自旋模型简述

自旋模型简述

1、自旋的基本概念与表述

自旋是电子的基本性质之一，是电子内禀运动量子数的简称。电子自旋的概念是由Uhlenbeck 和Goudsmit 为了解释碱金属原子光谱的精细结构以及反常Zeeman 效应而提出的。他们认为电子的运动与地球绕太阳运动相似，电子一方面绕原子核运动，从而产生了相应的轨道角动量；而另一方面它又有着自转，其自转的角动量为?/2，并且它在空间任何方向的投影都只能取两个值，即±?/2(也就是自旋向上和向下两个状态↑↓)，与自旋相对应的磁矩则是e?/2mc 。当然，这样带有机械性质的概念是不正确的，而自旋作为电子的内禀属性，是标志电子等各种粒子(如质子、中子等)的一个重要的物理量。

对于自旋这个自由度，我们一般用算符?表示(这里的记号^表示算符，在下文中为了简便我们将略去这一记号)。因为自旋角动量与轨道角动量有着相同的特征，所以一般也认为它们具有相同的对易关系，即s ?s =i?s 。在这里我们引入泡利算符s =σ?/2。由于s 沿任何表象的投影都只能取±?/2两个值，即σ沿任何方向的投影只能取±1这两个值，所以泡利算符σ的每个分量都可以用2?2的矩阵来表示。我们一般采用σz 分量对角化的表象，得到其矩阵表示：

i i z y x ,1001,00,0110???? ??-=???? ??-=???? ??=σσσ (1-1) 这样的表示就是著名的Pauli 矩阵。

2、自旋模型的形式

2.1 物质的磁性与自旋模型

由于原子核的磁矩很小，物质的磁矩可以看成其轨道磁矩和自旋磁矩之和。电子的总磁矩(轨道磁矩+自旋磁矩)，直接体现为物质的宏观磁性。而对于过渡金属的原子或离子，因为轨道角动量的冻结，其磁性主要来源于未配对电子的自旋磁矩。

对于物质的磁性，很早以来就有着广泛的研究，比如Langevin的顺磁理论，Wiess的分子场理论，Bloch的自旋波理论。这些理论中，原子(离子)都具有磁矩，而磁矩之间存在着一定的相互作用。在绝对零度以上，每个原子都在做热振动，磁矩的方向也在作同样的振动，而磁矩间的相互作用又使得每个磁矩趋向于某种有序的排列，这就是物质宏观磁性的来源。磁矩之间的相互作用有很多种：

1、经典的磁偶极子之间相互作用。

2、交换相互作用(也称直接交换相互作用)。氢分子模型、海森堡交换模型就是采用这一类的相互作用。交换相互作用没有相应的经典对应，它来自于电子间的库伦作用以及量子力学的全同粒子系特性。下面所说的其它种类的交换相互作用也是基于这样的原理。

3、超交换相互作用(也称间接交换相互作用)。这种相互作用由Kramers于1934首先提出，用于解释反铁磁性的自发磁化的起源。它是阳离子的电子以氧离子的p电子为媒介进行间接的相互作用。

4、RKKY相互作用。这种相互作用由Ruderman、Kittel、Kasuya以及Yosida

提出的，是一种以巡游电子为媒介，使得磁性原子(或离子)中的局域电子自旋与其邻近的磁性原子(或离子)中的局域电子自旋产生的交换相互作用。

5、双交换相互作用。以氧离子为媒介，两个不同价态的过渡族粒子间之交换相互作用。在锰氧化物中，这种相互作用就起到了十分重要的作用。

以上的几种相互作用中，除了偶极间的相互作用是一种经典的相互作用，而其余的几种交换相互作用却是基于体系的量子特性，即全同粒子的特征。这样的相互作用，在我们研究物质的磁性以及其它以磁性相关的性质，或者以磁性变化为主导的相变时，起着至关重要的作用。

对于这类的磁性原子体系，我们认为它们位于某种晶格格点位置上，通过磁矩进行相互作用，我们可以建立一种自旋模型来进行描述，其最基本的形式可以写成如下的哈密顿量：

()∑∑-+-=⊥j i z j z i z j i j i y j y i x j x i j i s s J s s s s J H ,,,,，

(1-2)

