3.3三角函数的图像和性质
3.3三角函数的图像和性质 【考纲要求】
1、能画出
的图像，了解三角函数的周期性.
2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等）.理解正切函数在区间（
）内的单调性.
3、了解函数
的物理意义；能画出
的图像，了解参数
对函
数图像变化的影响.
4、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 【基础知识】
1．三角函数的图象及性质
(1)正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： ,2x x k k ππ??≠+∈Z ??
??
2、周期函数的定义
对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内任意一个值时，都有()()
f x T f x +=，
那么函数()f x 就叫做周期函数。非零常数T 叫做这个函数的周期，周期函数的周期不唯一，,,0kT k z k ∈≠都是它的周期，所有周期中最小的正数就叫做它的最小正周期。
3、三角函数图像的变换
平移变换：左加右减，上加下减
把函数()y f x =向左平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像 把函数()y f x =向右平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像 把函数()y f x =向上平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像 把函数()y f x =向下平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像 伸缩变换：
①把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的w 1倍得()y f x ω=(01)ω<< ②把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
w
1倍得()y f x ω=(1)ω>
③把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的?倍得()y f x ω=(1)ω> ④把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的?倍得()y f x ω=(01)ω<< 4、合一变形
sin cos a b αα+=
)α?+，
如：)6
2sin(2)6
sin
2cos 6
cos
2(sin 2)2cos 2
12sin 2
3(22cos 2sin 3π
απ
απ
ααααα-
=-=-=-
5、函数sin()y A x h ω?=++ （1）其图象的作法有两种：
一是描点法（五点法），作出来的,这五个点是满足: 0x ω?+=, 2
π
, π,
32
π,2π的五个x 的值，对应y 值
分别是0,A ,0,A -,0。
用"五点法"作正余弦函数的图象要注意必须先将解析式化为sin()y A x ω?=+或cos()y A x ω?=+的形式。
二是图像变换法，由函数sin y x =的图像变换得到函数sin()y A x h ω?=++的图像，一般是先左右，再
伸缩，后上下。如：sin(2)6
y x π
=+
和2sin 3y x =+
（2）这个函数的最小正周期是2T π
?
=.
6、温馨提示：
（1）使用周期公式，必须先将解析式化为sin()y A x ω?=+或cos()y A x ω?=+的形式；正弦余弦函数的
最小正周期是2T π
?
=
，正切函数的最小正周期公式是T π?
=
；注意一定要注意加绝对值。
（2）三角函数有的地方是2,k k z π∈，有的地方是,k k z π∈。
【例题精讲】
例1 已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π)，x ∈R 的最大值是1，其图象经过点M ????
π3，12. (1)求f (x )的解析式；
(2)已知α，β∈????0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (α－β)的值． 解：(1)∵f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π)的最大值是1，∴A ＝1. ∵f (x )的图象经过点M ????π3，12， ∴sin ????π3＋φ＝12. ∵0＜φ＜π?φ＝π2
∴f (x )＝sin ????
x ＋π2＝cos x .
(2)∵f (x )＝cos x ，∴f (α)＝cos α＝35，f (β)＝cos β＝1213，已知α，β∈????0，π2，所以 sin α＝
1－????352＝4
5sin β＝
1－????12132＝5
13.
故f (α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝35×1213＋45×513＝56
65
例2 已知函数f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ????π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点????π6，12. (1)求φ的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )
在????0，π4上的最大值和最小值．
解：(1)因为f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ????π
2
＋φ(0<φ<π)，
所以f (x )＝12sin2x sin φ＋1＋cos2x 2cos φ－1
2cos φ
＝12sin2x sin φ＋1
2
cos2x cos φ ＝12(sin2x sin φ＋cos2x cos φ)＝1
2cos(2x －φ)， 又函数图象过点????π6，12， 所以12＝12cos ????2×π6
φ， 即cos ????π3－φ＝1， 又0<φ<π， 所以φ＝π3
. (2)由(1)知f (x )＝12????2x －π3，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函
数y ＝g (x )的图象，可知
g (x )＝f (2x )＝12cos ????
4x －π3，
因为x ∈????
0，π4， 所以4x ∈[]0，π， 因此4x －π3∈????－π3，2π3，
故－12≤cos ???
