《材料力学》第2章 轴向拉(压)变形 习题解
第二章 轴向拉(压)变形
[习题2-1] 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。 （a ）
解：（1）求指定截面上的轴力 F N =-11
F F F N -=+-=-222 （2）作轴力图
轴力图如图所示。 （b ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N 211=-
02222=+-=-F F N （2）作轴力图
F F F F N =+-=-2233 轴力图如图所示。 （c ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N 211=-
F F F N =+-=-222 （2）作轴力图
F F F F N 32233=+-=- 轴力图如图所示。 （d ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N =-11
F F a a
F
F F qa F N 22222-=+?--=+--=- （2）作轴力图
中间段的轴力方程为： x a
F
F x N ?-
=)( ]0,(a x ∈ 轴力图如图所示。
[习题2-2] 试求图示等直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积
2400mm A =，试求各横截面上的应力。
解：（1）求指定截面上的轴力
kN N 2011-=-
)(10201022kN N -=-=- )(1020102033kN N =-+=- （2）作轴力图
轴力图如图所示。 （3）计算各截面上的应力 M P a mm N A N 50400102023111
1-=?-==--σ
MPa mm N A N 2540010102
3222
2-=?-==--σ MPa mm N A N 2540010102
3333
3=?==--σ
[习题2-3] 试求图示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积
21200mm A =，22300mm A =，23400mm A =，并求各横截面上的应力。
解：（1）求指定截面上的轴力
kN N 2011-=-
)(10201022kN N -=-=- )(1020102033kN N =-+=- （2）作轴力图
轴力图如图所示。 （3）计算各截面上的应力 M P a mm N A N 1002001020231111
1-=?-==--σ
MPa mm
N A N 3.3330010102
32222
2-=?-==--σ MPa mm
N A N 2540010102
3333
3=?==--σ
[习题2-4] 图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个mm mm 875?的等边角钢。已知屋面承受集度为m kN q /20=的竖直均布荷载。试求拉杆AE 和EC 横截面上的应力。 解：（1）求支座反力
由结构的对称性可知： )(4.177)937.42(205.02
1
kN ql R R B A =+???==
= （2）求AE 和EG 杆的轴力
① 用假想的垂直截面把C 铰和EG 杆同时切断，取左部分为研究对象，其受力图如图所示。
由平衡条件可知：
0)(=∑F M
C
087.84.1772
87
.8)5.437.4(20)2.11(=?-?+?++?EG N )(62.357]87.84.1772
87.8)5.437.4(20[2.21kN N EG
=?+?+?-?= ② 以C 节点为研究对象，其受力图如图所示。
由平平衡条件可得：
0=∑X
0cos =-αEA EG N N )(86.366137.437.462.357cos 2
2kN N N EG
EA =+==
α
（3）求拉杆AE 和EG 横截面上的应力
查型钢表得单个mm mm 875?等边角钢的面积为：
2213.1150503.11mm cm A ==
M P a mm N A N EA AE
5.1593.11502108
6.36623=??==σ
M P a mm
N A N EG EG
5.1553.115021062.3572
3=??==σ [习题2-5] 石砌桥墩的墩身高m l 10=，其横截面面尺寸如图所示。荷载kN F 1000=，材料的密度
3/35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。
解：墩身底面的轴力为：
g Al F G F N ρ--=+-=)(
)(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=????+?--=
8.935.210)114.323(10002????+?--=
)(942.3104kN -=
墩身底面积：)(14.9)114.323(2
2
m A =?+?=
因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。
MPa kPa m
kN A N 34.071.33914.9942.31042-≈-=-==
σ [习题2-6] 图示拉杆承受轴向拉力kN F 10=，杆的横截面面积2100mm A =。如以α表示斜截面与横截面的夹角，试求当o
o
o
o
o
90,60,45,30,0=α时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。
解：斜截面上的正应力与切应力的公式为：
ασσα20cos =
αστα2sin 2
=
式中，MPa mm
N A N 1001001000020===σ，把α的数值代入以上二式得：
[习题2-7] 一根等直杆受力如图所示。已知杆的横截面面积A 和材料的弹性模量E 。试作轴力图，并求杆端点D 的位移。 解：（1）作轴力图
F N CD =
F F F N BC -=+-=2 F F F F N AB =+-=22 AD 杆的轴力图如图所示。
（2）求D 点的位移
EA
l N EA l N EA l N l CD
CD BC BC AB AB AD D +
+=
?=? EA Nl EA Fl EA Fl 3
/3/3/+
-+=
EA Fl
3=
（→） [习题2-8] 一木桩受力如图所示。柱的横。截面为边长200mm 的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量GPa E 10=。如不计柱的自重，试求：
（1）作轴力图；
（2）各段柱横截面上的应力； （3）各段柱的纵向线应变； （4）柱的总变形。 解：（1）作轴力图
kN N AC 100-=
)(260160100kN N CB -=--=
轴力图如图所示。
（2）计算各段上的应力 MPa mm N A N AC AC
5.2200200101002
3-=??-==σ。 MPa mm
N A N CB CB
5.6200200102602
3-=??-==σ， （3）计算各段柱的纵向线应变 4
3
105.210105.2-?-=?-=
=
MPa
MPa E
AC
AC σε 43
105.610105.6-?-=?-=
=
MPa
MPa
E
CB
CB σε （4）计算柱的总变形
)(35.110)15005.615005.2(4mm l l l CB CB AC AC AC =??-?-=?+?=?-εε
[习题2-9] 一根直径mm d 16=、长m l 3=的圆截面杆，承受轴向拉力kN F 30=，其伸长为mm l 2.2=?。试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量E 。 解：（1）求杆件横截面上的应力
MPa mm N A N 3.1491614.34
1
1030223=???==σ
（2）求弹性模量
因为：EA Nl l =
?， 所以：GPa MPa l l l A l N E 6.203)(9.2035902
.23000
3.149==?=??=???=σ。
[习题2-10] （1）试证明受轴向拉伸（压缩）的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变s ε等于直径方向的线应变d ε。
（2）一根直径为mm d 10=的圆截面杆，在轴向力F 作用下，直径减小了0.0025mm 。如材料
的弹性模量GPa E 210=，泊松比3.0=ν，试求该轴向拉力F 。
（3）空心圆截面杆，外直径mm D 120=，内直径mm d 60=，材料的泊松比3.0=ν。当其轴向拉伸时，已知纵向线应变001.0=，试求其变形后的壁厚。 解：（1）证明d s εε=
在圆形截面上取一点A ，连结圆心O 与A 点，则OA 即代表直径方向。过A 点作一条直线
AC 垂直于OA ，则AC 方向代表圆周方向。 νεεε-==AC s （泊松比的定义式），同理， νεεε-==OA d 故有：d s εε=。 （2）求轴向力F
mm d 0025.0-=? 4'
105.210
0025
.0-?-=-=?=
d d ε νεε-='
44'103
253.0105.2-?=?--=-=νεε εσE =
εE A
F
= kN N AE F 74.13)(5.13737103
25
102101014.325.043
2
==??
