【高校资料】2018-2019年最新兰州大学自主招生【数学】模拟考试精品试题库【49套优质试题】【高分必备】

2018-2019年最新兰州大学自主招生考试数学模拟考试

精品试题（一）

一选择题

1．已知a c

、b、是不全相等的任意实数.若222

,,

x a bc y b ac z c ab

=-=-=-，则x、y、z的值( )

（A）都大于0；（B）至少有一个大于0；（C）至少有一个小于0；（D）都不小于0. 2．在复平面上，满足方程3

zz z z

++=的复数z所对应的点构成的图形是（）

（A）圆；（B）两个点；

（C）线段；（D）直线.

3．设函数852

()1

f x x x x x

=-+-+，则()

f x有性质（）

（A）对任意实数x，()

f x总是大于0；

（B）对任意实数x，()

f x总是小于0；

（C）当0

x>时，()0

f x≤；

（D）以上均不对.

4．若空间三条直线两两成异面直线，则与a b c

、、都相交直线有（）（A）0条；（B）1条；

（C）多于1的有限条；（D）无究多条

5．设432

()

f x x ax bx cx d

=++++,其中,,,

a b c d为常数。若

(1)1,(2)2,(3)3

f f f

===,则1

((4)(0))

4

f f

+的值是（）。

（A）1 （B）4 （C）7 （D）8

6．设S 是由(5)n n ≥个人组成的集合，如果S 中任意4个人当中都至少有1个人和其余3个人互相认识，则下面判断正确的选项是（ ）。

A . S 中没有人认识S 中所有人

B . S 中至少有1人认识

S 中所有人

C . S 中至多有2人不认识S 中所有人

D . S 中至多有2人认识S 中所有人

二 解答题

7．已知2()f x x px q =++,求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12

8．

一袋中有a 个白球和b 个黑球，从中任取一球，如果取出白球，那么把它放回袋中；如果取出黑球，那么该黑球不再放回，另补一个白球到袋中，在重复n 次这样的操作后，记袋中白球的个数为n X . （1）求1EX ；

（2）设()n k P X a k p =+=，求1(),0,1,,;n P X a k k b +=+= （3）证明：11

(1) 1.n n EX EX a b

+=-++

9．按要求完成下列各问 （1）设()1f x x nx =,求'()f x ; （2）设0a b <<，求常数C ，使得

11b

a nx C dx

b a

--?取得最小值； （3）记（2）中的最小值为,a b m ，证明：,12a b m n <.

10．空间有n 个平面，每三个平面交于一点，但无四面共点，试问：

这些平面将空间分成几部分？

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精品试题（二）

一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，

只有一项正确，把所选项的字母填在括号内) 1．若今天是星期二，则31998天之后是

( ) A ．星期四

B ．星期三

C ．星期二

D ．星期一 2．用13个字母A ，A ，A ，C ，

E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN ”一词的概率是 ( )

A ．

48

13!

B ．216

13!

C ．

1728

13!

D ．

813!

3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．18

m ≤

B ．m >-3

C ．m >-1

D ．138

m -≤≤

4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝

0的两个根，则此数列各项的积是

( ) A ．p m

B ．p 2m

C ．q m

D ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000

()()

lim

h f x h f x h h

→+--

( ) A ．-2

B ．2

C ．-4

D ．4

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

1．设f (x )

1，则1

0(2)f x dx =?__________． 2．设(0,)2

x π

∈，则函数(22

22

11sin )(cos )sin cos x x x x

+

+的最小值是__________．

3．方程316281536x x x ?+?=?的解x ＝__________．

4．向量2a i j =+在向量34b i j =+上的投影()b a =__________． 5．函数3223y x x =+的单调增加区间是__________．

6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．

7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________．

8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________． 三、证明与计算（本题61分）

1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有123

2

n a a a n +++=，

121

2

n n a a a +=

． 试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．

2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．

3．(8分)求极限1

12lim

(0)p p p

p n n p n +→∞+++>．

4．(10分)设2,0

(),0x bx c x f x lx m x ?++>=?+≤?

在x ＝0处可导，且原点到f (x )

中直线的距离为13

，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试

求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)

5．(8分)

证明不等式：34

12≤≤，[0,]2

x π

∈．

6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12

．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．

7．(11分)如图所示，设曲线1y x

=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，

直角顶点在曲线1

y x

=上．试求

A n的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．

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精品试题（三）

一、填空题（每小题10分，共60分）

1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n 组含n 个数，即1；2，3；4，5，6；……．令

a n 为第n 组数之和，则a n ＝________________．

2．222sin sin ()sin ()3

3

ππ

ααα+++-＝______________．

3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞++-+++＝_________________． 4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．

5．正实数x ,y 满足关系式x 2-xy +4＝0，又若x ≤1，则y 的最小值为_____________．

6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米．

二、解答题（每小题15分，共90分）

1．数列{a n }适合递推式a n +1＝3a n +4，又a 1＝1，求数列前n 项和S n ．

2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．

3．正六棱锥的高等于h ，相邻侧面的两面角等于1

2arcsin 2

，

求该棱锥的体积．(1

cos 124

π

=)