?4x －π3≤1. 所以y ＝g (x )在????0，π4上的最大值和最小值分别为12和－14
. 例3 已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π2)＋2cos 2ωx ，x ∈R(ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的
横坐标为π
6
.
(1)求ω；
(2)若将函数f (x )的图象向右平移π
6再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，
得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间．
解：(1)f (x )＝
32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋32
＝sin(2ωx ＋π6)＋3
2
.
令2ωx ＋π6＝π2，将x ＝π
6代入可得：ω＝1.
(2)由(1)得f (x )＝sin(2x ＋π6)＋3
2.
经过题设的变化得到的函数 g (x )＝sin(12x －π6)＋3
2
.
当x ＝4k π＋43π，k ∈Z 时，函数取得最大值5
2.
令2k π＋π2≤12x －π6≤2k π＋3
2π，
即∈[4k π＋
4π3，4k π＋10
3
π]，k ∈Z 为函数的单调递减区间． 3.3三角函数的图像和性质强化训练
【基础精练】
1．下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间????
－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )
A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变
B ．向左平移π
3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变
D ．向左平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
2．为了得到函数y ＝sin ????2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ????2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π
4个长度单位
C ．向左平移π2个长度单位
D ．向右平移π
2
3．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)???
?
ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )
A ．ω＝1，φ＝π6
B ．ω＝1，φ＝－π6
C ．ω＝2，φ＝π
6
D ．ω＝2，φ＝－π
6
4．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]上的图象如图所示，那么ω＝( )
A ．1
B ．2 C.1
2
D.13
5．已知函数y ＝sin ????x －
π12cos ???
?
x －π12，则下列判断正确的是( ) A ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是????π12，0 B ．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是????π12，0 C ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是????π6，0 D ．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是???
?π6，0 6．如果函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－π
8对称，则实数a 的值为( )
A.2 B ．－ 2
C ．1
D ．－1
7．函数y ＝sin x ＋cos x 的最小值和最小正周期分别是( ) A ．－2，2π B ．－2,2π C ．－2，π
D ．－2，π
8．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )
A.[k π－
π12，k π＋5π12]，k ∈Z B.[k π＋5π12，k π＋11π12
]，k ∈Z C.[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z D.[k π＋π6，k π＋2π
3]，k ∈Z
9.函数y ＝|sin x |－2sin x 的值域是 ( )
A.[－3，－1]
B.[－1,3]
C.[0,3]
D.[－3,0]
10．已知函数f (x )＝3sin ????ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈????0，π2，则f (x )的取值范围是________．
11．设函数y ＝cos 1
2πx 的图象位于y 轴右侧所有的对称中心从左依次为A 1，A 2，…，A n ，….则A 50的坐标是
________．
12．把函数y ＝cos ????
x ＋π3的图象向左平移m 个单位(m >0)，
所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．
13.求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x ·cos 2x
2－sin2x
的最小正周期、最大值、最小值及单调区间．
14．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，该商品每件的售价为g (x )(x 为月份)，且满足g (x )＝f (x －2)＋2.
(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f (x )、售价函数g (x )的解析式； (2)问哪几个月能盈利？
【拓展提高】
1．设函数f (x )＝(2cos x ＋a sin x )sin x ＋cos 2
x (x ∈R)，且f (π2)＝f (π4
)．
(Ⅰ)求函数f (x )的值域；
(Ⅱ)设f (x )图象上过任意一点P 的切线斜率为k ，证明：|k |≤2 2.(文科选做) .