????==-ε （3）求变形后的壁厚
4
'
10
3001.03.0-?-=?-=-=νεε
4'103)
(-?-==--?εr
R r R
mm r R 009.0)3060()103()(4
-=-??-=-?- 变形厚的壁厚：
)(991.29009.030|)(|)(mm r R r R =-=-?--=?
[习题2-11] 受轴向拉力F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为ν,E ，试求C 与D
两点间的距离改变量CD ?。 解：EA
F
E A
F νν
νεε-
=-=-=/' 式中，δδδa a a A 4)()(2
2
=--+=，故： δ
νεEa F 4'
-=
δ
ν
εEa F a a 4'-
==? δνE F a a a 4'
-=-=?
δ
ν
E F a a 4'-= a a a CD 12145
)()(24
3
232=+= '12
145
)'()'(243
232''a a a D C =
+= δ
ν
δνE F E F a a CD D C CD 4003.1412145)(12145)('''?-=?-=-=
-=? [习题2-12] 图示结构中，AB 为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量GPa E 210=，已知m l 1=，2
21100mm A A ==，2
3150mm A =，kN F 20=。试求C 点的水平位移和铅垂位移。 解：（1）求各杆的轴力
以AB 杆为研究对象，其受力图如图所示。 因为AB 平衡，所以
0=∑X
045cos 3=o
N
03=N
由对称性可知，0=?CH
)(10205.05.021kN F N N =?===
（2）求C 点的水平位移与铅垂位移。
A 点的铅垂位移：mm mm
mm N
N
EA l
N l 476.0100/210000100002
2111=??==
? B 点的铅垂位移： mm mm mm N mm
N EA l N l 476.0100/2100001000100002
2222=??==
? 1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB 为刚性杆，可以得到：
C 点的水平位移：)(476.045tan 1mm l o
BH AH CH =??=?=?=? C 点的铅垂位移：)(476.01mm l C =?=?
[习题2-13] 图示实心圆杆AB 和AC 在A 点以铰相连接，在A 点作用有铅垂向下的力kN F 35=。已知杆AB 和AC 的直径分别为mm d 121=和mm d 152=，钢的弹性模量GPa E 210=。试求A 点在铅垂方向的位移。 解：（1）求AB 、AC 杆的轴力
以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出：
0=∑X ：045sin 30sin =-o AB o AC
N N
AB AC N N 2=………………………(a)
0=∑Y ：03545cos 30cos =-+o AB o AC
N N
7023=+AB AC N N ………………(b)
(a) (b)联立解得：
kN N N AB 117.181==；kN N N AC 621.252== （2）由变形能原理求A 点的铅垂方向的位移
222
211212221
EA l N EA l N F A +=?
)(
12
22
2
1121EA l N EA l N F A +=? 式中，)(141445sin /10001mm l o ==；)(160030sin /8002mm l o
==
2211131214.325.0mm A =??=；2
221771514.325.0mm A =??=
故：)(366.1)177
2100001600
25621113210000141418117(35000122mm A =??+??=?
[习题2-14] 图示A 和B 两点之间原有水平方向的一根直径mm d 1=的钢丝，在钢丝的中点C 加一
竖向荷载F 。已知钢丝产生的线应变为0035.0=ε，其材料的弹性模量GPa E 210=， 钢丝的自重不计。试求：
（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）； （2）钢丝在C 点下降的距离?； （3）荷载F 的值。 解：（1）求钢丝横截面上的应力 )(7350035.0210000MPa E =?==εσ （2）求钢丝在C 点下降的距离?
)(72100002000
735mm E l EA Nl l =?=?==
?σ。其中，AC 和BC 各mm 5.3。
996512207.05
.10031000
cos ==α
o 7867339.4)5
.10031000
arccos(==α
)(7.837867339
.4tan 1000mm o
==?
（3）求荷载F 的值
以C 结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：
0=∑Y ：0sin 2=-P a N
ασsin 2sin 2A a N P ==
)(239.96787.4sin 114.325.0735202N =?????=
[习题2-15] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 解：取长度为dx 截离体（微元体）。则微元体的伸长量为：
)
()(x EA Fdx
l d =
?
??
==?l l
x A dx
E F dx x EA F l 00
)
()( l
x r r r r =--121
2
2112112d
x l d d r x l r r r +-=+?-=
22
11
222)(u d x l
d d x A ?=??? ??+-=ππ
dx l d d du d x l d d d 2)22(
1
2112-==+- du d d l
dx 1
22-=
)()(22)(221212u
du d d l du u d d l x A dx -?-=?-=ππ 因此，
)()(2)()(2
02100
u du
d d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l
???
--===?π l
l
d x l d d d d E Fl u d d E Fl 0
112
21021221)(21)(2??
????
??????+--=???
???-=ππ ????
??
???
???-+
--=21221)(2111
221d d l l d d d d E Fl π ??
?
???--=
122122)(2d d d d E Fl π
2
14d Ed Fl
π=
[习题2-16] 有一长度为300mm 的等截面钢杆承受轴向拉力kN F 30=。已知杆的横截面面积
22500mm A =，材料的弹性模量GPa E 210=。试求杆中所积蓄的应变能。
解：)(257.02500/21000023.03000022
2222m N mm
mm N m
N EA l N U ?=???== [习题2-17] 两根杆A 1B 1和A 2B 2的材料相同，其长度和横截面面积相同。杆A 1B 1承受作用在端点的集中荷载F ；杆A 2B 2承受沿杆长均匀分布的荷载，其集度l
F
f =。试比较这两根杆内积蓄的应变能。 解：（1）求（a ）图的应变能
EA
l
F U a 22=
（2）求（b ）图的应变能
EA
dx
x N dU b 2)(2=
dx fx EA
EA dx x N U l
l
b 2
00
2)(212)(??
