关于摸球模型及其变通问题的讨论

千题百炼——高中数学个热点问题三：第炼取球问题

千题百炼——高中数学个热点问题(三)：第炼-取球问题

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第90炼取球问题一、基础知识：在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下： 1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同。 2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取” 3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响 4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数。 5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解。二、典型例题：例1：一袋中有6个黑球，4个白球（1）不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（2）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（3）有放回的依次取出3个球，求取到白球个数X 的分布列，期望和方差（1）思路：因为是不放回的取球，所以后面取球的情况受到前面的影响，要使用条件概率相关公式进行计算。第一次已经取到白球，所以剩下6个黑球，3个白球；若第二次取到黑球，则第三次取到黑球的概率为 65 98 ?，若第二次取到白球，则第三次取到黑球的概率为36 98 ?，从而能够得到第三次取到黑球的概率解：设事件A 为“不放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球” ()65364829898723 P A ∴= ?+?== （2）思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型，所以第三次取球时依然是6个黑球，3个白球，取得黑球的概率为 69 解：设事件B 为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”

球盒模型的概率问题

. . 组合数学班级：XXXX 姓名：XXXX 学号：XXXX

目录摘要 (1) 关键词： (1) 1 绪论 (1) 1.1 问题的提出 (1) 1.2 研究现状 (1) 1.3 研究的目的和研究的内容 (2) 1.4 本文主要内容 (2) 2 预备知识 (3) 2.1 组合知识 (3) 2.2 概率知识 (5) 2.3 球盒模型 (7) 3 球盒模型基本结论 (8) 4 本文研究 (10) 4.1 n个不同的球放入m个不同的盒子的情况 (10) 4.2 n个不同的球放入m个全部相同的盒子的情况 (11) 4.3 n个全部相同的球放入m个不同的盒子的情况 (12) 4.4 n个全部相同的球放入m个全部相同的盒子的情况 (15) 5 结论与展望 (16) 5.1 论文总结 (16) 5.2 问题与展望 (16) 参考文献 (17)

球盒模型的概率问题摘要：利用球盒模型来研究组合恒等式，目的是寻找和证明组合恒等式，用不同的方法计算此类问题，得到不同的等式，即组合恒等式，主要内容如下：球盒模型是指n 个球随机放入m 个盒子的数学模型。尽管看上去这仅仅是一个普通的组合或概率问题，但里面包含着许多组合工具，如发生函数、整数分拆、 Stirling 数等。选择这个问题讨论对象（或情况不同），会产生许多有趣的组合结论（主要是组合恒等式），实际上包括一个组合恒等式的组合解释。因为一个等式的新的组合解释具有很高的理论与实际应用价值，以本文就是由不同的方法，把组合数学的知识与概率知识相结合得到不同的组合恒等式作为创新点。关键词：组合恒等式；发生函数；整数分拆；Stirling 数；概率 1绪论 1.1问题的提出组合数学是研究任意一组离散性事物按照一定规则安排或配置的数学.特别是当指定的规则较简单时,计算一切可能的安排或配置的方法数,就成为它研究的主要问题.现代组合数学有两个主要特点:其一,它大量应用了抽象代数学工具和矩阵工具促使问题的提法和处理方法表现出极大的普遍性;其二,为了适应计算机科学的发展,它很注重对方法的能行性和程序化问题进行研究. 组合数学最早是同数论和概率论交叉在一起的.概率方法是解决离散数学尤其是组合数学中许多问题的强有力工具。该方法在组合数学中应用大致分为两类：一类是非构造性的概率方法,该类方法从本质上讲，是一种粗糙的计数论证方法，常被用来断定具有某种特性的组合对象的存在性；一类是构造性的概率方法,该方法是用概率的语言描述一些组合对象，然后借助概率论中的方法与技巧解决组合分析的问题。非构造性概率方法就是用基本概率方法、期望的线性法在一些组合问题中的应用,如何用它们来证明一些命题和定理。构造性概率方法，即一些常见组合变量(以后统称组合数为组合变量)的概率表示,诸如Stirling 数、Bell 数、调和数、Fibonacci 数、错排数都可以表示为一些随机变量的矩,这些概率表示可以用来研究组合和式的计算与恒等式的证明。本文主要研究了概率方法在一些重要组合数中的应用。组合数学是一门即古老又新颖的数学分支。它属于离散数学范畴，主要是研究一组离散性对象的关系，按照一定规则安排或配置方法的数学。最初是以游戏的形式出现的，由于在娱乐中和美学中有很多研究的组合问题，现在无论在纯粹或在应用科学上都有重要的价值。组合数学渗透到其它很多领域，同时其它学科方法（如概率论方法等）又为组合数学提供了新的工具。在组合数学中，组合恒等式的证明和寻找是一个很重要的内容，而组合恒等式作为计数问题的结果，所以组合数学的一个重要分支是如何证明和寻找组合恒等式。 1.2研究现状组合数学在国外早已成为十分重要的学科，一些大公司，如IBM，AT&T都有全世界最强的组合研究中心。美国一个重要的国家实验室Sandia国家实验室有一个专门研究组合数学的机构，主要从事组合编码理论和密码学的研究，在美国政府以及国际学术界都具有很高的地位。日本的NEC公司还在美国的设立了研究中心，理论计算机科学和组合数学已是他们重要的研究课题。由于DNA就是组合数学中的一个序列结构，美国科学院院士，近代组合数学的奠基人Rota教授预言，生物学中的组合问题将成为组合数学的一个前沿领域。美国的大学，国家研究机构，工业界，军方和情报部门都有许

