小波分析大作业

小波分析大作业

院系：能源与动力工程学院

姓名：孔博

学号：BY1504131

电话：152********

1.小波的发展历史

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际经验的需要建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家https://www.360docs.net/doc/7c5201277.html,grange，https://www.360docs.net/doc/7c5201277.html,place以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于当前的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法加多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier 变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。

2.小波信号去噪

一般来讲，现实中的信号都是带噪信号，我们在对信号进行进一步分析之前，需要将有效的信号提取出来。当前，小波技术在信号去噪中得到了广泛研究并获得了非常好的应用效果。小波去噪之所以取得成功，是因为小波变换具有如下特点：

(1) 低熵性。小波系数的稀疏分布，使得信号变换后的熵变低；

(2) 多分辨率性质。由于采用了多分辨率的方法，可以非常好的刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等，以便于特征提取和保护。

(3) 去相关性。因为小波变换可以对信号进行去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以在小波域比在时域更容易去噪。

(4) 小波基选择的多样性。由于小波变换可以灵活的选择变换基，所以可以针对不同应用场合选用不同的小波函数，已获得最佳的处理效果。

常用的基本小波主要有Haar小波，Daubechies小波，双正交样条小波，Morlet 小波，高斯小波，Marr小波，Meyer小波，Shannon小波以及Battle-Lemarie样条小波等。在理论上，选择和构造一个小波函数要求其具有一定的平滑性、紧支撑性、对称性和消失矩阶数等。

(1 )小波形状的选择。

如果进行时频分析，则要选择光滑的连续小波，因为时域越光滑的小波函数，在频域的局部化特性越好。如果进行信号检测，则应尽量选择与信号波形相近似的小波。

(2)连续小波的支撑区域的选择。

连续小波函数都在支撑区域之外快速衰减。支撑区域越长，频率分辨率越好；支撑区域越短，时间分辨率越好。针对地震信号的特点，利用小波分析后重构信号和原始信号的误差大小来判定小波函数的优劣，并考虑到消失矩阶数，最终选定适用最优小波。

小波去噪的基本方法是，首先对经过预处理的含噪信号进行多尺度小波变换，然后在各尺度下尽可能提取出信号的小波系数而去除属于噪声的小波系数，最后用逆小波变换重构信号，达到去噪的目的。

目前，小波去噪的基本方法有：利用小波变换模极大去噪；基于各尺度下小波系数相关性进行去噪；采用非线性小波变换阈值法去噪、平移不变量小波去噪。此外，还有基于投影原理的匹配追踪去噪法以及多小波去噪法等。下面对前三种种方法分别进行介绍。

2.1模极大值原理去噪方法

Mallat 提出的基于小波变换模极大值原理的去噪方法，即根据信号和噪声在小波变换各尺度上的不同传播特性，剔除由噪声产生的模极大值点，保留信号所对应的模极大值点，然后利用所余模极大值点重构小波系数，进而恢复信号。由于小波变换在信号和噪声中有着不同的传播特性，即随着尺度的增大，信号和噪声所对应的模极大值分别是增大和减小，因此，连续做若干次小波变换之后，由噪声对应的模极大值已基本去除或幅值很小，而所余极值点主要由信号控制。换句话说，小尺度上的模极大值点主要由噪声控制，而大尺度上的点主要由信号控制，所以我们按照尺度从大到小（从下到上）的方向进行去噪，有如下去噪算法：

对含噪信号进行离散二进小波变换。所选分解尺度应使在最大分解尺度下信号的模极大点个数占优且信号的重要奇异点不丢失。一般选取尺读数为4或5为宜。

(1) 求出每个尺度上小波变换系数对应的模极大点。

(2) 在最大分解尺J ，小波变换模极大值几乎完全由信号控制，选一阈值，使 得模极大值小于该阈值的被作为噪声去除，这样就得到最大尺度上新的模极 大值点。

(3) 从尺度J 上的每个模极大点开始，用ad hoc 算法向上搜索其对应的模极大曲 线。具体地，在尺度为 j-1( j =J ， …， 4,3)上寻找尺度 j 上每个模极大值点对 应的传播点，保留由信号产生的模极大点，去除由噪声引起的极大点，并将 每个尺度 j 上不在任意模极大曲线上的极值点去掉，这样逐级搜索直到尺度 j=2 为止。