==
EA
l
F EA l l F EA l f dx x EA f l 66)/(6223232022=?===?
(3) 以上两种情形下的应变能比较
36222==EA
l
F EA
l F U U b a ，即：b a U U 3=。 [习题2-18] 图示一钢筋混凝土平面闸门，其最大启门力为kN F 140=。如提升闸门的钢质丝杠内径mm d 40=，钢的许用应力MPa 170][=σ，试校核丝杠的强度。 解：（1）计算最大工作应力
2
m ax m ax 25.0d
F
A N πσ==
)(465.11140
14.325.01400002
MPa N
=??=
（2）强度校核
因为 MPa 170][=σ，MPa 465.111m ax =σ
即：][max σσ<
所以丝杠符合强度条件，即不会破坏。
[习题2-19] 简易起重设备的计算简图如图所示。已知斜杆AB 用两根mm mm mm 44063??不等边角钢组成，钢的许用应力MPa 170][=σ。试问在起重量kN P 15=的重物时，斜杆AB 是否满足强度条件？ 解：（1）计算AB 杆的工作应力
以A 结点为研究对象，其受力图如图所示。由其平衡条件可得：
∑=0Y
030sin 0=--P F N AB 0230sin 0=-P N AB
)(601544kN P N AB =?==
查型钢表得：单个mm mm mm 44063??不等边角钢 的面积为：228.405058.4mm cm = 。两个角钢的总 面积为)(6.8118.40522
mm =?
故AB 杆的工作应力为：
M P a mm
N
746.811600002
m ax ==
σ （2）强度校核
因为 MPa 170][=σ，MPa 74m ax =σ 即：][max σσ<
所以AB 杆符合强度条件，即不会破坏。
[习题2-20] 一块厚mm 10、宽mm 200的旧钢板，其截面被直径mm d 20=的圆孔所削弱，圆孔的排列对称于杆的轴线，如图所示。钢板承受轴向拉力kN F 200=。材料的许用应力MPa 170][=σ，若不考虑应力集中的影响，试校核钢板的强度。
解：（1）判断危险截面
垂直于轴线，且同时过两个孔的截面是危 险截面。不考虑应力集中时，可认为应力在这截面上均匀分布。
（2）计算工作应力
危险截面上的工作应力为：指示
dt
bt F
A N 2m ax -=
=
σ MPa mm N
12510)202200(2000002
=??-=
（3）强度校核
因为 MPa 170][=σ，MPa 125m ax =σ 即：][max σσ<
所以AB 杆符合强度条件，即不会破坏。
[习题2-21] 一结构受力如图所示，杆件AB ，AD 均由两根等边角钢组成。已知材料的许用应力
MPa 170][=σ，试选择AB ，AD 的角钢型号。
解：（1）求AB 、AD 杆的轴力
由对称性可知：
)(300)2300(2
1
kN N AD =??=
取节点A 为研究对象，由其平衡条件可得：
∑=0Y
030sin 0=-AD AB N N
)(6002kN N N AD AB ==
（2）计算AB 、AD 杆的工作应力，并选定角钢。
][σσ≤=
AD
AD
AD A N 222
65.177.1764/170300000][cm mm mm
N N
N A AD AD ===≥
σ 查型钢表，AD 杆可选用两根角钢号数为8的、mm mm 680?（单根面积2
397.9cm ）的等边角钢。
][σσ≤=
AB
AB
AB A N 2
22
291.351.3529/170600000][cm mm mm
N N N A AB AB ===≥
σ 查型钢表，AB 杆可选用两根角钢号数为10的、mm mm 10100?（单根面积2
261.19cm ）的等边角钢。
[习题2-22] 一桁架如图所示。各杆都由两
个等边角钢组成。已知材料的许用应力
MPa 170][=σ，试选择AC 和CD 的角钢
型号。 解：（1）求支座反力 由对称性可知， )(220↑==kN R R B A （2）求AC 杆和CD 杆的轴力
以A 节点为研究对象，由其平 衡条件得：
0=∑Y
0cos =-αAC A N R )(667.3665
/3220
sin kN R N A AC ===
α 以C 节点为研究对象，由其平衡条件得：
0=∑X
0cos =-αAC CD N N )(333.2935/45
/3220
cos kN N N AC CD =?=
=α （3）由强度条件确定AC 、CD 杆的角钢型号 AC 杆： 222
569.2186.2156/170366667][cm mm mm
N N
N A AC AC ===≥
σ 选用2∟780?（面积2
72.2186.102cm =?）。 CD 杆： 2
22
255.17488.1725/170293333][cm
mm mm N N N A CD CD ===≥
σ 选用2∟675?（面积2
594.17797.82cm =?）。
[习题2-23] 一结构受力如图所示，杆件AB 、CD 、EF 、GH 都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力MPa 170][=σ，材料的弹性模量GPa E 210=，杆AC 及EG 可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点D 、C 、A 处的铅垂位移D ?、C ?、A ?。
解：（1）求各杆的轴力 )(24030042
.3kN N AB =?= )(603004
8.0kN N CD =?=
0=∑F
M
02.1605.13003=?-?-?GH N
)(174)72450(3
1
kN N GH =+=
0=∑Y
030060174=--+EF N
)(186kN N EF =
（2）由强度条件确定AC 、CD 杆的角钢型号 AB 杆： 2
22
12.14765.1411/170240000][cm mm mm
N N N A AB AB ===≥
σ 选用2∟55690??（面积2424.14212.72cm =?）。 CD 杆： 2
22
529.3941.352/17060000][cm mm mm
N N N A CD CD ===≥
σ 选用2∟32540??（面积2
78.389.12cm =?）。
EF 杆：
222
412.10118.1094/170186000][cm mm mm
N N
N A EF EF ===≥
σ 选用2∟54570??（面积2
218.11609.52cm =?）。 GH 杆： 222
353.10529.1023/170174000][cm mm mm
N N
N A GH GH ===≥
σ 选用2∟54570??（面积2
218.11609.52cm =?）。 （3）求点D 、C 、A 处的铅垂位移D ?、C ?、A ? )(7.2694.24.14422100003400
240000mm EA l N l AB AB AB AB ≈=??==
?
)(907.03782100001200
60000mm EA l N l CD CD CD CD =??==
?
)(580.18.11212100002000
186000mm EA l N l EF EF EF EF =??==
?
)(477.18
.11212100002000
174000mm EA l N l GH GH GH GH =??==
?
