2014广东高考(理数)【含答案--全WORD--精心排版】

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学(理科)

一、选择题：

1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =（ ）

A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 2．已知复数z 满足(34)25i z +=，则z =（ ）

A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+

3．若变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤??

+≤??≥-?

且2z x y =+的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m -=（ ）

A ．8 B.7 C.6 D.5

4．若实数k 满足09k <<， 则曲线221259x y k

-=-与曲线

22

1259x y k -=-的（ ） A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等 5．已知向量(1,0,1)a =-，则下列向量中与a 成60?夹角的是（ ）

A ．(1,1,0)- B.(1,1,0)- C.(0,1,1)- D.(1,0,1)-

6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分 层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ） A. 200，20 B. 100，20 C. 200，10 D. 100，10

7．若空间中四条两两不同的直线1l ，2l ，3l ，4l 满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是（ ） A ．14l l ⊥ B.14//l l C. 1l 与4l 既不垂直也不平行 D. 1l 与4l 的位置关系不确定 8．设集合(){}1

2

3

4

5

,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i

A x x x x x x i =

∈-=，则集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”

的元素个数为（ ）

A.60

B.90

C.120

D.130 二、填空题：

（一）必做题（9～13题）

9．不等式521≥++-x x 的解集为 .

10．曲线25+=-x

e y 在点)3,0(处的切线方程为 .

11．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 . 12．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b B c C b 2cos cos =+，则=b

a

. 13．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= .

（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）

14．（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2

sin

cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极

点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 的交点的直角坐 标为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且

CDF ?的面积

16．（满分12分）已知函数()sin()4f x A x π

=+

，x R ∈，且23)125(

=πf .

（1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)4

3

(θπ-f .

17．（满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

n 2n 1f 2

f 10.320.200.12853(45,50]

(40,45](35,40](30,35][25,30]频率

频数

分组

（1）确定样本频率分布表中1n ，2n ，1f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.

P F

E C

D

B A 18．（满分13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，0

30DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，//FE CD ， 交PD 于点E .（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D AF E --的余弦值.

19．（满分14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ，满足21234n n S na n n +=--，*n N ∈，且315S =. （1）求1a ，2a ，3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式.

20．（满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点为（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线互相垂直，求点P 的轨迹方程.

21．（满分14分）设函数

()f x =

2k <-.

（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）；（2）讨论在区间D 上的单调性； （3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学(理科)参考答案

一、选择题：BACD BADA 1．【解析】M N ={1,0,1}-{0,1,2}={1,0,1,2}-.故选B.

2．【解析】2525(34)25(34)

=3434(34)(34)25

i i z i i i i --=

==-++-.故选A. 3．【解析】作出不等式组表示的平面区域如图，易知在点(2,1)和(1,1)--处目标函数分别取得最大值3M =和 最小值3m =-，所以6M m -=.故选C. 4．【解析】因为09k <<，所以90k ->，250k ->，从而两曲线均为双曲线，又25(9)34(25)9k k k +-=-=-+，

所以两双曲线的焦距相等.故选D.

5．

1

2

=，即这两个向量夹角余弦值为从而夹角为60?，故选B.

6．【解析】样本容量为：(350045002000)2%200++?=，抽取的高中生近视人数为

20002%50%20??=.故选A. 7．【解析】在如图所示的正方体中，有12l l ⊥，23l l ⊥，而直线4l 可以是平面ABCD 内的 任何直线，所以1l 与4l 的位置关系不确定.故选D.

8．【解析】依题意，12345x x x x x ++++可取值为1，2，3，和为1的元素个数为1125C 10C =，和为2的元

素个数为122255C 40C A +=，和为3的元素个数为13112

25254C C C 80C C +=，所以满足条件的元素总的个数为

104080130++=.故选A.

二、填空题：9. (,3][2,)-∞-+∞ 10. 530x y +-= 11.

1

6

12. 2 13. 50 14.(1,1) 15. 9 （一）必做题（9-13题） 9．【解析】实轴上到1与2-距离之和为5的数为3-和2，所以该不等式的解集为(,3][2,)-∞-+∞. 10．【解析】55x y e -'=-，所以0

5x y ='

=-，所以，所求切线方程为35y x -=-，即530x y +-=.

11．【解析】要使6为取出的7个数中的中位数，则取出的数中必有3个不大于6，另外3个不小于6，

故所求概率为3

67101

6

C C =.