(4) 对于尺度 j=1，在 j=2 存在极值点的位置上保留 j=1 时相应的极值点，而将其 余位置上的极值点置为零。

(5) 由每一尺度上保留下来的极值点利用适当的重构方法对信号进行恢复。

2.2 相关性去噪方法

对含噪信号作小波变换之后，计算相邻尺度间各点小波系数的相关性，根据 相关性的大小区别小波系数的类型， 从而进行取舍，然后直接重构信号； 设 CW j,k = w jk ·w j +1, k 则称 CW j, k , 为尺度 j 上 k 点处的相关系数。

由于信号在各尺度之间具有一定的相关性，而噪声无此特性，因此尺度空间 上的相关运算削弱了噪声，增强了信号的边缘。 为了使得相关系数与小波系数

具 有可比性，我们定义归一化相关系数。 设,,j k j k w CW =则称,j k w

为归 一化相关系数，其中22,,,j j k j j k k k PW w PCW CW ??==????

∑∑归一化相关系数与小

波系 数 具有相同的能量。相关去噪的核心环节是通过比较 与 的绝对值的大小来抽 取信号的边缘信息，由定理可得,w j,k ,与,j k w 作比较是合理的。余下的是噪声应的小波系数，这样经过若干次迭代之后，所余小波系数的能量会低于某一门槛 值，则认为信号已经被完全提取出来了。 具体实现思路为，若,,j k j k w w > 则认为点k 处的小波变换是由信号控制，相关运算的结果将使该点所对应的小波变

换的幅值增大，将w j,k ,赋给,j k w 的相应位置，并将w j,k ,置0；否则，认为点k 处的小波变换由噪声控制，因此保留w j,k 置,j k w 中保留由有效信号控制的点，而w j,k 中的点全部对应着噪声。

2.3小波阈值去噪

Donoho 提出的通用阈值方法（VisuShrink ），该方法认为信号对应的小波系 数包含有信号的重要信息，其幅值较大，但数目较少，而噪声对应的小波系数是 一致分布的，个数较多，但幅值小。基于这一思想，Donoho 等人提出软阈值和 硬阈值去噪方法。即寻找一合适的数T 作为阈值，把低于T 的小波系数设为零， 而对高于T 的系数，则予以保留或进行收缩，从而得到估计小波系数 ，然后对 进行重构。VisuShrink 阈值公式如式（1）所示:

=T

其中N 代表信号的长度，σ代表高斯噪声级数，即标准差，它可以有下式估计得到:

1?=0.6745

median Det σ 其中 Det1 代表最精细层的小波系数。

根据以上得到的阈值对分解的小波系数作如下处理：

硬阈值估计方法定义如下：

软阈值估计定义为：

2.4改进方法-半软阈值法

软阈值法和硬阈值法虽然在实际中得到了广泛的应用,但它们也存在自身的 不足。软阈值得到的小波系数整体连续性好，从而使估计信号不会产生附加振荡，

但当,j k w ≥ λ 时，w j,k 和,j k w 总存在恒定的偏差，直接影响着重构信号与真实信 号的逼近程度；硬阈值法在均方误差意义上优于软阈值法，但是所得到的估计信 号会产生附加振荡。改进的阈值收缩法主要可以在阈值的选取上进行改进，采用半软阈值函数，如图 1 所示。它可以兼顾软阈值和硬阈值方法的优点，其表达为：

()()

,,22,1,,1,22,1,sgn ,0,j k j k j k j k j k j k j k w w T T w T w w T w T T T w T ?>??-?=<

图1 半软阈值函数

3.实验及结论

3.1原始信号

采用硬阈值法,软阈值法及改进的半软阈值法对信号进行去噪.真实信号来自于某种合金的氧化物的XRD 结果.原始信号如图

2所示。

图2 原始信号

3.2原始信号的分解

采用db4小波对信号进行3次分解，发现信号基本已经没有噪声，因此采用三次分解的结果进行阈值选取以及小波重构。3次小波分解的低频系数和高频系数如图2所示。

图3 利用db4小波进行3次分解

3.3 原始信号去噪重构

根据公式T=以及

1

?=

0.6745

median Det

σ计算得到阈值T,分别采

用硬阈值,阮玉芝以及半软阈值对信号进行去噪,并进行重构.结果如图3所示.从图中可以看出,硬阈值以及软阈值去噪效果已经比较好,且去噪效果基本相同.但是两种方法丢失了信号某些细节信息,且软阈值法在某些相位,信号幅值比原始信号要小.改进的半软阈值法比较有效的去噪,并且保留了信号细节特征,对信号的重构更加准确.而且可以调整半软阈值系数,求得最优去噪阈值.

图4不同方法去噪后的信号

附另一信号去噪重构结果

采用同样的分解,去噪以及重构的方法处理原始信号.结果与结论与之前所述类似.