轮流出价的讨价还价模型

轮流出价的讨价还价模型

纳什讨价还价解是一个合作博弈模型，它是由几个看起来合理的公理导出的结果，这些公理包括效用测度的无关性(invariance)、帕累托有效性(efficiency)、无关选择的独立性(independence of irrelevant alternatives)和对称性(symmetry)。在实际的讨价还价中，这些公理可能都在背后起作用，但讨价还价通常是一个不断的“出价一还价”（offer-counteroffer ）过程。罗宾斯泰英(Rubinstein ，1982)的轮流出价模型(alternating offers)试图模型化这样一个过程。在此模型里，两个参与人分割一块蛋糕，参与人1先出价(offer)，参与人2可以接受(accept)或拒绝(reject)。如果参与人2接受，博弈结束，蛋糕按参与人1的方案分配；如果参与人2拒绝，参与人2出价(还价)，参与人1可以接受或拒绝；如果参与人1接受，博弈结束，蛋糕按参与人2的方案分配；如果参与人1拒绝，参与人1再出价；如此一直下去，直到一个参与人的出价被另一个参与人接受为止。因此，这是一个无限期完美信息博弈，参与人l 在时期1，3，5，?出价，参与人2在时期2，4，6，?出价。如同在单阶段同时出价模型中一样(见上一章)，这个博弈也有无穷多个纳什均衡，但罗宾斯泰英证明，它的子博弈精炼纳什均衡是唯一的。

我们用x 表示参与人1的份额，(1一x)表示参与人2的份额，x 1和(1一x 1)分别是参与人1出价时参与人1和参与人2的份额，x 2和(1一x 2)分别是参与人2出价时参与人1和参与人2的份额。假定参与

x 出，参与人2的支付的贴现值是π人1和参与人2的贴现因子分别为δ1和δ2。这样，如果博弈在时期t 结束，t 是参与人i 的出价阶段，参与人1的支付的贴现值是π1=δ1

t-1

i2

=δ2t-1

(1-x i )。

在讨论无限期博弈之前，让我们先来讨论有限期博弈的情况。如果博弈的期限是有限的，我们可以使用逆向纳归法求解子博弈精炼纳什均衡。首先假定博弈只进行两个时期，在T=2，参与人2出价，如果他提出x 2=0，参与人1会接受，因为参与人1不再有出价的机会(一般地，如果参与人在接受和拒绝之间无差异时，我们假定他选择接受)。因为参与人2在T=2时得到1单位等价于在t=l 时的δ2单位，如果参与人1在t=1时出价1一x 1≥δ2，参与人2会接受；因为参与人1没有必要给参与人2多于他会接受的最低份额，子博弈精炼均衡结果是参与人1得到x=x 1=1一δ2，参与人2得到1一x=δ2。现在假定T=3，在最后阶段，参与人1出价，他可以得到的最大份额是x 1=1。因为参与人l 在T=3时1单位等价于t=2时的δ1单位，如果参与人2在t=2出价x 2=δ1，参与人1将会接受；因为参与人2在t=2时的(1一δ1)单位等价于t=l 时的δ2(1一δ1)单位，如果参与人l 在t=l 时出价1一x 1=δ2(1一δ1)，参与人2将会接受。因此，子博弈精炼均衡结果是x=l 一δ2(1一δ1)。假定T=4，参与人2最后出价。使用上述结果，因为参与人2在t=2时最大可得(1一δ1(1一δ2))，参与人l 在t=l 时将出价1一x 1=δ2(1一δ1(1一δ2))，子博弈精炼均衡结果是x=1一δ2(1一δ1(1一δ2))。假定T=5，参与人1最后出价。因为参与人2在t=2时最大可得为1一δ1(1一δ2(1一δ