这里的s i 是自旋算符，上标x ，y 以及z 为s i 在三个方向的投影，可以分别对应泡利矩阵的三个分量。J ij ⊥和J ij z 代表着位于格点i 和格点j 上原子磁矩之间的相互作用，这样的相互作用可以是我们之前所说的几种交换相互作用中的任意一种。对于自旋算符s i ，我们可以做如下的变换：s ±=s x ±is y ，这里s +算符将自旋向上的状态转换为自旋向下的状态，而s -算符则是将自旋向下的状态转换为自旋向上的状态。哈密顿量(1-2)可以重新表达为如下的形式:

()∑∑-+-=+

--

+⊥j i z j z i z j i j i j i j i j i s s J s s s s J H ,,,,2。

(1-3)

对于哈密顿量(1-2)和(1-3)，当我们取J ⊥ij =J z ij 时，就成了Heisenberg 模型；

取J ij ⊥=0时，这个哈密顿量是对角化的，自旋只有向上和向下两种取向，即±?/2，这样的模型就是著名的Ising 模型；而如果J z ij =0时，得到的则是XY 模型。

2.2 Heisenberg 模型简述

在Weiss 提出分子场假说20年后，Heisenberg 提出了电子间的交换相互作用导致了自发磁化的产生，并且按这一模型，也就是Heisenberg 模型计算了自发磁化随温度变化的性质，为铁磁性量子理论的发展奠定了基础[1]。假设系统是均匀的，只考虑最近邻相互作用，Heisenberg 模型的哈密顿量可以写成如下形式：

∑∑-?-=i i B j i j i s h s s J H μ,，

(1-4)

其中s i 表示位于格点i 处的自旋，是矢量(s x , s y , s z )，J 是交换相互作用常数，这里我们取J >0代表铁磁相互作用，而J <0代表反铁磁相互作用，μB 为Bohr 磁矩，h 是外磁场。

图1.1 氢分子电子云分布示意图。

我们知道交换相互作用和任何一种经典的相互作用都没有对应，它是一种量

子行为，是由粒子的全同性产生的相互作用。为了理解这种特殊的相互作用，通常以氢分子这种最简单的模型为例来说明。

如图1.1所示，一个氢分子的系统，由两个原子核a ，b ，以及两个电子1，2组成。r mn 代表粒子m 与粒子n 之间的距离，其中m ，n =a ，b ，1，2，且m ≠n 。氢分子的哈密顿量可以写为：

()ab b b a a r e r e r e r e r e r e m H 212222122212222122++----?+?-= ， (1-5)

设

()()()12

221222

2

2221

2

2122,12221b a b b a a r e r e r e V r e m H r e m H --=-?-=-?-= ， (1-6)

其中H a (1)与H b (2)是两个孤立氢原子的哈密顿量， V (1, 2)是两原子间的相互作用，而哈密顿量(1-5)中的最后一项是常数，对本征态没有影响。

我们用?a (1)与?b (2)分别代表H a (1)与H b (2)两个本征态，则?a (1)??b (2)是下列Schr?dinger 方程的本征态：

()()[]00021Φ=Φ+E H H b a ， (1-7)

有粒子的全同性可知?a (2)??b (1)也是Schr?dinger 方程(1-7)的本征态(相当于将电子1与电子2互换)。考虑到电子自旋的波函数，以及对Fermi 子波函数反对称的要求，我们可以写出氢分子基态波函数的近似形式：

()()()()[]()

()()()()[]()2,121212,12121S a b b a II A a b b a I φ????ψφ????ψ-=+=， (1-8) 这里φA (1,2)与φS (1,2)分别是电子波函数的单态和三重态。所以，ψI 态两电子反平行，而ψII 态两电子平行。从哈密顿量(1-5)出发，这两个波函数所对应的能量为：

2202

201212?--++=?++++=J U r e E E J U r e E E ab II ab I ， (1-9)

其中U 是库伦排斥能，而J 是交换相互作用能，?为a ，b 原子波函数的重叠积分：

()()()()()()()()()()()()??????==?**==2121212

22211122,12122,11τ??τ??ττ????ττ??d d d d V J d d V U b a b a b a b a b a ，

(1-10)

这里?d τ1，?d τ2为电子1，2的全空间积分，而?显然是在0和1之间的。因此对于能量E I 和E II 我们，当J <0时，E I 0时，E II

从以上对于氢分子模型的计算，交换相互作用能是量子力学的结果，虽然它和库伦势同样和电子间的库伦相互作用有关，但我们并不能找到其经典的对应。从直观上看，交换相互作用能来源于电子波函数的交叠，在交叠区域电子是不可识别的，如果我们仍然按照处理宏观粒子的方式对其标识，则不可避免的会引入交换相互作用能。