EG 杆的变形协调图如图所示。
3
8.1=--?GH EF GH D l l l
3
8
.1477.1580.1477.1=
--?D )(54.1mm D =?
)(45.2907.054.1mm l CD D C =+=+?=?
)(7.2mm l AB A ==?
[习题2-24] 已知混凝土的密度3
3
/1025.2cm kg ?=ρ，许用压应力MPa 2][=σ。试按强度条件确定图示混凝土柱所需的横截面面积1A 和2A 。若混凝土的弹性模量GPa E 20=，试求柱顶A 的位移。
解：（1）确定1A 和2A
混凝土的重度（重力密度）：
)/(05.228.91025.233m kN g =??==ργ
上段（1杆）：
1杆的重量：)(6.264100005.2212100011kN A A +=??+
][||m ax 1σσ≤
kPa kPa A A 2000][6.26410001
1
=≤+σ
1120006.2641000A A ≤+ 10004.17351≥A )(576.021m A ≥
下段（2杆）
2杆的重量：)(6.26441.115205.221205.2212576.0100022kN A A +=??+??+
][||m ax 2σσ≤
kPa kPa A A 2000][6.26441.11522
2
=≤+σ
2220006.26441.1152A A ≤+ 41.11524.17352≥A
)(664.022m A ≥
（2）计算A 点的位移
1杆的轴力：))(10007.12()05.22576.01000()(kN x x x N +-=?+-= （x 以m 为单位） 2杆的轴力：)05.22664.005.2212576.01000()(?+??+-=y y N
))(41.115264.14()(kN y y N +-=
dx m
m kN kN
x l ?
??+-=?12
2
261576.0/1020)10007.12( ?+-=-120
6)10007.12(52.1110dx x
[]
12026
100035.652
.1110x x +-
=- []
1210001235.652
.111026
?+?-
=- )(1011216
m -?-=
)(121.1mm -= （负号表示压缩量）
dy m m kN kN
y l ?
??+-=?12
2
262664.0/1020)41.115264.14(
?+-=-120
6)41.115264.14(28.1310dy y
[]
12026
41.115232.728
.1310y y +-
=- []
1241.11521232.728
.131026
?+?-
=- )(1011216
mm -?-=
)(121.1mm -= （负号表示压缩量）
)(242.2121.1121.121mm l l A -=--=?+?=?（↓）
[习题2-25] （1）刚性梁AB 用两根钢杆AC 、BD 悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆AC 和BD 的直径分别为mm d 251=和mm d 182=，钢的许用应力MPa 170][=σ，弹性模量GPa E 210=
。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形AC l ?、BD l ?及A 、B 两点的竖向位移A ?、B ?。 解：（1）校核钢杆的强度
① 求轴力
)(667.661005.43
kN N AC =?=
)(333.331005
.45.1kN N BC
=?= ② 计算工作应力 2
22514.325.066667mm
N
A N AC AC AC ??==
σ MPa 882.135=
2
21814.325.033333mm N
A N BD BD BD ??==
σ M P a 057.131=
③ 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa ，即][σσ≤AC ；][σσ≤BD ， 所以AC 及BD 杆的强度足够，不会发生破坏。 （2）计算AC l ?、BD l ? )(618.1625.4902100002500
66667mm EA l N l AC AC AC AC =??==
?
)(560.134
.2542100002500
33333mm EA l N l BD BD BD BD =??==
?
（3）计算A 、B 两点的竖向位移A ?、B ? )(618.1mm l AC A =?=? )(560.1mm l BD B =?=?。
[习题2-26] 图示三铰屋架的拉杆用16锰钢杆制成。已知材料的许用应力MPa 210][=σ，弹性模 量GPa E 210=。试按强度条件选择钢杆的直径，并计算钢杆的伸长。
解：（1）求支座反力
由对称性可知： B A R R =
)(565.1497.179.165.0kN =??=（↑）
（2）求拉杆AB 的轴力
0=∑C
M
085.8565.149425.485.89.1614.3=?-??+?AB N )(772.210kN N AB =
（3）按强度条件选择钢杆的直径 2
2
6876.1003/210210772][mm
mm N N N A AB AB ==≥
σ 226876.100314.325.0mm d ≥?
22563.1278mm d ≥
mm d 76.35≥
（4）计算钢杆的伸长 )(7.176876
.100321000017700
210772mm EA l N l AB AB AB AB =??==
?
[习题2-27] 简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC 的长度l 保持不变，斜杆AB 的长度可随夹角θ
的变化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求： （1）两杆的夹角；
（2）两杆横截面面积的比值。 解：（1）求轴力
取节点B 为研究对象，由其平衡条件得：
∑=0Y
0sin =-F N AB θ θ
sin F
N AB =
∑=0X
0cos =--BC AB N N θ θθθ
θcot cos sin cos F F
N N AB BC =?=-= （2）求工作应力 θσsin AB AB AB AB A F
A N ==
BC
BC BC BC A F A N θ
σcot ==
（3）求杆系的总重量
)(BC BC AB AB l A l A V W +=?=γγ 。γ是重力密度（简称重度，单位：3
/m kN ）。
)cos (l A l
A BC AB
+=θ
γ )cos 1
(BC AB A A l +?=θγ
（4）代入题设条件求两杆的夹角 条件①： ][sin σθσ===
AB AB AB AB A F A N ，θσsin ][F
A A
B = ][cot σθσ===
BC BC BC BC A F A N ， ]
[c o t
σθF A BC = 条件⑵：W 的总重量为最小。
)cos 1
(BC AB A A l W +?=θγ )cos 1
(BC AB A A l +?=θ
γ
)]
[cot cos 1sin ][(
σθ
θθσγF F l +??=
)sin cos cos sin 1(][θ
θθθσγ+=
Fl []????
??+=θθθσγcos sin cos 12Fl []???
?
??+=
θθσγ2sin cos 122Fl 从W 的表达式可知，W 是θ角的一元函数。当W 的一阶导数等于零时，W 取得最小值。
[]02sin 22cos )cos 1(2sin sin cos 2222=???
