2016届云南省高三第二次统一检测理数试题 含解析

2016届云南省高三第二次统一检测理数试题 含解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知角α的终边经过点()3,4P -,则tan 2α=（ ） A ．

247 B ．83 C ．83- D ．247

- 【答案】A

考点：正切二倍角公式的运用. 2.已知i 为虚数单位，复数342i

z i

-=

+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】 试题分析：因5

1125)43)(2(i

i i z -=

--=

,故对应的点在第四象限,应选D. 考点：复数的概念和运算.

3.已知,a b

是平面向量,如果()()

6,3,22a b a b a b ==+⊥- ,那么a 与b 的数量积等于（ ）

A ．2-

B ．1-

C ．2

D ．

32 【答案】A 【解析】

试题分析：由题设可得0)2)(2(=-+b a b a ,即02322

2

=-?+b b a a ,也即63-=?b a ,故2-=?b a ,应选A.

考点：向量的乘法运算.

4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为114,22,12n S S a ==-,如果当n m =时,n S 最小，那么m 的值 为（ ）

A ．

10 B ．9 C ．5 D ．4

【答案】C

考点：等差数列的前n 项和的性质及运用.

5.若运行如图所示程序框图，则输出结果S 的值为（ ）

A ．

37 B ．49 C ．920 D ．511

【答案】D 【解析】

试题分析：由算法流程图所提供的算法程序看出:当11=k 时已经结束运算程序,所这时输出的

11

5

)111915131311(21=-++-+-=

S ,故应选D. 考点：算法流程图的识读和理解.

6.下图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图）正视图、侧视 图、俯视图都是等腰直角三角形，如果这三个等腰直角三角形的斜边长都为32,那么这个几何体的表面

积为（ ）

A ．

932 B ．272 C ．93272+ D ．27

932

+ 【答案】C 【解析】

试题分析：由三视图所提供的图形信息和数据信息可知该几何体是一个棱长均为3的正三棱锥,故其表面积为2

3

927)23(43332132+=

?+???

=S ,故应选C. 考点：三视图的识读和理解.

7.现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券,则此人得奖 金额的数学期望为（ ） A ．6 B ．395 C ．41

5

D ．9 【答案】B

考点：概率和数学期望的计算.

8.设12,F F 是椭圆E 的两个焦点，P 为椭圆E 上的点，以1PF 为直径的圆经过2F ,若

1225

tan 15

PF F ∠=

,则椭圆E 的离心率为（ ） A ．

56 B ．55 C ．54 D ．53

【答案】D

考点：椭圆的几何性质及运用.

【易错点晴】椭圆是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用椭圆的几何性质和题设中的条件将问题转化为求点|||,|21PF PF 的值的问题.解答时充分运用题设条件1225

tan 15

PF F ∠=

和勾股定理,通过解直角三角形求得)2(1552||2c PF ?=

,)2(1557|1|2c PF ?=,然后运用椭圆的定义建立方程求得离心率3

5

=

e .借助椭圆的定义建立方程是解答好本题的关键.

9.设()5

234501234521x a a x a x a x a x a x -=+++++,则135a a a ++=（ ）

A ．121

B ．122

C ．243

D ．244

【答案】B 【解析】

试题分析：令等式中的1=x 可得1543210=+++++a a a a a a ；再令等式中的1-=x 可得另因

5543210)3(-=-+-+-a a a a a a ,以上两式两边相减可得2431)(2531+=++a a a ,即

122531=++a a a ,也即135a a a ++=122,故应选B.

考点：二项式定理及运用.

10.已知体积为46的长方体的八个顶点都在球O 的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三 个面中，如果有两个面的面积分别为23、43,那么球O 的体积等于（ ）

A ．

323π B ．1673π C ．332

π D ．1172π

【答案】A 【解析】

试题分析：设这两个面的边长分别为c b a ,,,则不妨设64,34,32===abc bc ab ,则

22,6,2===c b a ,则该长方体的外接球的直径4862=++=d ,故球的体积为

ππ3

32

2343=?=

V ,应选A. 考点：球与几何体的外接和体积的计算.

11.已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中心是原点O ，离心率等于

5

2

，以双曲线C 的一个焦点为圆 心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）

A ．221164y x -=

B ．2214x y -=

C ．2214y x -=

D ．2214

x y -=

【答案】C

考点：双曲线的几何性质及运用.

【易错点晴】双曲线是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用双曲线的几何性质和题设中的条件运用点到直线的距离公式先求出1=b .再借助题设中的离心率

2

5

=

a c 求出

b a ,的值.求解时巧妙地运用设t a t

c 2,5==,然后运用1==t b 求出2=a .

12.已知()(

)

()22ln 3ln 5ln

11,,,22135x f x x x a f b f c f π????

=++-

+===-- ? ?+????