2.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A >0，ω>0,0<φ<π
2
)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的
距离为π2M (2π
32)．
(1)求f (x )的解析式；
(2)当x ∈[π12，π
2
]时，求f (x )的值域．
3.设函数f (x )＝(2cos x ＋a sin x )sin x ＋cos 2x (x ∈R)，且f (π2)＝f (π
4
)．
(Ⅰ)求函数f (x )的值域；
(Ⅱ)设f (x )图象上过任意一点P 的切线斜率为k ，证明：|k |≤2 2.(文科选做)
【基础精练参考答案】
6.D 【解析】设f (x )＝sin2x ＋a cos2x ，因为函数的图象关于直线x ＝－π8对称，所以f ????－π8＋x ＝f ????－π8－x 对一切实数x 都成立，
即sin2????－π8＋x ＋a cos2????－π8＋x ＝sin2????－π8－x ＋a cos2????－π8－x 即sin ????－π4＋2x ＋sin ????π4＋2x ＝a ????cos ????π4＋2x －cos ????－π4＋2x ， ∴2sin2x ·cos π4＝－2a sin2x ·sin π
4
，
即(a ＋1)·sin2x ＝0对一切实数x 恒成立，而sin2x 不能恒为0，∴a ＋1＝0，即a ＝－1，故选D. 7.A 【解析】∵y ＝2sin ????x ＋π4，∴当x ＋π4＝2k π－π
2(k ∈Z)时，y min ＝－ 2.T ＝2π. 8.C 【解析】f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π
6
)(ω>0)．
∵f (x )图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴
2π
ω
＝π，ω＝2.f (x )＝2sin(2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)．k π－π3≤x ≤k π＋π
6
(k ∈Z)． 9.B 【解析】当0≤sin x ≤1时，y ＝sin x －2sin x ＝－sin x ，此时y ∈[－1,0]；当－1≤sin x ＜0时，y ＝－sin x －2sin x ＝－3sin x ，这时y ∈(0,3]，求其并集得y ∈[－1,3].
10. ????－32，3【解析】∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同，∴f (x )与g (x )的最小正周期相等，∵ω>0，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ????2x －π6，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ????2x －π6≤1，∴－32≤3sin ????2x －π6≤3，即f (x )的取值范围为????－32，3.
11. (99,0)【解析】对称中心横坐标为x ＝2k ＋1，k ≥0且k ∈N ，令k ＝49即可得． 12. 23【解析】由y ＝cos(x ＋π3＋m )的图象关于y 轴对称，所以π
3
＋m ＝k π，k ∈Z ，m ＝k π
13.【解析】f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x ·cos 2x
2－2sin x cos x
＝(1－sin x ·cos x )(1＋sin x ·cos x )2(1－sin x ·cos x ))
＝12(1＋sin x ·cos x )＝14sin2x ＋12
， 所以函数的最小正周期为π，最大值为34，最小值为1
4
.
令2kπ－π2≤2x ≤2kπ＋π
2，k ∈Z ，
则kπ－π4x ≤kπ＋π
4，k ∈Z.
令2kπ＋π2≤2x ≤2kπ＋3π
2，k ∈Z ，
则kπ＋π4x ≤kπ＋3π
4
k ∈Z.
所以函数的单调增区间为[kπ－π4kπ＋π4]，k ∈Z ，单调减区间为[kπ＋π4，kπ＋3π
4
]，k ∈Z.
－π3，当k ＝1时，m 最小为23
π.
14.【解析】(1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意可得， A ＝2，B ＝6，ω＝π4，φ＝－π
4
所以f (x )＝2sin(π4x －π
4＋6(1≤x ≤12，x 为正整数)，
g (x )＝2sin(π4x －3
4π)＋8(1≤x ≤12，x 为正整数)．
(2)由g (x )>f (x )，得sin π4x <2
2.
2k π＋34π<π4x <2k π＋9
4π，k ∈Z ，
∴8k ＋3 ∵1≤x ≤12，k ∈Z ，∴k ＝0时，3 k ＝1时，11 故4,5,6,7,8,12月份能盈利． 【拓展提高参考答案】 1．【解析】(Ⅰ)f (x )＝2sin x cos x ＋a sin 2x ＋1－sin 2 x ＝sin2x ＋a －1 2 (1－cos2x )＋1. ∴f (π2)＝a ，f (π4)＝a ＋32. 由f (π2)＝f (π4)，有a ＝a ＋32 ，∴a ＝3. ∴f (x )＝sin2x －cos2x ＋2＝2sin(2x －π 4 )＋2. ∴函数f (x )的值域为[2－2，2＋2]． (Ⅱ)设P (x ，y )是f (x )图象上任意一点，则 k ＝f ′(x )＝22cos(2x －π 4 )． ∴|k |＝|f ′(x )|＝??? ? 22cos(2x －π4)≤|22|＝2 2. 2.【解析】(1)由最低点为M (2π 3 ，－2)得A ＝2. 在x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2得T 2＝π2 ，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2π π＝2. 由点M (2π3，－2)在函数图象上得2sin(2×2π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，故4π3＋φ＝2kπ－π 2，k ∈Z ， ∴φ＝2kπ－11π 6又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin(2x ＋π 6)． (2)∵x ∈ [π12，π2]，∴2x ＋π6∈[π3，7π 6]， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π 2 时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域 为[－1,2]． 3.【解析】(Ⅰ)f (x )＝2sin x cos x ＋a sin 2x ＋1－sin 2x ＝sin2x ＋a －1 2 (1－cos2x )＋1. ∴f (π2)＝a ，f (π4)＝a ＋32. 由f (π2)＝f (π4)，有a ＝a ＋32 ，∴a ＝3. ∴f (x )＝sin2x －cos2x ＋2＝2sin(2x －π 4 )＋2. ∴函数f (x )的值域为[2－2，2＋2]． (Ⅱ)设P (x ，y )是f (x )图象上任意一点，则 k ＝f ′(x )＝22cos(2x －π 4 )． ∴|k |＝|f ′(x )|＝??? ? 