平面解析几何学生版

平面解析几何

第1课时 直线的倾斜角与斜率

1. (原创)设m 为常数，则过点A(2，－1)，B(2，m)的直线的倾斜角是________．

2. (必修2P 80第1题改编)过点M(－2，m)，N(m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________．

3. (原创)若过点P(1－a ，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围是________．

4. (必修2P 70练习4改编)已知A(－1，

23)，B(0，3a)，C(a ，0)三点共线，则此三点所在直线的倾斜角α＝________．

5. 设直线l 的倾斜角为α，且π4≤α≤5π

6

，则直线l 的斜率k 的取值范围是

______________．

1. 直线倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时，所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0；直线的倾斜角α的取值范围为[0，π)．

2. 直线斜率的定义

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示，即k ＝tan α.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同．

3. 过两点的斜率公式

过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线，当x 1≠x 2时，斜率公式k

＝tan α＝y 2－y 1

x 2－x 1

，该公

式与两点的顺序无关；当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.

题型1 直线的倾斜角和斜率之间的关系 , 1) 如果三条直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l 1：x －

y ＝0，l 2：x ＋2y ＝0，l 3：x ＋3y ＝0，则α

1，α2，α3从小到大的排列顺序为____________．

变式训练

如果下图中的三条直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1、k 2、k 3从小到大的排列顺序为____________．

题型2 求直线的倾斜角和斜率

, 2) 已知点M(－4，3)，N(2，15)，若直线l 的倾斜角是直线MN 的倾斜

角的一半，求直线l 的斜率．

备选变式（教师专享）

已知点A(－3，1)，点B 在y 轴上，直线AB 的倾斜角为2π

3

，求点B 的坐标．

题型3 求直线的倾斜角和斜率的取值范围

, 3) (2014·苏州调研)经过P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连结A(1，－2)、

B(2，1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________．

备选变式（教师专享） 直线l 经过A(2，1)、B(1，m 2)(m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是________．

1. (2014·山西联考)直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．

2. 已知点A(1，3)，B(－2，－1)，若直线l ：y ＝k(x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是________．

.

3. 已知实数x 、y 满足(x －2)2＋(y －1)2＝1，求z ＝y ＋1

x

的最大值与最小值．

4. 如图所示，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线

AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝1

2

x 上时，求直线AB

的斜率．

1. 已知x 轴上的点P 与点Q(－3，1)连线所成直线的倾斜角为30°，则点P 的坐标为________．

2. 有以下几个命题：

① 直线的倾斜角越大，则斜率越大； ② 垂直于x 轴的直线没有方程；

③ 若直线的斜率为a ，则其倾斜角正切值一定为tana ；

④ 只要直线不过坐标原点，则它一定可以用截距式方程式表示； ⑤ 斜率存在的直线，其倾斜角一定不等于90°.

其中正确的命题是________．(填序号)

3. 已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________．

4. 直线ax ＋y ＋1＝0与连结A(2，3)、B(－3，2)的线段相交，则a 的取值范围是________．

1. 求斜率要熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1

，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)

时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.

2. 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，倾斜角与斜率的关系是k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，因此求倾斜角的取值范围通常需从斜率的范围入手，而求斜率的范围则常需考虑倾斜角的取值范围，但都需要利用正切函数的性质，借助图象或单位圆数形结合，注意直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因

此根据斜率求倾斜角的范围时，要分????0，π2与???

?π

2，π两种情况讨论．由正切函数图象可

以看出当α∈????0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈???

?π

2，π时，

斜率k ∈(－∞，0)．

第2课时 直线的方程

1. 把直线方程Ax ＋By ＋C ＝0(ABC ≠0)化成斜截式为________________，化成截距式为________________．

2. (必修2P 77习题3改编)直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．

3. 下列四个命题：

① 过点P(1，－2)的直线可设为y ＋2＝k(x －1)；

② 若直线在两轴上的截距相等，则其方程可设为x a ＋y

a ＝1(a ≠0)；

③ 经过两点P(a ，2)，Q(b ，1)的直线的斜率k ＝1

a －b

；

④ 如果AC<0，BC>0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第二象限． 其中正确的是_____________．(填序号)

4. (必修2P 74练习3改编)过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．

5. (必修2P 73练习3改编)若一直线经过点P(1，2)，且在y 轴上的截距与直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距相等，则该直线的方程是________．

1. 直线方程的五种形式

111222(1) 若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1． (2) 若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1． (3) 若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y x ＝0． (4) 若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0． (5) 直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系如下表：

若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y)，则?