, 下列结 论正确的是（ ）

A ．b a c >>

B ．c a b >>

C ．a b c >>

D ．c b a >> 【答案】B

考点：函数的单调性和奇偶性等基本性质的综合运用.

【易错点晴】本题设置的是一道运用函数的单调性比较函数值的大小的问题.解答时要先搞清函数的奇偶性和单调性.因为11

22)1ln()(2++-

-+=--x x x x f ,所以222

2()()ln[(1)]21x f x f x x x --+=+--

+ 2222

20202112x x x

?+-+=+-=++,即)()(x f x f -=-.也即函数)(x f 是奇函数.从而可得)2(-=πf c ,这为比较c b a ,,作支撑.还有

5

5

ln ,

33ln 的大小比较问题.可先考虑5ln 3,3ln 5的大小关系问题,再进行比较c b a ,,的大小.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）

13.某工厂生产的A 、B 、C 三种不同型号的产品数量之比依次为2:3:5,为研究这三种产品的质 量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A 、B 、C 三种产品中抽出样本容量为n 的样本，若样本中A 型产品有16件，则n 的值为 ． 【答案】80 【解析】 试题分析：因

165

322

=?++n ,故80=n ,应填80.

考点：分层抽样的方法和计算．

14.设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列,则实数b 的取值范围为 ． 【答案】()3,-+∞ 【解析】

试题分析：因该函数的对称轴为2b n -=,结合二次函数的图象可知当2

3

2<-b ,即3->b 时,单调递增,应填()3,-+∞.

考点：数列的单调性等有关知识的综合运用．

【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要

充分利用题设中提供的有关信息,借助二次函数的对称轴进行数形结合,合理准确地建立不等式是解答好本题的关键.求解时很多学生可能会出现将对称轴2b n -=放在1的左边而得12

≤-b

,而得2-≥b 的答案.这是极其容易出现的错误之一.

15. 若函数()4sin 543cos5f x ax ax =-的图象的相邻两条对称轴之间的距离为3

π

,则实数a 的

值为 ． 【答案】3

5

±

考点：三角函数的图象和性质．

16.已知实数,x y 满足约束条件4200x y x y ≤-??≥??≥?

,那么22

106x y x y +--的最小值为 ．

【答案】121

5

- 【解析】

试题分析：因34)3()5(6102

2

2

2

--+-=--+y x y x y x ,令22)3()5(-+-=

y x d ,则该式表示定

点)3,5(A 与区域内动点),(y x P 的连线段的距离,故其最小值是点)3,5(A 到直线042=-+y x 的距离

5

7min =

d ,所以22106x y x y +--的最小值是5

12134)5

7(

342min

2

-

=-=-d

,应填121

5-.

d

A(5,3)

x+2y=4

O

y

x

考点：线性规划的有关知识和运用．

【易错点晴】本题考查的是线性规划的有关知识及综合运用.解答时先依据题设条件画出不等式组

420

0x y x y ≤-??

≥??≥?

表示的平面区域如图, 借助题设条件搞清楚22)3()5(-+-=y x d 的几何意义是动点),(y x P 与定点)3,5(A 的距离的最小值问题.通过观察可以看出其最小值是点)3,5(A 到直线0

42=-+y x 的

距

离

5

7min =

d ,所以

22106x y x y

+--的最小值

是

5

121

34)5

7(

342min 2-

=-=-d . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）ABC ?的内角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ,()sin ,5sin 5sin m B A C =+

与()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--

垂直.

（1）求sin A 的值；

（2）若22a =,求ABC ?的面积S 的最大值. 【答案】(1)

5

4

；(2)4.

试题解析：

（1）()sin ,5sin 5sin m B A C =+ 与()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--

垂

直,222

5sin 6sin sin 5sin 5sin 0m n B B C C A ∴=-+-= , 即

2226sin sin sin cos cos 5

B C

B C A +-=

.

根据正弦定理得2

2

2

65

bc

b c a +-=. 由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==.

A 是ABC ?的内角,24

sin 1cos 5

A A ∴=-=

. （2）由（1）知22265bc b c a +-=.2222625

bc

b c a bc a ∴=+-≥-.又22,10.a bc ABC =∴≤? 的面积sin 24,25

bc A bc

S ABC =

=≤∴?的面积S 最大值为4. 考点：向量的数量积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．

18.（本小题满分12分）―个盒子里装有若干个均匀的红球和白球,每个球被取到的概率相等.若从 盒子里随机取一个球,取到的球是红球的概率为1

3

,若一次从盒子里随机取两个球，取到的球至少有一个 是白球的概率为

1011

. （1）该盒子里的红球、白球分别为多少个？

（2）若一次从盒子中随机取出3个球，求取到的白球个数不少于红球个数的概率. 【答案】(1) 红球4个,白球8个；(2)

4255

.

