高等流体力学作业参考答案-20121215

第二章 流体力学的基本概念

随堂作业：粘性不可压缩均质流体定常运动（绝热过程）方程组在二维直角坐标系中的形式 解：

粘性流体0μ≠，不可压缩均质流体C ρ=，定常流动0t

?

=?，绝热0q =，二维直角坐标系

0z

?

=?。 连续性方程：

0u v x y

??+=?? 运动方程：,,xy xx x xy yy y P P du

F dt x y

P P dv

F dt x y

ρρρρ??=++????=++??

本构方程：12,

312,3xx yy xy u u v P P x x y v u v P P y x y u v P x y μμμ???????=-+-+?? ??????????

?????=-+-+??

???????

?????=+ ?

????

二 流线与迹线，加速度 1(2) 2222

,,0,cx cy

u v w x y x y

===++c 是常数,试画出流线族; 解：

流线的微分方程为

dx dy u v =,将2222

,cx cy

u v x y x y ==++代入得2222

dx dy

cx cy x y x y =++,积分后得ln ln x y C -=,得,y Cx z B ==，其中B 、C 为积分常数。 1(8) 2

2

,2,u x y v xy =-=-求通过1,1x y ==的一条流线; 解:

流线的微分方程为

dx dy u v =,将22

,2u x y v xy =-=-代入,得222dx dy x y xy

=--,积分得323y x y C -=,其中C 为积分常数。将1,1x y ==代入,求得2C =-。所求流线方程为

32320y x y -+=。

1(11)设,,0u x t v y t ω=+=-+=,求通过1,1x y =-=-的流线及0t =时通过

1,1x y =-=-的迹线;

解:

因为0ω=所以流动属于二维运动,z C = 。 流线的微分方程为

dx dy u v =,将,u x t v y t =+=-+代入得dx dy x t y t

=+-+,积分整理得2xy xt yt t C -+-=。将1,1

x y =-=-代入得2

1C t =-。所求流线方程为10xy xt yt -+-=。

迹线的微分方程为

,dx dy u v dt dt ==,将,u x t v y t =+=-+代入得,dx dy

x t y t dt dt

=+=-+,解非齐次常系数线性微分方程得121,1t t x C e t y C e t -=--=+-,代入0t =,1,1x y =-=-得

120,0C C ==,所以所求迹线方程为20x y ++=。

三运动类型的判别

1（3）,,0;u cy v cx w =-==对流场进行分析，是有旋运动，还是无旋运动，求出它们的流线形状,其中c 是常数。

解：

0()0,()0

0,()()

2,

x y z w v cx rot V y z y z u w cy rot V z x z x v u cx cy rot V c x y y z ????=

-=-=???????-?=-=-=????????-=-=-=????

0rot ≠故为有旋运动。

流线的微分方程为dx dy u v =,将,u cy v cx =-=代入得dx dy

cy cx

=-，积分得2222x y C +=所以流线形状为椭圆形。

第三章 流体力学基本方程组

9试证下述不可压缩流体的运动是可能存在的 (1)2

2

2,2,4()u x y v y z w x y z xy =+=+=-++ 解:：

22

444()0(2)(2)(4())

u u u u u u x y x y x y z x y y z x y z xy ??????++=++=+-+=????+?+?-++满足不可压缩流体连续性方程,所以运动是运动是可能存在的。 13求下列速度场成为不可压缩流体可能流动的条件

(1)111222333,,;u a x b y c z v a x b y c z u a x b y c z =++=++=++ 解：成为不可压缩流体可能运动的条件是

1230u u u a b c x y z

???++=++=???。 22已知粘性流体在圆管中作层流流动时的速度分布为220()u c r r =-，其中c 为常数,0r 是圆管半径,求:(1)单位长度圆管对流体的阻力;(2)在管内0/2r r =处沿圆管每单位长流体的内摩擦。 解：

