2010年全国数学建模A题答案

储油罐的变位识别与罐容表标定

摘要

加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，需要采用流量计和油位计来测

量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。但是许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。需要定期对罐容表进行重新标定。在求解过程中，我们对于罐体无变位、罐体产生纵向变位、罐体在水平和纵向都产生变位三种情况，利用解析几何的方式计算出体积与变位参数之间的关系，同时应用契比雪夫多项式对体积值进行近似多项式展开用以对标高和出油量的关系进行拟合表示，得到较为满意的效果。

第一问、(1)针对无变位情况，我们计算得到椭圆油罐容积表达式为：

abl v b h v b h v b h V ??????-+---+=arcsin )(12

2'

π椭，利用契比雪夫多项式方法在提高拟合精

度的前提下用5阶多项式拟合处标高和容量之间的函数关系；(2)对于纵向变位的情况，当椭圆型罐体发生变位纵向变位角度O =1.4α时,我们利用体积等效思想，讲上述罐内不规则油量容积的计算转为(1)中规则油容进行计算，利用附件

(1)中数据利用最小二乘拟合方法算出油位高度的真实值，继而利用拟合多项式：

408.5976

-H 395.774852.5322H -13.2498H 1.1361H - 0.0320H 2345++=椭变V 进行间隔为1cm 的此罐容表进行标定，得出的表标定值如下：

1cm 2cm 3cm 4cm ??? 118cm 119cm 120cm

0L 0L 0L 0L ??? 4017.26L 4050.08L 4082.80L

第二问、(1)利用第一问中等体积的思想，我们同样可以对纵向倾斜角度α和横向倾斜角度β时进行数学模型的建立。(2)在模型的建立过程中得到一个关于浮游子高度H 和偏转角α、β以及等效高度h 之间的一个表达式，从而利用

最小二乘拟合确定变位参数α、β。(3)利用已给数据求得表达式： ααηtan 2tan 10++-=+h R z ，

继而再次利用拟合拟合多项式得出间隔为10cm 值： 10cm 20cm 30cm ??? 280cm 290cm 300cm 1352.17

2223.85

3082.13

???

60303.88

60690.98

61807.31

利用附表（2）中的数据进而进行模型正确性与可靠性的检验。

关键词：储油罐 罐容表 变位 契比雪夫公式 等效高度 最小二乘拟合

加油站一般都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且也都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。储油罐的主体为圆柱体，两端为球冠体。

用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用的小椭圆型储油罐（两端

α的纵向变位两种情况平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 1.4

=

做了实验，实验数据已给出。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（已给出），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用已给出的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。

二、问题的分析

综述，该题要解决的问题是储油罐的变位识别和罐容表的标定。显然这是几何求解的应用问题。可以通过所学过知识求解。

对于问题一，题目中给出一个小椭圆型的平头油罐的模型和纵向的倾斜角的值，并且也给出了对这个罐体无变位和有纵向变位两种情况的实验数据，所以我们可以把这个问题分成两部分来解决，首先解决当罐体无变位时罐中储油量与油液面高度的关系，其次解决当罐体发生倾斜时罐体中油的储油量随油液面高度的变化。然后对这两种情况求出的结果进行比较，判断出油罐变位后对罐容表的影响。最后重新确定变位后罐容表的标定值。分析发现当油罐无变位时，问题比较好解决，我们可以利用积分的方法求出罐中的储油量和油液面高度的关系。当油罐变位时，首先要选好坐标系，确定倾斜后液面高度是怎样变化的。也是通过积分的方法进行求解，但是我们也可以寻找一点，可以把它等效成无变位的情况去解决。

对于问题二，给的是一个实际储油罐，其主体为圆柱体，两端为球冠体。该问题主要是要解决罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。对这个问题可以看成两部分求解。首先也是要选好坐标系，确定好油面高度和变为参数的关系，分别求解主体圆柱体和两端球冠体中的储油量和油位高度的关系。建立出一定的数学模型，然后通过题目给出的数据，确定数据的可用性求出模型中的变位参数。最后通过误差分析检验模型的正确性和方法的可靠性。