考点：排列数组合数概率等有关知识的综合运用．

19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AA 的中点,E 为BC 的中点. （1）求证：直线AE 平面1BDC ；

（2）若三棱柱 111ABC A B C - 是正三棱柱， 12,4AB AA ==,求平面1BDC 与平面ABC 所成二面角的 正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)

25

5

.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -,由已知得()()(

)

1

0,0,0,0,2,2,3,1,4B D C .

()(

)

10,2,2,3,1,4BD BC ∴==

.设平面1BDC 的一个法向量为(),,n x y z =

,则1,n BD n BC ⊥⊥ .

220340y z x y z +=??∴?

++=??,取1z =-,解得31x y ?=?

?=??.()

3,1,1n ∴=- 是平面1BDC 的一个法向量. 由已知易得()0,0,1m =

是平面ABC 的一个法向量. 设平面1BDC 和平面ABC 所成二面角的大小为θ,则

525

cos .0,sin 55m n m n

θθπθ==<<∴=

. ∴平面1BDC 和平面ABC 所成二面角的正弦值为

25

5

. 考点：空间直线与平面的位置关系和空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用．

20.（本小题满分12分）已知抛物线2

4x y = 的焦点为F ，准线为l ,经过l 上任意一点P 作抛物 线2

4x y =的两条切线，切点分别为A 、B . （1）求证：以AB 为直径的圆经过点P ；

（2）比较AF FB

与 2PF 的大小 .

【答案】(1)证明见解析；(2)AF FB

与 2PF 相等

.

()()2

22

12

2

22212121211421481016

444

x x x x x x a x x a

a a a ??=-++++++=--+++++=??, PA PB ∴⊥

,即PA PB ⊥,∴以AB 为直径的圆经过点P .

（2）根据已知得

()0,1F .

()()()()()22

1212121122121212122,1,111164

x x x x x x AF FB x y x y x x y y y y x x +-=---=--++-=--

+- 又由（1）知：22

2212122,4,4,4,x x a x x AF FB a PF a AF FB PF +==-∴=+=+∴= .

考点：直线与抛物线的位置关系等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题是一道考查直线与抛物线的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问的证明垂直问题时,直接依据题设条件将点B A P ,,的坐标设出来,然后运用点B A P ,,与抛物线的关系,将问题转化为证明

BP AP ⊥的问题,进行合理推证,进而获证.第二问的求解过程中,先将向量AF 与BF 的数量积算出来,

再用B A ,的坐标表示算得42

+=?a BF AF ,最后求得42

2

+=a PF ,从而推得,进而推证得

2

PF BF AF =?.从而使得问题获解.

21.（本小题满分12分）已知e 是自然对数的底数,()()()1

2ln ,13x F x e

x x f x a x -=++=-+.

（1）设()()()T x F x f x =-,当112a e -=+时, 求证：()T x 在()0,+∞上单调递增； （2）若()()1,x F x f x ?≥≥,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)(],4-∞.

考点：导数在研究函数的单调性和极值等方面的有关知识的综合运用．

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的两个函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是推证函数()()()T x F x f x =-在()0,+∞上单调递增；第二问中借助导数,运用导数求在不等式()()1,x F x f x ?≥≥恒成立的前提下实数a 的取值范围.求解借助导数与函数单调性的关系,运用分类整合的数学思想进行分类推证,进而求得实数a 的取值范围,从而使得问题简捷巧妙获解.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图,ABC ?是O 的内接三角形，BT 是 O 的切线，P 是线段AB 上一点,经过P 作BC 的平行直线

与BT 交于E 点，与AC 交于F 点. （1）求证：PE PF PA PB = ； （2）若1

42,cos 3

AB EBA =∠=

,求O 的面积.

【答案】(1)证明见解析；(2) 9π.

考点：圆幂定理等有关知识的综合运用．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直用坐标系xOy中，直线l的参数方程为

33

(

49

x t

t

y t

=-

?

?

=-

?

为参数〕.在以原点O为极点,x轴的正半轴为

极轴的极坐标系中，圆心A的极坐标为

2

2,

3

π

??

?

??

，圆A的半径为3.

（1）直接写出直线l的直角坐标方程，圆A的极坐标方程；（2）设B是线l上的点，C是圆A上的点，求BC的最小值.

【答案】(1)22cos 23sin 50ρρθρθ+--=；(2)

433

5

+.

考点：极坐标、参数方程和圆的几何性质等有关知识的综合运用． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知常数a 是实数，()()2,42f x x a f x a =+<-的解集为{}|40x x -<< . （1）求实数a 的值；

（2）若 ()()2f x f x x m --≤+对任意实数x 都成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)1=a ；(2)[)2,+∞. 【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用绝对值不等式的几何意义求解；(2)借助题设条件运用分类整合的思想分类讨论进行求解. 试题解析：

（1）由()42f x a <-得242x a a +<-.24242a x a a ∴-<+<-,即444x a -<<-.

考点：绝对值不等式的有关性质的综合运用．