高考文科立体几何证明专题

图 4

立体几何专题

1．如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，

F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点

G ，将ABF

?沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中2

BC =

． (1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ；

(3) 当2

3

AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．

【解析】（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =

AD AE

DB EC

∴

=

,在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立，//DE BC ∴ ,DE ?平面BCF ，

BC ?平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；

（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12

BF

CF ==. 在三棱锥A BCF -中，2

BC =

，222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② BF CF F CF ABF ?=∴⊥平面；

（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE

DFG ⊥平面

.

111111132323323324F DEG E DFG

V V DG FG GF --??∴==????=?????= ? ???

【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.

2．如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF=

2

1

AB,PH 为?PAD 中AD 边上的高． （1） 证明：PH ⊥平面ABCD ；

（2） 若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积； （3） 证明：EF ⊥平面PAB ． 解：(1)

ABCD

PH PAD PAD AB PAD 平面所以平面，面又中的高为⊥=?⊥∴?⊥⊥∴?A

AD AB AB PH PH AD PH PH

(2):过B 点做BG G CD BG ，垂足为⊥；

连接HB,取HB 中点M ，连接EM ，则EM 是BPH ?的中位线

ABCD )1(平面知：由⊥PH

ABCD 平面⊥∴EM BCF 平面ＥＭ⊥∴

即EM 为三棱锥B CF -E 底面上的高

BG FC ?=

?2

1S BCF =22

2121=

??

2

1

21=

PH ＥＭ＝12

221223131

=??=??=-EM

S V BCF BCF E

（3）：取AB 中点N ，PA 中点Q ，连接EN ，FN ，EQ ，DQ N

FN EN FN AB NADF AB 2

1

DF //EN PAB EN PAD PAD AB PAD ,//=?⊥∴∴=⊥∴∴?⊥∴?⊥∴⊥是距形四边形又的中位线是又平面，平面平面 EN

AB PA PA

AB PA CD CD AB

3、如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ， AC ⊥BC ， M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。 （Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ；

（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；

（Ⅲ）若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D —BCM 的体积．

4、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，其棱长为2，O 是底ABCD 对角线的交点。 求证：（1）C 1O ∥面AB 1D 1；

（2）A 1C ⊥面AB 1D 1。

NEF

AB N NE NF

NF AB NADF AB

EF NEF EF NEF AB 平面是距形四边形平面又平面⊥∴=?⊥∴∴⊥∴?⊥∴

（3）若M 是CC 1的中点，求证：平面AB 1D 1⊥平面MB 1D 1

5.如图，P A 垂直于矩形ABCD 所在的平面，AD ＝P A ＝2，CD ＝22，E 、F 分别是AB 、PD 的中点.

(1)求证：AF ∥平面PCE ； (2)求证：平面PCE ⊥平面PCD ； (3)求四面体PEFC 的体积.

6.如图，已知在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC ＝BC ，M 、N 、P 、Q 分别是

AA 1、BB 1、AB 、B 1C 1的中点. (1)求证：平面PCC 1⊥平面MNQ ；

(2)求证：PC 1∥平面MNQ .

7.如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，

E 、

F 分别为1DD 、DB 的中点.

（1）求证：EF //平面11D ABC ； （2）求证：EF C B 1⊥

8.右图为一简单集合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，

//EC PD ，且2PD AD EC ===2 .