12．【解析】方法一：由三角形中的射影定理知cos cos b C c B a +=，所以2a b =，于是

2a

b

=. 方法二：由正弦定理得sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，所以sin 2sin A B =，

即2a b =，于是2a

b

=.

方法三：由余弦定理得222222

222a b c a c b b b ab ac

+-+-?

+=，即224a ab =，所以2a b =，于是2a b =. 13．【解析】因为1011912a a a a =，所以51011a a e =，设1220ln ln ln S a a a =+++，

则20191ln ln ln S a a a =+++，所以51201011220ln 20ln 20ln 100S a a a a e ====，得50S =.

（二）选做题（14、15题，考生只选做其中一题）

14．【解析】由2

sin

cos ρθθ=得2(sin )cos ρθρθ=，所以1C 的直角坐标方程为2y x =，由sin 1ρθ=得2C

的直角坐标方程为1y =，所以1C 和2C 的交点的直角坐标为(1,1). 15．【解析】显然CDF ?∽AEF ?，所以CDF AEF ?=?的面积

的面积

22()()9CD EB AE AE AE +==. 三、解答题：

16．（本小题满分12分） 5523ππππ3

（2）由（1

）得()sin()4f x x π

=+

，所以()())sin()44

f f ππ

θθθθ+-=++-+

cos

cos sin )(sin()cos cos()sin )4444π

πππθθθθ=+-+

-3

cos sin 42

πθθ===，

所以cos θ=，因为(0,)2πθ∈

，所以sin θ=，

所以33()sin())444f πππθθπθθ-=-+=-===

17．（本小题满分13分）

解：（1）17n =，22n =，170.2825f ==，22

0.0825

f ==. （2）频率分布直方图如图所示：

（3）根据频率分布直方图，可得工人们日加工零件数落在区间(30,35]的概率为0.2，设日加工零件数落在(30,35]的人数为随机变量ξ，则

(4,0.2)B ξ

，故4人中，至少有1人的日加工零件数落在(30,35]的概

率为0

0441(0.2)(0.8)C -=10.40960.5904-=.

18．（本小题满分13分）

（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，PD PCD ?，所以平面PCD ⊥平面ABCD ， 又平面PCD 平面ABCD CD =，A D ?平面ABCD ， A D C D ⊥，所以AD ⊥平面PCD ， 因为CF ?平面PCD ，所以CF AD ⊥，又AF PC ⊥，所以CF AF ⊥. 因为AD ，AF ?平面ADF ，AD AF A =，所以CF ⊥平面ADF .

（2）方法一：过E 作//EG CF 交DF 于点G ，因为CF ⊥平面ADF ，所以EG ⊥平面ADF ， 过点G 作GH AF ⊥于H ，连结EH ，则EHG ∠为二面角D AF E --的平面角， 设2CD =，因为0

30DPC ∠=，所以0

30CDF ∠=，从而1

=

=12

CF CD ，4CP =， 因为//EF DC ，所以DE CF DP CP =

122

，所以DE =，易求得32EF =

，DF =，

从而334DE EF EG DF ?=

==

，易得2AE =

，AF =，3

2

EF =

，

所以3AE EF EH AF ?===

HG ==，

所以cos GH EHG EH ∠=

==

. 方法二：分别以 DP ，，为，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设2DC =，

则(0,0,2)A ，(0,2,0)C

，P ，设CF CP λ=

，则,22,0)F λ-， 因为DF C F ⊥，可得14λ=

，从

而3,0)2F ，易

得,0,0)E ，取平面A D F 的一个法向量为11

C P (3,1,0)

2

n =

=-，设平面AEF 的一个法向量为2(,,)n x y z =，利用20n AE ?=且20n AF ?

=得2n 可以是，从而二面角D AF E --

的余弦值为1212||||2n n n n ?==??.

19．（本小题满分14分）

2122331212+=432424()204(15)20a a S a S a a a a =-?-?=---=---，

所以12+8a a =………………②，解①②联立方程组，得12

3

5a a =??=?，33121587a S a a =--=-=，

综上得13a =，25a =，37a =.