? ???+-?-=
θθθθθθσγθ
Fl d dW 022cos 2
2cos 32sin 2=??+-
-θθ
θ 02cos 2cos 32sin 22=---θθθ
12cos 3-=θ 3333.02cos -=θ
o 47.109)3333.0arccos(2=-=θ
'445474.54o o ==θ
《材料力学》第2章 轴向拉(压)变形 习题解
第二章 第三章 第四章 轴向拉(压)变形 [习题2-1] 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。 （a ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N =-11 F F F N -=+-=-222 （2）作轴力图 轴力图如图所示。 （b ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N 211=- 02222=+-=-F F N （2）作轴力图 F F F F N =+-=-2233 轴力图如图所示。 （c ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N 211=- F F F N =+-=-222 （2）作轴力图 F F F F N 32233=+-=- 轴力图如图所示。 （d ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N =-11 F F a a F F F qa F N 22222-=+?--=+--=- （2）作轴力图 中间段的轴力方程为：
x a F F x N ?- =)( ]0,(a x ∈ 轴力图如图所示。 [习题2-2] 试求图示等直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积 2400mm A =，试求各横截面上的应力。 解：（1）求指定截面上的轴力 kN N 2011-=- )(10201022kN N -=-=- )(1020102033kN N =-+=- （2）作轴力图 轴力图如图所示。 （3）计算各截面上的应力 MPa mm N A N 5040010202 3111 1-=?-==--σ MPa mm N A N 25400101023222 2-=?-==--σ MPa mm N A N 2540010102 3333 3=?==--σ [习题2-3] 试求图示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积 21200mm A =，22300mm A =，23400mm A =，并求各横截面上的应力。 解：（1）求指定截面上的轴力 kN N 2011-=- )(10201022kN N -=-=- )(1020102033kN N =-+=- （2）作轴力图 轴力图如图所示。 （3）计算各截面上的应力 MPa mm N A N 10020010202 311111-=?-==--σ MPa mm N A N 3.3330010102 32222 2-=?-==--σ
材料力学 轴向拉压 题目+答案详解
2-4. 图示结构中，1、2两杆的横截面直径分别为10mm 和20mm ，试求两杆内 的应力。设两根横梁皆为刚体。 解：（1）以整体为研究对象，易见A 处的水平约束反力为零； （2）以AB 为研究对象 由平衡方程知 0===A B B R Y X （3）以杆BD 由平衡方程求得 KN N N N Y KN N N m C 200 10 01001101 0212 11==--===?-?=∑∑ （4）杆内的应力为 1
MPa A N MPa A N 7.6320 41020127104101023 2222 3111=???== =???==πσπσ 2-19. 在图示结构中，设AB 和CD 为刚杆，重量不计。铝杆EF 的l 1=1m ，A 1=500mm 2， E 1=70GPa 。钢杆AC 的l 2=，A 2=300mm 2，E 2=200GPa 。若载荷作用点G 的垂直位移不得超过。试求P 的数值。 解：（1）由平衡条件求出EF 和AC 杆的内力 P N N N P N N AC EF AC 4 3 32 2112===== （2）求G 处的位移 2 2221111212243)ΔΔ23 (21)ΔΔ(21Δ21ΔA E l N A E l N l l l l l l A C G + =+=+== （3）由题意 kN P P P A E Pl A E Pl mm l G 1125.2300 102001500500107010009212143435.23 3222111≤∴≤???+????=??+??≤ 2-27. 在图示简单杆系中，设AB 和AC 分别是直径 为20mm 和24mm 的圆截面 杆，E=200GPa ，P=5kN ，试求A 点的垂直位移。
材料力学1轴向拉压分析
1. 衡。设杆 (A) qρ = (B) (C) (D) 2. (A) (C) 3. 在A和B A和点B (A) 0； (C) 45；。 4. 可在横梁（刚性杆）为A (A) [] 2 A σ (C) []A σ； 5. (A) (C)
6. 三杆结构如图所示。今欲使杆3哪一种措施？ (A) 加大杆3的横截面面积； (B) 减小杆3的横截面面积； (C) 三杆的横截面面积一起加大； (D) 增大α角。 7. 图示超静定结构中，梁AB 示杆1的伸长和杆2的缩短，(A) 12sin 2sin l l αβ?=?； (B) 12cos 2cos l l αβ?=?； (C) 12sin 2sin l l βα?=?； (D) 12cos 2cos l l βα?=?。 8. 图示结构，AC 为刚性杆，杆1(A) 两杆轴力均减小； (B) 两杆轴力均增大； (C) 杆1轴力减小，杆2轴力增大； (D) 杆1轴力增大，杆2轴力减小。 9. 结构由于温度变化，则： (A) (B) (C) (D) 10. 面n-n 上的内力N F 的四种答案中哪一种是正确的？(A) pD ； (B) 2 pD ； (C) 4pD ； (D) 8 pD 。
11. 的铅垂位移12. 截面的形状为13. 一长为l 挂时由自重引起的最大应力14. 图示杆112A A >是N1F F 题1-141. D 2. D 3. C 4. B 5. B 6. B 7. C 8. C 9. B 10. B 11. Fl EA ； 12. a b ；椭圆形 13. 22gl gl E ρρ， 14. ＞，= 15. 试证明受轴向拉伸的圆截面杆，其横截面沿圆周方向的线应变s ε等于直径的相对改变量d ε。 证：()s d πππd d d d d d εε+?-?= = = 证毕。 16. 如图所示，一实心圆杆1在其外表面紧套空心圆管2。设杆的拉压刚度分别为11E A 和 22E A 。此组合杆承受轴向拉力F ，试求其长度的改变量。（假设圆杆和圆管之间不发生相对滑动） 解: 由平衡条件 N1N2F F F += (1) 变形协调条件 N1N21122 F l F l E A E A = (2) 由(1)、(2)得 N1111122 F l F l l E A E A E A ?= =+
轴向拉压变形
1
上海工程技术大学基础教学学院工程力学部
1
第三章 轴向拉压变形
§3—1 轴向拉压杆的变形 §3—2 桁架的节点位移 §3—3 拉压与剪切应变能 §3—4 简单拉压超静定
拉压变形小结
2
一、概念
§3—1 轴向拉压杆的变形
1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。
2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。
3
三、叠加原理
①当各段的轴力为常量时——
? ? L ? ? L1 ? ? L 2 ? ? L 3 ? ? ? ?
F Ni L i EA i
几个载荷同时作用所产生的变形，等于各载荷单独作
用时产生的变形的总和 — 叠加原理
②当轴力为x的函数时 N=N(x)——
? ? L ? d? L1 ? d? L2 ? d? L3 ? ? ? ?
FN ( x)dx L EA
（3）、使用条件：轴向拉压杆，弹性范围内工作。
应力与应变的关系：（虎克定律的另一种表达方式）
?L ? FN L EA
?