22cos(2x －π4)≤|22|＝2 2. 第三节三角函数的图象与性质[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象， 了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的 性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴 的交点等)，理解正切函数在区间???? － π 2， π 2内 的单调性. 1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 单调性、周期性及对称性．如2012年新课标 全国T9等． 2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 值域或最值问题．如2012年湖南T6等． 3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如 2012年北京T15等. [归纳·知识整合] 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域R R? ? ? x??x≠ π 2＋kπ，k ∈Z} 值域[－1,1][－1,1]R 单调性 递增区间： ? ? ? ? 2kπ－ π 2，2kπ＋ π 2(k∈Z) 递减区间： ? ? ? ? 2kπ＋ π 2，2kπ＋ 3 2 π(k∈Z) 递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) 递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) 递增区间： ? ? ? ? kπ－ π 2，kπ＋ π 2(k∈ Z) [探究] 1.正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数吗？ 提示：不是．正切函数y ＝tan x 在每一个区间????k π－π2，k π＋π 2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数． 2．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)呢？ 提示：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π 2(k ∈Z )时是偶函 数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π 2 (k ∈Z )时是奇函数． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)设函数f (x )＝sin ????2x －π 2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2 的偶函数 解析：选B ∵f (x )＝sin(2x －π 2)＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 2．(教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0) 三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z) 3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. 第2章第3节 三角函数的图像和性质（1） 主备人： 审核人： . 班级 姓名 . 【教学目标】 ① 了解三角函数的周期性. ② 能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]， 正切函数在? ?? ??－π2，π2上的性质. ③ 了解三角函数 y ＝Asin (ωx＋φ)的实际意义及其参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响. 【重点难点】 1.重点：能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0， 2π]，正切函数在? ?? ??－π2，π2上的性质. 2.难点：y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 性质的熟练运用。 【教学过程】 一. 基础自测： 1. 函数13sin()24y x π=+ 的最小正周期为______________； 2．函数21sin -= x y 的定义域为 . 3．函数)4cos(2π +=x y 的单调减区间为 . 三.典型例题 例1．求下列函数的定义域： （1）tan 4y x π??=- ??? ； （2）y = 例2．求下列函数的值域 （1）2()sin 2,[ ,]63f x x x ππ=∈； （2）2()64sin cos f x x x =--； （3）2sin 1sin 2x y x += -； （4）sin cos 2sin cos 2,y x x x x x R =+++∈ 例3．已知函数sin(2)3y x π =+，求（1）周期； （2）当x 分别为何值时函数取得最大值，最小值；（3）单调增区间，单调减区间；（4）对称轴、对称中心. 例4．设函数的最小正周期为． （Ⅰ）求的值．（Ⅱ）若函数的图像是由的图像向右平移 个单位长度得到，求的单调增区间． 22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>23 πω()y g x =()y f x =2 π()y g x = 一、选择题 1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4，1] D ．[－1，5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2 ＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5 4 ≤y ≤1，选C. 2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π 3]上单调递增， 在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π ω， ∴2πω＝43π，∴ω＝32 . 故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π 2＝π， 且f (x )是奇函数． (理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关 于原点对称，B 正确；函数的递增区间为???? ??k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，则a 的值为 ( ) 三角函数的图象与性质 教学目标 1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． ．