（1）画出该几何体的三视图； （2）求四棱锥B －CEPD 的体积；

P

D

E

（3）求证：//BE 平面PDA ．

9.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点． （1）求证：EFP GC 面⊥；

（2）求证：；EFG PA 面//； （3）求三棱锥P EFG -的体积．

3、解：（Ⅰ）由已知得，MD 是?ABP 的中位线

∴AP MD ∥ ……………2分

APC AP APC MD 面面??,

∴APC MD 面∥ ……………4分

（Ⅱ）PMB ? 为正三角形，D 为PB 的中点，

∴PB MD ⊥， …………………5分 ∴PB AP ⊥ …………………6分

又P PC PB PC AP =?⊥, ∴PBC AP 面⊥ ……………………7分

PBC BC 面? ∴BC AP ⊥

又A AP AC AC BC =?⊥, APC BC 面⊥∴ ………………9分

ABC BC 面? ∴平面ABC ⊥平面APC ………………10分

（Ⅲ）∵PBC MD 面⊥，∴MD 是三棱锥M —DBC 的高，且MD ＝11分

又在直角三角形PCB 中，由PB ＝10，BC ＝4，可得PC ＝ ………12分

于是1

2

BCD BCP S S ??=＝ ………………………………………………13分 ∴D BCM V -＝7103

1

==-Sh V DBC M …………………………14分

4、证明：（1）连结11A C ，设11

111AC B D O =

连结1AO ，

1111ABCD A B C D -是正方体

11A ACC ∴是平行四边形

11A C AC ∴且 11A C AC =

又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，11

O C AO ∴且11O C AO =

11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴?面11AB D ，1C O ?面11AB D

∴1C O 面11AB D ……………………………………… 5分

（2）

1CC ⊥面1111A B C D 11!C C B D ∴⊥ 又

1111A C B D ⊥， 1111B D A C C ∴⊥面

1

11AC B D ⊥即 同理可证11A C AB ⊥，

又1111D B AB B =

∴1

AC ⊥面11AB D ……………………………………… 9分 （3）设B 1D 1的中点为N,则AN ⊥B 1D 1,MN ⊥B 1D 1,则

3MN AN AM ===

222,AN MN AM AMN RT ∴+=∴??，是 11,,AN MN AN B D ∴⊥∴⊥面M

1111,AB D B D ∴⊥面面M （也可以通过定义证明二面角是直二面角） ……… 14分

5、.解：(1)证明：设G 为PC 的中点，连结FG ，EG ， ∵F 为PD 的中点，E 为AB 的中点，

∴FG 1

2

CD ，AE 12

CD

∴FG

AE ，∴AF ∥GE

∵GE ?平面PEC ， ∴AF ∥平面PCE ；

(2)证明：∵P A ＝AD ＝2，∴AF ⊥PD 又∵P A ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，∵AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ，

∵AF ?平面P AD ，∴AF ⊥CD . ∵PD ∩CD ＝D ，∴AF ⊥平面PCD ， ∴GE ⊥平面PCD ， ∵GE ?平面PEC ， ∴平面PCE ⊥平面PCD ； (3)由(2)知，GE ⊥平面PCD ， 所以EG 为四面体PEFC 的高， 又GF ∥CD ，所以GF ⊥PD ， EG ＝AF ＝2，GF ＝1

2CD ＝2，

S △PCF ＝1

2

PD ·GF ＝2.

得四面体PEFC 的体积V ＝13S △PCF ·EG ＝22

3

.

6、证明：(1)∵AC ＝BC ，P 为AB 的中点，∴AB ⊥PC ，

又CC 1∥AA 1， AA 1⊥平面ABC ， ∴CC 1⊥平面ABC ， ∴CC 1⊥AB ， 又∵CC 1∩PC ＝C ， ∴AB ⊥平面PCC 1，

由题意知MN ∥AB ，故MN ⊥平面PCC 1， MN 在平面MNQ 内， ∴平面PCC 1⊥平面MNQ .

(2)连接AC 1、BC 1，∵BC 1∥NQ ，AB ∥MN ， 又BC 1∩AB ＝B ，

∴平面ABC 1∥平面MNQ ， ∵PC 1在平面ABC 1内， ∴PC 1∥平面MNQ .

解：(1)证明：连接AF ，则AF ＝22，DF ＝22， 又AD ＝4，∴DF 2＋AF 2＝AD 2， ∴DF ⊥AF .又P A ⊥平面ABCD ， ∴DF ⊥P A ，又P A ∩AF ＝A ，

.DF PAF DF PF PF PAF ∴⊥?

?⊥???

平面平面

(2)过点E 作EH ∥FD 交AD 于点H ，则EH ∥平面PFD 且AH ＝1

4AD .

再过点H 作HG ∥DP 交P A 于点G ，则HG ∥平面PFD 且AG ＝1

4AP ，

∴平面EHG ∥平面PFD . ∴EG ∥平面PFD .

从而满足AG ＝1

4AP 的点G 为所求.

7、证明: （1）连接1BD

E 、

F 分别为1DD 、DB 的中点，则EF //1BD ，

又1BD ?平面11D ABC ，EF ?平面11D ABC ，

正视图

侧视图

俯视图

∴EF //平面11D ABC

（2）正方体1111D C B A ABCD -中，⊥AB 平面11B BCC ，则⊥AB C B 1

正方形11B BCC 中，11BC C B ⊥，又1BC AB ?=B ，AB 、?1BC 平面11D ABC , 则⊥C B 1平面11D ABC ，

1BD ?平面11D ABC ，所以⊥C B 11BD

又EF //1BD ,所以⊥C B 1EF.

8、解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-----3分

(2)∵PD ⊥平面ABCD ，PD ?平面PDCE ∴平面PDCE ⊥平面ABCD

∵BC CD ⊥ ∴BC ⊥平面PDCE ----------5分 ∵11

()32322

S PD EC DC =

+?=??=梯形PDCE --6分 ∴四棱锥B －CEPD 的体积

11

32233

B CEPD PDCE V S B

C -=?=??=梯形.----8分

(3) 证明：∵//EC PD ，PD ?平面PDA ， EC ?平面PDA

∴EC//平面PDA ,------------------------------------10分 同理可得BC//平面PDA ----------------------------11分 ∵EC ?平面EBC,BC ?平面EBC 且EC BC C = ∴平面BEC //平面PDA -----------------------------13分

又∵BE ?平面EBC ∴BE//平面PDA------------------------------------------14分

面PCD∴三棱锥以GC为高，三角形PEF为底………10分

∵

1

1

2

PF PD

==，

1

1

2

EF CD

==，

∴

11

22

PEF

S EF PF

?

=?=．………12分

∵

1

1

2

GC BC

==，

∴

1111

1

3326

P EFG G PEF PEF

V V S GC

--?

==?=??=………14分