从Heisenberg 模型我们知道了Weiss 的‘分子场’实际上是交换相互作用的‘平均场’。而Heisenberg 模型作为一种量子磁性最基本的相互作用模型已经被运用于极为广泛的领域。

在某一些物质中，部分未配对电子会被局域在离子实周围。当这部分局域电子数目较多(一般来说大于3)的时候，我们可以在一定程度上忽略其量子效应，即电子的自旋s 可以不再被看成是算符而是一个经典的磁矩。比如在锰氧化物中，Mn 离子的3d 轨道上的电子可分为两类，一种叫e g 电子，另一种叫t 2g 电子。其中e g 电子是可以通过双交换相互作用在Mn 离子之间移动的，而t 2g 电子则是局域在Mn 离子周围的。这一体系的哈密顿量可以简单的写成[2]：

∑∑∑+++?-?--=ia a i i AF i i i H ia a i i a S S J S s J d d t H αβσβσασαβ，

(1-11)

其中s i 代表e g 电子，用Pauli 算符；而S i 代表t 2g 电子，由于有三个t 2g 电子局域在Mn 离子周围，所以S i 可以看作是自旋为3/2的磁矩。哈密顿量的第一项代表双交换相互作用；第二项是Mn 离子内部的Hund 相互作用，也就是e g 电子(s i )与t 2g 电子(S i )的相互作用；第三项不同格点t 2g 电子间的Heisenberg 相互作用。

Heisenberg 模型的许多拓展也在物理学各个领域中得到运用。如果我们在Heisenberg 模型引入了各向异性能，就得到了各向异性Heisenberg 模型(Anisotropic Heisenberg Model)：

()∑∑∑--?-=i x

i i i B j i j i s D s h s s J H 2,μ， (1-12)

在此哈密顿量中，我们引入了x 方向的单轴各向异性晶体场D 。

在Heisenberg 模型中还可以加入了Dzyaloshinskii-Moriya 相互作用(DM 相互

作用)[3,4]:

()[]∑∑∑-??+?-=i i B j i j i i a j i j i s h s s r D s s J H μ,,，

(1-13)

其中r i 是位于格点i 的原子(离子)的的位移，D a (r i )是DM 矢量。这一模型被认为是多铁性材料[5-7]以及磁性金属材料[8-13]中螺旋自旋序产生的根源。关于螺旋自旋序及其相关问题我们将在第二章内做详细地讨论。

2.3 Ising 模型简述

Lenz 曾向他的学生Ising 提出一个研究铁磁性的简单模型，而Ising 于1925年发表了他对此模型求解的结果[14]，所以这个模型被称为Ising 模型。当时Ising 只做出了该模型一维下的严格解，在一维情况下并没有自发磁化的发生。另外他还由此错误地推断出在更高维的情况下，这个模型也不存在自发磁化。这个推断在后来被证明是错误的。1936年Peierls 论证了二维或三维的Ising 模型存在着自发磁化，虽然当时他并没有能够给出模型的严格解[15]。1944年，当Onsager 给出了二维Ising 模型的严格解之后，Ising 模型开始引起人们广泛的关注[16,17]。这次求解是相变理论发展上的一个重要进展，它第一次清楚地证明了从没有奇异性的哈密顿量体系出发，在热力学极限下能导致热力学函数在临界点附近的奇异行为，而Onsager 本人也因此获得了诺贝尔奖。在此之后很多人又相继发表Ising 模型的各种不同解法，Baxter 甚至有篇论文叫‘Ising 模型的第399种解法’。但至今没有被学术界公认的三维Ising 模型精确解。甚至有人发表论文证明无法解出三维Ising 模型的精确解，因为三维Ising 模型存在拓扑学的结构问题。人们通常用分子场理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论、蒙

