【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修4：第一章+三角函数+单元同步测试(含解析)

第一章测试

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列说法中，正确的是( ) A ．第二象限的角是钝角

B ．第三象限的角必大于第二象限的角

C ．－831°是第二象限角

D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角

解析 A 、B 均错，－831°＝－720°－111°是第三象限的角，C 错，∴选D.

答案 D

2．若点(a,9)在函数y ＝3x

的图象上，则tan a π

6的值为( )

A ．0 B.33 C ．1

D. 3

解析 由题意，得3a ＝9，得a ＝2，∴tan a π6＝tan 2π6＝tan π

3＝ 3. 答案 D

3．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ

2的终边在( ) A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上

解析 由题意知，cos θ≥0，tan θ≤0，所以θ在x 轴上或在第四象限，故θ

2在第二、四象限或在x 轴上．

答案 D

4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( )

A ．T ＝2，θ＝π

2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π

2

解析 由题意知T ＝2ππ＝2，又当x ＝2时，有2π＋θ＝2k π＋π

2(k ∈Z )，∴θ＝π

2.

答案 A

5．若sin ? ??

??π2－x ＝－32，且π

3π B.7

6π C.53π

D.116π

解析 sin ? ??

??π2－x ＝cos x ＝－3

2，

又x ∈(π，2π)，∴x ＝7π

6. 答案 B

6．已知a 是实数，而函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )

解析 三角函数的周期为T ＝2π

|a |，当振幅大于1时，

∵|a |>1，∴T <2π.∵D 的振幅大于1，但周期反而大于2π，∴D 不符合要求．

答案 D

7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y ＝sin ? ?

?

??x －π6的图象，则φ＝( )

A.π6

B.5π6

C.7π6

D.11π6

解析 当φ＝11π

6时，则y ＝sin ? ????x ＋11π6

＝sin ? ????x ＋2π－π6＝sin ? ?

???x －π6.

答案 D

8．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θsin θ＋2cos θ的值为( )

A ．0

B ．1 C.34

D.54

解析 ∵tan θ＝2，∴2sin θ－cos θsin θ＋2cos θ＝2tan θ－1tan θ＋2＝2×2－12＋2

＝3

4.

答案 C

9．函数f (x )＝tan x

1＋cos x 的奇偶性是( )

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．既不是奇函数也不是偶函数 解析

要使f (x )有意义，必须使??

?

x ≠k π＋π2，

1＋cos x ≠0，

即

x ≠k π＋π

2，且x ≠(2k ＋1)π(k ∈Z )， ∴函数f (x )的定义域关于原点对称．

又∵f (－x )＝tan (－x )1＋cos (－x )＝－tan x

1＋cos x ＝－f (x )，

∴f (x )＝tan x

1＋cos x 是奇函数．

答案 A

10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点

解析 在同一坐标系里分别作出y ＝x 和y ＝cos x 的图象易知，f (x )＝0有且仅有一个零点．

答案 B

11．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg 1

1－cos A ＝n ，则lgsin A

的值是( )

A ．m ＋1

n B ．m －n C.12? ??

??m ＋1n D.1

2(m －n )

解析 ∵m －n ＝lg(1＋cos A )－lg 1

1－cos A

＝lg(1＋cos A )＋lg(1－cos A )

＝lg(1＋cos A )(1－cos A )＝lgsin 2A ＝2lgsin A ， ∴lgsin A ＝1

2(m －n )，故选D. 答案 D

12．函数f (x )＝3sin ? ????2x －π3的图象为C ， ①图象C 关于直线x ＝11

12π对称；

②函数f (x )在区间? ??

??

－π12，5π12内是增函数；

③由y ＝3sin2x 的图象向右平移π

3个单位长度可以得到图象C ，其中正确命题的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析 ①把x ＝11

12π代入f (x )知， f ? ????1112π＝3sin ? ??

??2×11π12－π3＝3sin 3π

2＝－3.

∴x ＝11

12π是函数f (x )的对称轴，∴①正确． ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π

2，得增区间为

??????k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．令k ＝0得增区间??????

－π12，5π12，∴②正

确．

③依题意知y ＝3sin2? ????x －π3＝3sin ? ?

???2x －2π3， ∴③不正确．应选C. 答案 C

二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)

13．已知sin ?

??

??α＋π2＝13，α∈?

??

??

－π2，0，则tan α＝________.

解析 sin ? ????α＋π2＝cos α＝13，∵α∈? ????－π2，0，∴sin α＝－22

3，∴

tan α＝sin α

cos α＝－2 2.

答案 －2 2

14．函数y ＝3cos x (0≤x ≤π)的图象与直线y ＝－3及y 轴围成的图形的面积为________．

解析 如图，由于y ＝3cos x (0≤x ≤π)的图象关于点? ????π2，0对称，所以区域(Ⅰ)与区域(Ⅱ)也关于点? ??

??

π2，0成中心对称图形，故区域(Ⅰ)的面积为矩形ABCD 的面积的一半，即1

2×π×6＝3π.

答案 3π

15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.

