品类居民消费价格指数，如表1所示： 表1 烟酒及用品类居民消费价格指数 时间指数时间指数时间指数时间指数2007.4 99.4 2009.2 103.2 2010.12 101.5 2012.1 103.4 2007.5 99.3 2009.3 103.3 2011.1 101.6 2012.11 103.4 2007.6 99.3 2009.4 103.4 2011.2 101.7 2012.12 103.3 2007.7 99.3 2009.5 103.6 2011.3 101.7 2013.1 103.1 应用时间序列分析课程论文 班级：13应用统计1班学号：20133695 姓名：彭鹏 学习了本学期的应用时间序列分析课程内容，学习了使用EVIEWS软件对平稳时间序列的平稳性进行分析，学习平稳时间序列模型的建立、学会根据自相关系数和偏自相关系数判断ARMA模型的阶数p 和q，学会利用信息准则对估计的ARMA模型进行诊断，以及掌握利用ARMA模型进行预测。 在统计研究中，有大量的数据是按照时间顺序排列的，用数学方法来表述就是使用一组随机序列表示随机事件的时间序列即为{Xt} 通常的ARMR建模过程，B-J方法具体步骤如下： 一、对时间序列进行特性分析。从随机性、平稳性、季节性考虑。 对于一个非平稳时间序列，若要建模首先将其平稳化，其方法 有三种： 1差分，一些序列可以通过差分使其平稳化。 2季节差分，如果序列具有周期波动特点，为了消除周期波动 的影响，通常引用季节差分。 3函数变换与差分结合运用，某些序列如果具有某类函数趋势，我们可以先引入某种函数变换将序列转化为线性趋势，然后再 进行差分以消除线性趋势。 二、模型识别与建立。模型识别和模型定阶。 三、模型的评价，并利用模型进行评价。 下面从网上搜寻数据，1949-2014年城镇人口数(单位万人，其中有些年份缺失数据，数据来源于中国统计年鉴)。进行处理分析 绘制序列时序图有看来有明显增长趋势为非平稳序列，进行一阶差分y=d(r): 由图得出序列y仍然非平稳 1.对原序列进行二阶差分z=d(r,2) 相关图检 验：序列z为平稳序列，进行单位根检验： 稳序列。有相关图看出为非白噪声序列。 可见均值非零；在原序列上生成0均值序列在输入x=z-28.59184 得到序列x为0均值的平稳非白噪声序列 由相关图看出自相关系数一阶截尾，考虑MA(1)模型时间序列分析期末论文 (1)
时间序列分析方法及应用7
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