4．设z 1,z 2,z 3,z 4是复平面上单位圆上的四点，若z 1+z 2+z 3+z 4=0． 求证：这四个点组成一个矩形．

5．

设(1n

n x y =+其中x n ,y n 为整数，求n →∞时，n n

x

y 的极限．

6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．

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精品试题（四）

1. 直线y ax b =+关于y x =-的对称直线为_______________。

2. 已知,,a b c 是ABC 的三边，1a ≠，b c <，且满足

log log 2log log b c c b b c c b a a a a +-+-+=，则ABC 是_______________的三

角形。

3. 已知()8

87871031x a x a x a x a +=++++，则86420a a a a a ++++=

_______________。

4. 已知()f x 满足：()()

()

111f x f x f x -+=+，则()f x 的最小正周期是

_______________。

5. 已知()f x 是偶函数， ()2f x -是奇函数，且()01998f =，则()2000f =

_______________。

6. ,,a b c 是ABC 的三边，且()()()::4:5:6b c a c a b +++=，则

sin :sin :sin A B C =_______________。

7. n 是十进制的数，()f n 是n 的各个数字之和，则使()20f n =成立的最小的n 是_______________。

8.

7sin

sin

12127cos cos 1212

π

π

ππ+=+_______________。 9. 函数(

)f x =()x R ∈的反函数是_______________。

10.已知数列n n

n

a k =

（k 是不等于1的常数），则123n a a a a ++++=

_______________。

11.从自然数1至100中任取2个相乘，其结果是3的倍数的情况有种_______________。（取出的数不分先后）

12.己知()f x 在0x 处可导，则()()

22003lim

h f x h f x h h

→∞+--=_______________。

13.已知,x y 为整数，n 为非负整数，x y n +≤，则整点(),x y 的个数为_______________。

14.抛物线()20y x x =>上，点A 坐标为1

,03

??

- ??

?，抛物线在P 点的切线与y 轴及直线PA 夹角相等，求点P 的坐标。

15.在{}n a 中，14a =，n a =①求证：11

333

n n a a --<-②求lim n n a →∞

。 16.已知22u y x =-，2v xy =，

①若点(),x y 在单位圆上以()0,1为起点按顺时针方向转一圈，求点(),u v 的轨迹；

②若点(),x y 在直线y ax b =+上运动，而点(),u v 在过点()1,1的直线上运动，求a ，b 的值。

17.若

,x y 满足222120x xy y -+-+=，求下列函数的最小值：①

x y +；②xy ；③33x y +。

18.若方程3270x x m -+=有3个不同实根，求实数m 的取值范围。 19.己知函数()f x 满足()()()()f x y f x f y xy x y +=+++，又()'01f =，求函数()f x 的解析式。

20.口袋中有4个白球，2个黄球，一次摸2个球，摸到的白球均退回口袋，保留黄球，到第n 次两个黄球都被摸出，即第1n 次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概率是n P ，求23,,n P P P 。

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精品试题（五）

1. 设函数x

y x a

=

+的反函数是它自身，则常数a =_______________。 2. 不等式()2

2

22log log x x -≥????的解集是_______________。

3. 直线2780x y -+=与2760x y --=间的距离是_______________。

4. 如果()3n x +的展开式的系数和是()1m

y +的展开式的系数和的512倍，那么自然数n 与m 的关系为_______________。 5. 椭圆3

42cos ρθ

=

-的焦距是_______________。

6. 己知4350x y --=，那么()()2

2

13x y -+-的最小值为_______________。

7. 与正实轴夹角为()arcsin sin3的直线的斜率记为k ，则arctan k =

_______________。（结果用数值表示）

8. 从n 个人中选出m 名正式代表与若干名非正式代表，其中非正式代表至少1名且名额不限，则共有_______________种选法()m n <。 9. 正方体1111ABCD A B C D -中，1BC 与截面11BB D D 所成的角为_______________。 10.1

sec50cot10

+

=_______________。

（结果用数值表示） 11.函数()3cos cos 2

g x x x πππ??

=?- ??

?

的最小正周期是（ ） A ．2π B ．π C ．2 D ．1

12.设函数()f x =()1f x -，则对于[]0,1内的所有x 值，一定成立的是（ ）

A ．()()1f x f x -≥

B ．()()1f x f x -≤

C ．()()1f x f x -=

D ．()()1f x f x -≠

13.138除以9所得的余数是（ ）

A ．6

B ．1-

C ．8

D ．1

14.抛物线()241y x =--的准线方程为（ ）

A ．1x =

B ．2x =

C ．3x =

D ．4x =

15.由参数方程11x t t

y t t ?=+????=-??