解析 由图知，T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4

3π. 又T ＝2πω＝43π，∴ω＝32. 答案 32

16．给出下列命题：

①函数y ＝cos ? ????23x ＋π2是奇函数； ②存在实数x ，使sin x ＋cos x ＝2；

③若α，β是第一象限角且α<β，则tan α

8是函数y ＝sin ? ??

??2x ＋5π4的一条对称轴；

⑤函数y ＝sin ? ????2x ＋π3的图象关于点? ????

π12，0成中心对称．

其中正确命题的序号为__________． 解析 ①y ＝cos ? ??

??23x ＋π2＝－sin 2

3x 是奇函数．

②因为sin x ，cos x 不能同时取最大值1，所以不存在实数x 使sin x

＋cos x ＝2成立．

③α＝π3，β＝13π6，则tan α＝3，tan β＝tan ? ????2π＋π6＝tan π6＝33，tan α>tan β，∴③不成立．

④把x ＝π

8代入函数y ＝sin ? ????2x ＋5π4，得y ＝－1. ∴x ＝π

8是函数图象的一条对称轴．

⑤因为y ＝sin ? ????2x ＋π3图象的对称中心在图象上，而? ????π12，0不在图象上，所以⑤不成立．

答案 ①④

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin (π－α)＋5cos (2π－α)

2sin ? ??

??

3π2－α－sin (－α)

的值．

解 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)， ∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)． ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)． ∴sin α＝－2cos α. 可知cos α≠0.

∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α

＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α

＝－34. 18．(12分)在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2

2，求tan A 的值．

解 ∵sin A ＋cos A ＝2

2，① 两边平方，得2sin A cos A ＝－1

2，

从而知cos A <0，∴∠A ∈?

??

??

π2，π.

∴sin A －cos A ＝ (sin A ＋cos A )2－4sin A cos A

＝

12＋1＝62.②

由①②，得sin A ＝6＋24，cos A ＝－6＋2

4， ∴tan A ＝sin A

cos A ＝－2－ 3.

19．(12分)已知f (x )＝sin ?

?

?

??2x ＋π6＋32，x ∈R .

(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调减区间；

(3)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin2x (x ∈R )的图象经过怎样变换得到？

解 (1)T ＝2π

2＝π.

(2)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π

2，k ∈Z ， 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π

3，k ∈Z . 所以所求的单调减区间为 ?

??

???k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．

(3)把y ＝sin2x 的图象上所有点向左平移π12个单位，再向上平移32

个单位，即得函数f (x )＝sin ? ??

??2x ＋π6＋32的图象． 20．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象过点

P ? ????π12，0，图象与P 点最近的一个最高点坐标为? ??

??

π3，5. (1)求函数解析式；

(2)求函数的最大值，并写出相应的x 的值； (3)求使y ≤0时，x 的取值范围． 解 (1)由题意知T 4＝π3－π12＝π

4，∴T ＝π.

∴ω＝2πT ＝2，由ω·π12＋φ＝0，得φ＝－π6，又A ＝5， ∴y ＝5sin ?

?

?

??2x －π6.

(2)函数的最大值为5，此时2x －π6＝2k π＋π

2(k ∈Z )． ∴x ＝k π＋π

3(k ∈Z )． (3)∵5sin ? ??

??2x －π6≤0， ∴2k π－π≤2x －π

6≤2k π(k ∈Z )． ∴k π－5π12≤x ≤k π＋π

12(k ∈Z )．

21．(12分)已知cos ? ????π2－α＝2cos ? ????32π＋β，3sin ? ????

3π2－α

＝－2sin ? ????

π2＋β，且0<α<π，0<β<π，求α，β的值．

解 cos ? ????π2－α＝2cos ? ??

??

32π＋β，即sin α＝2sin β①

3sin ? ????32π－α＝－2sin ? ??

??π2＋β，即3cos α＝2cos β② ①2＋②2得 2＝sin 2α＋3cos 2α. 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2

α＝12.∴cos α＝±22.

又∵α∈(0，π)，∴α＝π4，或α＝3

4π.

(1)当α＝π4时，cos α＝22，cos β＝32cos α＝3

2，

又β∈(0，π)，∴β＝π

6. (2)当α＝3π4时，cos α＝－2

2， cos β＝32cos α＝－3

2，

又β∈(0，π)，∴β＝5π

6.

综上，α＝π4，β＝π6，或α＝3π4，β＝5π

6.

22．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ

∈? ??

??－π2，π2. (1)当θ＝－π

6时，求函数的最大值和最小值；

(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数)．

解 (1)当θ＝－π

6时，

f (x )＝x 2

－233x －1＝?

????x －332－4

3.

∵x ∈[－1，3]，

∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－4

3， 当x ＝－1时，f (x )的最大值为23

3.

(2)f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数．它的图象的对称轴为x ＝－tan θ.

∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，

∴－tan θ≤－1，或－tan θ≥3，即tan θ≥1，或tan θ≤－ 3.

∵θ∈? ??

??－π2，π2，

∴θ的取值范围是?

????－π

2，－π3∪??????π4，π2.