江苏省苏锡常镇四市2017年高三教学情况调研(一)数学-含答案
2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数 学 Ⅰ 试 题 2017.3
一、填空题
1、已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}
2
650,Z M x x x x =-+∈≤，?M =U ．
2、若复数z 满足2i
z i i
++=（i 为虚数单位），则z = ． 3、函数1
()ln(43)
f x x =
-的定义域为 ．
4、下图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 ．
（第4题图）
5、某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的 样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人．则该校高二年级学生人数为 ．
6、已知正四棱锥的底面边长是2
，则该正四棱锥的体积为 ． 7、从集合{}1,2,3,4中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为 ．
8、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2
8y x =的焦点恰好是双曲线22
213
x y a -
=的右 焦点，则双曲线的离心率为 ．
9、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若396,,S S S 成等差数列，且254a a +=，则8a 的 值为 ．
10、在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)M 的直线l 与圆2
2
5x y +=交于,A B 两点，其 中A 点在第一象限，且2BM MA =，则直线l 的方程为 ．
11、在△ABC 中，已知1,2,60AB AC A ==∠=，若点P 满足AP AB AC λ=+，且
1BP CP ?=，则实数λ的值为 ．
12、已知sin 3sin()6
π
αα=+
，则tan()12
π
α+
= ．
13、若函数2
1
1,12()ln ,1
x
x f x x x x ?-
14、若正数,x y 满足1522x y -=，则3
3
2
2
x y x y +--的最小值为 ．
二、解答题
15、在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边．若cos 3,cos 1a B b A ==，且
6
A B π-=
．
（1）求边c 的长；（2）求角B 的大小．
16、如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C 是菱形，1AC 与1A C 交于点O ，E 是棱AB 上一点，且OE ∥平面11BCC B ． （1）求证：E 是AB 中点；
（2）若11AC A B ⊥，求证：1AC BC ⊥．
17、某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图）．设计要求彩门的面积为S （单位：2
m ），高为h （单位：m ）（,S h 为常数）．彩门的下底
BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢 支架的长度和记为l ．
（1）请将l 表示成关于α的函数()l f α=； （2）问当α为何值l 最小，并求最小值．
18、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2，离心率为
2
，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；
（2）过点D 作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜
率之和为定值.
19、已知函数()(1)ln f x x x ax a =+-+（a 为正实数，且为常数）. （1）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若不等式(1)()0x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.
20、已知n 为正整数，数列{}n a 满足0n a >，22
14(1)0n n n a na ++-=，设数列{}n b 满足
2n
n n a b t
=.
（1）求证：数列
为等比数列； （2）若数列{}n b 是等差数列，求实数t 的值；
（3）若数列{}n b 是等差数列，前n 项和为n S ，对任意的N n *
∈，均存在N m *
∈，使得
24211816n m a S a n b -=成立，求满足条件的所有整数1a 的值.
2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数 学 Ⅱ 试 题 2017.3
1、已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ??
=????
，并且矩阵M 对应的
变换将点(1,2)-变换成(2,4)-. （1）求矩阵M ；
（2）求矩阵M 的另一个特征值.
2、已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2
2,cos()24
π
ρρθ=--=.
（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
3、如图，已知正四棱锥P ABCD -中， 2PA AB ==，点,M N 分别在,PA BD 上，且
1
3
PM BN PA BD ==. （1）求异面直线MN 与PC 所成角的大小； （2）求二面角N PC B --的余弦值.
4、设2
πθ<
，n 为正整数，数列{}n a 的通项公式sin
tan 2
n n n a π
θ=，其前n 项和为n S . （1）求证：当n 为偶数时，0n a =；当n 为奇数时，12
(1)tan n n n a θ-=-；
（2）求证：对任何正整数n ，1221
sin 2[1(1)tan ]2
n n n S θθ+=?+-.
2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学参考答案
2017.3
一、填空题．
1．{}6,7 2
3．()3,1 1.4??