1、忽略油罐中温度，压强对储油量的影响；

2、假设油罐的形状是规则的；

3、假设储容表的读数是无读数上的技术误差；

4、假设油罐变位的角度不会太大；

5、假设罐中的油分布均匀；

6、假设油罐不会因为出油的变化而发生位置变化；

四、模型的建立与求解

Ⅰ问题一：

对于本问题，首先可以把它分解成两个问题来考虑，第一个问题是确定小椭圆型储油罐没有变位时储油量与油面高度的关系，利用解析几何的方法确定标高和油量之间的关系。第二个问题确定油体容量和标高及变位角之间的关系，利用等效体积替换的思想把它转化为上一问中未变位的问题进行求解。同时我们分析发现变位数据的油高不是真实值，所以考虑利用已有读数寻求真值。依据上述思想分别对这两个小问题建立合理的模型。

㈠ 无变位时：

小椭圆型储油罐的横截面很明显是一个标准的椭圆，首先建立合适的坐标系，并且椭圆的图形如图1:

图（1） 1、符号声明： a---------------------椭圆罐横截椭圆面的半长轴

b---------------------椭圆罐横截椭圆面的半长轴 h---------------------无变位椭圆油罐中的油位高度

面积无变位时椭圆的横切面椭-------------S

l ---------------------小椭圆油罐的母线长 2R -----------------------方差和

xx 0 h

2b

a

根据模型得出的数据---------------i V

实测数据---------------i V ? 2、模型建立： 椭圆的方程为：

1)(22

22=-+b b y a x ------------------------------ -- (1)

式中： a-----------------椭圆罐横截椭圆面的半长轴且为0.89米

b-----------------椭圆罐横截椭圆面的半长轴且为0.6米

油面高度为h 时，储油罐横截面的面积可求得为：

()dy b y b b

a S h ?--=

2

2'2椭 ---------------------（2） 式中：

h---------------无变位椭圆油罐中的油位高度； 可推导得：

ab b b h b b h b b h s ????????-+??? ??---+=arcsin 122

'

椭π------------

（3） 我们可以设b

b

h t -=

，由b h 20≤≤可以得：11≤≤-t 可求得小椭圆油罐未变位时储油量随液面高度的变化为：

abl t t t V ??

????+-+=

arcsin 122

'

π椭 -----------------------（4）

式中：

l ---------------------小椭圆油罐的母线长且为2.45米；

在求解时我们可以利用最佳平方逼近多项式（即契比雪夫多项式,），求出储油量的近似值。根据公式（1）我们可以准确的计算出储油量，但是公式里有反三角函数没有多项式计算方便，所以我们用多项式逼近方法解决此问题。（具体理论证明见附录二）

求得 ：

abl t t t V ??

????+-+=arcsin 122

'

π椭------------------------（5）

()()abl t T a t T a n n n ??

?

???++=∑∞=100212π

当k=1时， 求得'

椭V 近似是一个2阶的多项式，当k=2时，求得的'

椭V 近似

是一个五阶的多项式。由于拟合时考虑的误差，选择五阶多项式拟合效果较好，所以我们用当k=2时的五阶契比雪夫多项式逼近'

椭V

'

椭V ()abl x x x ??

????--+≈5348806151575162ππ---------------（6）

由于储油罐的形状以及温度压强的关系这里的系数不太准确，我们可以根据

题目（附件1中变位进油量数据）给出的累加进油量和油位高度的数据进行拟合。

用MATLAB 软件拟合后得到的结果是:

3.9321-99.4693h 76.1928h 9.2692h - 0.6284h -0.0209h h V 23 45'

+++=）（椭

对该模型进行误差分析（误差分析的数据源：附件1位变位出油量数据）：将数据代入到上述5阶拟合多项式中与已知油量数据对比验证： 验证数据方差和2R 为：

()

1.0517?

111

2

2

=--=∑=n i i i V V n S ---------------（7）

()

()

1?11

2

1

2

2

≈---

=∑∑==n

i i i

n

i i

i

V V

V V R ----------------------（8）

由以上可知拟合的效果比较好。

㈡、有变位时：

椭圆油罐有纵向倾斜且倾斜角 1.4=α，选定的坐标系及有关参数如图2所示。分析发现变位后油高数据由于变位后产生影响，而油量数据我们认为是真实的，因此首先利用几何关系求出油量容积的解析表达式，利用最小二乘逼近的方法求出真实反映油量的油高读数。然后利用拟合的方法建立油高和油量的模型，从而解决标高问题。

图（2）

1、 符号说明：

---------2S 标准差

α-------------纵向倾角

H -------------变位后液面在Y 坐标轴上的分量

图中：

c=0.4m, d=2.05m;

设浮标的距离罐底的距离为f h ，可以知道浮标的坐标为(c,f h ） 直线AB 的斜率为αtan - ，所以可求得AB 的直线方程为： L2: ααtan tan c h x y

f ++?-= ---------------------（9）

显然油液面的高度随横坐标x 的变化为： ααtan tan ?++?-=c h x H

f -----------------------（10）

此时储油罐横截面的面积为： dy b y b b

S H

?