FN ? E ?L ?
A
L
? ? E?
5
小结： 变形——构件在外力作用下或温度影响下所引起的形状尺 寸的变化。 弹性变形——外力撤除后，能消失的变形。 塑性变形——外力撤除后，不能消失的变形。 位移——构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。 线应变——微小线段单位长度的变形。
6
2
A a
B a
C
F
x
F
2F 3F
例：已知杆件的 E、A、F、a 。
求：△LAC、δ B（B 截面位移） ε AB （AB 段的线应变）。 解：1、画FN 图： 2、计算：
FN
? (1).?L ?
FN L EA
?
?LAC
?
?LAB
?
?LB
C
?
? Fa EA
?
?3Fa EA
?
? 4Fa EA
(2).? B ? ?LBC
( 3 ).? AB ?
? ? 3Fa
EA
? L AB ?
?
L AB
Fa a
EA
? ?F EA
7
§3—2 桁架节点位移
三角桁架节点位移的几何求法。
怎样画小变形放大图？分析：1、研究节点 C 的受力，确定
各杆的内力 FNi；
A
L1
B 2、求各杆的变形量△Li；
L2
F1
F2
C
3、变形图严格画法，图中弧线； (1) 以A为圆心，AC1为半径画弧线；
C
?L1 (2) 以B为圆心，BC2为半径画弧线；
F ?L2 F
C1
交点C’就是C点实际位移。 4、变形图近似画法:
C2
C ''
以切线代替图中弧线。
C'
C '' 就是C点近似位移。
8
写出图 2 中 B 点位移与两杆变形间的关系
L1
B
A
?l
?
2
?l 1 B1
L2
F
分析： 一、受力分析： 二、画B点的变形图：
1）画沿原杆伸长或缩短线； 2）作伸长或缩短线端点垂线；
C 图2
拉 S1 压 S2
vB ? BB2
B2 B
F
B’交点就是节点B的位移点。
3) B点水平位移：uB ? BB1 ? ?L1
B'
B点垂直位移：
vB
?
? L1ctg ?
?
?L2 sin ?
?B ?
u
2 B
?
vB2
9
例：杆1为钢管，A1= 100 mm2，E1 = 200 GPa,L1= 1 m ;杆2为硬
铝管，A2= 250 mm2，E2 = 70 GPa,P = 10 kN。试求：节点A
点的垂直位移。N1
解：1)求各杆内力
B C
N2 l1
A P
A2 45 A
?l2
?l1
N1 ? 2P ? 14.14kN , N 2 ? ?P ? ?10kN
2)求各杆的伸长?li
?l1
?
N1l1 ? 0.707, E1 A1
?l2
?
N 2l2 E2 A2
?
?0.404mm
3)画A点的位移图
AA5 ? AA4 ? A4 A5
P
A1
AA4 ? ?l1 / cos 45 A4 A5 ? ?l2ctg 45
45 A4
AA5
??
?l1 cos 45
?
?l2ctg 45
?
0.9999
?
0.404
? AA5 ? 1.404 mm
A3
A5
10
例 ：设横梁 ABCD 为刚梁，斜杆A=440mm2，E = 70kN，P1= 5kN,
P1 A A1
P2=10kN,L=1m;试求：A
P2 60
lC
lB
? AY
? C1
D
点的垂直位移。? ? 30 (不计横梁变形)
解：1)、CD杆内力：研究对象 AB
? mB ? 0 : P12l ? (P2 ? NC sin 30)l ? 0
? N C ? 40 ( kN )
2) CD杆的变形：
P1
P2
A
C
YB
B
XB
?L ? NClCD ? NCl ? 1.5 (mm) EA EA cos ?
3)杆A.C点的变形图：CC 2 ? ?l
A
C
NC B
? CY
? CC1 ?
CC 2 cos ?
?
?l sin ?
C2
?ABA1 ? ? AY ? AA1 ? CC 1 ? 2? CY
?CY C1
? AY ? 2? CY ? 2?l ? 6 (mm) sin ?
11
§3—3 拉压应变能
一、应变能概念
1、外力功：W
固体受外力作用而变形，在变形过程中外力所做的功。
W ? 1 P ? ?l 2
2、应变能：V? 固体在外力作用下，
P ?l
因变形而储存的能量。
V?
?
1 2
N
? ?l
?
1 2
N
?
Nl EA
?
N 2l 2EA
3、能量守恒：W ? V?
4、应变能密度：单位体积内储存的能量。 v? ? V? /V
l P
Pi
o
?li ?l
d (?l )
12
《材料力学》第8章-组合变形及连接部分的计算-习题解
第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解 [习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN F 5.21=， kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压 性能相同，故只计算最大拉应力： 式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3 102cm W z =，3 1.16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.2363 63363max =?=???+?????=--σ [习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 GPa E 10=；梁的尺寸为 m l 4=，mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。试校核梁的强度和刚度。
解：（1）强度校核 )/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =?== （正y 方向↓） )/(15.0230sin 0m kN q q z =?== （负z 方向←） )(464.34732.181 8122m kN l q M y zmaz ?=??== 出现在跨中截面 )(24181 8122m kN l q M z ymaz ?=??== 出现在跨中截面 )(51200016012061 61322mm bh W z =??== )(3840001201606 1 61322mm hb W y =??== 最大拉应力出现在左下角点上： y y z z W M W M max max max + = σ MPa mm mm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33 636max =??+??=σ 因为 MPa 974.11max =σ，MPa 12][=σ，即：][max σσ< 所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。 （2）刚度校核 =
ch3轴向拉压变形(3rd)
第三章 轴向拉压变形 3-2 一外径D=60mm 、内径d =20mm 的空心圆截面杆，杆长l = 400mm ，两端承受轴 向拉力F = 200kN 作用。若弹性模量E = 80GPa ，泊松比μ=0.30。试计算该杆外径的改变量?D 及体积改变量?V 。 解：1. 计算?D 由于 EA F D D εEA F εμμε- =-=='= Δ ， 故有 0.0179mm m 1079.1 m 020.00600(π1080060 .01020030.04)(π4Δ52 29322-=?-=-???????-=--=-='=-）.d D E FD EA FD D εD μμ 2.计算?V 变形后该杆的体积为 )21()1)(1(])()[(4 π )(222εεV εεAl d εd D εD l l A l V '++≈'++='+-'++=''='ε 故有 3 373 93 mm 400m 1000.4 )3.021(m 1080400.010200)21()2(Δ=?=?-???=-='+=-'=-μE Fl εεV V V V 3-4 图示螺栓，拧紧时产生l ?=0.10mm 的轴向变形。已知：d 1 = 8.0mm ，d 2 = 6.8mm ， d 3 = 7.0mm ；l 1=6.0mm ，l 2=29mm ，l 3=8mm ；E = 210GPa ，[σ]=500MPa 。试求预紧力F ，并校核螺栓的强度。 题3-4图 解：1.求预紧力F 各段轴力数值上均等于F ，因此， )(π4)(Δ23 3222 211332211d l d l d l E F A l A l A l E F l ++=++= 由此得