??x ＝x 1＋x 22

，

y ＝y 1＋y 22

，

此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．

题型1 求直线方程

, 1) (必修2P 115复习题5、6改编)已知直线l 过点P(5，2)，分别求满足

下列条件的直线方程．

(1) 直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍；

(2) 直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为5

2

.

变式训练 (2014·常州模拟)过点P(－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________． 题型2 含参直线方程问题

, 2) (2014·银川改编)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1) 若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2) 若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围； (3) 求证：无论a 为何实数值，直线l 恒过一定点M. 备选变式（教师专享）

直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B.点O 是坐标原点． (1) 当△ABO 的面积最小时，求直线l 的方程； (2) 当||MA ||MB 最小时，求直线l 的方程． 题型3 直线方程的综合应用

, 3) 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．

(1) 当a ＝1时，直线l 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点．若动点P(m ，n)在线段AB

上，求mn 的最大值；

(2) 若a>－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，求△OMN 面积取最大值时，直线l 的方程．

备选变式（教师专享）

直线l 经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．

1. (2014·海淀模拟改编)直线l 经过点A(1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．

2. (2014·长春调研改编)一次函数y ＝－m n x ＋1

n

的图象同时经过第一、三、四象限的必要

不充分条件是________．(填序号)

① m>1，且n<1；② mn<0；③ m>0，且n<0；④ m<0，且n<0.

3. 直线l 经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为________．

4. (2014·银川联考)已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，若动点P(a ，b)在线段AB 上，则ab 的最大值为________．

5. 已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：

(1) △ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2) BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．

6. (原创)若直线l 的方程为(2m 2－m －1)x ＋(m 2－m)y ＋4m －1＝0，求： (1) 参数m 的取值集合；

(2) 若直线l 的斜率不存在，试确定直线l 在x 轴上的截距；

(3) 若直线l 在y 轴上的截距等于直线4x －y －2＝0的斜率，求直线l 的方程．

1. 直线x ＋a 2

y －a ＝0(a>0，a 是常数)，当此直线在x 、y 轴上的截距和最小时，a ＝________．

2. (原创)如果AC<0且B

C

>0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第________象限．

3. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y)为整点．下列命题中正确的是________．(填序号)．

① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③ 直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；

④ 直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线．

4. 不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________．

5. 对直线l 上任一点(x ，y)，点(4x ＋2y ，x ＋3y)仍在此直线上，求直线方程．

1. 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；而选用两点式时不要忽视与坐标轴垂直的情况．

2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．

第3课时 直线与直线的位置关系

1. (必修2P 93练习1改编)已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于________．

2. (必修2P 85习题7改编)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________．

3. 经过点(－2，3)，且与直线2x ＋y －5＝0平行的直线方程为________． 3)，所以直线方程为y －3＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋1＝0.

4. (必修2P 85习题3改编)已知直线l 过两条直线3x ＋2y －1＝0和2x －3y ＋8＝0的交点，

且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是________．

5. (必修2P 106习题18改编)已知直线l ：y ＝3x ＋3，那么直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程为____________．

1. 两条直线的位置关系

设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐

标就是方程组?????A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，

A 2x ＋

B 2y ＋

C 2＝0

的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交

点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．若方程组有无数个解，则两直线方程表示的直线重合．

3. 几种距离

(1) 两点间的距离

平面上的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)间的距离公式： d(A ，B)＝AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. (2) 点到直线的距离

点P(x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C|

A 2＋B

2

. (3) 两条平行线间的距离

两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|

A 2＋

B 2

.

题型1 两直线的平行与垂直

, 1) 两条直线l 1：(m ＋3)x ＋2y ＝5－3m ，l 2：4x ＋(5＋m)y ＝16，分别求

满足下列条件的m 的值．

(1) l 1与l 2相交； (2) l 1与l 2平行； (3) l 1与l 2重合； (4) l 1与l 2垂直． 变式训练

已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1) 试判断l 1与l 2是否平行； (2) l 1⊥l 2时，求a 的值． 题型2 两直线的交点

, 2) (2014·江苏联考)已知点A(3，3)，B(5，2)到直线l 的距离相等，且

直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．

备选变式（教师专享）

已知直线l 经过点P(3，1)，且被两平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l 的方程．

题型3 点到直线及两平行直线之间的距离

, 3) 已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x

＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是75

10

.