+∞ ??? 4．24
5．300
6．
43
7．1
3
8．2
9．2 10．1y x =- 11．1或1
4-
12．4 13．4
14．1
二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．解：（1）（法一）在△ABC 中，由余弦定理，
cos 3a B =，则222
32a c b a
ac
+-=，得2226a c b c +-=；① ……2分
cos 1b A =，则222
12b c a b
bc +-=，得2222b c a c +-=，② ……4分 ①+②得：228c c =，4c =. ……7分 （法二）因为在△ABC 中，πA B C ++=，
则sin cos sin cos sin()sin(π)=sin A B B A A B C C +=+=-， ……2分 由
sin sin sin a b c A B C ==
得：sin sin a C A c =，sin sin b C
B c
=，代入上式得： ……4分 cos cos 314c a B b A =+=+=. ……7分
（2）由正弦定理得
cos sin cos tan 3cos sin cos tan a B A B A
b A B A B
===， ……10分
又2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan A B B A B A B B --==++ ……12分
解得tan B =，π)(0,B ∈，π
6
B =. ……14分
16．（1）连接1BC ，因为OE ∥平面11BCC B ，
OE ?平面1ABC ，平面11BCC B I 平面11ABC BC =，所以OE ∥1BC . ……4分
因为侧面11AA C C 是菱形，11
AC AC O =，所以O 是1AC 中点， ……5分 所以
1
1AE AO EB OC ==，E 是AB 中点. ……7分 （2）因为侧面11AA C C 是菱形，所以1AC 1A C ⊥，
……9分
又11AC A B ⊥，1
11AC A B A =，11,AC A B ?面1A
BC ，所以1AC ⊥面1A BC ，…12分 因为BC ?平面1A BC ，所以1AC BC ⊥． ……14分
17．解：（1）过D 作DH BC ⊥于点H ，则DCB α∠=（π
02
α<<
）， DH h =， 设AD x =， C
B
D
A
（第17题图）
H
1
（第16题图）
则sin h DC α=
，tan h CH α=，2tan h BC x α
=+， ……3分 因为S=12()2tan h x x h α++?，则 tan S h
x h α=-
； ……5分
则21
()2()sin tan S l f DC AD h h ααα==+=
+- (π02
α<<)； ……7分 （2）2222cos 112cos ()(
)sin sin sin f h h αα
αααα---'=?-=?
， ……8分 令212cos ()0
-'=?
=f h αα
，得π
=α. ……9分
所以， min π()3S
l
f h =+.
……12分
答：（1）l 表示成关于α的函数为21()()sin tan S l f h h ααα==+- (π
02
α<<)； （2）当π3α=
时，l S
h
+.
……14分
18．解：（1）由题1c =，c e a =
=所以a
=，1b =. ……2分 所以椭圆C 的方程为2
2 1.2x y +=
……4分
（2）当直线PQ 的斜率不存在时，不合题意；
……5分 当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为
(y k x +-，……6分 代入2222x y +=， 得2222(12))4820k x k k x k k +-++++=， ……8分
设11(,)
P x y ，2
2(,)Q
x y ，则：
4(81)
0k ?=
-+>，1
8
k <-
，1,2x =， ……9分
所以12x x +，2122
482
12k k x x k ++?=+，
……11分
又AP AQ k k +=
=
……11分
4
22
k k
-
=-=-=1.
所以直线AP，AQ的斜率之和为定值1. ……16分19．解：（1）()(1)ln
f x x x ax a
=+-+，
1
()ln+
x
f x x a
x
+
'=-. ……1分因()
f x在(0,)
+∞上单调递增，则()0
f x
'≥，
1
ln+1
a x
x
+
…恒成立.