1

))，子博弈精炼均

衡结果为x=1一δ2(1一δ1(1一δ2(1一δ1)))。读者可以使用上述方法推导出任何给定的T ＜≦的子博弈精炼纳什均衡。

现在让我们来看看子博弈精炼均衡结果与贴现因子δ和博弈期限T 之间的关系。从上面的例子可以看出，如果δ1=δ2＝0，不论T 为多少，子博弈精炼均衡结果是x=1；就是说，如果两个参与人都是绝对无耐心的(下阶段的任何支付等价于本阶段的0)，第一个出价的参与人得到整个蛋糕。如果δ2=0，不论δ1为多少，子博弈精炼均衡结果仍然是经＝1；但是，如果δ1=0，δ2＞0，子博弈精炼均衡结果是x=1一δ2，因为如果参与人2在t=l 拒绝了参与人1的出价，参与人2在t=2得到整个蛋糕，但贴现到t=l 只值δ2，参与人2在t=l 将接受任何1一x 1≥δ2的出价。在上述几种情况，均衡结果与T 无关(假定T ≥2)。现在让我们考虑另外的情况。假定δ1=δ2＝1(即双方都有无限的耐心)，那么，如果T=l ，3，5，?，均衡结果是x=1；如果T=2，4，6，?，均衡结果是x=0。这里，我们得到“后动优势”(last-mover advantage)，其原因是，给定δi =1，如果参与人i 最后出价，他将拒绝任何自己不能得到整个蛋糕的出价，一直等到博弈的最后阶段得到整个蛋糕。

一般来说，如果0<δi <1，i=1，2，均衡结果不仅依赖于贴现因子的相对比率，而且依赖于博弈时期长度T 和谁在最后阶段出价。然而，这种依存关系随T 的变大而变小；当T 趋于无穷时，我们得到“先动优势”：如果δ1＝δ2＝δ，唯一的均衡结果是x=1/(1十δ)。这就是下面要讨论的间题。

定理(Rubinstein ，1982)：在无限期轮流出价博弈中，唯一的子博弈精炼纳什均衡结果是：

212*

11δδδ??=x （如果δ1＝δ2＝δ，δ+=11*x ）

现在让我们来证明上述定理。因为T ＝≦，博弈没有最后阶段，我们不可能使用逆向归纳法求解。但根据萨克德和沙腾(Shaked and Sutton ，1984)，因为从参与人1出价的任何一个阶段开始的子博弈等价于从t=l 开始的整个博弈，我们可以应用有限阶段逆向纳归法的逻辑寻找子博弈精炼均衡。假定在时期t ≥3参与人1出价，参与人1能得到的最大份额是M 。因为对参与人1而言，t 期的M 等价于t 一1期的δ1M ，参与人2知道在t 一1期的任何x 2≥δ1M 的出价将被参与人1接受，因此参与人2出价x 2=δ1M ，自得1一δ1M ；因为对参与人2而言，t 一1期的1一δ1M 等价于t 一2期的δ2(1一δ1M)，参与人1知道在t 一2期的任何x 1≤1一δ2(1一δ1M)出价将被参与人2接受，因此参与人1出价x 1=1一δ

2

(1一δ1M)，留给参与人2 δ2(1一δ1M)。因为从t 一2开始的博弈与从

t 开始的博弈完全相同，参与人l 在t 一2期能得到的最大份额一定与其在t 期得到的最大份额相同，因此我们有：

x 1=M=1-δ2(1-δ1M) 解上式得

212

11δδδ??=M

现在假定参与人l 在t 期能得到的最小份额为m 。因为t 期的m 等价

于t 一1期的δ1m ，参与人2在t 一1期最多得到1一δ1m 。因为t 一1期的1一δ1m 等价于t 一2期的δ2(1一δ1m)，参与人1在t 一2期至少得到x 1=1一δ2(1一δ1m)。因此我们有：

x 1＝m ＝1-δ2(1-δ1m) 解上式得：

212

11δδδ??=M

因为参与人1能得到的最大份额与最小份额相同，均衡结果是唯一的：

212

11δδδ??=x

因为t 是任意的，上述证明过程表明，参与人1的子博弈精炼均衡战略是：“在t ＝1，3，5，?时总是要求(1一δ2)/(1一δ1δ2)，在2＝2，4，6，?时接受任何大于或等于δ1(1一δ2)/(1一δ1δ2)的份额，拒绝任何较小的份额。“为了说明这一点，注意到：

2112212

1)1(111δδδδδδδ???=??