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 2 重点难点 重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题． 难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度． 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 ．三角函数的定义域 1 函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角． (2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 求下列函数的定义域： 例1 π](k∈Z) ． 形使函数定义域扩大． 到．注意不要遗漏． ． (3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果) 是 [ ] 所以选C． 2．三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是 |cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域． §1.4．1正弦函数、余弦函数的图象 学习目标:1．能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习重点:运用“五点法”作图 学习难点:借助于三角函数线画y＝sinx的图象 学习过程： 一、情境设置 遇到一个新的函数，画出它的图象,通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法,那么，一般采用什么方法画图象？ 二、探究研究 问题1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线. 问题２. 在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示),把单位圆中1２个角的正弦线进行右移. 问题３. 通过刚才描点(x0,siｎx0),把一系列点用光滑曲线连结起来,能得到什么？ 问题4. 观察所得函数的图象,五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？ 问题5.如何作y=sinｘ,x∈R的图象（即正弦曲线）? 问题6．用诱导公式cｏsｘ＝__＿＿＿___（用正弦式表示）,y=ｃosx的图象(即余弦曲线）怎样得到? 问题7. 关键五个点.三、例题精讲 例1:用“五点法”画下列函数的简图 (1)ｙ=１+sｉnx ,x∈[]π2,0 (2) y=-cosx，x∈[]π2,0 思考:(１）从函数图象变换的角度出发，由y=sｉnx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=1+sinx ,ｘ∈[]π2,0的图像?由ｙ＝cｏsx,x∈[]π2,0的图象怎样得到ｙ＝-cosｘ， ,ｘ∈[]π2,0的图像？ 四、巩固练习 1、在[0,２π]上,满足 1 sin 2 x≥的x取值范围是( ）． A．0, 6 π ?? ?? ?? B.5, 66 ππ ?? ?? ?? C.2, 63 ππ ?? ?? ?? D.5, 6 π π ?? ?? ?? 2、 用五点法作) y=１-cosx, x∈[]π2,0的图象. 3、结合图象，判断方程x sinx=的实数解的个数. 五、课堂小结 在区间] 2,0 [π上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点).函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到. 六、当堂检测 １、观察正弦函数的图象,以下4个命题: （1)关于原点对称（2）关于x轴对称（3)关于y轴对称(4）有无数条对称轴其中正确的是 三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数 1．函数 f (x )＝sin 2x ＋3?图象的对称轴方程可以为 ( D ) A ．x ＝ B ．x ＝ C ．x ＝ D ．x ＝ 2．函数 y ＝sin x ＋3?cos 6－x ?的最大值及最小正周期分别为 ( A ) A ．1，π B. ，π C ．1， D ．1,2π 3.函数 y ＝2sin x －4?cos 4－x ?是( C ) A ．[－1,1] B ．[－ ，－1] C ．[－ ，1] D ．[－1， ] A ．f(x)在( ， )上是递增的 B ．f(x)的图像关于原点对称 A ．k π (k ∈Z) B ．k π ＋π (k ∈Z)C ．k π ＋ (k ∈Z) D ．k π － (k ∈Z) [2k π + ,2k π + ](k ∈ z ) __________________. 高三理科数学周测十六（三角函数的图像与性质） ? π? ? ? 5π π π π 12 3 6 12 ? π? ?π ? ? ? ? ? 1 π 2 2 ? π? ?π ? ? ? ? ? A ．周期为 2π 的奇函数 B ．周期为 π 的奇函数 C ．周期为 π 的偶函数 D ．周期为 π 的非奇非偶函数 4．函数 y ＝sin2x ＋sinx －1 的值域为(C ) 5 5 5 4 4 4 5．对于函数 f(x)＝2sinxcosx ，下列选项中正确的是( B ) π π 4 2 C ．f(x)的最小正周期为 2π D ．f(x)的最大值为 2 6．函数 f(x)＝ 3cos(3x －θ )－sin(3x －θ )是奇函数，则 θ 等于( D ) π π 6 3 3 7. 若 f (sin x )＝3－cos2x ，则 f (cos x )＝（ C ） A 、3－cos2x 8.函数 f ( x ) = x sin( x - 5 π 2 B 、3－sin2x C 、3＋cos2x D 、3＋sin2x ) 是( B ) A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 9. 在 (-π , π ) 内是增函数, 且是奇函数的是( A ) . x x x A. y = sin B. y = cos C. y = - sin D. y = sin 2 x 2 2 4 1 ． 函 数 y = 2s x i - 1 n 的 定 义 域 是 _______ π 5π 6 6 2.函数 y = a + b sin x (b > 0) 的最大值是 3 ，最小值是- 1 ，则a ＝_____ 1 ， 2 2 2 1 / 2 三角函数专题辅导 课程安排 制作者：程国辉 专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 课时：4-5学时 学习目标： 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式： sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α) cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±=?