特-卡罗模拟等近似计算三维Ising模型的居里温度和临界指数，而其中Wilson 于1971年发展的重整化群理论能以较高精度计算三维Ising模型的近似结果[18-20]。我国科学家张志东提出三维“Ising模型”精确解猜想[21]。张志东的出发点就是拓扑学中的一个常识：低维空间的扭曲和纽结可以被高一维空间的旋转打开。通过引入第四卷曲起来的维与本征矢量上的权重这两个猜想作为处理三维Ising模型拓扑学问题的边界条件，并应用这些猜想用自旋分析法评估了三维简单正交晶格Ising模型的配分函数。当系统的对称性越高，居里温度也越高。他猜测三维系统具有最高对称性的简单立方Ising模型具有最高的居里温度黄金解，在二维系统具有最高对称性的正方Ising模型具有最高的居里温度白银解。获得的结果具有一定的对称性和美学价值，并可部分返回到二维和一维的结果。当然，推定的精确解正确性取决于猜想的正确性，而且其与学术界通常接受的评价标准尚不完全吻合，有待于对相关的物理本质作进一步探讨。因此，这一工作目前还只是停留在猜想阶段。

今天的Ising模型根本不再是Ising博士论文中的模样。每年差不多有6000篇左右的论文研究这一模型。除了铁磁性之外，该模型还应用于很多方面，如合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结和蒸发、晶格气体、玻璃物质的性质，甚至于神经网络蛋白质折叠、生物膜场论甚至社会现象等广泛的领域。

通过上述介绍，我们知道三维Ising模型尚未得到严格解，而一维和二维情况下的解法确是多种多样的。在这里，我们将给出Ising模型的严格解，采用的是1941年Kramers和Wannier提出的转移矩阵方法(Transfer Matrix Method)[22-24]。然后简要地说明二维Ising模型严格解的主要结果，并且同平均

场理论所得的结果进行对比。

图1.2 一维Ising 模型示意图。

对于如图1.2所示的Ising 模型，自旋只能取向上或向下两个分量，它可以看作是Heisenberg 模型的一种简化。当只考虑最近邻的交换相互作用，并认为这种相互作用在不同磁矩间是相同的，用常数J 表示。和Heisenberg 模型相同，当J >0时，代表铁磁的交换相互作用，它使得近邻自旋有着同方向排列的趋向；当J <0时，代表反铁磁的交换相互作用，它使得近邻自旋有着反方向排列的趋向。考虑到外加磁场的影响，系统的哈密顿量可以写为：

∑∑--=i i B j i j i s h s s J H μ,，

(1-14)

其中s i 表示位于格点i 处的自旋，其取值可为+1和-1，分别代表自旋向上向下，所以自旋s i 可以不再作为算符处理，所以Ising 模型可以看作是一个准经典的模型。J 是交换相互作用常数，这里我们采用J >0代表铁磁相互作用，μB 为Bohr 磁矩，h 是外磁场。对于一维情况，每个自旋只有两个近邻。现在采用周期性边界条件，即s N +1=s 1，N 为晶格中的自旋数目。现将一维晶格弯成一个环，当N →∞时，边界效应将不会影响到体系的热力学性质。根据如上的条件，可将哈密顿量(1-14)写为：

()∑∑+++--=i

i i B i i i s s h

s s J H 112μ，

(1-15) 其相应的配分函数为：

()()∑∑∏±=±==++???

?????????++???=

11111121exp ,s s N i i i B i i B N s s h

s Js T

k h T Q μ

。

(1-16) 在这里我们引入矩阵P ，其矩阵元定义为：

()????????????

++≡+++11121exp i i B i i B i i s s h

s Js T k s P s μ，

(1-17) 因为s i 与s i +1都能取±1两个值，所以P 是2?2的矩阵：

()()???

?

??=??

?

?

??-=-=+=-=-=+=+=+==---+++++T k h J T k J T

k J T k h J i i i i i i i i B B B B B B e e e e s P s s P s s P s s P s P μμ111111111111。

(1-18) 于是配分函数(1-16)可以重新写成：

()()

N s N s s N N N P Tr s P s s P s s P s s P s s P s h T Q N ∑∑∑±=±=±=-==??????=

1

1111

21322111,。

(1-19) 将P 矩阵对角化得，

???

?

??=-+λλ00

P ，

(1-20)

λ+和λ-即为矩阵P 的本征值，由下面的久期方程决定,

()()0=-----+λλμμT k h J T k J T

k J T k h J B B B B B B e e e e ， (1-21)

其解为：

?????????????? ??-???? ??±???? ??=-±T k J e T k h T k h e B T k J B B B B T k J B B 2sinh 2cosh cosh 2μμλ， (1-22)

要注意的一点就是λ+>λ-。

现在将等式(1-20)代入(1-19)，配分函数可以表达为：

()???