等式右边的第二项是参与人1出价时参与人2的份额。如果参与人1提出更高的要求从而被参与人2拒绝，参与人2在t 十1期要求(1一δ

1

)/(1一δ1δ2)(注意对称性，此时参与人2处于参与人1的位臵)，参

与人1的支付(贴现值)是：

212212212111

1111)111(δδδδδδδδδδδ??

因此提出更高的要求不是最优的。同样，接受任何低于δ1(1一

δ2)/(1一δ1δ2)的份额也不是最优的，因为等待一个阶段他就可以得到的份额。

类似地，参与人2的子博弈精炼均衡战略是：“在t ＝1，3，5，?时，接受任何大于或等于δ2(1一δ1)/(1一δ1δ2)，拒绝任何较小的份额；在t=2，4，6，?时，总是要求(1一δ1)/(1一δ1δ2)的份额。”

这个博弈当然还有许多其他纳什均衡。特别地，下列战略组合是一个纳什均衡：“参与人1总是要求x 1＝1的份额，拒绝参与人2任何x 2<1的出价；参与人2总是要求1一x 2=0，接受参与人1的任何出价。”但这个纳什均衡不是子博弈精炼均衡，如果参与人2拒绝了参与人1的第一次出价，提出x 2≥δ1，参与人1应该接受，因为如果拒绝的话，即使他在下一阶段拿到整个蛋糕，也只值δ1。

子博弈精炼均衡结果是参与人贴现因子(耐心程度)的函数，这是罗宾斯泰英模型得到的重要结论。特别地，给定δ2，当δ1 l 时x *

=1，即参与人1得到整个蛋糕；给定δ1，当δ2 1时，x *

=0，即参与人2得到整个蛋糕。这可以说是?耐心优势?。直观地讲，有绝对耐心的人总可以通过拖延时间使自己独吞蛋糕。这个?耐心优势?在一般情况下也是成立的：给定其他情况(如出价次序)，越有耐心的人得到的份额越大。比如说，如果δ1=0.5，δ2＝0.9，即参与人2比参与人1更有耐心，那么，均衡结果是参与人l 得到x *

=0.182，参与人2得到1一x *

=0.812。注意，当δ2=0，参与人1也得到整个蛋糕，因为参与人2没有任何耐心等待下一阶段；但，当δ1＝0时，参与人2不能得到整个蛋糕，除非δ2＝1，就是说，没有任何耐心的参与人1也可以得

到一点份额。导致这一差异的原因是，除耐心优势外，这个博弈还有个?先动优势?：:当δ1=δ2=δ<1时，x *

=1/(1十δ)>1/2，即参与人1的份额总是多于参与人2的份额。如果每一阶段的长度任意小，这个先动优势将消失。另外，当δ1=δ2=1时，这个博弈也有无穷多个子博弈精炼均衡，x *

=1/2可能是一个聚点均衡(也是纳什讨价还价解)。

贴现率可以理解为讨价还价的一种成本，类似蛋糕随时间的推延而不断缩小，每一轮讨价还价的总成本与剩余的蛋糕成比例。讨价还价的另一类成本是固定成本。

举例来说，如果工会和企业的磋商拖延了工期，企业要承受两种损失，一类是推迟出售的利息损失(与价值成比例)，另一类是不能按期交工的违约罚款(一般是固定的)。这两种成本对均衡结果的影响是不同的。

为了说明这一点，假定δ1=δ2=1，但参与人i 每出价一次要承担c i >0的损失。有三种可能的情况。第一种情况是c 1=c 2=c ，此时，均衡结果是不确定的；第二种情况是c 1c 2，此时，参与人l 得到x *

=c 2，参与人2得到l 一x *

=1一c 2。

固定成本的一种特殊形式是外部机会(类似机会成本)。容易想象，外部机会越好(从而机会成本越高)，参与人越处于不利地位。