令
1
()ln+1
g x x
=+，则
2
1
()
x
g x
-
'=，……2分
因此，
min
()(1)2
g x g
==，即02
a
<…. ……6分（2）当02
a
<…时，由（1）知，当(0,)
x∈+∞时，()
f x单调递增. ……7分
又(1)0
f=，当(0,1)
x∈，()0
f x<；当(1,)
x∈+∞时，()0
f x>. ……9分
故不等式(1)()0
x f x
-…恒成立．……10分若2
a>，
ln(1)1
()
x x a x
f x
x
+-+
'=，
设()ln(1)1
p x x x a x
=+-+，令()ln20
p x x a
'=+-=，则2
e1
a
x-
=>. …12分当2
(1,e)
a
x-
∈时，()0
p x
'<，()
p x单调递减，则()(1)20
p x p a
<=-<
，则
()
()0
p x
f x
x
'=<，所以当2
(1,e)
a
x-
∈时，()
f x单调递减，……
14
分则当2
(1,e)
a
x-
∈时，()(1)0
f x f
<
=，此时(1)()0
x f x
-<<，矛盾. ……15分因此，02
a
<…. ……16分
20．解：（1）由题意得22
1
4(1)
n n
n a na
+
+=，因为数列{}n a各项均正，
得
22
14
1
n n
a a
n n
+=
+
2
=……2分2
=，所以是以
1
a为首项公比为2的等比数列. ……4分
……４分
（2）由（1
1
12n a -=?
，12
n n a a -=2
2114n n n n n a a n b t t -==， ……5分 如果数列{}n b 是等差数列，则2132b b b =+，
……6分
得：2212023111123244423a a a t t t --??=+，即2
316148
t t t
=+，则216480t t -+=， 解得 14t =，212t =. ……7分
当14t =时，214
n a n
b =，
222
1111(1)444n n a n a n a b b ++-=-=
，数列{}n b 是等差数列，符合题意； ……8分
当2t =12时，2143
n n
a n
b =?， 2222
111241244242211434343162a a a b b a +=+==???，2132133428231b a a ==??，
2432b b b +≠，数列{}n b 不是等差数列，2t =12不符合题意；
……9分 综上，如果数列{}n b 是等差数列，4t =.
……10分
（3）由（2）得214
n a n
b =，对任意的n ∈N ，均存在m ∈N ，使24211816n m a S a n b -=，
则4242
111(1)816
424a n n a m a n +?-=，所以214
na m =. ……12分 当12a k =，k ∈N ，此时2244
k n m k n ==，对任意的n ∈N ，符合题意；
……14分
当121a k =-，k ∈N ，当1n =时，224411
44k k m k k -+==++. 不合题意. …15分
综上，当12,a k k =∈N ，对任意的n ∈N ，均存在m ∈N ，使24211816n m a S a n b -=.
……16分
（第Ⅱ卷 理科附加卷）
21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分.
A ．（选修4－1 几何证明选讲）. 解：连结OC ，由于l 是圆的切线，故OC l ⊥，
因为AD l ⊥，所以AD ∥OC ， ……2分 因为AB 是圆O 的直径，6AB =，3BC =， 所以60∠=∠=?ABC BCO ,
则DAC ∠=906030ACO ∠=?-?=?. ……4分
A
B
C D O
（第21—A 题图）
E
23cos30AC =??=
，sin30DC AC =?=
，9
cos302
DA AC =?=. ……7分 由切割线定理知，2DC DA DE =?， ……9分
所以3
2
DE =
，则3AE =. ……10分 B ．（选修4—2：矩阵与变换）
解：设M =a b c d ??
????
，M 11811a b c d +??????==??????+??????，M 122242a b c d ---+??????==??????-+??????， ……3分 882224a b c d a b c d +=??+=??-+=-?
?-+=?，，，，
解得6244a b c d =??=?