离散型随机变量取球问题

取球问题一、基础知识：在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下：1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同。 2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取” 3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响 4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数。 5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解。二、典型例题：例1：一袋中有6个黑球，4个白球（1）不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（2）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（3）有放回的依次取出3个球，求取到白球个数X的分布列，期望和

方差（1）思路：因为是不放回的取球，所以后面取球的情况受到前面的影响，要使用条件概率相关公式进行计算。第一次已经取到白球，所以剩下6个黑球，3个白球；若第二次取到黑球，则第三次取到黑球的概率为6598 ?，若第二次取到白球，则第三次取到黑球的概率为3698 ?，从而能够得到第三次取到黑球的概率解：设事件A 为“不放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球” ()65364829898723P A ∴= ?+?== （2）思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型，所以第三次取球时依然是6个黑球，3个白球，取得黑球的概率为69 解：设事件B 为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球” ()23 P B ∴= （3）思路：本问依然属于独立重复试验模型，X 的取值为0,1,2,3，则X 符合二项分布，即23,5X B ?? ??? ，所以可通过二项分布的概率计算公式求得概率，得到分布列解：X 的取值为0,1,2,3，依题意可得：23,5X B ?? ??? ()3 3 32705125P X C ??∴=== ??? ()2 133254155125P X C ????=== ? ? ???? ()1 2233236255125P X C ?? ??=== ? ??? ?? ()3 332835125P X C ??=== ???

绳球模型与杆球模型

绳球模型与杆球模型摘要：绳球模型与杆球模型作为竖直面内圆周运动的典型，在高中物理分析综合能力考查中属于重点内容，也是难点内容。本文就带大家一起来从根本上认识它们。关键词：高中物理；绳球模型；杆球模型绳球模型与杆球模型作为竖直面内圆周运动的典型，在高中物理分析综合能力考查中属于重点内容，也是难点内容。它常常与能量观点综合运用，用于解决实际生活中的诸如过山车、水流星等运动。因此正确认识、区分、理解这两种模型十分重要，本文就带大家一起来从根本上认识它们。首先来看看它们的相似之处。两种模型“外貌相似”：如下图（1）轻绳L一端栓结可视为质点的小球m，另一端绕水平转轴O在竖直面内转动即为绳球模型；将轻绳换作轻杆即为杆球模型图（2）。“向心力的来源相似”。讨论小球向心力的来源，都是轻绳（或轻杆）的作用力与小球重力的合力沿半径方向的分量来提供。绳球模型与杆球模型如此相似，难道就是一个字