--=0

22)(a 2椭

---------------------------------（11）

ab b b H b b H b b H ???

?????-+???

??---+=arcsin

122π 所以变位时小椭油罐中油容量与油位高度的关系是：

?

=

l

dx S V 0

椭椭 --------------------------------------------（12）

根据公式（2）我们可以准确的计算出不同油位高的储油量，但是，公式中

还有反三角函数和开根号，我们计算起来很不方便，所以我们可以寻找一点做体积上的等效转换仿效上一问的方法。我们设那一点为Q ，那么它的坐标可设为

y L2: x

0 水平线

Q

c

d

ξ

()'

,H ξ，见图(2)。

并且该点Q 也在直线l1上，根据l1的直线方程可以求得'H 为： αξαtan tan '

?++?-=c h H

f ------------------（13）

对于一个固定外壳的容器，其中装定量体积的液体，无论如何对容器发生偏

转，其液体的体积始终是一个固定值。根据等效的原理可以肯定点Q 可以把楔状油形体积转化为标准的椭圆柱的体积，并且此时的油位高度为'H 。所以这样就可以转化成没变位的情况去解决问题。得到转化后的椭圆面积为： dy b y b b a S

H ?--=

'

22'

1

)(2椭 --------------------（14）

=ab b b H b b H b b H ???

?????-+???? ??---+'

2''arcsin 12π 可以求得体积为：

abl b b H b b H b b H V ???

?????-+???? ??---+='

2'''

1arcsin 12π椭---（15）

我们可以设b

b

H t -=''

得到：

abl t t t V ??

?

???+-+='2'''

1

arcsin 12π椭 -----------------（16）

得到的体积公式的形式和未变位时得到的公式形式相似，所以我们同样可以 利用契比雪夫多项式来近似地求解储容量与油位高度的关系。 求得：

(

)abl t t t V ??

??

??--+≈53'

'48'80'6151575

162ππ椭 -------------（17）

题目中附录的高度是变位后的读数，为了求'H ，我们可以用最小二乘法

()

2

1'

min ∑=-n

i i

V V 椭

算出ξ的值。

讲求出来的ξ带入'H 中可以得到真实等价的油位高度'H ，我们用这个真实等价的油位高度'H 和题目给出的累加进油量的数据进行5阶多项式拟合，求得的椭变V 近似的为：

408.5976

-H 395.774852.5322H -13.2498H 1.1361H - 0.0320H 2

345++=椭变V 对这个模型进行误差分析根据上面的公式求得： 标准差为： 1602.22=S R 检验 12≈R

可见拟合的效果很好，符合要求。

然后根据这个模型就可以算出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值如下(详细结果见附录)：

1cm 2cm 3cm 4cm ???

118cm 119cm 120cm

0L 0L 0L 0L ??? 4017.26L 4050.08L 4082.80L

利用附件1中的有变位的出油数据分别带入上述两个模型中，做出的图如下： 从图中可以看出，当油位高度一样时变位后的油罐中储油量的值比没变位的储油量低。说明罐容表实际的读数比理论的要偏大。

图（3）

问题二

该问题是问题一的变形，是研究实际储油罐变位后储容量与油位高度之间的关系，储油罐的变位是横向和纵向都有一定的偏角，并且储油罐两端不是平头而是球冠体，首先建立合适的坐标系，并且要设定一定的参数，如图（4）:

（1）符号声明：

f h ------------------------实际测量的油位高度 β --------------------------储油罐横向偏转角度

R ----------------------------------------圆柱截面的半径 r --------------------------球缺的半径

b(1m) ---------------------- 球缺的顶高

柱V ---------------------------柱体的体积

储油罐的中油的体积为：

冠柱V +=V V ------------------------- （18） （一）、对储油罐圆柱体部分的计算

如图在XOZ 坐标面内，Z 轴方向的水深为

R h

h z x

y

水平线 图（4）

R R h h f +-=βcos )(1 ---------------------------（19） 式中 ： f h ------------------------- 实际测量的油位高度 β ------------------------- 储油罐横向偏转角度 R ----------------------------------------- 圆柱截面的半径 浮游子在ZOY 面投影的点的坐标为（2，f h -R ）；

