一维方势阱粒子波函数和能级的求解方法
正弦波方波锯齿波函数转换器
课程设计说明书 课程设计名称：模拟电子技术课程设计 课程设计题目：正弦波-方波-锯齿波函数转换器 学院名称：信息工程学院 专业：通信工程班级：090421 学号：09042134 姓名：赵尚虎 评分：教师： 20 11 年 3 月16 日 任务书 题目3：设计制作一个产生正弦波—方波—锯齿波函数转换器。 设计任务和要求 ①输出波形频率范围为0.02Hz~20KHz且连续可调； ②正弦波幅值为±2V； ③方波幅值为2 V； ④锯齿波峰-峰值为2V，占空比可调； 摘要 本次课程设计的目的是： 应用电路分析低频等所学的知识设计一个正弦波-方波-锯齿波函数发生器。设计的正弦波-方波-锯齿波函数发生器是由正弦波发生器、过零比较器、积分电路等三大部分组成。正弦波发生器产生正弦波，正弦波经过过零比较器转变为方波，方波经过积分电路产生锯齿波。 关键字：正弦波、方波、锯齿波 目录 第一章设计目的及任务 1.1 课程设计的目的 (5) 1.2 课程设计的任务与要求 (5) 1.3 课程设计的技术指标 (5) 第二章系统设计方案选择…………………………………………… 2.1 方案提出 (6) 2.2 方案论证和选择 (6) 第三章系统组成及工作原理……………………………………………… 3.1 系统组成 (7)
3.2 正弦波发生电路的工作原理 (7) 3.3 正弦波转换方波电路的工作原理 (8) 3.4 方波转换成锯齿波电路的工作原理 (9) 3.5 总电路图 (11) 第四章单元电路设计、参数计算、器件选择…………………… 4.1 正弦波发生电路的设计 (12) 4.2 正弦波转换方波电路的设计 (13) 4.3 方波转换成锯齿波电路的设计 (14) 第五章实验、调试及测试结果与分析…………………………… 5.1电路总体仿真图如下所示 (17) 5.2 调试方法与调试过程 (18) 第六章结论 (21) 参考文献 (23) 附录（元器件清单） (23) 第一章设计的目的及任务 1．1课程设计的目的 1．掌握电子系统的一般设计方法 2．掌握模拟器件的应用 3．培养综合应用所学知识来指导实践的能力 4．掌握常用元器件的识别和测试 5．熟悉常用仪表，了解电路调试的基本方法 1．2课程设计任务与要求 1.设计制作一个正弦波-方波-锯齿波函数转换器 2.能同时输出一定频率一定幅度的3种波形：正弦波、方波和锯齿波 3.可以用±12V或±15V直流稳压电源供电 1．3 课程设计的技术指标 1．设计、组装、调试函数发生器 2．输出波形：正弦波、方波、锯齿波 3．频率范围：在0.02HZ-20KHZ范围内连续可调 4．输出电压：正弦波幅值+2V、方波幅值2V，锯齿波峰峰值2V，占空比可调 第二章系统设计方案选择 2.1 方案提出 方案一：RC正弦波振荡电路、电压比较器、积分电路共同组成的正弦波—方波—锯齿波函数发生器的设计方法。先通过RC正弦波振荡电路产生正弦波，再通过电压比较器产生方波，最后通过积分电路形成锯齿波。 方案二：采用直接频率合成器，从信号的幅度相位关系出发进行频率合成。
一维无限深势阱
6.ξ一维无限深势阱 考虑一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内： 0,,x x a U x a ?