的差别？它们究竟有哪些区别呢？首先从根本上讲，轻绳与轻杆提供的力不一样：轻绳只能给小球提供沿着绳并指向绳收缩方向的拉力，而轻杆既可以给小球提供向圆周内的拉力，也可以提供向圆周外的推力，甚至它提供的力可以不沿着轻杆自身。其次约束情况不一样：轻绳对球产生了单面约束，即小球不能跑到半径为L的圆周以外，但可以跑到半径为L的圆周之内，轻杆对球产生了双面约束，小球既不能跑到半径为L的圆周以外，也不能跑到半径为L的圆周之内，只能在半径为L的圆周上运动。其三小球运动情况不一样：绳球模型中小球不能实现竖直面内匀速圆周运动，只能是一般圆周运动，杆球模型中小球能够实现在竖直面内匀速圆周运动。第四做功情况不一样：轻绳对小球不做功，小球机械能守恒，而轻杆可以对小球做功改变其机械能。最后，小球在最高点的临界条件不同，这点是常考点。（默认向下为正方向）绳球模型小球在最高点时：mg+T=mv2L，其中T≥0，因此mg≤mv2L，即有v ≥gL，故绳球模型中小球过最高点时的最小速度为gL。而对于杆球模型小球在最高点时：mg+F=mv2L，其中F>0，F=0，F0（即轻杆提供向下拉力）时有mggL；当F=0（即轻杆恰不提供力）时有mg=mv2L，即有

球盒模型的概率问题

组合数学班级：XXXX 姓名：XXXX 学号：XXXX 1

目录摘要 (1) 关键词： (1) 1 绪论 (1) 1.1 问题的提出 (1) 1.2 研究现状 (1) 1.3 研究的目的和研究的内容 (2) 1.4 本文主要内容 (2) 2 预备知识 (3) 2.1 组合知识 (3) 2.2 概率知识 (2) 2.3 球盒模型 (4) 3 球盒模型基本结论 (5) 4 本文研究 (7) 4.1 n个不同的球放入m个不同的盒子的情况 (7) 4.2 n个不同的球放入m个全部相同的盒子的情况 (8) 4.3 n个全部相同的球放入m个不同的盒子的情况 (9) 4.4 n个全部相同的球放入m个全部相同的盒子的情况 (12) 5 结论与展望 (13) 5.1 论文总结 (13) 5.2 问题与展望 (13) 参考文献 (14)

竖直面圆周运动的绳球,杆球模型

类型题：竖直面上圆周运动（1）绳球模型（外轨道模型）：如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况： ①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即r mv mg 2临界 = ?rg =临界υ（临界υ是小球通过最高点的最小速度，即临界速度）。 ②能过最高点的条件：临界υυ≥。此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力mg r v m N -=2 ③不能过最高点的条件：临界υυ<（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）。（2）杆球模型（双层轨道模型）：如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况： ①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度0=临界υ。 ②图（a ）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N ，其大小等于小球的重力，即N=mg ；当0N>0。当rg = υ时，N=0；当v>rg 时，杆对小球有指向圆心的拉力mg r v m N -=2 ，其大小随速度的增大而增大。 ③图（b ）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是：当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg 。当0N>0。当v=gr 时，N=0。 G F F G F G 绳

摸球与球放模型中的等可能概率问题的解决方案

摸球模型中的等可能概率问题文/刘素梅一、无放回的摸球概率问题例1 设袋中有4个白球和2个黑球，现从袋中无放回地依次摸出2个球，求这2个球都是白球的概率. 解析据题意可知基本事件数为26A ，取的2个球都是白球的事件记为事件A ，可能的结果有2 4 A 种，所以这2个球都是白球的概率为()242625A P A A ==. 例2 设袋中有10个大小完全相同的小球，上面依次编号为1，2，，10.每次从袋中任取1个球，取出后不放回，求第5次取到1号球的概率. 解析考虑到前5次取球的基本事件数为510A ，第5次取到1号球的事件记为事件A ，可能的结果有4 9 A 种，所以第5次取到1号球的概率为()49510110A P A A ==.本题也可考虑10次取球的基本事件数为1010A ，第5次取到1号球的事件记为事件A ，可能的结果有99A 种，所以第5次取到1号球的概率为()991010110 A P A A ==. 小结解决无放回的摸球概率问题一定要坚持两条原则：(1)小球总是被看作互不相同； (2)分子与分母具有相同的意义. 二、有放回的摸球概率问题例3 设袋中有4个红球和6个黑球，现从袋中有放回地摸球3次，求前两次摸到黑球第三次摸到红球的概率. 解析 (解法一)本题可以考虑用等可能事件的概率来求解.每次摸球的方法都是10种，摸球3次的方法总数，即基本事件总数为3 10101010??=，前两次摸到黑球第三次摸到红球的方法总数为66 4??，故前两次摸到黑球第三次摸到红球的概率为3 6640.14410P ??==. (解法二)本题也可以考虑用相互独立事件的概率来求解.设摸到红球为事件A ，摸到黑球为事件B ，由于每次摸到红球的概率都是0.4，每次摸到黑球的概率都是0.6，而每次摸到红球还是黑球相互独立，故前两次摸到黑球第三次摸到红球的事件为事件123B B A ，即()()()()1231230.60.60.40.144P B B A P B P B P A ==??=. 例4 设袋中有4个红球和6个黑球，现从袋中有放回地摸球200次，求红球恰好出现30次的概率. 解析据题意可知基本事件数为20010，红球恰好出现30次的方法总数可理解为在200

