华科信号与系统期末复习 - 2013.05

第一章绪论

掌握信号的概念、分类及系统的类型与性质。

重点：线性时不变的概念、判断系统是否为线性时不变系统。

线性：同时满足齐次性与叠加性。

时不变性：系统响应的形状不随激励施加的时间不同而改变。同时满足线性和时不变特性的系统的数学模型是常系数的线性微分方程（连续时间系统）或常系数的线性差分方程（离散时间系统）。

习题：1.8

第二章连续时间系统的时域分析

掌握系统的零输入响应、零状态响应及单位冲激响应的概念及奇异函数与卷积积分。

重点：奇异信号的时域描述、单位冲激信号的性质、零输入响应的求解、卷积积分及其物理意义。单位阶跃信号:

，单位冲激信号:

两者的关系：，冲激函数的抽样性：，，LTI 系统的零输入响应：由特征根与系统的初始状态决定。特征根无重根时：有一k 重根时：

1,0()0,0

t t t ε>?=?

-∞

=≠???=???()()

t

t dt t δε-∞

=?()()d

t t dt

εδ=()()(0)()f t t f t δδ=000()()()()

f t t t f t t t δδ-=-()()(0)f t t dt f δ∞

-∞

=?

00()()()

f t t t dt f t δ∞

-∞

-=?1

()()

j n

t

zi j j r t c e t λε==∑1()()()()

j n k

t

k t r t c e t c c t c t e t λλεε--=++++

第二章连续时间系统的时域分析

卷积积分定义：

LTI 系统的零状态响应：

（均为因果信号）

LTI 系统的单位阶跃响应与单位冲激响应的关系：

，重要公式：，，

习题：2.7 2.21

121212()*()()()()()f t f t f f t d f t f d ττττττ

∞

∞

-∞

-∞

=-=-??0()()*()()()t

zs r t e t h t e h t d τττ

==-?()

()*()

zs de t r t r t dt

ε=()()t

h t dt r t ε-∞

=?

()()d

r t h t dt ε=()*()()f t t f t δ=11()*()()f t t t f t t δ-=-1212()*()()

f t t t t f t t t δ--=--

第三章

连续信号的正交分解

掌握周期信号的频谱特点、非周期信号的频谱分析、周期信号频谱与非周期信号频谱的区别与联系、傅立叶变换的性质、频带宽度、帕色伐尔定理与能量频谱。

重点：典型信号的傅立叶变换、典型周期信号的频谱、灵活运用傅立叶变换的性质求频谱。

周期信号的频谱特点：离散性、谐波性、收敛性。典型变换对：，，，

，，

典型周期信号的频谱：

，()1

t δ?12()

πδω?1

()t

e t j αεαω

-?

+000sin()[()()]

t j ωπδωωδωω?+--000cos()[()()]t ωπδωωδωω?++-()()()()

222

G t t t Sa τττωτεετ=+--?2sin()

()m m t G t

ωωωπ?()()k n t kT n δδω∞

∞

=-∞

=-∞

-?Ω-Ω∑∑2T

πΩ=

第三章

连续信号的正交分解

傅立叶变换的主要性质：，

，

，

，，，，

习题：3.123.143.153.20

()()j t f t t F j e ωω--?()()c j t

c f t e F j j ωωω?-1()()

f at F j a a ω

?()2()

F jt f πω?-()()()n n

n

d f t j F j dt

ωω?()

()dF j jtf t d ωω

-?

1()()(0)()t f d F j F j ττωπδωω-∞?+?1212()()()()f t f t F j F j ωω*?12121

()()[()()]2f t f t F j F j ωωπ

?*

第四章

连续时间系统的频域分析

掌握LTI 系统的频域分析方法，各种滤波器的概念及频率特性、系统频率响应函数与系统单位冲激响应的关系、系统不失真的传输条件。

重点：滤波器的概念及频率特性、系统频率响应函数与系统单位冲激响应的关系、系统不失真的传输条件。系统的频域分析：系统频率响应函数与系统单位冲激响应的关系：理想低通滤波器的特性：系统不失真的传输条件：

习题： 4.6 4.8

()()()()()*()

zs R j H j E j r t h t e t ωωω=??=()()

h t H j ω?0,()0,j t c

Ke K j ωωωω-?<=??

其它

??

?-==0

)()(t K j H H ωω?ω)

(ωj H )

(ω?H ω

K 0

掌握常用信号的LT ，LT 的性质，利用拉氏变换求解系统的零输入响应和零状态响应，已知系统函数或微分方程，作系统的模拟图，或已知系统的模拟图或微分方程，求系统函数，判断系统稳定性。

重点：拉氏变换的性质及求解；利用拉氏变换求系统的零输入响应和零状态响应；已知系统的微分方程，求系统函数、单位冲激响应；根据系统函数及其收敛域判断系统的稳定性。拉氏变换的收敛域：

右边信号的收敛域：σ>σa 左边信号的收敛域：σ<σb 双边信号的收敛域：σa <σ<σb

典型变换对：，，，，，()1t δ?1()t s ε?21()t t s ε?1()t

e t s αεα-?