-↓= - 4、同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 三角函数的图象与性质 、知识网络 基弃变换 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y = tanx ; 偶函数：y= cosx. （2） -'’ 一 -‘：型三角函数的奇偶性 (i)g (x)=* (x€ R) g (x )为偶函数 ' 二二—「二： O卫址1(徴 + ? =/win(-徴+@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应) cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7) 由此得 同理，旨（对二話乞山（伽+洌0€丘）为奇函数O 寻炉=七兀3€2）. （ii）u'■■ ' '''「：；：：「' ■?■. 八为偶函数' ..为奇函数 O 三角函数的性质与图像（学案） 一、 学习目标 1、“五点法”画函数sin()y A x ω?=+的图像. 2、图像变换规律. 3、由函数图像或性质求解析式. 重点：围绕三角函数图像变换、五点作图求函数解析式. 难点：图像变换中的左右平移变换中平移量的确定. 二、 学习过程 1、高考考点分析 2、知识梳理： （1）用“五点法”画sin()y A x ω?=+一个周期的简图时，要找出 五个关键点。 填写表格： （2）三角函数图像的变化规律： （3）函数sin()y A x ω?=+的物理意义： （4）由函数sin()y A x k ω?=++图像求函数解析式的步骤和方法： ①A 的确定： ②k 的确定： ③ω的确定： ④?的确定： 三、基础训练 1、函数sin(2)3 y x π =+的最小正周期为（ ） A. 4π B. 2π C. π D. 2 π 2、将函数2sin(2)6 y x π =+的图像向右平移14 个周期后，所得图像 对应的函数为（ ） A. 2sin(2)6 y x π=+ B. 2sin(2)3 y x π =+ C. 2sin(2)4 y x π=- D. 2sin(2)3 y x π =- 3、为了得到sin()3 y x π =+的图像，只需把函数sin y x =的图像上所 有的点（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向上平移3π个单位 D ．向下平移3 π 个单位 4、函数2cos2y x x +的最小正周期为（ ） A ． 2 π B .23π C. π D. 2π 四、范例导航 题型一：三角函数的图象 例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ） 变式练习．（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ） 题型二：函数sin()y A x ω?=+图像及变换 例2、已知函数2sin(2)3 y x π =+ （1）求它的振幅、周期、初相。 （2）用五点作图法作它在一个周期内的图像。 （3）试说明2sin(2)3 y x π =+的图像可由sin y x =的图像经过 怎样的变换得到？ 列表： 【本讲教育信息】 一.教学内容： 三角函数的图象与性质 二.教学目的： 了解三角函数的周期性，知道三角函数y＝A sin（ωx＋φ）， y＝A cos（ωx＋φ）的周期为。 能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，并能根据图象理解正弦函数、 余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－，）上的性质（如单调性、最大值和 最小值、图象与x轴的交点等）。 了解三角函数y＝A sin（ωx+φ）的实际意义及其参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；会画出y＝A sin（ωx+φ）的简图，能由正弦曲线y＝sin x 通过平移、伸缩变换得到y＝A sin（ωx+φ）的图象。 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现 象的重要函数模型。 三.教学重点：三角函数的性质与运用 教学难点：三角函数的性质与运用。 四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是， 递减区间是， 的递增区间是， 3.函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该 图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别 开这两个途径，才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 5.由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的 第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. 6.对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8.求三角函数周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点取法是设x=ωx+，由x 取0、、π、、2π来求相应的x 值及对应 三角函数的图像与性质 一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质 二、正切函数的图象与性质 定义域 {|,}2 x x k k Z π π≠ +∈ 函数 y ＝sin x y ＝cos x 图 象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 递增区间：2,2() 2 2k k k Z ππππ??-+∈??? ? 递减区间：32,2()2 2k k k Z ππππ??++∈??? ? 递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) 递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z ) 最 值 x ＝2k π＋π 2(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π－π 2(k ∈Z )时，y min ＝－1 x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 对称性 对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点） 对称轴：x ＝k π＋π 2，k ∈Z 对称中心：(k π＋π 2，0)(k ∈Z ) 对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴） 最小正周期 2π 2π 三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换 1. 由x y sin =的图象得到)sin(?