,sin cos 0 sin cos 0 sin 0 cos 0 x a A a B a x a a B a a B a αααααα=+==-+===时时，A 两式相减，得：A 两式相加，得： 因A,B 不能同时为0，否则，sin cos A x B x ψαα=+处也为0，这在物理上无意义。（物理问题对ψ的要求） 所以，得到两组解：⑴0,cos 0A a α== ⑵0,sin 0A a α==对第⑴组解，有,1,3,5.......2n a n απ==对第⑵组解有：,2,4,6 (2) n a n απ== 合并，即有：,1,2,3,4,5 (2) n a n απ==其中对⑴组，n 取奇数，对第⑵组n 取偶数，注意，n 不能取0，否则ψ=0，将2n a απ=代回12 22E μα??= ???，得体系的能量本征值为：222 2 ,8n n E n a πμ=为整数这说明，并非任何E 值所相应的波函数都能满足本问题所要求的边条件，而只能取上式给出的那些分立值n E ，此时的波函数在物理上才是可接受的。 这样，我们得到：体系的能量是量子化的，即能谱是分立的。n E 称为体系的能量本征值。相应的本征波函数为：P36 第一组n ψ为偶函数，即波函数具有偶宇称 第二组n ψ为奇函数，即波函数具有奇宇称 两式合并，得n ψ 的表达式，进行归一化，得'A = 子的定态波函数为：()()(),sin 2n n iE iE t t n n x n x t e x a e a a πψ--ψ==+（n ψ，与n E 对 应关系，粒子处于1ψ态时，E 有确定值2E ） 讨论：①粒子最低能级22 1208E a πμ=≠，这与经典粒子不同，是微观粒子波
占空比可调的方波函数发生器
西北民族大学电气工程学院课程设计说明书（2011/2012学年第二学期） 课程名称：模电课程设计 题目：正弦波发生器设计 专业班级：10级自动化一班 学生姓名：杨香林 学号：P101813404 指导教师：刘明华 设计成绩： 二〇一二年六月二十三日
目录 1.课程设计的目的 2.课程设计内容 2.1总体概述 2.11 设计任务 2.12 设计要求 2.2系统方案分析 2.3系统设计及仿真 2.4硬件设计 3.课程设计总结 4.参考文献
1、课程设计目的 1．掌握电子系统的一般设计方法。 2．理解迟滞比较器的设计原理，掌握方波函数发生器的设计原理。 3．理解555定时器的工作原理，掌握多谐振荡器的设计原理。 4．熟练运用multisim仿真软件设计和仿真电路。 5．提高综合应用所学知识来指导实践的能力。 2、课程设计总文 2.1总体概述 2.11 设计任务 使用集成运算放大器、稳压二极管、二极管、电阻等器件设计方波函数发生器。 2.12 设计要求 1、根据技术要求和现有开发环境，分析课设题目； 2、设计系统实现方案； 3、要求占空比可调；输出电压：8V<|Vo|<15V；周期：2ms 2.2系统方案分析 迟滞比较器，是将集成运放比较器的输出电压通过反馈网络加到同相端，形成正反 馈，如图2.21（a ）所示，待比较电压I 加在反相输入端。在理想情况下，它的比较特性 如图2.11（b ）所示。由图可见，它有两个门限电压，分别称为上门限电压OH U 和下门限 电压 OL U ，两者的差值称为门限宽度。 图2.2(a ） 图2.2（b ） 设比较器输出高电平 OH U ，则 OH U 和 ref U 共同加到同相输入端的合成电压为 第十二章 量子物理学 §12.1 实物粒子的波粒二象性 一、 德布罗意物质波假设 νλ h E h P == h E P h = = νλ 二、 德布罗意物质波假设的实验证明 1、 戴维森——革未实验 2、 电子单缝实验 例1、运动速度等于300K 时均方根速率的氢原子的德布罗意波长是 1.45A 0 。质量M=1Kg ，以速率v=1cm/s 运动的小球的德布罗意波长是 6.63×10-14A 0 。（h=6.63×10-34J.s 、K=1.38×10-23J.K 、m H =1.67×10-27kg ） 解：（1） m k T v 32= 045.13A k Tm h mv h p h ==== λ （2）0191063.6A Mv h p h -?=== λ 例2、若电子的动能等于其静止能量，则其德布罗意波长是康谱 顿波长的几倍？ 解：电子的康谱顿波长为c m h e c =λ，罗意波长为p h = λ 由题知：c v c m c m E k 2 32)1(2020= ?=?=-=γγ c m h v m h p h e e 2 3 2=== γλ，故 3 1= c λλ 三、 德布罗意物质波假设的意义 四、 电子显微镜 例子、若α粒子（电量为２ｅ）在磁感应强度为Ｂ均匀磁场中沿半径为Ｒ的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是:[A] （A ）ｈ／（２ｅＲＢ） ． （B ）ｈ／（ｅＲＢ） ． （C）１／（２ｅＲＢｈ）．（D）１／（ｅＲＢｈ）．例2、如图所示，一束动量为ｐ的电子，通过缝宽为ａ的狭缝，在距离狭缝为R处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大的宽度ｄ等于:[D] （A）２ａ2／Ｒ．] （B）２ｈａ／ｐ． （C）２ｈａ／（Ｒｐ）． （D）２Ｒｈ／（ａｐ）． 