+2

1()()t te t s αεα-?+22

sin ()t t s ωωεω

?+22

cos ()s t t s ωεω?+

拉氏变换的主要性质：

，，线性系统的拉普拉斯变换分析法：（一）运算法---直接求全响应

1．若已知系统方程，则用单边LT 的时域微分性质直接求解。2．若已知电路系统，则先作电路的复频域模型，列出系统的复频域形式的系统方程；再求解该方程（或方程组）得到响应的LT ；最后取反LT 得到响应的时域解.（二）通过H(s)求响应

系统函数的收敛域与系统的稳定性：系统函数的收敛域包含虚轴是稳定系统的充分必要条件。

000()()()st f t t t t F s e ε---?00()()

s t f t e F s s ?-12(1)()()(0)(0)(0)n n n n n n d f t s F s s f s f f dt

------'?---- 1212()()()()f t f t F s F s *?()()()()()()

zi zs zi zs R s R s R s r t r t r t =+?=+()()0(0)(0)zi r t D s r r --'= 由的根及初始状态、、等决定

{}

1()()()()()zs zs zs R s H s E s r t L R s -=?=

第六章

连续时间系统的系统函数

掌握系统函数的定义及计算方法、系统函数的零极点分布与系统时域特性及频域特性的关系、系统稳定性判据。

重点：H(s)与h(t)的关系；H(s)的零、极点，零、极点图；求反馈系统的系统函数H(s)，判断系统稳定性。系统函数的定义：

H(s)与h(t)的关系：

稳定系统：系统函数H(s)的收敛域包含jω轴。

因果系统：系统函数H(s)的收敛域为σ>α。

稳定的因果系统：系统函数H(s)的所有极点都位于s 左半平面。习题：6.18 6.22

)()(s H t h LT

?→←()

()()

zs R s H s E s =

第七章离散时间系统的时域分析

掌握抽样定理、奈奎斯特抽样频率；离散信号的运算及图形表示，差分方程与模拟框图之间的相互表示，离散系统的零输入响应、零状态响应、单位函数响应h(k)的计算，两离散序列的卷积和。

重点：求信号f(t)的奈奎斯特抽样频率，抽样过程的频谱分析，从抽样信号重建原信号的条件，恢复过程的分析，求简单序列的卷积和。单位阶跃序列：，单位函数：两者的关系：，奈奎斯特抽样频率：ωN =2ωm 奈奎斯特抽样间隔：T N =/ωm

理想抽样的抽样信号：

抽样信号的频谱：1,0

()0,0

k k k ε≥?=?

()0,0k k k δ=?=?≠?0

()()()k

i i k k i i εδδ∞

==-∞=-=∑∑()()(1)k k k δεε=--()()()()()s

k k f t f t t kT f kT t kT δδ∞

∞

=-∞

=-∞

=-=-∑∑12()(),s s s k F j F j jk T

T

πωωωω∞=-∞

=-=

∑π

离散系统的零输入响应：由特征根与系统的初始条件决定。

或

离散系统的零状态响应：卷积和：

M 点序列与N 点序列的卷积和是M+N-1点序列。可用竖式乘法

求两个有限长序列的卷积和。习题：7.137.197.29

第七章离散时间系统的时域分析

1()()

n

k zi j j j y k c k γε==∑11211

()[)]()

n

p k k zi p j j j p y k c c k c k c k γγε-=+=++++

∑

（12,,,(0)(1)(1)n zi zi zi c c c y y y n - 由初始条件、、确定

()()()()()

k

ZS j y k h k e k h k j e j ==*=-∑121

2

2

1

()*()()()()()

i i f k f k f k i f i f k i f i ∞

∞

=-∞

=-∞

=

-?=-?∑∑00()*()()

f k k k f k k δ-=-

掌握z 变换及其性质，反z 变换，ZT 法分析离散LTI 系统。重点：常用信号的ZT ，ZT 的移序性，z 域微分等性质。反z 变换，尤其是双边序列的反ZT 。已知系统函数或微分方程，作系统的模拟图，或已知系统的模拟图或微分方程，求系统函数，判断系统稳定性。

Z 变换的收敛域：

因果序列的收敛域：反因果序列的收敛域：双边序列的收敛域：典型变换对：

，，，Z 变换的主要性质：，

，，z a >z b

z k z γεγ

?-2()(1)z k k z ε?-1

()()[()()](0)n n

k

k f k n k z F z f k z

n ε--=+?-≥∑1

()[()()]

n k k n

f k n z F z f k z ---=--?+

∑

()()

k z

a f k F a

?()()d

kf k z F z dz

?-1212()()()()

f k f k F z F z *?