所表示的曲线是（ ）

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．抛物线

D ．圆

16.己知抛物线252y x x =-+与2y ax bx c =++关于点()3,2对称，则

a b c ++的值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

17.作坐标平移，使原坐标下的点(),0a ，在新坐标下为()0,b ，则()y f x =在新坐标下的方程为（ ）

A ．()''y f x a b =++

B ．()''y f x a b =+-

C ．()''y f x a b =++

D ．()''y f x a b =++ 18.设有四个命题：

①两条直线无公共点，是这两条直线为异面直线的充分而不必要条件； ②一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件；

③空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件。

④,a b 是平面α外的两条直线，且//a α，则//a b 是//b α的必要而不充分条件，其中真命题的个数是（ ）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

19.集合,A B 各有四个元素，A B 有一个元素，C A B ü，集合C 含有三个元素，且其中至少有一个A 的元素，符合上述条件的集合C 的个数是（ ）

A ．55

B ．52

C ．34

D ．35

20.全面积为定值2

a π（其中0a >）

的圆锥中，体积的最大值为（ ） A ．32

3a π B

．

312a C ．31

6

a π D

．36a 21.已知：sin sin a αβ+=，cos cos 1a αβ+=+，求()s i n αβ+及()cos αβ+。 22.设复数12,z z 满足：112z z z =+

，()121z z a =+，其中i 是虚数单位，

a 是非零实数，求

2

1

z z 。 23.已知椭圆

()2

212

x a y -+=与抛物线21

2

y x =

在第一象限内有两个公共点,A B ，线段AB 的中点M 在抛物线()2114

y x =+上，求a 。 24.设数列{}n b 满足11b =，0n b >，()2,3,n =其前n 项乘积()

1n

n n n T a b -=()1,2,n =，①证明{}n b 是等比数列。②求{}n b 中所有不同两项的乘

积之和。

25.己知棱柱111ABC A B C -的底面是等腰三角形，AB AC =，上底面的项

点1A 在下底面的射影是ABC 的外接圆圆心，设BC a =，

13

A A

B π

∠=，

棱柱的侧面积为2。

①证明:侧面11A ABB 和11A ACC 都是菱形，11B BCC 是矩形。

②求棱柱的侧面所成的三个两面角的大小。 ③求棱柱的体积。

26.在直角坐标系中，O 是原点，,A B 是第一象限内的点，并且A 在直

线()tan y x θ=上（其中,

42

ππ

θ??∈ ??

?

），OA =，B 是双曲线

221x y -=上使OAB 的面积最小的点，求：当θ取,42ππ??

???

中什么值

时，OAB 的面积最大，最大值是多少?

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精品试题（六）

1. 数12825N =?的位数是_______________。

2. ()()()234342423log log log log log log log log log 0x y z ===????????????求x y z ++=

_______________。

3. 8log 3p =，3log 5q =，则用,p q 表示lg 5=_______________。

4. 2sin sin cos αθθ=+，2sin sin cos βθθ=，求

c o s 2

c o s 2α

β

=_______________。 5. 0,2x π

??∈????

，求()cos sin f x x x x =+的最小值为_______________。 6. 有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边上的球恰比每边上正方形多2个小球，球数为_______________。

7. 数列1,3,2,中，21n n n a a a ++=-，求100

1i i a ==∑_______________。

8. ()4

212x x

+-展开式中7

x

系数为_______________。

9. 一人排版，有三角形的一个角，大小为60，角的两边一边长x ，一边长9cm ，排版时把长x 的那边错排成1x +长，但发现角和对边长度没变，则x =_______________。

10.掷三粒骰子，三个朝上点恰成等差列()1d =的概率为_______________。

11.()()112a b ++=，则arctan arctan a b +=（ ）

12.A ．2π B ．3π C ．4π D ．6

π

13.某人向正东走xkm ，再左转150朝新方向走了3km

，结果离出发点

，则x =（ ）

A

．．3 D ．不确定

14.11

1

32162121212??????+++= ???

???

????

（ ） A ．1

1321122-??- ??? B ．1

13212-??- ??? C ．1

3212- D ．1321

122??- ???

15.0t ≥，()(){}

222,S x y x t y t =-+≤，则（ ）

A ．t ?，()0,0S ?

B ．S 的面积[)0,π∈

C ．对5t ?≥，S ?第一象限

D ．t ?，S 的圆心在y x =上 16.一个圆盘被2n 条等间隔半径与一条割线所分割，则不交叠区域最多有（ ）个

A ．22n +

B ．31n -

C ．3n

D ．31n + 17.()40

0cos 4590k k i k =+=∑（ ）

A

．

2 B

)2120i - D

)2120i + 18.对,x y R +∈，定义*xy

x y x y

=

+，则()*满足（ ） A ．交换律 B ．结合律 C ．都不 D ．都可 19.()6090125mod N ≡≡，则81≡（ ）()mod N

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

20.()222f x x x =++，在[],1x t t ∈+上最小值为()g t ，求()g t 。