????????? ??+=+=+-+-+N N N N h T Q λλλλλ1,， (1-23)

所以，当N →∞时，我们得到： ()?????????????? ??-???? ??+???? ??+=≈-+∞→T k J e T k h T k h T k J h T Q N B T k J B B B B B N B 2sinh 2cosh cosh ln ln ,ln 1lim

2μμλ， (1-24)

即配分函数有P 矩阵较大的本征值决定。体系的自由能和总极化强度分别为：

()()????????? ??-???? ???

?????? ??--=-=-T k J e T k h T k h T k J N h T Q T k N h T F B T k J B B B B B B B 2sinh 2cosh cosh ,,2μμ， (1-25) ()???? ??+???? ??=??? ????-=-T k h e T k h h N F N M B B T k J B B T B B B μμμμ24sinh sinh 1， (1-26)

其它的热力学函数也可同样由自由能求出。

如图1.3所示，在计算中我们选取交换相互作用常数J=1k B K，对于一切T>0都有M(T, 0)=0，也就是说Ising模型在一维的情况下不存在自发磁化，不会发生顺磁-铁磁转变。从物理上看，任何温度下自旋的平均取向由两个对抗的因素相互竞争决定，即能量趋向最小而熵趋向最大，使得自由能达到最小值。在一维情况下，由于近邻数低，使得自旋排列在同方向的倾向不足以对抗使熵极大的倾向，结果在任何有限温度下都不能形成自发磁化。

图1.3一维Ising模型在不同温度下，磁化强度M随外场h的变化曲线。

图1.4 一维Ising模型在有限温度下长程序被破坏的示意图。

如同上文所说，当自旋排列在同方向的倾向不足以对抗使熵极大的倾向时，

自旋往往会在一个较小的尺度内保持着同方向的排列，形成所谓短程序(Short Range Order)，而在较大的尺度内失去这种有序的状态，也就是破坏了所谓长程序(Long Range Order)。当我们使用蒙特卡洛方法(Monte Carlo Method)来计算一维Ising 模型，常常得到如图1.4所示的结果，在某个小范围内，如从格点1到格点4(或者从格点5到格点10)体系可以看作存在‘自发磁化’，而在整体上看(从格点1到格点N )向上的自旋和向下的自旋数目在统计上看是相等的。

对于二维Ising 模型，我们考虑正方晶格，每个自旋有4个最近邻。在零磁场下，系统的自由能可以表达为：

()()()()??

?

???+-≈-=?θ

ωωγπβββ0212sinh 2ln 2110,ln 10,d J T Q N

N T F 。 (1-27) 其中cosh γ(ω)=cosh2φcosh2θ-cosh ωsinh2φsinh2θ，而φ=βJ ，θ=tan -1e -2βJ 。

系统内能则可以写为：

()()()??????'+-=??-=m K m J J F N T u 1212coth 10,πβββ， (1-28) 这里的K 1(m)是第一类椭圆积分，

()?-=20221sin 1πφφ

m d m K ， (1-29)

其中m =sinh2βJ /cosh 22βJ ，m '=2tanh 22βJ -1。而临界点由下式确定：

J T k C B 269.2=。 (1-30)

所得热容量为：

()const T T Nk T C C B B +--≈1ln 4945.00,， (1-31)

这样的热容量在临界点处具有对数发散的奇异性。

计算自发磁化的时候，我们采用杨振宁的方法[25]。他计算了在弱磁场h 下，系统的自由能，最后令h →0，得到磁化强度的表达式：

()()[]C C

B T T T T J N T M ≤≥???-=-8142sinh 100,βμ。 (1-32)

而对于平均场近似(Mean Field Approximation ，简称MFA)所得的磁化强度可以表达为：

()T k h qJM M N h T M B B B μμ+==11tanh ,， (1-33)

其中q 是最近邻自旋的数目，对于二维正方晶格来说q =4。

图1.5 严格解与平均场近似所得二维Ising模型磁化强度的比较。

在图1.5中，与平均场近似所得的解(T C=4K)相比，严格解(T C=2.269K)有着更低的临界温度T C，而且磁化强度在T T C-0有着更陡的温度变化率。平均场近似忽略了系统的涨落，而涨落是倾向于破坏有序的，所以在平均场近似下所得的T C是高于实际体系的，磁化强度的变化也反映的这一特点。在这里我们需要注意，在平均场近似所得的结果中，Ising模型在一维的情况下存在着自发的磁化，这个结果是错误的。在前文我们提过，在一维系统中由于近邻数目低，系统的涨落完全抑制了有序，而平均场近似忽略了系统的涨落才得到了有序相。