高中数学专题练习：概率的两类模型

高中数学专题练习：概率的两类模型 [题型分析·高考展望]概率是高中数学的重要内容，也是高考的必考知识点.在高考中，概率部分的命题主要有三个方面的特点：一是以古典概型的概率公式为考查对象，二是以几何概型的概率公式为考查对象，三是古典概型与其他知识相交汇，题目多以选择题或填空题的形式出现. 常考题型精析题型一古典概型问题例1(1)(·课标全国Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为() A.3 10 B. 1 5 C.1 10 D. 1 20 (2)某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率： ①选取的2位学生都是男生； ②选取的2位学生一位是男生，另一位是女生.

点评求解古典概型问题的三个步骤 (1)判断本次试验的结果是不是等可能的，设出所求事件A . (2)分别计算基本事件的总数n 和所求事件A 所包含的基本事件的个数m . (3)利用古典概型的概率公式P (A )＝m n 求出事件A 的概率.若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率. 变式训练1 (·课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18 B.38 C.58 D.78 题型二几何概型问题例2 (1)设不等式组??? 0≤x ≤2， 0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π－2 2 C.π6 D.4－π4 (2)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78 点评 (1)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决. (2)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题.在转

考研概率论复习古典概型中几种研究模型

以 P(A 1)=???? ??++???? ?????? ??=++b a b a C C C b a b a βαβαβαβα (2)设A 2表示事件“取出的3个球依次为黑白黑”.从α+β个球中依次任取3个,有3 β α+A 种取法,此即样本点总数.对于有利场合,第一个和第三个黑球可在β个黑球中依次取得,有2 β A 种取法,第二个白球可在α个白球中任取,有1 α A 种取法.因此,A 2所包含的样本点数为21 βαA A ?.于是 P(A 2)=) 2)(1)(()1(-+-++-βαβαβαβαβ (3)袋中只剩白球时(设此事件为A 3),取出的球必为β个黑球,i 个白球(i=0,1,…,α-1). 用Bi 表示事件“取出β个黑球,i 个白球,袋中留下的全是白球”(i=0,1,…,α-1),则事件 B 0,B 1,…,B α-1,β必两两互不相容,且 A 3= B 0+B 1+…+B α-1．依概率的有限可加性,有 P(A 3)=P(B 0)+P(B 1)+P(B 2)+ …+P(B α-1) 依事件B i 的含义,对于确定的i,它的样本空间就是从α+β个球中任取i+β个球的排列.所以,样本点总数为β β α++i A .注意到i+β个球取出后,留在袋

概率取球问题

概率取球问题一、基础知识：在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下： 1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同。 2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取” 3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响 4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数。 5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解。二、典型例题：例1：一袋中有6个黑球，4个白球（1）不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（2）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率