ω+=x A y (0,0A ω>>)的图象 注意：定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。 2. )sin(?ω+=x A y (0,0A ω>>)的性质 （1）定义域、值域、单调性、最值、对称性： 将?ω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当?取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性： )sin(?ω+=x A y ，当π?k =时为奇函数，当2 ππ?±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ω π2=T 三角函数的图像和性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2 3π ,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (2 3π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x = 图 象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最 值 当 22 x k π π=+ 时， max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-． 当2x k π=时， max 1y =；当2x k ππ=+ 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在2,22 2k k π πππ?? - + ??? ? 上是增函数； 在32,22 2k k ππππ? ?++??? ? 上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函 数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? 上是增函数． 对称 性 对称中心(),0k π 对称轴2 x k π π=+ 对称中心,02k π π??+ ?? ? 对称轴x k π= 对称中心,02k π?? ??? 无对称轴 函 数 性 质 例作下列函数的简图 (1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π] 例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合： 21sin )1(≥ x 21 cos )2(≤ x 3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做 ()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一 般称为周期） 正弦函数、余弦函数：ωπ= 2T 。正切函数：π ω 例求下列三角函数的周期： 1? y=sin(x+3 π ) 2? y=cos2x 3? y=3sin(2x +5π) 4? y=tan3x 例求下列函数的定义域和值域： （1）2sin y x =- （2）y =（3）lgcos y x = 三角函数的图像和性质 1．函数） 6 2sin(21π += x y 的单增区间是___________. 【答案】Z k k k ∈?? ? ?? ?+ - 6,3 πππ π 2．函数y ＝cos 24x π? ? - ?? ? 的单调递增区间是________． 【答案】388k k ππππ?? ???? - ＋，＋(k ∈Z) 3．函数3sin(2)3 y x π =+图象的对称中心是_______． 【答案】(,0)32 k π π - + 4．若函数f(x)=sin(ωx+6π)（ω>0）的最小正周期是5 π ，则ω=_________。 【答案】10 5．函数)4 tan()(π +=x x f 单调增区间为（ ） A ．Z k k k ∈+ - ),2,2(π πππ B ．Z k k k ∈+),,(πππ C ．Z k k k ∈+-),4,43(ππππ D ．Z k k k ∈+-),4 3,4(π πππ 【答案】C 6．下列函数中周期为π且为偶函数的是 （ ） A ．)22sin(π -=x y B. )22cos(π -=x y C. )2 sin(π +=x y D. )2 cos(π + =x y 【答案】A 7．设函数()sin(2)3 f x x π =+ ，则下列结论正确的是 A ．()f x 的图像关于直线3 x π =对称 B ．()f x 的图像关于点( ,0)4 π 对称 C ．()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在[0,]12 π 上为增函数 【答案】D 8．如果函数)4 cos(ax y +=π 的图象关于直线π=x 对称，则正实数a 的最小值是( ) A ．41= a B ．21=a C ．4 3 =a D ．1=a 三角函数的图像和性质 【考点导读】 1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22 ππ - 上的性质； 2.了解函数sin()y A x ω?=+的实际意义，能画出sin()y A x ω?=+的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】 1. 已知简谐运动()2sin( )()32f x x ππ ??=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_____6____；初相?=__________． 2. 三角方程2sin(2 π －x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2 ,0)(sin(R x x A y ∈π ω?+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为 ______________________． 4. 要得到函数 sin y x =的图象，只需将函数cos y x π? ?=- ?3? ?的图象向右平移__________个单位． 【范例解析】 例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ??-???? 上的图象，长度为一个周期； （Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 分析：化为sin()A x ω?+形式． 解：（I ）由x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2 +-=+= )4 2sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21π ππ -+=-?+=x x x ． 列表，取点，描图： 6π {2,}3 x x k k Z π π=±∈ )48sin(4π+π-=x y 第3题 三角函数图像及其性质复习题 1.