(1) 求a 的值；

(2) 能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ① 点P 在第一象限；

② 点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的1

2

；

③ 点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．

备选变式（教师专享）

已知点P 1(2，3)、P 2(－4，5)和A(－1，2)，求过点A 且与点P 1、P 2距离相等的直线方程．

题型4 对称问题

, 4) 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1) 点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；

(2) 直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3) 直线l 关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． 备选变式（教师专享）

在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从

点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P(如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于________．

题型5 三角形中的直线问题

, 5) 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，且A 、B 的坐标

分别为A(－4，2)、B(3，1)，求顶点C 的坐标并判断△ABC 的形状．

备选变式（教师专享）

已知△ABC 的顶点为A(3，－1)，AB 边上的中线所在的直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在的直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在的直线方程．

1. (2014·长沙模拟)已知过点A(－2，m)和点B(m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n ＝________．

2. 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．

3. 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为________．

4. m 为何值时，直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my －4＝0不能围成三角形？

1. 若动点A 、B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为______．

2. (2014·济南模拟)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝________．

3. (2014·金华调研)当0

2

时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在

第________象限．

4. 已知△ABC 的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，又知∠C 的平分线所在的直线方程为2x －3y ＋6＝0，求三角形各边所在直线的方程．

1. 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．

2. 在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式，否则会出错．

3. 对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1) 中心对称

① 点P(x ，y)关于O(a ，b)的对称点P′(x′，y ′)满足 ?

????x′＝2a －x ，y ′＝2b －y. ② 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2) 轴对称

① 点A(a ，b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n)，则有n －b m －a 3???

?

－A B ＝

－1，A 2a ＋m 2＋B·b ＋n

2

＋C ＝0.

② 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．

第4课时 圆 的 方 程

1. (必修2P 100练习4改编)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为________．

2. (必修2P 100习题2改编)已知圆内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是A(5，1)，B(－3，－5)，则这个圆的标准方程为________．

3. (必修2P 100习题6改编)已知圆C 经过点A(1，1)和点B(2，－2)，且圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，则这个圆的一般方程为________．

4. (必修2P 100习题7改编)设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0

________．

5. (原创)实数x 、y 满足x 2＋(y ＋3)2＝4，则(x －3)2＋(y －1)2的最大值为________．

1. 圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．

2. 圆的标准方程

(1) 以(a ，b)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2． (2) 特殊的，x 2＋y 2＝r 2(r>0)的圆心为(0，0)，半径为r ． 3. 圆的一般方程

方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0变形为

????x ＋D 22＋????y ＋E 22

＝D 2＋E 2－4F 4

. (1) 当D 2＋E 2－

4F>0时，方程表示以???－D 2，－E 22

(2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点????－D 2

，－E 2； (3) 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形． 4. 点与圆的位置关系

点M(x 0，y 0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系： (1) 若M(x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2>r 2． (2) 若M(x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2． (3) 若M(x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2

题型1圆的方程

,1)已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．

(1) 求实数m的取值范围；

(2) 求该圆半径r的取值范围；

(3) 求圆心的轨迹方程．

变式训练

已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.

(1) 若圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程；

(2) 圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．

题型2求圆的方程

,2)(2014·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________．

备选变式（教师专享）

已知圆C的圆心与点P(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A、B两点，且||

AB＝6，求圆C的方程．

,3)在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.

(1) 求实数b的取值范围；

(2) 求圆C的方程；

(3) 圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．

备选变式（教师专享）

已知直线l1、l2分别与抛物线x2＝4y相切于点A、B，且A、B两点的横坐标分别为a、b(a、b∈R)．

(1) 求直线l1、l2的方程；

(2) 若l1、l2与x轴分别交于P、Q，且l1、l2交于点R，经过P、Q、R三点作圆C.