（3）有放回的依次取出3个球，求取到白球个数X 的分布列，期望和方差（1）思路：因为是不放回的取球，所以后面取球的情况受到前面的影响，要使用条件概率相关公式进行计算。第一次已经取到白球，所以剩下6个黑球，3个白球；若第二次取到黑球，则第三次取到黑球的概率为6598 ?，若第二次取到白球，则第三次取到黑球的概率为3698 ?，从而能够得到第三次取到黑球的概率解：设事件A 为“不放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球” ()6536482 9898723P A ∴= ?+?== （2）思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型，所以第三次取球时依然是6个黑球，3个白球，取得黑球的概率为69 解：设事件B 为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球” ()2 3 P B ∴= （3）思路：本问依然属于独立重复试验模型，X 的取值为0,1,2,3，则X 符合二项分布，即23,5X B ?? ??? ，所以可通过二项分布的概率计算公式求得概率，得到分布列解：X 的取值为0,1,2,3，依题意可得：23,5X B ?? ??? ()3 0332705125P X C ??∴=== ??? ()2 133254155125P X C ????=== ? ????? ()1 223 3236255125P X C ?? ??=== ? ? ?? ?? ()3 332835125 P X C ??=== ???

概率论中几种概率模型方法总结

概率论中几种概率模型方法总结绪论：概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型.本文对概率论中几种概率模型方法进行了总结。 1 古典概型古典概型及其概率是概率论的基础知识,它既是进一步学习概率的基础,下面就一些典型事件的分析来说明古典概型的概率计算方法。古典概型的概率计算可以分为三个步骤:确定所研究的对象为古典概型;计算样本点数;利用公式计算概率。即如果随机试验只有有限个可能结果,而且每一个可能结果出现的可能性相同,那么这样的随机试验就是古典概型问题。若设Ω是一个古典概型样本空间, 则对任意事件A 有: A m P ( A ) ==Q n 中的样本点数中的样本点数。在计算m 和n 时,经常使用排列与组合计算公式。在确定一个试验的每个基本事件发生的可能性相同时,经常根据问题本身所具有的某种“对称性”,即利用人们长期积累的关于“对称性”的实际经验,认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或偏小。关于古典概型的数学模型如下: 1.1 袋中取球问题 1.1.1 随机地同时从袋中取若干球问题随机地同时从袋中取若干球问题是古典概型中的一类最基本问题,其特点是所考虑的事件中只涉及球的结构而不涉及取球的先后顺序,计算样本点数时只需考虑组合数即可。概率中的很多问题常常可以归结为此类问题来解决。事件1 一袋中有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从袋中取出k 个球( k ≤m + n) ,求其中恰好有l 个白球( l ≤n)的概率。分析:随机地从袋中取出k 个球有k m+n C 种可能的结果,其中“恰好有l 个白球”这一事件包含了l k-l n m C C 种结果,因此所求概率为l k - l n m k m + n C C P =C 这个结论可以作为一个公式来应用。用它可以解决一些类似的问题。 1.1.2 随机地从袋中不放回地取球若干次随机地从袋中不放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球,取后不再放回袋中,连续进行若干次。这样的取球过程实际上是按顺序取的,所考虑的事件也会涉及到取球的顺序,所以要用排列数计算样本点数。事件2 一袋中装有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从中每次取出一

绳球模型+杆球模型导学案原创

圆周运动模型之——绳球模型+杆球模型导学案【学习目标】 1.从生活实例出发，掌握竖直平面内两种圆周运动模型，绳球模型和杆球模型 2.自主探究，小组协作，能够分析两种模型最高点和最低点受力及最高点速度临界问题。 3.学以致用，能用自己探究得到的模型知识解决绳球及杆球相关习题【课前自学】绳球模型一、填空题 1.绳子和杆相比，绳子（是硬的，是软的），可以（拉伸，支持）物体，可以产生（支持，拉）力 2.杆和绳子对比，杆（是硬的，是软的），可以（拉伸，支持）物体，可以产生（支持，拉）力二、讨论题在那某年某月的某一天，天气晴朗，微风拂面，风和日丽，时光美好。于是，心情爽朗的你去感受过山车的速度与激情。但是，在搭乘过山车到最高点时你的安全带脱落了！！问，在过山车运行到此最高点时，你会不会出事？此过山车是正圆环形状。参考答案：一定会出事；不一定会出事。

