初中数学竞赛几何类比与猜想、想象与操作思维能力训练..
第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训（八）
【备注】
一、考察的思维品质
考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。 二、考察的思维能力
1．发散性思维能力：直觉思维——数学直觉和数学灵感；形象思维——数学表象和数学想象。
2．收敛性思维能力：逻辑思维——形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。
3、面临两个个体，其中一个性质清楚，另一个有待认识，于是对这两个对象进行比较，通过两个个体中若干相同或相似之处，类比猜想这两个人个体在其它方面的相同或相似，实现对另一个对象的合情判断
1.有一辆火车以每小时15公里的速度离开洛杉矶直奔纽约，全程350公里，另一辆火车以每小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶。如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从洛杉矶出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，请问，这只小鸟飞行了多长距离？
【参考答案】小鸟飞行时间与两辆车的相遇时间相同，即：350÷（15＋20）=10（小时），则小鸟飞行了10×30=300（千米）。
2.如果2元钱一瓶汽水，喝完后五个空瓶换一瓶汽水，问：你有40元钱，最多可以喝到几瓶汽水？
【参考答案】8元钱可以买4瓶却能喝5瓶，则40÷8=5，5×5=25（瓶）。 3. 在一块正方形纸上剪下一个宽为0.5分米的长方形纸条，剩下的面积为18
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平方分米，剪下的长方形纸条的面积是__________平方分米。21教育名师原创作品 【参考答案】此题用弦图来解：如图，设原正方形的边长为a,则剪下一个长方形纸条后剩下部分的长为a ，宽为（a －0.5），那么，图中存在这样一个关系：（2a －0.5）2＝
+?418650.52，则a ＝6
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，那同步练习 几何---类比与猜想、想象与操作
姓名： 日期：
么剪下的长方形纸条的面积S ＝
613×0.5＝1213＝112
1
（dm 2）21*cnjy*com 4.一个纸箱里装有2013张小卡片，上面分别写着1～2013这2013个自然数，从纸箱中任
意摸出若干张小卡片，然后算出这些卡片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新卡片上放入纸箱中，经过若干次这样的操作后，纸箱中还剩下一张卡片，这张卡片上的数是多少？
【参考答案】每次操作都不改变纸箱中所有数之和除以100的余数，所以最后一张卡片上的数等于1～2013的和除以100的余数。（1＋2＋…+2012＋2013）÷100＝2027091÷100＝20270……91，所以这张卡片上的数是91.
5.国庆期间，某酒店在大厦的外墙周围安装了2013个霓虹灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这2013个灯泡按1～2013编号，它们的明暗规则是：第一秒，全部灯泡变明；第二秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由明变暗；第三秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的明暗状态，即暗的变明，明的变暗；……同样，第n 秒凡是编号为n 的倍数的灯泡改变原来的明暗状态。这样继续下去，到第2013秒时，还有多少个灯泡是明的？
【参考答案】某个灯泡，如果它的明暗变化的次数为奇数，那么它是亮的。根据题意可知，号码为N 的灯泡，明暗变化的次数等于N 的因数的个数，而如果N 的因数的个数是奇数，则N 一定是平方数。所以第2013秒时，那些编号是平方数的灯泡是亮的。因为12，22，32，…，442＝1936﹤2013﹤452＝2025，所以第2013秒时，还有44个灯泡是明的。
6.如图，梯形ABCD 的对角线MC 、BD 相交于点O ，已知AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，梯形ABCD 的面积为24cm 2，那么三角形BOC 的面积是多少？
【参考答案】∵AB ﹕CD ＝OB ﹕OD ＝10﹕6＝5﹕3，∴S △ABD ﹕S △BDC ＝S △BOC ﹕S △
DOC
＝5﹕3，∴S △BDC ＝24×
353+＝9（cm 2）,S △BOC ＝9×3
55+＝845
（cm 2）。
7.从一个长、宽、高恰好是三个连续自然数的长方体中截下一个最大的正方体，剩下部分的棱长之和为72厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？
21·cn ·jy ·com
【参考答案】如图，长方体截去一个最大的正方体后，棱长增加2个高，那么根据棱长和公式，4（a ＋b ＋h ）＋2h=72，得2a ＋2b ＋3h=36，又由于长、宽、高是三个连续自然数的和，解得a=4，b=5，h=6，所以长方体的体积＝4×5×6＝120（立方厘米）。21教育网
7.将一块正方形的纸片裁成面积相等的四块，写出八种裁法（用图形表示）。
提示：题目的要求是“裁成面积相等的四块”，因此，所提供的解法必须具有可操作性。
【参考答案】
8.能否把一个正方形分割成7个等腰直角三角形，其中任意两个三角形都不相同？（经过平移、旋转、翻折后可以重叠的视为相同的三角形）
【参考答案】
9.已知ABC
?分成两个小三角
?的一个顶点的一条直线, 把ABC
?是等腰三角形, 过ABC
形, 如果这两个小三角形也是等腰三角形, 试求出ABC
?各内角的度数.