①当a＝4，b＝－2时，求圆C的方程；

②当a，b变化时，圆C是否过定点？若是，求出所有定点坐标；若不是，请说明理由．

题型3与圆有关的轨迹问题

,4)设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

备选变式（教师专享）

(2014·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．

题型4与圆有关的最值问题

,5)已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．

(1) 求|MQ|的最大值和最小值；

(2) 若M(m，n)，求n－3

m＋2

的最大值和最小值．

变式训练

已知实数x、y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1，则2x－y的最大值为________，最小值为________．

1. (2014·南京期中)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋(y－1)2＝4上存在A、B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________．

2. (2014·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各

点到l 的距离的最小值为________．

3. (2014·昆明模拟改编)方程|x|－1＝1－（y －1）2所表示的曲线是________.

4. (2013·重庆卷改编)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．

5. 如图，已知点A(－1，0)与点B(1，0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连结BC 并延长至D ，使得CD ＝BC ，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．

6. (2014·龙岩质检)已知圆C 经过点A(－2，0)，B(0，2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．

(1) 求圆C 的方程；

(2) 过点(0，1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．

1. (2014·如皋期末)已知点(1，1)在圆x 2＋y 2＋x －3y ＋3k ＝0外，则实数k 的取值范围是________．

2. 光线从A(1，1)出发，经y 轴反射到圆C ：x 2＋y 2－10x －14y ＋70＝0的最短路程为________．

3. (2014·济南模拟)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．

4. 已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；

③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为5

5

，求该圆的方程．

5. 已知直线2ax ＋by ＝1(a 、b 是实数)与圆O ：x 2＋y 2＝1(O 是坐标原点)相交于A 、B 两点，且△AOB 是直角三角形，点P(a ，b)是以点M(0，1)为圆心的圆M 上的任意一点，求圆M 的面积的最小值．

1. 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：

(1) 几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量，直接写出圆的方程．常用到的圆的如下三个性质：

① 圆心在过切点且垂直于切线的直线上； ② 圆心在任一弦的中垂线上；

③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 几何法体现了数形结合思想的运用．

(2) 代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解．大致步骤为： ① 根据题意，选择标准方程或一般方程；

② 根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组； ③ 解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 2. 解决与圆有关的最值问题的常用方法

(1) 形如u ＝y －b

x －a

型的最值问题，可转化为定点(a ，b)与圆上的动点(x ，y)的斜率的最值

问题．

(2) 形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题．

(3) 形如(x －a)2＋(y －b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．

第5课时 直线与圆的位置关系

1. (必修2P 103练习3改编)圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P(1，3)处的切线方程为________．

2. (必修2P 105练习1改编)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的公切线条数为________．

3. (必修2P 103练习2改编)已知直线ax ＋by ＝1与圆 O ：x 2＋y 2＝1相离，则点M(a ，b)与圆O 的位置关系是________．

4. (必修2P 115复习题11改编)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为

23，则a ＝________．

5. (必修2P 107习题4改编)以点(2，－2)为圆心并且与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0相外切的圆的方程是________．

1. 直线与圆的位置关系

(1) 直线与圆相交，有两个公共点； (2) 直线与圆相切，只有一个公共点； (3) 直线与圆相离，无公共点． 2. 直线与圆的位置关系的判断方法

直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)的位置关系的判断方法：

(1)几何方法

圆心(a ，b)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ，

dr 直线与圆相离． (2) 代数方法

由Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ，则

Δ>0 直线与圆相交；Δ＝0 直线与圆相切；Δ<0 直线与圆相离． 3. 圆与圆的位置关系及判断方法

(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． (2) 判断两圆位置关系的方法 设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)．圆心距O 1O 2＝d ，则

题型1 直线与圆、圆与圆的位置关系

, 1) 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m

－4＝0(m ∈R )．

(1) 求证：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点； (2) 求直线被圆C 截得的弦长最小时直线l 的方程． 变式训练

已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0(m ∈R )． (1) 求证：不论m 取什么值，圆心在同一直线l 上； (2) 与l 平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离？ 题型2 直线与圆相交的弦的问题

, 2) (2014·苏北三市期末)已知△ABC 的三个顶点A(－1，0)、B(1，0)、

C(3，2)，其外接圆为圆H.

(1) 若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；

(2) 对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点M 、N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围．

备选变式（教师专享） (2014·南京综合)如图，在Rt △ABC 中，∠A 为直角，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在直线AC 上，斜边中点为M(2，0)．

(1) 求BC 边所在直线的方程；

(2) 若动圆P 过点N(－2，0)，且与Rt △ABC 的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P 中半径最小的圆方程．

题型3 圆的切线问题

, 3) (2014·豫东豫北十校联考改编)圆心在曲线y ＝3

x

(x>0)上，且与直线

3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为________．

备选变式（教师专享）

自点A(－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆C ：x 2

＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切．求：

(1) 光线l 和反射光线所在的直线方程； (2) 光线自A 到切点所经过的路程． 题型4 定点、定值问题

, 4) (2014·金陵中学仿真)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋1)2

＋y 2

＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1.