?=??=?，
，
，， 即M =6244??????. ……5分
（2）则令特征多项式6
2
()(6)(4)8044
f λλλλλ--=
=---=--， ……8分
解得1282λλ==，.矩阵M 的另一个特征值为2. ……10分
C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）
解：（1）圆1O 的直角坐标方程为224x y +=，①
……3分
由2π
cos()24ρθ--=，得22(cos sin )2-+=ρρθθ，
……4分
222()2x y x y +-+=，
故圆2O 的直角坐标方程为222220x y x y +---=，② ……6分 （2）②-①得经过两圆交点的直线为10x y +-=， ……8分
该直线的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ+-=. ……10分
D ．（选修4—5：不等式选讲）
解：因为：
2
(111)(313131)a b c +++++++…, ……7分
由于3a b c ++=
6，
当且仅当1a b c ===时
6. ……10分
【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.
22．解：（1）设AC ，BD 交于点O ，在正四棱锥P ABCD -中，OP ⊥平面ABCD . 又2PA AB ==，
所以OP =
以O 为坐标原点，DA ，AB 方向分别是x 轴、y 轴正方向，建立空间直角坐标
系O xyz -，如图： ……1分
则(1,1,0)A -，(1,1,0)B ，(1,1,0)C -，(1,1,0)D --
，P
故211(,,3333OM OA AM OA AP =+=+
=-，111
(,,0)333
ON OB ==， ……3分 所以2(0,,)33
MN =-
，(1,1,PC =-， 3
cos ,2MN PC MN PC MN PC
?<>==，
所以MN
与PC 所成角的大小为π
6
. ……5分
（2）(1,1,PC =-，(2,0,0)CB = ，42
(,,0)33
NC =-.
设(,,)x y z =m 是平面PCB 的一个法向量，则0PC ?=m ,0CB ?=m ， 可得0,
0,x y x ?-+-=?=?
令0x =，y =
1z =，即=m ， ……7分
设111(,,)x y z =n 是平面PCN 的一个法向量，则0PC ?=n ，0CN ?=n ， 可得111110,20,
x y x y ?-+-=?-+=? 令12x =，14y =，1z =
=n ， …9分
cos ,33?<>=
==m n
m n m n ，
则二面角N PC B --的余弦值为33
……10分
23．证明：（1）因为πsin
tan 2
n
n n a θ=. 当n 为偶数时，设2n k =，2222πsin
tan sin πtan 02
k
k n k k a a k θθ===?=，0n a =.…1分 当n 为奇数时，设21n k =-，21(21)ππ
sin
tan sin(π)tan 22
n n n k k a a k θθ--===-?. 当2k m =时，21ππ
sin(2π)tan sin()tan tan 22
n n n n k a a m θθθ-==-?=-?=-，
C y
z
此时1212
n m -=- ，1
21221tan (1)
tan (1)tan n n m n
n n k a a θθθ---==-=-=-.……2分 当21k m =-时，213π3π
sin(2π)tan sin()tan tan 22n n n n k a a m θθθ-==-?=-?=，
此时1222
n m -=-， 1
22221tan (1)
tan (1)tan n n m n
n n k a a θθθ---===-=-. 综上，当n 为偶数时，0n a =；当n 为奇数时，12
(1)tan n n n a θ-=-. ……3分
（2）当1n =时，由（1）得：
212tan S a a θ=+=，
121sin21(1)tan 2n n θθ+??+-??=()2211sin 21tan sin cos tan 2cos θθθθθθ+=??=. 故1n =时，命题成立
……5分
假设n k =时命题成立，即1221
sin21(1)tan 2k k k S θθ+??=?+-??. 当1n k =+时，由（1）得：
2(1)22122221k k k k k k S S a a S a ++++=++=+
=1221
1sin21(1)tan (1)tan 2
k k k k θθθ++???+-+-?? ……6分
=122112sin 21(1)tan (1)tan 2sin 2k k k k θθθθ++??
?+-+-?
???? =2222112sin 21(1)tan ()2tan sin 2tan k k θθθθθ++??
?+-?-+
???? 2222221cos 1sin 21(1)tan ()2sin sin k k θθθθθ++??=?+-?-+???
? =()2221
sin21(1)tan 2
k k θθ++?+-? 即当1n k =+时命题成立. ……9分 综上所述，对正整数n 命题成立. ……10分