【课中互学】三、绳球模型速度分析（一）在最高点 1.用绳子连一物体做圆周运动，问，当物体在最高点速度等于0时，能不能使物体继续做圆周运动？（能，不能） 2.用绳子连一物体做圆周运动，问，在最高点绳子能产生支持力么？（能，不能） 3. 用绳子连一物体做圆周运动，问，在最高点绳子能产生拉力么？（能，不能） 4. 用绳子连一物体做圆周运动，问，在最高点若重力刚好提供向心力，此时绳子对物体有拉力么？（有，没有） 5. 用绳子连一物体做圆周运动，若在最高点物体仅受重力，由，求出此时物体的速度？（） 6.用绳子连一物体做圆周运动，若在最高点物体不只受重力还受到绳子拉力作用，问，此时物体的速度情况如何？（等于，小于，大于）（二）在最低点根据物体在最低点的受力情况，选出求解向心力的表达式。（，），此时物体处于（超重，失重）状态，绳子（容易，不容易）断

考研概率论复习古典概型中几种研究模型

古典概型中研究的几类基本问题: 抛硬币、掷骰(t óu)子、摸球、取数等随机试验,在概率问题的研究中,有着十分重要的意义.一方面,这些随机试验,是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象,结构清楚明确,富有直观性和典型性,便于深入浅出地反映事物的本质,揭示事物的规律.另一方面,这种模型化的处理方法,思想活泼,应用广泛,具有极大的普遍性,不少复杂问题的解决,常常可以归结为某种简单的模型.因此,有目的地考察并掌握若干常见的概率模型,有助于我们举一反三,触类旁通,丰富解题的技能和技巧,从根本上提高解答概率题的能力. 本部分主要讨论古典概率中的四类基本问题(摸球问题、分球入盒问题、随机取数问题和选票问题),给出它们的一般解法,指出它们的典型意义,介绍它们的常见应用. 一、摸球问题 [例1]袋中有α个白球,β个黑球： (1)从中任取出a ＋b 个(a,b ∈N,α≤a,b ≤β,试求所取出的球恰有a 个白球和b 个黑球的概率； (2)从中陆续取出3个球(不返回),求3个球依次为“黑白黑”概率； (3)逐一把球取出(不返回),直至留在袋中的球都是同一种颜色为止,求最后是白球留在袋中的概率. 思考方法这里的三个小题,摸球的方式各不相同,必须在各自的样本空间中分别进行处理.(1)中的每一个样本点,对应着从α+β个球中任取a+b 个球的一种取法,无需考虑顺序,属于组合问题.(2)中的每一个样本点,对应着从α+β个球中依次取出三个球的一种取法,需要考虑先后次序,属于排列问题.(3)中事件的有利场合(摸剩白球)包含了α种不同情形：摸剩α个白球,α-1个白球,…,1个白球.因此,必须对各种情形分别加以考虑. [解](1)设A 1表示事件“所取的a+b 个球中恰有a 个白球和b 个黑球”.从α+β个球中任意摸出a+b 个,有???? ??++=++b a C b a βαβα种不同取法,此即样本空间所包含的样本点总数.而事件A 1所包含的样本点数,相当于从α个白球中任取a 个,从β个黑球中任取b 个的取法种数, 共???? ?????? ??=b a C C b a βαβα种.所以 P(A 1)=??? ? ??++???? ?????? ??=++b a b a C C C b a b a βαβαβαβα (2)设A 2表示事件“取出的3个球依次为黑白黑”.从α+β个球中依次任取3个,有3βα+A 种取法,此即样本点总数.对于有利场合,第一个和第三个黑球可在β个黑球中依次取得,有2 βA 种取法,第二个白球可在α个白球中任取,有1αA 种取法.因此,A 2所包含的样本点数为2 1βαA A ?.于是

竖直面圆周运动的绳球,杆球模型

（1）绳球模型（外轨道模型）：如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况： ①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即 r mv mg 2 临界 =?rg = 临界 υ（临界 υ是小球通过最高点的最小速度，即临界速度）。 ②能过最高点的条件：临界 υ υ≥。此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力 m g r v m N- = 2 ③不能过最高点的条件：临界 υ υ<（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）。（2）杆球模型（双层轨道模型）：如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况： ①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度0 = 临界 υ。 ②图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；当0N>0。当rg = υ时，N=0；当v>rg时，杆对小球有指向圆心的拉力m g r v m N- = 2 ，其大小随速度的增大而增大。 ③图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是： G F