《材料力学》第2章_轴向拉(压)变形_习题解
第二章 轴向拉(压)变形 [习题2-1] 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。 （a ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N =-11 F F F N -=+-=-222 （2）作轴力图 轴力图如图所示。 （b ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N 211=- 02222=+-=-F F N （2）作轴力图 F F F F N =+-=-2233 轴力图如图所示。 （c ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N 211=- F F F N =+-=-222 （2）作轴力图 F F F F N 32233=+-=- 轴力图如图所示。 （d ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N =-11 F F a a F F F qa F N 22222-=+?--=+--=- （2）作轴力图 中间段的轴力方程为： x a F F x N ?- =)( ]0,(a x ∈ 轴力图如图所示。
[习题2-2] 试求图示等直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积 2400mm A =，试求各横截面上的应力。 解：（1）求指定截面上的轴力 kN N 2011-=- )(10201022kN N -=-=- )(1020102033kN N =-+=- （2）作轴力图 轴力图如图所示。 （3）计算各截面上的应力 MPa mm N A N 50400102023111 1-=?-==--σ MPa mm N A N 2540010102 3222 2-=?-==--σ MPa mm N A N 2540010102 3333 3=?==--σ [习题2-3] 试求图示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积 21200mm A =，22300mm A =，23400mm A =，并求各横截面上的应力。 解：（1）求指定截面上的轴力 kN N 2011-=- )(10201022kN N -=-=- )(1020102033kN N =-+=- （2）作轴力图 轴力图如图所示。 （3）计算各截面上的应力 M P a mm N A N 10020010202311111-=?-==--σ MPa mm N A N 3.3330010102 32222 2-=?-==--σ MPa mm N A N 2540010102 3333 3=?==--σ
(完整版)轴向拉压习题答案2
第2章 轴向拉伸和压缩 主要知识点：（1）轴向拉伸（压缩）时杆的内力和应力； （2）轴向拉伸（压缩）时杆的变形； （3）材料在轴向拉伸和压缩时的力学性能； （4）轴向拉压杆的强度计算； （5）简单拉压超静定问题。 轴向拉伸（压缩）时杆的变形 4. 一钢制阶梯杆如图所示。已知沿轴线方向外力F 1=50kN ，F 2=20kN ，各段杆长l 1=100mm ，l 2=l 3=80mm ，横截面面积A 1=A 2=400mm 2，A 3=250mm 2，钢的弹性模量E=200GP a ，试求各段杆的纵向变形、杆的总变形量及各段杆的线应变。 解：（1）首先作出轴力图如图4-11所示， 由图知kN F N 301-=，kN F F N N 2032==。 （2）计算各段杆的纵向变形 m m EA l F l N 56 93311111075.310 40010200101001030---?-=??????-==? m m EA l F l N 5 6 9332222100.210 4001020010801020---?=??????==? (3)杆的总变形量m l l l l 5 3211045.1-?=?+?+?=?。 (4)计算各段杆的线应变 45 1111075.310.01075.3--?-=?-=?=l l ε 45 222105.208.0100.2--?=?=?=l l ε 45 333100.408 .0102.3--?=?=?=l l ε 材料在轴向拉伸和压缩时的力学性能 5. 试述低碳钢拉伸试验中的四个阶段，其应力—应变图上四个特征点的物理意义是什么？ 答：低碳钢拉伸试验中的四个阶段为弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和颈缩阶段。在弹性阶段，当应力小于比例极限σp 时，材料服从虎克定律；当应力小于弹性极限σe 时，材料的变形仍是弹性变形。屈服阶段的最低点对应的应力称为屈服极限，以σs 表示。强化阶段最高点所对应的应力称为材料的强度极限，以σb 表示，它是材料所能承受的最大应力。 m m EA l F l N 5 69333333102.3102501020010801020---?=??????==?
《材料力学》第2章-轴向拉(压)变形-习题解
第二章 轴向拉(压)变形 [习题2-1] 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。 （a ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N =-11 F F F N -=+-=-222 （2）作轴力图 轴力图如图所示。 （b ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N 211=- 02222=+-=-F F N （2）作轴力图 F F F F N =+-=-2233 轴力图如图所示。 （c ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N 211=- F F F N =+-=-222 （2）作轴力图 F F F F N 32233=+-=- 轴力图如图所示。 （d ） 解：（1）求指定截面上的轴力 F N =-11 F F a a F F F qa F N 22222-=+?--=+--=- （2）作轴力图 中间段的轴力方程为： x a F F x N ?- =)( ]0,(a x ∈ 轴力图如图所示。
[习题2-2] 试求图示等直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积 2400mm A =，试求各横截面上的应力。 解：（1）求指定截面上的轴力 kN N 2011-=- )(10201022kN N -=-=- )(1020102033kN N =-+=- （2）作轴力图 轴力图如图所示。 （3）计算各截面上的应力 MPa mm N A N 5040010202 3111 1-=?-==--σ MPa mm N A N 2540010102 3222 2-=?-==--σ MPa mm N A N 2540010102 3333 3=?==--σ [习题2-3] 试求图示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积 21200mm A =，22300mm A =，23400mm A =，并求各横截面上的应力。 解：（1）求指定截面上的轴力 kN N 2011-=- )(10201022kN N -=-=- )(1020102033kN N =-+=- （2）作轴力图 轴力图如图所示。 （3）计算各截面上的应力 MPa mm N A N 10020010202 31111 1-=?-==--σ MPa mm N A N 3.3330010102 32222 2-=?-==--σ MPa mm N A N 2540010102 3333 3=?==--σ