（1）220(())2d c r r du cr dr dr

τμμμ-===-。边界处00,2r r cr τμ==-。单位长度圆管对流体的阻力20024F r cr πτμ==-。 （2）在管内0/2r r =处，20

022

r F cr πτ

μ==-。 23一长为l ,宽为b 的平板,完全浸没于粘性系数为μ的流体中,流体以速度0u 沿平板平行流过。假定流体质点在平板两面上任何一点的速度分布情况如图所示。求：（1）平板上的总阻力；（2）/2y h =处的流体内摩擦力；（3）3/2y h =处的流体内摩擦力； 解：

（1）由牛顿内摩擦定律F du

I A dy

μ=

=，而0,0,0y u u v w h ===，所以平板上的总阻力

22u F IA bl

h

μ==。 （2）/2y h =处的流体内摩擦力0u du

dy h

τμ

μ== （3）3/2y h =处，

du

dy

=0，所以此处流体内摩擦力为0。 3-25 解：

（一）由能量方程知：

:()dU P S div k gradT q

dt

ρρ=+?+

流体为不可压缩绝热粘性流体，且由题有0v

??=，则有

:dU P S p v dt

ρφφ==-??+=

计算变形速度张量为

S=错误！未找到引用源。

故每单位体积的内能增量为

22

=-()2:3

v S S

φμμ??+

222

222

02()44u u u h h h

μμ=++=

2

3150.01() 3.61025

-=?=??2达因/厘米秒

（二）由能量方程知：

:()dU P S div k gradT q

dt

ρρ=+?+

流体为不可压缩绝热粘性流体，则

:dU P S

dt

ρ=

由条件知，

u v v

0x x y ???===??? u ()u u

y y y h h

??==??

二维流动条件下

=0z

?

? 则

11:=p ()p ()22xy

yx v u v u P S x y x y

?????++?+????2

2

u u u y y h

μμ??=??=??2

15=0.01()

25

?33.610-=??2

达因/厘米秒

（三）取截面积S=1/25厘米2的流体进行 分析，则体积

3

251/251V h S =?=?=厘米

由于流体为不可压缩绝热粘性流体，则流 体内能增量全部来源于外力所做的功，外 力为上平板对流体的作用力，由相互作用 力的关系得

1

25

u F S h τμ=?=??

4151

0.01 2.4102525

-=??=?达因

单位时间内能增量

4U

2.41015F u t

-?=?=???

33.610-=??达因厘米/秒

单位时间、单位体积内能增量

3

3U 3.610 3.6101

t V --??==????2达因/厘米秒

第四章 流体的涡旋运动

7速度场为2,2,2u y z v z x w x y =+=+=+ (1) 求涡量及涡线

(2) 求在1x y z ++=平面上横截面为20.0001dS m =的涡管强度. (3) 求在0z =平面上2

0.0001dS m =上的涡通量

解：

（1）w v u w v u rotV i j k i j k y z z x x y ????

????????Ω==-+-+-=++

? ? ?????????????

由涡线定义知

x y z

dx dy dz ==ΩΩΩ，所以,dx dy dy dz ==，积分得12,x y C y z C -=-=，12C C ，为常数。

（2）在1x y z ++=

平面上cos(,)cos(,)cos(,)3

n x n y n z ===

[

]42cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)10/s s s

w v u w v u ds n x n y n z ds y z z x x y n x n y n z ds m s

-??????????????

Ω=-+-+-?? ? ? ???????????????=++=??? （3）在0z =平面上上cos(,)cos(,)0,cos(,)1n x n y n z ===

[]42cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)10/s s s

w v u w v u ds n x n y n z ds y z z x x y n x n y n z ds m s

-??????????????Ω=-+-+-?? ? ? ???????????????=++=???

第六章 伯努利积分和动量定理

4设空气在一收缩管道中流过，管道收缩处有一毛细管与下方一容器中的水相接，水面与收缩处的距离为h,收缩管截面1和2处的断面积为12S S 和。如果把空气看为理想的，不可压缩的，它的运动时定常的且只有重力作用。试问空气在入口处的流速多大时管道能将容器中的水吸到管道中来？ 解：

由连续性方程喝伯努利方程得11222

2

1

12202++22S V S V V P V P P P gh

ρρρ?=??=???-=?