当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg 。当0N>0。当v=gr 时，N=0。当v>gr 时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力m g r v m N -=2 ，其大小随速度的增大而增大。 ④图(c)的球沿球面运动，轨道对小球只能支撑，而不能产生拉力。在最高点的v 临界=gr 。当v=gr 时，小球将脱离轨道做平抛运动

概率问题常见解题方法

概率问题常见解题方法作为<<概率统计>>这门应用数学的重要分支之一,概率问题在中学数学中越来越得到重视,也是近年高考的热点。在高中数学新教材中,必修三和理科的选修课本中重点介绍了等可能事件的概率(即古典概型)、几何概型、条件概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立的事件同时发生的概率（包括n 次独立重复试验）。高考中对概率的考查主要以大题形式出现,重点在分布列问题与其他章节内容相结合，但始终离不开各种概率的求法。因此要让学生正确理解概率发生的条件，并掌握一些基本的概率“模型”及其解题方法。一、公式法概率部分有四个主要的公式（1）等可能事件发生的概率P （A ）=n m （2）互斥事件有一个发生的概率 P （A+B ）= P （A ）+ P （B ）（3）相互独立事件同时发生的概率P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）（4）独立重复试验概率公式k k n k n P C P =)((1―P)k n -，应用这些公式的关键在于正确理解公式成立的条件。例1：猎人在距100米处射击一野兔，其命中率为2 1，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离为150米，如果第二次未击中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米，已知猎人命中概率与距离平方成反比，求猎人命中野兔的概率。解：记三次射击为事件A 、B 、C 其中P （A ）= 21 由21= P （A ）=50001002 =?K K ∴ P （B ）=9215050002= P （C ）=81200 50002= ∴命中野兔的概率为：P （A ）+P （A ·B ）+ P （A ·B ·C ）= 144 95 二、组合分析法对于等可能的事件，我们可以利用组合分析法来计算其概率，其关键是寻求等可能事件的总数和事件的发生数。例2：设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住（n ≤N ）,求下列事件的概率（1）指定的n 个房间各有一个人住（2）恰好有n 个房间，其中各住一人解：∵每个人有N 个房间可供选择，所以n 个人住的方式共有 N n 种，它们是等可能的，

理解绳球模型最高点临界速度.

理解绳球模型最高点临界速度柳少虎中国石油天然气管道局中学（河北廊坊 065000）竖直面内的圆周运动包括两大类：绳球模型和杆球模型，由于绳模型不能产生推或支持的力学作用，故绳球模型中小球通过最高点的最小速度问题始终是学生易混淆的方面，现作以解释说明。假设在最高点速度很大，绳必有拉力，合力充当向心力，得：r v m mg F T 2 =+ ∵0≥T F ，∴r v m mg 2 ≤，即gr v ≥，当0=T F 时，速度有最小值gr v =。问题1：当速度更小时为什么就无法通过最高点了呢？设当小球到达图示位置时，受力分析可知，沿半径方向的合力为向心力，即r v m mg F T 2 cos =+θ，在继续往上运动过程中，重力做负功，动能减少，速度变小，r v m 2 变小，θ变小，θcos mg 却变大。要保证等式成立，显然T F 需变小，当T F 减少为零时，则有r v m mg 2 cos =θ，即θνcos gr =，小球运动满足斜抛条件，不再作圆周运动了。问题2：斜抛就一定无法达到圆周的最高点吗？由斜抛运动知识，由抛出点到最大高度，上升的距离为2 cos )cos 1(2)sin (22θθθ-==r g v h 。抛出点到圆周最高点的竖直高度差为θcos 'r r h -=。由数学知识可知1cos )cos 1(2≥+='θ θh h ，即h h ≥'，要使h h ='，即斜抛高度低于圆轨道最高点，则需：0=θ，此时斜抛位置在圆周最高点，即gr =ν，这正是小球到达圆周最高点时所需的最小速度。由上可知，物体在绳模型约束下在竖直平面内做圆周运动，通过最高点的最小速度为gr =ν，若不符合这一条件，小球在到达最高点前的某一位置就脱

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