课程设计名称：电子课程设计 课程设计题目：设计制作一个产生正弦波-方波-三角波函数转换器学院名称：信息工程学院 专业：班级： 学号：姓名： 评分：教师： 题目设计制作一个产生正弦波-方波-三角波函数转换器 内容及要求： 设计制作一个产生正弦波-方波-三角波函数转换器，要求实现： （1）输出波形频率范围为0.2KHz~20kHz且连续可调； （2）正弦波幅值为±2V； （3）方波幅值为2V； （4）三角波峰-峰值为2V，占空比可调； 进度安排： 1.根据任务要求，查阅相关资料，完成设计前的前期工作：2天 2.根据资料，进行方案设计并对比论证，完成参数计算：2.5天 3.领取元器件，连接电路，完成电路调试：3 4.提交报告：12周 注：1、此表一组一表二份，课程设计小组组长一份；任课教师授课时自带一份备查。 2、课程设计结束后与“课程设计小结”、“学生成绩单”一并交院教务存档。 摘要 在电子工程、通信工程、自动控制、遥测控制、测量仪器、仪表和计算机等技术领域，经常需要用到各种各样的信号波形发生器。用三角波，方波发生电路实现的信号波形发生器与其它信号波形发生器相比，其波形质量、幅度和频率稳定性等性能指标，都有了很大的提高。因此，本设计意在用LM324放大器设计一个产生正弦波-方波-三角波的函数转换器。为了使这三种波形实现转换，正弦波可以通过RC振荡电路产生。正弦波通过滞回比较器可以转换成方波，方波通过一个积分电路可以转换成三角波，三角波的占空比只要求可调即可。从而实现转换器的设计。 关键字：放大器、波形转换、同相滞回比较、电路积分电路、滤波电路 目录 前言 (1) 第一章设计要求 (2) 1.1 设计内容及要求 (2) 第二章系统组成及原理 (3) 2.1 方案一 (3) 2.2 方案二 (3) 第三章单元电路设计与计算 (5) 3.1 单元电路设计 (5) 3.1.1 正弦波发生器实验原理 (5) 3.1.2 正弦波—方波转换器实验原理 (6) 2.4 一维方势阱 本节我们要讨论一维方势阱问题。所谓一维方势阱指的是在一维空间中运动的微观粒子，其势能在一定的区间内，为一负值，而在此区间之外为零，即 00,0,(),0,0,,x U x U x a x a ≤?? =-≤≤??≥? （2.76） 其相应的势能曲线如图2.6所示 图2.6 一维方势阱 下面我们就E 大于与小于零的两种情形分别讨论如下： （1）E>0的情形。 此时，描述粒子运动状态的波函数()x φ所满足的定态薛定谔方程为 22220,l l d m E dx φφ== （2.77） 202 22()0,l m d m E U dx φφ=+= （2.78） 22220,r r d m E dx φφ== (2.79) 式中,l m φφ与r φ分别为粒子位于左方区间、势阱区间与右方区间中的波函数。 为方便起见，令 22 12022 22，()。m m k E k E U = =+ （2.80） 则上述三式可改写为 2212 0,l l d k dx φφ== (2.81) 22 22 0,m m d k dx φφ== (2.82) 2212 0,r r d k dx φφ== (2.83) 其解分别为 1 1 (),ik x ik x l x Ae A c φ-'=+ （2.84） 2 2 (),ik x ik x m x Be B c φ-'=+ （2.85） 1 1 (),ik x ik x r x Ce C c φ-'=+ （2.86） 显然，C 必须为零，利用φ及其导数的连续性条件即可求得、 A C '与A 关系为 2222 1222212122()sin ,()()ik a ik a i k k k a A A k k e k k e --'=--+ (2.87) 122122212124,()()ik a ik a ik a k k e C A k k e k k e --=--+ (2.88) 从而求得其反射系数R 与透射系数T 分别为 222 2122222222 12212()sin ,()sin 4k k k a R k k k a k k -=-+ （2.89） 22 12 222222 12212 4,()sin 4k k T k k k a k k -=-+ （2.90） 由此可见，对于方势阱而言，即使是在E>0的情形下，一般而论，其透射系数T 小于1，而反射系数R 则大于零，二者之和也是等于1。 显然，在2(1,2,)k a n n π== 的特定情形下，其透射系数T 等于1。这种透射亦叫共振透射。此时，有 22 022(),m E U a n π+= (2.91) 与之相应的能量为 222 02 ,2n E U ma π=- (2.92) E n 叫做共振能级。当阱深与阱宽一定时，透射系数T 与人射粒子能量E 的关系如图2.7所示。 图2.7 势阱的透射系数T 与入射能量的关系 当粒子能量E 与阱深一定时，有 0min 2 00 4() ,4()E E U T E E U U += ++ (2.93) 又当入射粒子能量与阱宽一定时，透射系数是阱深U 0的函数，且当满足 222 02 ()2n U n E ma π=- (2.94) 时，T =1。 （2）E<0的情形。 此时，粒子的波函数应满足的定态薛定谔方程为 22220,l l d m E dx φφ-= (2.95) 模拟电路课程设计报告设计课题:设计制作一个产生正弦波—方波—三角波函数 转换器 专业班级：电信本 学生姓名： 学号：46 指导教师： 设计时间： 01/05 设计制作一个产生正弦波－方波－锯齿波函数转换器 一、设计任务与要求 1、?输出波形频率范围为~20kHz且连续可调； 2、?正弦波幅值为±2V； 3、?方波幅值为2V； 4、?三角波峰-峰值为2V，占空比可调； 5、?分别用三个发光二极管显示三种波形输出；?? 6、用桥式整流电容滤波集成稳压块电路设计电路所需的正负直流电源（±12V）。 二、方案设计与论证 设计要求产生三种不同的波形分别为正弦波、方波、三角波。正弦波可以通过RC 桥式正弦波振荡电路产生。正弦波通过滞回比较器可以转换成方波，方波通过一个积分电路可以转换成三角波，只要调节三角波的占空比就可以得到锯齿波。各个芯片的电源可用直流电源提供。 方案一 1、直流电源部分 电路图如图1所示 图1 直流电源 2、波形产生部分 方案一： LC 正弦波振荡电路与RC 桥式正弦波振荡电路的组成原则在本质上是相似的，只是选 频网络采用LC 电路。在LC 振荡电路中，当f=f 0时，放大电路的放大倍数数值最大，而其 余频率的信号均被衰减到零；引入正反馈后，使反馈电压作为放大电路的输入电压，以维持输出电压，从而形成正弦波振荡。 方案二 1、 直流电源部分同上 2、电路图如图2所示 正、反积分时间 常数可调的积分 电路 滞回比较器 LC 正弦波振荡 电路 图2 正弦波—方波—三角波函数转换电路 方案论证 LC正弦波振荡电路特别是方案一所采取的电感反馈式振荡电路中N1与N2之间耦合紧密，振幅大；当C采用可变电容时，可以获得调节范围较宽的振荡频率，最高频率可达几十兆赫兹。由于反馈电压取自电感，对高频信号具有较大的电抗，输出电压波形中常含有高次谐波。因此，电感反馈式振荡电路常用在对波形要求不高的设备之中，如高频加热器、接受机的本机振荡电路等。另外由于LC正弦波振荡电路的振荡频率较高，所以放大电路多采用分立元件电路，必要时还应采用共基电路。因此对于器材的选择及焊接的要求提高了。 相反，RC正弦波振荡电路的振荡频率较低，一般在1MHz以下，它是以RC串并联网络为选频网络和正反馈网络，以电压串联负反馈放大电路为放大环节，具有振荡频率稳定，带负载能力强，输出电压失真小等优点，因此获得相当广泛的应用。另外对于器材的要求也不高，都是写常见的的集成块、电容、电位器等。在布局方面，简单，清晰！ 综合对比两种方案，我选择第二种方案。 三、单元电路设计与参数计算 1、直流电源 （1）、整流电路 设变压器副边电压U2=wt U sin 2 2, U 2 为其有效值。 则：输出电压的平均值 一维势垒中的透射系数 利用传递矩阵方法研究了粒子在一维势垒中运动时的粒子的透射系数,主要研究的是在一个方势垒两个方势垒中透射系数，对以上的透射系数的总结，推出了对于任意势垒中透射系数， 并讨论了透射系数、反射系数与势垒宽度的关系. 一维方势垒 势垒模型 在方势垒中，遇到的问题和 值得注意的地方。在求方势垒波 函数中，首先要知道这是一个什 么样问题，满足什么样的方程， 方程可以写成什么样的形式，在 求解方程中，波函数的形式应该 怎样需要怎样的分段，分段的过程中，特别要强调的边界条件问题。并且验证了概率流密度。 在量子力学中，粒子在势垒附近发生的现象是不一样的，能量E 大于势垒高度0u 的粒子在势垒中有一部分发生反射，而能量小于0u 的粒子也会有部分穿过势垒，这在经典力学中是不会发生的。 下面讨论的是一维散射（即在非束缚态下问题，在无穷远处波函数不趋于零）。重点讨论的是粒子通过势垒的透射和反射，重点在于求出波函数，这就必须求解薛定谔方程，由于)(x U 是与时间无关的，此处是定态薛定谔方程。 定态薛定谔方程通式： ψψψE U m =+?-2 22h 在量子力学里, 必须知道波函数ψ, 因此必须要解薛定谔方程 t i U x m ??=+??-ψ ψψh h 2222 一维散射问题是一个非束缚态问题(()U x 与时间无关, 而E 是正的).因此令 t E i e x t x h -=)(),(ψψ 由此得到 ψψψ E U dx d m =+- 2 222h 按照势能()U x 的形式, 方程(2)一般需要分成几个部分求解.将上式改写成如下形式 022 2=+ψψ k dx d ?? ?><<<=. ,0,0; 0,)(0a x x a x u x U 先讨论0u E >的情形 粒子满足薛定谔方程分解为三个区域： ?????? ???>=-<<=+-<=-a x x E x dx d m a x x E x u x dx d m x x E x dx d m ),()(20),()()(20),()(2332 2 222022 2 2112 2 2ψψψψψψψh h h （1） ???? ?????