【参考答案】
（1）900,450,450；（2）1080，360，360；
（3）360，720，720；（4）（2575）0，（7771）0，（777
1
）0
10.如图所示的立体图形由9个棱长为1cm 的立方块搭成，请问这个立体图形的表面积为多少？
【参考答案】从上、下、左、右、前、后等到的这个立体图形有表面的面积分别为5cm 2，5cm 2，5cm 2，5cm 2，6m 2，6m 2，总和为32cm 2.
11.剪刀沿图中小方格的边界把4×4正方形格纸剪开成形状、大小都相同的两部分，给出五种不同的剪法。
【参考答案】
12.左图给定的是纸盒外表面，右图中哪一项能由它折叠而成？
【参考答案】
答案：D ，左边的纸盒外表折叠得到左边的图形，A 项中右面的两条线相反，A 错误；B 项右侧错误，C 项的斜线方向错误；D 项可由上边图象折成。
13.左图盒子展开将得到右图选项中那个图形？
【参考答案】
答案：B，给定的图形上、下面的两个阴影三角形的三边是对应平行的。A、B项的图形排列一致，只需将小阴影三角形的面上下翻转，看是否与大阴影三角形方向一致，分析可知，B 项满足，是正确答案；C、D项的图形排列一致，只需将阴影三角形的面上下翻转，看是否与大阴影三角形方向一致即可。分析可知，都不满足。
14.一个边长为5厘米的正方体，它是由125个边长为1厘米的小正方体组成的。P为上面ABCD
的对角线的交点。用一个平面分别通过P、E、F三点的平面、P、F、G三点的平面、P、H、G三点的平面、P、H、E三点的平面把正方体切开，求最后剩下的
立体图形中，包括几个完整的棱长是1厘米的小正方体？https://www.360docs.net/doc/774393261.html,
【参考答案】在ABCD面中最后只剩下P点，底面EFGH是完好的。
连接点P与E、点P与F、点P与G、点P与H的线都是直线，所
以剩下的立体图形是底面为正方形的正四棱锥（如图）。从正侧
面看，从下数第一层3×3＝9（个），第二层是3×3＝9（个），
第三层是1个，第四层是1个，合计是：9＋9＋1＋1＝20（个）。
15.如图，一个正方体是由125块体积相等的黑白相间的小正方体拼成的，那么露在表面上
的黑色正方体的个数是多少？
【参考答案】解法一：表面每个面有13个，由六个面有13×6=78
（个），又由于棱上有12个都计算过两次，顶点上8个都计算过三
次，所这个正方体的表面共有黑色小正方体78－12×1－8×2＝50
（个）
解法二：三个面：8个；两个面：1×12=12个；一个面：5×6=30个。共：8+12+30=50（个）。
16.马老师让全班49名同学每人手拿一张1～49的不同号码牌，让他们围坐成一个圆圈，使相邻两个同学的号码的乘积小于100，问：这个圆圈最多只能坐多少人？
【参考答案】如图：最多只能坐18人。（答案不唯一）
17.公园中一块草坪（如图），其中四个角上各有一棵大古树，
现在园林处根据安排要求把这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵
树不动，并使扩大后的草坪为平行四边形，试问这个想法能否实
现？若能，请你设计出草图并说明画法。否则说明理由。21·世纪*教
育网
【参考答案】能，分别过点A、C作BD的平行线，过点B、D作
AC的平行线得到一个平行四边形且原草坪的面积扩大一倍。
18.一个圆形滚动（如图），它从A位置开始，滚过与它相同的其它
六个圆的上部，到达B位置，则该圆滚动了几圈？
【参考答案】
滚动的圆与从左右到右的圆分别接触的圆弧长为（设一圆的周长为1）：31，61，61，61
，
61，31，在相邻两个圆之间滚过的弧长为61，61，61，61
，所以该圆共滚过的圈数为：2×31＋4×6
1=131
（圈）。