离散时间系统的z 域分析：

（一）通过求全响应（二）直接对差分方程取zT 求全响应Y(z)

系统函数与系统的单位函数响应的关系：稳定系统：系统函数的收敛域包含单位圆。因果系统：系统函数的收敛域为。

稳定的因果系统：系统函数H(z )的所有极点都位于z 平面的单位

圆内。

习题：8.118.188.20

()

()()

N z H z D z ={}

1

()()()()()zs zs zs Y z H z E z y k Z

Y z -=?=1

()0()()

j

n k zi j j j D z y k c k γγε==→=∑()

()()

()

zs Y z H z h k E z =?a z <≤∞

例1已知系统的微分方程为1）求系统的系统函数；

2）求使系统是因果系统的收敛域和单位冲激响应；3）求使系统是稳定系统的收敛域和单位冲激响应。

解：1）系统函数2）因果系统的收敛域应为，由于有两个极点：

所以要使系统是因果系统，则的收敛域应为。

又

故单位冲激响应

3）要系统是稳定的，则的收敛域应为。此时单位冲激响应)()(6)()(t e t r t r t r =-'-'')(s H )(t h )(t h 6

1

)

()()(2--==

s s s E s R s H 0

σσ>3,221=-=s s )(s H 3>σ3

5

1

251)(-++-=s s s H )

()(5

1)(23t e e t h t t

ε--=32<<-σ)(s H 2311()()()

55

t t

h t e t e t εε-=---

例2某LTI 系统的微分方程为：。已知

时系统的全响应为

。1）确定系统的初始状态，；2）假定初始状态保持不变，求系统在

激励下的全响应，指出其中的自由响应分量、受迫响应分量、暂态响应分量和稳态响应分量。

解：1）2）

其中自由响应：

，受迫响应：

全响应全部为暂态响应，没有稳态响应。

()5()6()2()6()r t r t r t e t e t ''''++=+()()e t t ε=23()(165)()t t

r t e e t ε--=+-(0)r -

(0)r -

'3()()t

e t e t ε-=22621211(),()()()(),0

56

2(2)2

zs

s H s E s R s H s E s s s s s

s s s s σ+===?===->+++++2()(1)()

t zs r t e t ε-=-23()()()(75)()

t t zi zs r t r t r t e e t ε--=-=-(0)(0)2,(0)(0)1zi zi

r r r r -+-+''====1222

()()()(),2

3(3)(2)23

zs E s R s H s E s s s s s s σ=?===->-+++++23()(22)()

t t zs r t e e t ε--=-23()()()(97)()

t t zi zs r t r t r t e e t ε--=+=-23(95)()t

t

e e t ε---32()t e t ε--

例3反馈系统如图所示。1）求系统函数；2）求使系统稳定的K 值范围；3）求系统处于临界稳定时的阶跃响应，并指出其中的强迫响应分量和自然响应分量。

解：1）2）当，即时系统稳定。3）当时，系统处于临界稳定，此时

()()()

R s H s E s =

()r t ε∑

E(s)

+

-

(2)(1)(3)

k s s s ++-R(s)

2

(2)

()(2)(1)(3)

()(2)()(2)23

1(1)(3)

k s R s k s s s H s k s E s s k s k s s +++-===++-+-++-20

230

k k ->??->?2k >2k =224

()1

s H s s +=

+2

22

124442

()()(1)11

s s R s H s s s s s s s ε+===-++++()4()4cos ()2sin ()r t t t t t t εεεε=-+

例4已知某稳定的离散系统的差分方程为1）求系统的单位函数响应；2) 说明系统的因果性;3) 给定初始条件,求零输入响应。

解:1) 故

2) 系统是非因果的。

3) 设则有于是

10

(1)()(1)()

3

y k y k y k x k --++=()h k (0)1,(1)2y y ==()zi y k 2

31()[],3

10183

31

3

3

z z z H z z z z z z ==-<<--+-3()[3(1)3()]

8

k k

h k k k εε-=---+12()3()3()

k k

zi y k c k c k εε-=+12

11225181

33238c c c c c c ?

+==???????+=??=???

53()3()3()

88

k k

zi y k k k εε-=+

例5考虑一个离散时间LTI系统，系统函数，。1）求单位阶跃响应；

2）求出时的输出。

解：1）即

所以

2）

所以

例6离散时间因果系统如图所示。1）求系统函数；2）确定使系统稳定的值；3）画出使用最少的延时单元实现该系统的模拟框图。

解：1）由系统框图得

于是

2）要使系统稳定必须满足全部极点必须落在单位圆内，即收敛域

应包括单位圆，所以有3）系统最少需要一个延时单元，框图如下

z -1

z -1

k

1

()(1)

H z z k =

-+z -1

例7某离散时间系统的单位阶跃响应

1）求该离散时间系统的系统函数；2）试写出描述该系统的差分

方程；3）若已知、，，试求该系统的零输入响应、

零状态响应及全响应。解：1）

于是

2）系统的差分方程为

或3）()[232(2)]()k

g k k k ε=+-(1)0y -=1

(2)2y -=()3()k

e k k ε=22

(3)3()(1)(2)32

z z z z

H z z z z z --==---+12()(2)()k

zi

y k c c k ε=+1()(12)()

k zi y k k ε+∴=-22(3)2()(1)(2)33221

zs z z z z z z Y z z z z z z z z -=?==-

----+--1()(21)()

k zs y k k ε+∴=-()()()0

zi zs y k y k y k =+=