>=+<<=-+<=+a x x mE x dx d a x x u E x dx d x x mE x dx d ,0)(2)(0,0)()()(0,0)(2)(3232220222 12 122ψψψψψψh h 特征方程02=++q pr r 的两个根21,r r 方程 0=+'+''qy y p y 的通解 两个不相等的实根21r r ≠ x r x r e C e C y 2121+= 两个相等的实根21r r = x r e x C C y 1)(21+= 一对共轭复根 βαi r ±=2,1 )sin cos (21x C x C e y x ββα+= 注： 0=+''qy y 的通解:特征方程02=+q r ,当0 1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|c n |–ω和φn –ω图，并与表1-1对比。 解答：在一个周期的表达式为 00 (0)2() (0)2 T A t x t T A t ? --≤ 1-2 求正弦信号0()sin x t x ωt =的绝对均值x μ和均方根值rms x 。 解 答 ： 000 2200000 224211()d sin d sin d cos T T T T x x x x x μx t t x ωt t ωt t ωt T T T T ωT ωπ ====-==??? 2 222 00rms 000 111cos 2()d sin d d 22 T T T x x ωt x x t t x ωt t t T T T -====??? 1-3 求指数函数()(0,0)at x t Ae a t -=>≥的频谱。 解答： (2)220 2 2 (2) ()()(2) 2(2)a j f t j f t at j f t e A A a j f X f x t e dt Ae e dt A a j f a j f a f -+∞ ∞ ---∞-∞ -==== =-+++??πππππππ 2 2 ()(2) k X f a f π= + Im ()2()arctan arctan Re ()X f f f X f a ==-π? 1-5 求被截断的余弦函数0cos ωt (见图1-26)的傅里叶变换。 |c n | φn π/2 -π/2 ω ω ω0 ω0 3ω0 5ω0 3ω0 5ω0 2A/π 2A/3π 2A/5π 幅频图 相频图 周期方波复指数函数形式频谱图 2A/5π 2A/3π 2A/π -ω0 -3ω0 -5ω0 -ω0 -3ω0 -5ω0 单边指数衰减信号频谱图 f |X (f )| A /a φ(f ) f π/2 -π/2 一维方势阱中粒子的能量本征值 王雅楠 赤峰学院物理与电子信息工程学院，赤峰024000 摘要：量子力学教学中一个基本的问题是用薛定谔方程处理一维方势阱中运动的粒子， 关键词： 1 一维势场中粒子的能量本征态的一般性质 设质量为m 的粒子在一维势场()V x 中(考虑定态的情况下)的能量本征方程为 22 2 ()()()2d Vx x E x m d x ψψ??-+=???? （1） 在上式中，()()V x V x * =（实数值）；E 为能量本征；()x ψ为相应的能量本征态。 以下是该方程的解，即能量本征态的一般性质： 定理一：设()x ψ施能量本征方程（１）的一个解，对应的能量本征值为E ，则()x ψ*也是方程（１）的一个解，对应的能量也是E 。 定理二：对应于能量的某个本征值E ，总可以找到方程（１）的一组实解，凡是属于E 的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加。 定理三：设()V x 具有空间反射不变性，()()x V x V =-。如()x ψ是方程（１）的对应于能量本征值E 的解，则()x ψ-也是方程（１）的对应于能量E 的解。 定理四：设()()V x Vx -=，则对应于任何一个能量本征值E ，总可以找到方程（１）的一组解（每个解都有确定的宇称），而属于能量本征值E 的任何解，都可用它们来展开。 定理五：对于()21V V -有限的阶梯形方位势12,; (),, V x a V x V x a ?能量本征函数()x ψ及其 导数()x ψ'必定是连续的（但如果21V V -→∞，则定理不成立）。 定理六：对于一维粒子，设()1 x ψ与()2x ψ均为方程（１）的属于同一能量E 的解， 则 论文题目：一维无限深势阱简述 制作人：刘子毅（应用物理（1）） 学号：09510113 一维无限深势阱 一、引言 Hu = Eu, ,2222Eu Vu dx u d m =+- (1) 在图中Ⅰ区，-a/2 .2,22 2 22 mE k u k u mE dx u d =-=-= 设ax e u =，那么u a u n 2 =，代入上式， u k u a 22-= ik a ±= 所以 ikx ikx Be Ae u -++= kx D kx C u sin cos += （2） （2）式是Ⅰ区的通解。 