ch3 轴向拉压变形(3rd)要点
1 第三章 轴向拉压变形 3-2 一外径D=60mm 、内径d =20mm 的空心圆截面杆，杆长l = 400mm ，两端承受轴 向拉力F = 200kN 作用。若弹性模量E = 80GPa ，泊松比μ=0.30。试计算该杆外径的改变量?D 及体积改变量?V 。 解：1. 计算?D 由于 EA F D D εEA F εμμε- =-=='= Δ ， 故有 0.0179mm m 1079.1 m 020.00600(π1080060 .01020030.04)(π4Δ52 29322-=?-=-???????-=--=-='=-）.d D E FD EA FD D εD μμ 2.计算?V 变形后该杆的体积为 )21()1)(1(])()[(4 π )(222εεV εεAl d εd D εD l l A l V '++≈'++='+-'++=''='ε 故有 3 373 93 mm 400m 1000.4 )3.021(m 1080400.010200)21()2(Δ=?=?-???=-='+=-'=-μE Fl εεV V V V 3-4 图示螺栓，拧紧时产生l ?=0.10mm 的轴向变形。已知：d 1 = 8.0mm ，d 2 = 6.8mm ， d 3 = 7.0mm ；l 1=6.0mm ，l 2=29mm ，l 3=8mm ；E = 210GPa ，[σ]=500MPa 。试求预紧力F ，并校核螺栓的强度。 题3-4图 解：1.求预紧力F 各段轴力数值上均等于F ，因此， )(π4)(Δ23 3222211 332211d l d l d l E F A l A l A l E F l ++=++= 由此得
第3章轴向拉压变形
第三章轴向拉压变形 研究目的：1、分析拉压杆的拉压刚度； 2、求解简单静不定问题。
§3-1 拉（压）杆的变形·胡克定律 一、拉(压)杆的纵向变形、胡克定律 绝对变形l l l -1=?l l ?= ε相对变形 F F d l l 1d 1 正应变以伸长时为正，缩短时为负。 EA Fl l = ?EA l F N =EA l F l N =?拉（压）杆的胡克定律 EA —杆的拉伸（压缩）刚度。 E σ =
杆纵向的总伸长量 ??==?l x l x x l 0 d d εδF N (x ) F N (x )+d F N (x ) l B A q x B q ql d x F N (x ) d δx
二、横向变形与泊松比 d d ?= 'ε绝对值d d d -1=?横向线应变 F F d l l 1 d 1 试验表明：单轴应力状态下，当应力不超过材料ε εν-='n -----泊松比，是一常数，由试验确定。 的比例极限时，一点处的纵向线应变ε与横向线应变ε'的绝对值之比为一常数：
三、多力杆的变形与叠加原理 BC AB l l l ?+?=?F 1 C B A F 2 l 1 l 22 221121)(EA l F EA l F F + +=
2 2 11111)(EA l F EA l F F l +=?F 1 C B A F 2l 1 l 2F 1 C B A l 1 l 2 C B A F 2 l 1 l 21 1 22)(EA l F F l = ?) ()(11F l F l l ?+?=?2 221121)(EA l F EA l F F + +=
《杆件的四种基本变形及组合变形、 直杆轴向拉、压横截面上的内力》教学设计
《杆件的四种基本变形及组合变形、 直杆轴向拉、压横截面上的内力》教学设计 剪切变形的受力特点是作用在构件上的横向外 力大小相等、方向相反、作用线平行且距离很近。 剪切变形的变形特点是介于两横向力之间的各 截面沿外力作用方向发生相对错动。 剪切面是指两横向力之间的横截面，破坏常在 剪切面上发生。 扭转变形的受力特点：在垂直于杆轴线的平面 内，作用有大小相等、转向相反的一对力偶。 扭转变形的变形特点：各横截面绕杆轴线发生
2．剪切 【工程实例】如图a所示为一个铆钉连接的简图。钢板在拉力F的作用下使铆钉的左上侧和右下侧受力（图b），这时，铆钉的上、下两部分将发生水平方向的相互错动（图c）。当拉力很大时，铆钉将沿水平截面被剪断，这种破坏形式称为剪切破坏。 3. 扭转 用改锥拧螺钉时，在改锥柄上手指的作用力构成了一个力偶，螺钉的阻力在改锥的刀口上构成了一个方向相反的力偶，这两个力偶都作用在垂直于杆轴的平面内，就使改锥产生了扭转变形，如图a所示。 例如汽车的转向轴（图b）。当驾驶员转动方向盘时，相当于在转向轴A端施加了一个力偶，与此同时，转向轴的B端受到了来自转向器的阻抗力偶。于是在轴AB的两端受到了一对大小相等、转向相反的力偶作用，使转向轴发生了扭转变形。 扭转角的概念，如图
3.2直杆轴向拉、压横截面上的内力内力的概念 轴力的计算 ）轴力 为了显示并计算杆件的内力，通常采用截面法。假设用一个截面m-m （图a ）将杆件“切”成左右两部分，取左边部分为研究对象（图b ），要保持这部分与原来杆件一样处于平衡状态，就必须在被切开处加上，这个内力F N 就是右部分对左部分的作用力。在轴向拉（压）杆中横截面中的内力称为由于直杆整体是平衡的，左部分也是平衡的，对这部分建立平衡方程： =0 0=-N F F 若取右部分为研究对象，则可得 0='-N F F 可以看出，取任一部分为研究对象，都可以得到相同的结果，其实F N 与F ′N 是一对作用力与反作用力，其数值必然相等。
(完整版)材料力学复习总结全解
《材料力学》第五版 刘鸿文 主编 第一章 绪论 一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性要求。 二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能 力。 三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假设和各向同性假设。 第二章 轴向拉压 一、轴力图：注意要标明轴力的大小、单位和正负号。 二、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。注意此规定只适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。 三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式：N F A σ= 注意正应力有正负号，拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。 四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式：2cos ασσα=，sin 22αστα= 注意角度α是指斜截面与横截面的夹角。 五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],max max N F A σσ=≤ 六、利用正应力强度条件可解决的三种问题：1.强度校核[],max max N F A σσ=≤ 一定要有结论 2.设计截面[],max N F A σ≥ 3.确定许可荷载[],max N F A σ≤ 七、线应变l l ε?=没有量纲、泊松比'εμε =没有量纲且只与材料有关、 胡克定律的两种表达形式：E σε=，N F l l EA ?= 注意当杆件伸长时l ?为正，缩短时l ?为负。 八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线，知道四个阶段及相应的四个极限应力：弹性阶段（比例极限p σ，弹性极限e σ）、屈服阶段（屈服