ZOY 坐标面与油液面的交线2l 的斜率为αtan -，将浮游子在ZOY 坐标面投影的点的坐标带入2l 的方程得

()2tan 1--=+-y R h z α --------------------------(20) 即求得2l 的方程得：

ααtan 2tan 1+-+?-=R h y z

对于这个计算我们也可以寻找一个点P ()0,z η，使得0z +R 变为没有变位时油面的高度，即

ααηtan 2tan 10+-+-=R h z 在YOZ 平面内截圆柱的方程为 222R y z =+ 它的截面积为 dz z R S z R

?

--=0222 ----------------------------(21)

z

β

1h

x

图（5）

2

000arctan 122R R z R z R z ???

? ??+-+=π

'

S l V =柱l R R z R z R z 2

000arctan 122???

? ??+-+=π------------------（22） 由第一问可知它可以用5次多项式近似代换。

（二）、对储油罐两段球缺部分的计算

由球的关系有：

()2

2

2

2??

?

??=--R b r r --------------------------------(23)

式中 ：

r ----------------- 球缺的半径 b(1m) ----------------- 球缺的顶高

解得 r=1.625m

在XOZ 截面内用平面z=0z 截到一个平面 面积为： dy y z r S z r b

r z ?----=2

22222 - ------------------(24)

另22y r p -=

有dy y p S p b

r z ?

--=

22

=()b r p b r p b r p p +-----?22221

arcsin 242π

dz S V z z ?

=

5

.1-球

()?-???

? ??+-----?=0

5.12

2221arcsin 242z dz b r p b r p b r p p π --------(25) 这样储油罐的体积就可以表示为： 球柱V +=V V

-------------------(26)

V 也可以用多项式拟合，不过不能直接用附录里的数据，哪里的体积是不准

确的，它是没有考虑变位时对体积的影响，我们就用第一个体积，把它作为储油罐的初始体积，分别用当前行的体积减去下一行的出油量，这样我们认为此时的

体积即为实际体积，同第一问中问题二的解决方法一样通过最小二乘法计算出

βα和： 求得： 7.2=α 6.3=β

然后反向应用拟合出5次多项式，即：

5423324150a h a h a h a h a h a V +++++=实

---------------(27)

800.8409 479.2440h 178.2758h 6.3084h -0.1206h 0.0015h - 2345++++=

对这个模型进行误差分析求得： 标准差为： 8848.02=S R 检验 12≈R

符合要求，然后根据这个模型就可以算出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值如下：

显示油高/cm 显示油量容积/L 显示油高/cm

显示油量容积

/L

10 1352.17 160 31568.85 20 2223.85 170 33378.42 30 3082.13 180 36168.99 40 3195.81 190 36925.2 50 4936.02 200 40631.3 60 6876.07 210 44270.94 70 8991.21 220 46826.99 80 11258.52 230 49281.36 90 13656.67 240 50614.79 100 16165.76 250 52806.71 110 17767.13 260 55835.04 120 20443.18 270 59675.99 130 23177.17 280 60303.88 140 25953.09 290 60690.98 150 28755.38 300 61807.31

五、模型评价

地下储油罐的使用在现实中是比较常见的一种应用方式，而且出现罐体的偏转也是正常现象，所以我们建立的模型在一定程度上是可以解决一些社会现实问题的，具有一定的实用性。

本模型在适当的假设下，找到适当的角度，运用数据拟合的思想，建立数学模型，使用问题得以求解。在模型的建立过程中，我们用Matlab语言对所给的

数据进行拟合，得出偏转角测量高度H、实际高度h、α和β与罐体中的油量的

体积关系。从而求解出题目中的各个问题的答案。

以上我们所建立的数学模型，能比较好的解决题目中的要求，但我们的模型是建立在一定的条件下的，对于实际问题具有一定的局限性，不太能直接应用于现实。

参考文献

[1]、李岳生,黄友谦. 数值逼近,北京:人民教育出版社:281～283，1978

[2]、樊映川等编. 高等数学讲义下册,北京:高等教育出版社,1993 :62.

[3]、袁亚湘，非线性优化计算方法，北京，科学出版社：100～120，2008

[4]、张志涌，等编著，Matlab 教程，北京航天航空大学出版社,2004.

吉林农业大学信息技术学院 2008级李宪鹏王红全周道来