2、一维无限深阱电子的基态 2 2 22 22 282n md h n md E n == π n=1、2、3…… 无量纲处理：以波尔半径2 2 00m e a ε= 里德伯2024 2ε me R y =分别为长度和能量单位 能量可化为2 1 d E π 3、数值模拟 当n=1时，1E 和d 的一组数值用计算机编程模拟如下： 设d 从0.3 3.0 include ?stdio.h ? include ?math.h ? main() { double e,d,c; int i; c=3.14,d=0.3; for(i=0;i ?10;i++) { e=c/(d*d); printf(“%lf ”，&e)； d=d+0.3;} } d 的取值利用画图软件描绘出横坐标为d ，纵坐标为E 的曲线 设d 从0.3 3.0，能量化简为：2 1d E π = 模拟如下： 第二章 一维定态问题 一 内容提要 1 几个重要的一维定态问题 [1] 一维无限深势阱 {0 ,00 )(≤≥<<∞ =x a x a x x V ,3,2,122 2 22=μπ= n a n E n ∞≥≤<<π? ??=ψx x a x a x n a x n ,000 s i n 2)( [2] 一维线性谐振子 2221)(x x V μω= ,3,2,1)2 1 (=ω +=n n E n )()(222 1 x H e N x n x n n α-=ψ [其中 ! 2n N n n πα= μω = α ] [3] 定轴转动子 I L H 2??2?= I m E n 22 2 = ),3,2,1,0(21 =π = ψ? m e im n 2 一维定态问题的性质 设)()(* x V x V = [1] 如果)(x ψ是定态S.eq 的解，那么)(x * ψ也是定态S.eq 的解。 [2] 如果)()(x V x V -= 则)(x -ψ也是定态S.eq 的解。 [3] 如果)(x V 是x 的连续函数，那么)(x ψ和)(' x ψ也是连续的； 如果)(x V 为阶梯形方势???><=a x V a x V x V 2 1)(且12V V -有限， 那么)(x ψ和)('x ψ也是连续的； 如果∞→-12V V 时，那么)(x ψ连续而)(' x ψ不连续； 二 例题讲解 1 设粒子处于一维无限深势阱中，{0 ,00 )(≤≥<<∞ =x a x a x x V ， 证明处于能量本征态)(x n ψ的粒子，)6 1(12)(2/2222 π -=-=n a x x a x 讨论 ∞→n 的情况，并与经典力学计算结果比较。 证明：2sin 2)(020 2 a dx a x n x a dx x x x a a n =π=ψ=?? )6 1(124)()(2220 22 2 2 2 2 π-=- ψ=-=-?n a a dx x x x x x x a n 经典情况下，在区域),0(a 中粒子处于dx 范围中的几率为 a dx 则 20a a dx x x a ==? 320 22a a dx x x a ==? 1243)(2222 22a a a x x x x =-=-=- 2 设粒子处于一维无限深势阱中，粒子的波函数为)()(x a Ax x -=ψ，A 为归一化常数。 [1] 求A ；[2] 粒子处于能量本征态a x n a x n π=ψsin 2)(的几率n P 。 解：[1] 由归一化条件 ?? +∞ ∞ -=-=ψa dx x a Ax dx x 0 2 2 1)]([)( 得530 a A = 所以)(30 )(5x a x a x -=ψ [2] )(x ψ用)(x n ψ展开，)()(x c x n n ψ =ψ∑ )c o s 1(15 4)()(3 3π-π =ψψ=? n n dx x x c n n 2662 ])1(1[240n n n n c P --π= = 999.0])1(1[2402 16 1≈--π =P 这表明)(x ψ与)(1x ψ的几率几乎相同。 3设粒子处于一维无限深势阱中的基态)1(=n ，设0=t 时势阱宽突然变为a 2，粒子的波 函数来不及改变，即a x a x x π= ψ=ψsin 2)()0,(1 问 [1] )0,(x ψ是否还是能量本征态？ [2] 粒子处于能量1E 的几率。 解：[1] 加宽后的一维无限深势阱的能量本征值和本征态分别是： 课程设计任务书 学生姓名：专业班级： 指导教师：工作单位： 题目：方波－三角波－正弦波函数发生器 初始条件： 具备模拟电子电路的理论知识；具备模拟电路基本电路的设计能力；具备模拟电路的基本调试手段；自选相关电子器件；可以使用实验室仪器调试。 要求完成的主要任务：（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求） 1、频率范围三段：10～100Hz，100 Hz～1KHz，1 KHz～10 KHz； 2、正弦波Uopp≈3V，三角波Uopp≈5V，方波Uopp≈14V； 3、幅度连续可调，线性失真小； 4、安装调试并完成符合学校要求的设计说明书 时间安排： 一周，其中3天硬件设计，2天硬件调试 指导教师签名：年月日 系主任（或责任教师）签名：年月日 目录 1.概论 (1) 1.1 (1) 2.方案设计与论证 (3) 2.1 (3) 3.