(1) 若过点C 1(－1，0)的直线l 被圆C 2截得的弦长为6

5

，求直线l 的方程；

(2) 设动圆C 同时平分圆C 1的周长、圆C 2的周长． ① 证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；

② 动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

备选变式（教师专享）

已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1，0)．

(1) 若l1与圆相切，求l1的方程；

(2) 若l1与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由．

【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)

直线l过点(－4，0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果AB＝8，求直线l的方程．

学生错解：解：设直线l的方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，

2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|

1＋k2

＝3，解得k＝－

5

12，此时直线方程为5x＋12y＋

20＝0.

审题引导：(1) 如何设过定点的直线的方程？(2) 圆中弦长的问题，通常作怎样的辅助线构造直角三角形来解决？

规范解答：解：过点(－4，0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；(4分)

若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，

即|3k－2|

1＋k2

＝3，解得k＝－

5

12，(10分)

此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，(12分)

综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.(14分)

错因分析：1. 解答本题易误认为斜率k一定存在从而漏解.2. 对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在，以避免漏解．

1. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是____________．

2. (2014·成都模拟改编)直线l：mx＋(m－1)y－1＝0(m为常数)，圆C：(x－1)2＋y2＝4，则下列说法正确的是________．(填序号)

①当m变化时，直线l恒过定点(－1，1)；

②直线l与圆C有可能无公共点；

③对任意实数m，圆C上都不存在关于直线l对称的两点；

④若直线l与圆C有两个不同交点M、N，则线段MN的长的最小值为2 3.

3. (2014·南京二模)在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点．若OA⊥OB，则直线l的斜率为________．

4. (2014·盐城二模)两圆相交于两点(1，3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，且m、c均为实数，则m＋c＝________．

5. (2014·扬州质检)若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．

6. (2014·福州调研)已知圆M ：x 2

＋(y －2)2

＝1, Q 是x 轴上的动点，QA 、QB 分别切圆M 于A 、B 两点．

(1) 若|AB|＝42

3

，求|MQ|、Q 点的坐标以及直线MQ 的方程；

(2) 求证：直线AB 恒过定点．

1. (2014·南通二模)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k(x ＋1)上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是________．

2. (2014·长沙模拟)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b)向圆所作的切线长的最小值是________．

3. (2014·青岛二中质检)若圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0上恰有两点到直线2x ＋y ＋c ＝0(c ＞0)的距离等于1，则c 的取值范围为________．

4. 已知以点C ???

?t ，2

t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．

(1) 求证：△AOB 的面积为定值；

(2) 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM|＝|ON|，求圆C 的方程；

(3) 在(2)的条件下，设P 、Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P 的坐标．

5. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．

(1) 若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．

1. 两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．

2. 圆的弦长的常用求法

(1) 几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则????12l 2＝r 2－d 2，即l ＝2r 2－d 2.

(2) 代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式

AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2].

3. 在求过某点的圆的切线方程时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．在处理直线和圆相交所得的弦的弦长问题时，常考虑几何法．

第6课时 椭 圆(1)

1. 设P 是椭圆x 225＋y 2

16

＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则△PF 1F 2的周长等于

________．

2. (选修21P 73复习题6改编)椭圆x 2＋my 2＝1与4x 2＋y 2＝1有相同交点，则m 的值为________.

3. 若椭圆x 216＋y 2

b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为________．

4. 方程x 2

25－m ＋y 2

16＋m

＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．

5. 已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为1

2

，焦距为8，则该椭圆的方

程是________．

1. 椭圆的定义

平面内到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F 1、F 2间的距离叫做椭圆的焦距．

2. 椭圆的标准方程和几何性质

题型1 椭圆的定义及其应用

, 1) (2014·苏州调研)已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 2

25

＝1(a ＞5)，它的两个焦点

分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为________．

变式训练

(2014·唐山二模改编)P 为椭圆x 24＋y 2

3

＝1上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2

＝60°，则PF 1→2PF 2→

等于________．

题型2 椭圆的标准方程及其应用

, 2) (2014·南通期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝

1(a>b>0)过点?