将函数x y 2sin =的图象向右平移4 π 个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为 A.1)4 2sin(+- =π x y B.x y 2cos 2= C.x y 2 sin 2= D.x y 2cos -= 【答案】C 2.函数()()sin 0,2f x x πω?ω??? =+>< ?? ? 的最小正周期是π，若其图像向右平移 3 π 个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像 A.关于点,012π?? ??? 对称 B.关于直线12 x π = 对称 C.关于点5,012π?? ??? 对称 D.关于直线512 x π = 对称 【答案】D 3 函数 ()()b x A x f ++=?ωsin 的图象如下，则 ()()()201110f f f S +???++=等于 A.0 B.503 C.1006 D.2012 【答案】D 4关于函数()x x x f 2cos 2sin -=有下列命题：①函数()x f y =的周期为π；②直线4 π=x 是()x f y =的一条对称轴；③点?? ? ??0,8π是()x f y =的图象的一个对称中心；④将()x f y =的图象向左平移4 π 个单位，可得到x y 2sin 2=的图象.其中真命题的序号是______. 【答案】①③ 5函数()sin(2)3 f x x π =- (x ∈R)的图象为C,以下结论中: ①图象C 关于直线1112x π= 对称;②图象C 关于点2( ,0)3 π 对称;③函数f(x)在区间5(,)1212ππ-内是增函数;④由3sin 2y x =的图象向右平移3 π 个单位长度可以得到图象C. 则正确的是 .(写出所有正确结论的编号) 三角恒等变换及三角函数图象性质 一例题讲解 1．快速写出下列各式的值： （1）? ? ? ? -43cos 13sin 13cos 43sin （2）? ? ? ? -26cos 56sin 64cos 56cos （3）2sin15cos15??=_________； （4）2 2 cos 15sin 15?-?=_________； （5）2 2sin 151?-=_________； （6）2 2 sin 15cos 15?+?=________ （7）) 15tan(1195tan 1?? -++ （8） 2cos 6sin x x -=________ 2化简：（1）4221 2cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+ -+；（2）(1sin cos )(sin cos )22(0)22cos θθθθθπθ++-<<+．3 设4cos()5αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2 π αβπ+∈，求c o s 2α，cos 2β． 4若3cos()45x π +=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 5已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ??-???? 上的图象，长度为一个周期； （Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 6为得到)6 2sin(π - =x y 的图象，可以将x y 2cos =的图象向右平移____个单位长度． 7已知正弦函数sin()y A x ω?=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ； （2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ； －2 2 2 x =8 x y O §1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 学习目标：1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习重点：运用“五点法”作图 学习难点：借助于三角函数线画y=sinx的图象 学习过程： 一、情境设置 遇到一个新的函数，画出它的图象，通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法，那么，一般采用什么方法画图象？ 二、探究研究 问题1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线. 问题2. 在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示），把单位圆中12个角的正弦线进行右移. 问题 3. 通过刚才描点（x0,sinx0）,把一系列点用光滑曲线连结起来，能得到什么？ 问题4. 观察所得函数的图象，五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？ 问题5. 如何作y=sinx,x∈R的图象（即正弦曲线）？ 问题6. 用诱导公式cosx=________（用正弦式表示），y=cosx的图象（即余弦曲线）怎样得到？问题7. 关键五个点.三、例题精讲 例1：用“五点法”画下列函数的简图 (1)y=1+sinx ，x∈[]π2,0 (2) y=-cosx， x∈[]π2,0 思考：（1）从函数图象变换的角度出发，由y=sinx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=1+sinx ，x∈[]π2,0的图像？由y=cosx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=-cosx，，x∈[]π2,0的图像？ 四、巩固练习 1、在[0,2π]上,满足 1 sin 2 x≥的x取值范围是( ). A. 0, 6 π ?? ?? ?? B.5, 66 ππ ?? ?? ?? C.2, 63 ππ ?? ?? ?? D.5, 6 π π ?? ?? ?? 2、用五点法作) y=1-cosx， x∈[]π2,0的图象. 3、结合图象，判断方程x sinx=的实数解的个数. 五、课堂小结 在区间] 2,0 [π上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点）.函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到. 六、当堂检测 1、观察正弦函数的图象，以下4个命题： （1）关于原点对称（2）关于x轴对称（3）关于y轴对称（4）有无数条对称轴其中正确的是 A、（1）、（2） B、（1）、（3） C、（1）、（4） D、（2）、（3）（）三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质
三角函数图像与性质知识点总结
三角函数的图像和性质(1)
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质 教案
必修4三角函数的图像与性质
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三角函数的图像与性质题目及答案
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