单元电路设计 (9) 3.1方波发生电路的工作原理 (9) 3.2三角波正弦波电路的工作原理 (10) 3.3电路参数选择及计算 (6) 3.4.正负12V直流稳压电源的设计 (7) 3.5总电路图 (8) 4.电路仿真 (11) 4.1方波三角波发生电路 (11) 4.2三角波正弦波发生电路 (11) 5.实物制作 (12) 5.1焊接原理 (12) 5.2焊接工具及材料 (12) 5.3焊接方法及步骤 (13) 5.4电路板实物图 (14) 6.性能参数...................................................... 7.数据分析 (16) 8.实验总结 (21) 9.参考书 (22) 10.附录 (23) 附录1：原件清单 (22) 附录2：原理图 (22) 附录3：本科生课程设计成绩测定表 (24) ５５ §2.6一维无限深势阱（Potential Well ）(理想模型) 重点：一维无限深势阱中粒子运动的求解 难点：对结果的理解 实际模型：金属中电子的运动，不计电子间的相互碰撞，也不考虑周期排列的金属离子对它们的作用。 一、写出本征问题 势场为：? ??≥∞<=a x ,a x ,0)x (U 区域I（阱内，a x <）方程为： )x (E )x (dx d 2I I 2 2 2ψ=ψμ?h (1) 区域II、III（阱外，a x ≥）方程为： )x (E )x ()U dx d 2()III (II )III (II 022 2ψ=ψ+μ?h (2) 其中∞=0U 。 波函数的边界条件是：)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I ?ψ=?ψ (3) 二、求解本征方程 我们令2E 2h μ=α， 20)E U (2'h ?μ=α (4) 则：)x (E )x (dx d 2I I 2 2 2ψ=ψμ?h 的解为: x i x i I Be Ae )x (αα?+=ψ a x < (5) ５６ )x (E )x ()U dx d 2()III (II )III (II 022 2ψ=ψ+μ?h 的解为: x 'x 'II e 'B e 'A )x (αα?+=ψ a x ≥ (6) x 'x 'III e ''B e ''A )x (αα?+=ψ a x ?≤ (7) 由(6)-(7)式和波函数的有限性知: 0'B ,0''A ==，即： x 'II e 'A )x (α?=ψ a x ≥ x 'III e ''B )x (α=ψ a x ?≤ 又由于∞=0U ，则：∞=?μ=α20) E U ( 2'h 于是：0)x ()x (III II =ψ=ψ (8) 而)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I ?ψ=?ψ；x i x i I Be Ae )x (αα?+=ψ 则：???=+=+α?ααα?0Be Ae 0 Be Ae a i a i a i a i (9) 于是A、B 不能全为零的充分必要条件为： 0e e e e a i a i a i a i =α?ααα?， 即：0)a 2sin(=α 解之得：a 2n π =α，,....2,1,0n ±±= (10) 将其代入到???=+=+α?ααα?0Be Ae 0Be Ae a i a i a i a i ，得：0Be Ae 2 /in 2/in =+ππ? 即:B )1(A 1n +?= 代入x i x i I Be Ae )x (αα?+=ψ中，得： 设计制作一个产生正弦波方波三角波函数转换 器 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】 模拟电路课程设计报告设计课题:设计制作一个产生正弦波—方波—三角波 函数转换器 专业班级：电信本 学生姓名： 学号：46 指导教师： 设计时间： 01/05 设计制作一个产生正弦波－方波－锯齿波函数转换器 一、设计任务与要求 1、输出波形频率范围为~20kHz且连续可调； 2、正弦波幅值为±2V； 3、方波幅值为2V； 4、三角波峰-峰值为2V，占空比可调； 5、分别用三个发光二极管显示三种波形输出； 6、用桥式整流电容滤波集成稳压块电路设计电路所需的正负直流电源（±12V）。 二、方案设计与论证 设计要求产生三种不同的波形分别为正弦波、方波、三角波。正弦波可以通过RC 桥式正弦波振荡电路产生。正弦波通过滞回比较器可以转换成方波，方波通过一个积分电路可以转换成三角波，只要调节三角波的占空比就可以得到锯齿波。各个芯片的电源可用直流电源提供。 方案一 1、直流电源部分 电路图如图1所示 图1 直流电源 2、波形产生部分 方案一： LC 正弦波振荡电路与RC 桥式正弦波振荡电路的组成原则在本质上是相似的，只是选频网络采用LC 电路。在LC 振荡电路中，当f=f 0时，放大电路的放大倍数数值最大，而其余频率的信号均被衰减到零；引入正反馈后，使反馈电压作为放大电路的输入电压，以维持输出电压，从而形成正弦波振荡。 