空

空

水，又因为10P P =。

解得1V =

0P 为大气压。

22截面积为2A 的90°弯管和一截面积为1A 的喷管相连。设水以流量Q 从喷管射向压力为

Pa 的大气。求作用在弯管上的力x y F F 和。设流体是理想不可压缩的，重力可以忽略，流

动是定常的。

解：

由连续性方程喝伯努利方程得11222122++22AV A V Q V V P Pa ρρ==??

?=??

在x 方向上2

111x F PaA v A ρ-=

在y 方向上2

2222

y F P A v A ρ-=

解得

2

1

12

22

12

222122x y Q F PaA A A A Q F PaA A A ρρ=+??

+=

+ ???

分析讨论题

比较小孔出流反推力与火箭发动机反推力计算的相同点和不同点.根据火箭发动机推动力计算公式,提出增大推动力的有效方法。

根据圆管突然扩大的能量损失计算公式，提出减小流体输送能量损失的合理管路设计原则。

第七章 理想不可压缩流体无旋运动

12设复位势为2

2

1

()(1)ln(1)(23)ln(4)w z i z i z z

=+++-++

试分析它们是由哪些基本流动组成的?并求沿圆周22

9x y +=和2

2

1

36

x y +=

的速度环量Γ及通过该圆周的流体体积

流量Q 解：

221()(1)ln(1)(23)ln(4)ln()ln()2ln(2)2ln(2)1ln()ln()3ln(2)3ln(2)w z i z i z z

z i z i z i z i i z i i z i i z i i z i z

=+++-++=++-+++-+++--+--+

由分解式可以看出，有以下基本流动构成： 在复平面中位于（0,1），（0,-1），（0,2），（0,-2）的点源 在复平面中位于（0,1），（0,-1）逆时针流动的点涡 在复平面中位于（0,2），（0,-2）顺时针流动的点涡 位于坐标原点的偶极子。 当22

9x y +=时，

22(1133)822(1122)12b Q a πππ

πππ

Γ=-=-+--===+++=

由于2

2

1

36

x y +=

构成的封闭圆环不包括任何的点源和点涡，而且偶极子速度环量和体积流量为0，所欲0,0Q Γ==

当等于9/4时。构成的封闭圆包括位于0.1和0，-1的点源。位于0，1和0，-1的点涡。 13设复位势为1()ln()w z m z z

=-试分析它们是由哪些基本流动组成的?求流线和单位时间通过12

z i z ==和两点连线的流体体积。

解：

211

()ln()ln()ln(1)ln(1)ln z w z m z m m z m z m z z z

-=-==++--

由分解式可以看出，有以下基本流动构成：

当0m >时，由位于（0,1），（0,-1）的点源和位于（0,0）的点汇 当0m <时，由位于（0,1），（0,-1）的点汇和位于（0,0）的点源

222

2

2

2

22222222

11()ln()ln ln 11ln ln x yi w z m z m x yi m x yi z x yi x y x yi x y x y m x y m x y i x y x y x y x y ????-=-=+-=+- ? ?++????????+-++=-++=+ ? ?++++????

X y x 1y x x 2222=+-+设： Y y

x 1

y x y 2

222=+++设： 则：()()θθ

m mr re

m Yi X m (z)w i +==+=ln ln

因此 ：流函数=?22222222

11x y x y m marctg y x C x y x y θ??

????+++-== ? ? ?++?

?????

所以流线方程为()()

22222222

22221111x y x y y x C x y x y y x y Cx x y ????+++-= ? ?++????

++=+-即 通过围绕原点任意封闭曲线的流量2Q m π=，单位时间通过12

z i z ==和两点连线的流体

体积，即2θπ=时，2

m

Q π=