Ising模型自Ising提出后，有了很多的发展，不仅是解法的多样化，其具体形式也发生了不少变化。Ising模型的一些重要拓展成为描述相变(比仅仅是磁性)等问题重要工具。比如说横场伊辛模型(Transverse-field Ising model，简称TIM)，它是于1963年由Gennes提出[26]。TIM是在Ising模型的基础上考虑了‘横向’

外场的作用，所谓横向外场，是指外场的方向垂直于Ising模型中自旋投影的方

向。在这里横向外场可以看作是晶体内部横向遂穿效应的一种等效，从而可以应用于零温的量子相变。TIM 的哈密顿量可以写成：

∑∑Ω--=i x i j i z

j z i s s s J H ,，

(1-34)

这里Ω是横向场，也可以看作是遂穿积分，决定了从一个势能极小态到另一个势能极小态的遂穿几率。TIM 被广泛运用到多种体系，比如量子自旋玻璃，量子弛豫，量子磁滞，量子铁电等，详细的内容我们将在第三章中做具体的阐述。

我们再说Ising 模型的另一种拓展形式弹性伊辛模型(Elastic Ising Model ，简称EIM)。我们知道，晶体中的原子(离子)受到其周围的原子(离子)作用，被束缚在晶格格点，也就是平衡位置周围做微小的振动，可以用劲度系数(stiffness factor)k 来描述。在EIM 中，交换相互作用J 不再是常数，而是同离子间的距离存在某种类似于弹性能的关系，新的弹性作用使得原子产生位移，出现新的平衡位置。当自旋以某种有序状态排列时，弹性交换相互作用使得晶格中的某些原子产生同向的位移。这样的特性对于解释某些自旋共线排列的多铁性材料有着重要的意义，我们将在第四章中作具体的介绍。

2.4 XY 模型简述

XY 模型是Ising 模型的延伸，允许自旋在(xy )平面内转动。当仅考虑最近领交互作用时，体系的哈密顿量可以表示为：

()∑∑--=?-=ij j i ij j i J S S J H θθcos ，

(1-35)

这里J 表示交换作用常数，S i 为位于格点i 的自旋，求和包括所有的最近邻晶格

点，θi为第i个自旋相对于x轴的夹角。对于XY模型，最为重要的就是它的KT 相变。

早在1966年，Mermin和Wagner就严格证明了对于二维或二维以下具有连续对称性和短程相互作用的自旋体系，在有限温度下由于热扰动或量子波动不可能形成长程序。所以在二维XY模型中，不可能存在长程的磁有序。1973年，J. M. Kosterlitz和D. J. Thouless 提出了拓扑序和拓扑性相变的概念，建立了二维XY模型的KT相变理论。他们在研究二维XY模型时发现：低温下局域自旋会形成正反涡旋两两配对，当温度升高到相变的临界温度时，这种配对被热运动所拆散，出现独立运动的正反涡旋。这种新的相变被称为Kosterlitz-Thouless相变(KT相变)。它的特点是：尽管体系在相变点两侧的序参量总为零，但是温度的变化会引起关联函数和拓扑性质的本质性改变，是一种拓扑相变。具体来说，体系存在两个相：低温下的准长程有序，关联函数以幂指数形式衰减，所以也称为代数磁有序；高温的无序相，关联函数以e指数形式衰减。前人的工作表明二维四方晶格铁磁XY模型的KT相变温度T KT≈0.92。

2.5 自旋模型的研究方法

自旋模型看似简单，但严格的求解却十分困难。就连其最简单的形式Ising 模型的求解也经历了重重困难，而直到现在Ising模型在三维情况下的解依然是一个难以攻克的难关。对于实际的体系，模型将更加复杂，而严格求解也更为困难，因此一系列近似求解的方法便发展起来。近似的方法可以简化计算，但免不了产生这样那样的误差，有着各自的优缺点，因此对于方法的选用就须要格外注意。下面我们将介绍几种近似的处理方法：