???1，3

2，离心率为32，又椭圆内接四边形ABCD(点A 、B 、C 、D 在椭圆上)

的对角线AC 、BD 相交于点P ???

?1，14，且AP →＝2PC →，BP →＝2PD →. (1) 求椭圆的方程； (2) 求直线AB 的斜率．

备选变式（教师专享）

(2014·安徽)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2

＋y 2

b

2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线

交椭圆E 于A 、B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B|，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．

答案：x 2＋3

2

y 2＝1

题型3 椭圆的几何性质及其应用

, 3) (2014·江苏百校联考)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a>b>0)，A 、B 分别

是椭圆长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别

为k 1、k 2，若|k 12k 2|＝1

4

，则椭圆的离心率为________．

备选变式（教师专享）

(2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的

左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b)，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.

(1) 若点C 的坐标为????

43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2) 若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．

题型4 求椭圆离心率的值或取值范围

, 4) (2014·南师附中冲刺)在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2

＝1(a ＞b ＞0)上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点．若△PQM 是钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是________．

备选变式（教师专享）

已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(－

c ，0)，F 2(c ，0)，若椭圆上存在点

P ，使a sin ∠PF 1F 2＝c

sin ∠PF 2F 1

，则该椭圆的离心率的取值范围为________．

【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)

若椭圆x 2m ＋y 2

4

＝1的焦距为2，求椭圆上的一点到两个焦点的距离之和．

学生错解：解：∵ 2c ＝2，即c ＝1，∴m －4＝1，∴a ＝5，则椭圆上的一点到两个焦

点的距离之和为2 5.

审题引导： (1) 椭圆的定义；

(2) 椭圆中参数a ，b ，c 满足a 2－b 2＝c 2；

(3) 焦点在x 轴与焦点在y 轴上的椭圆的标准方程的区别． 规范解答： 解：∵ 2c ＝2，即c ＝1，(4分)

∴ 当焦点在x 轴上时，m －4＝1，∴ a ＝5，(6分) 则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为25；(8分)

同理，当焦点在y 轴上时，4－m ＝1，∴ b ＝3，a ＝2，(10分) 则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为4，(12分)

∴ 椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为25或4.(14分)

错因分析： 本题考查了椭圆的定义及标准方程，易错原因是忽略椭圆焦点位置对参数的影响．当椭圆焦点位置不确定时，一般要分类讨论．

1. (2014·镇江模拟)已知椭圆x 2

10－m ＋y

2

m －2

＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于

________．

2. 已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A 、B 两点，且|AB|＝3，则C 的方程为________．

3. 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.求C 的方程．

4. (2014·淮阴中学质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的离心率为1

2

，且过点A ????1，32. (1) 求椭圆C 的方程；

(2) 若点B 在椭圆上，点D 在y 轴上，且BD →＝2DA →

，求直线AB 的方程．

5. (2014·苏州暑期调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a>b>0)的长轴两端点分别为A 、B ，P(x 0，

y 0)(y 0>0)是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使AD ＝kb(k>0)，PD 交AB 于点E ，PC 交AB 于点F.

(1) 如图①，若k ＝1，且P 为椭圆上顶点时，△PCD 的面积为12，点O 到直线PD 的距离为6

5

，求椭圆的方程；

(2) 如图②，若k ＝2，试证明：AE 、EF 、FB 成等比数列．

1. (2014·西安模拟)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 2

9

＝1有相同焦点的椭圆的标准方程

为________．

2. (2014·全国改)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为3

3

，

过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________．

3. 已知点A(4，0)和B(2，2)，M 是椭圆x 225＋y 2

9

＝1上一动点，则|MA|＋|MB|的最大值

为________．

4. 从椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x

轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．

5. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y

2

b

2＝1(a>b>0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上

顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.

(1) 若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；

(2) 若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→2AB →＝3

2，求椭圆的方程．

1. 求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F 1F 2|这一条件．

2. 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a 、b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1 (m>0，n>0，m ≠n)的形式．

3. 求椭圆的离心率的方法

(1) 直接求出a 、c 来求解e.通过已知条件列方程组，解出a 、c 的值．

(2) 构造a 、c 的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a 、c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．

(3) 通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．

第7课时 椭 圆(2)