方案二 1、 直流电源部分同上 2、电路图如图2所示 图2 正弦波—方波—三角波函数转换电路 方案论证 LC 正弦波振荡电路特别是方案一所采取的电感反馈式振荡电路中N1与N2之间耦合紧密，振幅大；当C 采用可变电容时，可以获得调节范围较宽的振荡频率，最高频率可达几十兆赫兹。由于反馈电压取自电感，对高频信号具有较 正、反积分时间 常数可调的积分电路 滞回比较器 LC 正弦波振荡电路 18_08 势阱中的粒子 势垒 谐振子 1 一维无限深势阱中的粒子 势阱模型 —— 微观粒子的运动限制在一维无限深势阱中，如图XCH005_023所示 —— 金属中的电子逸出金属表面需要一定能量，电子的运动被限制在以金属块表面为边界的无限深势阱中 —— 质子在原子核中的势能也是势阱 粒子沿X 轴作一维运动，势能函数 ()00()0,U x x a U x x x a =< —— 量子数为n 的定态波函数 ()sin n n n x A x a πψ= 由归一化条件 2 22 ()sin 1n n x dx A xdx a πψ+∞ +∞ -∞ -∞ = =?? —— 2 n A a = 粒子波函数：0 0,()2sin 0n x x a x n x x a a a ψπ ≤≥?? =?< 近代物理第五周学习内容第17讲一维无限深方势阱中的粒子第18讲一维方势垒势垒贯穿 第19讲简谐振子 第20讲氢原子 第21讲电子自旋 )()()()(r E r r U r m ψψψ=+?-22 2定态薛定谔方程 2 2 22 22 2 z y x ??+??+??=? 定态薛定谔方程的应用 定态条件：U = U (x ，y ，z )不随时间变化。 (1) 一维自由运动微观粒子 U = 0 (2) 一维无限深势阱中粒子 (3) 谐振子 2 22 22x m kx x U ω==)((4) 氢原子 r e r U 02 π4ε- =)(?? ?≥≤∞<<=a x x a x x U 0 0 0，)( 结论 一维无限深方势阱中粒子 氢原子 (1) 能量量子化 谐振子 )( 2 1 0 21，，，=??? ??+=n h n E n ν)()( 3 2 1 eV 6 .132 ，，，=-=n n E n )( 3 2 1 2π2 2 22，，，==n n ma E n 一维无限深方势阱中粒子 谐振子 氢原子 E a x E 1 n = 1 4E 1 n = 2 9E 1 n = 3 0 E n (eV ) r -13.6 -3.4 -1.5 E 0 E 4 E 3 E 1 E 2 ω E 2 ω (2) 能级分布图 (3)一维无限深方势阱中的粒子的定态物质波相当 于两端固定的弦中的驻波，因而势阱宽度a 必须等于德布罗意波的半波长的整数倍。 λ n n= a 2 (4)能级跃迁 从基态跃迁到激发态时，所需能量称为激发能。 §3.2.1 无限深方势井，离散谱 一、量子阱 量子力学教学中一个基本的问题是用薛定谔方程处理一 维方势阱中运动的粒子，量子阱一词因此经常出现在教科书 中。它是指图1 所示的一种理想的势能位形，当电子处在这 样的一个势能的阱中时，其能量将产生量子化，即只可取一些 分立的值，相应于这样的一些能量值E1,E2,E3,﹒﹒﹒的波函数的形状也将不相同。 图1 二、一维无限方势阱 本节将以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果。 粒子在势阱内势能为零，在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力, 称为一维无限深方势阱。 ①势函数: ②定态薛定谔方程: 阱外： 阱内： ③分区求通解： Ⅰ阱外：因为势壁无限高，从物理上考虑，粒子不能透过阱壁。按照波函数的统计诠释，要求在阱壁上及阱壁外波函数为0。 即： Ⅱ阱内： 令： 将方程写成： 通解： 00 () x a U x x a ? ④由波函数合格条件和边界条件定特解 通解是 ⅰ 在x=0处，波函数要连续，即 ⅱ 在x=a 处，波函数要连续，即 A 已经为零了， B 不能再为零了。即 只能 sin(ka)等于零。 要求 故能量可能值为 ⅲ 由波函数的归一性质定常数B kx B kx A x sin cos )(+=Φ2(0)(0)0Φ=Φ=0 =?A ()sin x B kx ?Φ=2()()0a a Φ=Φ=0si n =?ka B 0≠B )0(π≠=k n ka ),3,2,1(π ==n a n k 222 n mE k ＝222πa n =),3,2,1(2π2222 ==n n ma E n 1=ΦΦ?x x x a d )()(*01sin 0 22=??a x kx B d第十二章-量子物理学
-正弦波-方波-三角波函数转换器
一维方势阱
设计制作一个产生正弦波—方波—三角波函数转换器
一维势垒问题总结
求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形
一维方势阱中粒子的能量本征值
一维无限深势阱 (2)
第二章 一维定态问题
方波三角波正弦波函数发生器报告
量子力学 一维无限深势阱
设计制作一个产生正弦波方波三角波函数转换器
18_08_势阱中的粒子 势垒 谐振子
第17讲 一维无限深方势阱中的粒子
方势阱