（2）21234n n S na n n +=--………③，所以当2n ≥时，212(1)3(1)4(1)n n S n a n n -=-----………④

③-④，整理得12161

22n n n n a a n n

+-+=

+，由（1）猜想21n a n =+，以下用数学归纳法证明： （i ）由（1）知，当1n =时，13211a ==?+，结论成立. （ii ）假设n k =时，结论成立，即21k a k =+，

则当1n k =+时，1216122k k k k a a k k +-+=

+211

(21)322k k k k -=?+++2411322k k k

-=++23k =+2(1)1k =++. 这就是说1n k =+时，结论成立，从而对一切n N *

∈，21n a n =+.

20．（本小题满分14分）

解：（1

）因为c =

3c e a a =

==

，所以3a =，222

954b a c =-=-=， 所以椭圆C 的标准方程为22

194

x y +=. （2）若一切线垂直于x 轴，则另一切线垂直y 轴，则这样的点P 共有4个：(3,2)-±，(3,2)±.

若两切线不垂直于坐标轴，设切线方程为00()y y k x x -=-，即00()y k x x y =-+，代入椭圆方程22

194

x y +=中，整理得2220000(94)18()9[()4]0k x k y kx x y kx ++-+--=，依题意，上述方程的0?=，

即22220000(18)()36[()4](94)0k y kx y kx k ----+=，整理得22004()4(94)0y kx k --+=， 整理成关于k 的一元二次方程得：2220000(9)240x k x y k y --+-=，

因为两切线互相垂直，所以121k k =-，即20204

19

y x -=--，所以220013x y +=，

显然这四点(3,2)-±，(3,2)±也满足上述方程，所以点P 的轨迹方程为22

13x y +=.

21．（本小题满分14分）

解：（1）依题意222(2)2(2)30x x k x x k +++++->，可得2

21x x k ++>………………①

或223x x k ++<-………②，由①得2

210x x k ++->，144(1)4(2)0k k ?=--=->（因为2k <-）， 所以方程2210x x k ++-=

的解为1-所以由2210x x k ++->

得1x <-

1x >-

由②得2

230x x k +++<，244(3)4(2)0k k ?=-+=-->（因为2k <-），

所以方程2

230x x k +++=

的解为1-，所以由2

230x x k +++<

得11x -<<-

因为2k <-

，所以11111-<-<-<-<-

所以(,1(12,12)(12,)D

k k k =-∞------+---+-+∞.

（2）设0u =

>，

则3221()[2(2)(22)2(22)]2

f x u x x k x x -'=-??++?++

+3

2

22(1)(21)u x x x k -=-+?+++

（i ）当(,1x ∈-∞-时，10x +<，

2

21110x x k +++>+>，所以()0f x '>，

（ii ）当(11)x ∈--时，10x +<，

2

21310x x k +++<-+<，所以()0f x '<， （iii ）当(1,1x ∈--时，10x +>，

2

21310x x k +++<-+<，所以()0f x '>， （iv ）当(1)x ∈-+∞时，10x +>，2

21110x x k +++>+>，所以10x +>，

单调递减区间为(11)--，(1)-+∞.

（3）设222()(2)2(2)3g x x x k x x k =+++++-，由（1）知当x D ∈时，()0g x >，

又2(1)(3)2(3)3(6)(2)g k k k k =+++-=++，显然当6k <-时，(1)0g >，

从而()(1)()(1)f x f g x g >?<， 2222()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3]g x g x x k x x k k -=+++++--+++-

2222[(2)(3k)]2[(2)(3)]x x k x x k k =++-++++-+2(3)(1)(225)x x x x k =+-+++，

因为6k <-，所以11131-<-<--<

11<--1<-

（i ）当1x <-(3)(1)0x x +->，要使()(1)f x f >，即()(1)g x g <，

亦即2

2250x x k +++<，即11x -<-11x -<-<

（ii ）当13x -<<-时，(3)(1)0x x +->，22225(2)(5)3(5)0x x k x x k k k +++=++++<-++<， 此时()(1)g x g <，即()(1)f x f >；

（iii ）当31x -<<时，(3)(1)0x x +-<，22253(5)0x x k k +++<-++<，所以()(1)g x g >，不合题意；

（iv ）当11x -<<(3)(1)0x x +->，2

2253(5)0x x k k +++<-++<， 所以()(1)g x g <，符合题意；

（v ）当1x >-(3)(1)0x x +->，要使()(1)g x g <，则2

2250x x k +++<，

即11x -<<-11x -<<-综上所述，()(1)f x f >的解集为：

(11--(13)--1,(1-(11--.