常微分方程习题 (1)
习题 2.5
1. 求解下列方程的解
（1） ysinx+
dx
dy cosx=1 解：移项得，dx
dy cosx=1-ysinx 两边同除cosx 得dx dy =—x x cos sin y+x cos 1 所以，y=e ?x x d cos )
(cos 1（?x cos 1e ?-x x d cos )(cos 1dx+c ）
y=cosx(2)cos 1(?
x dx+c) y=cosx(?2sec xdx+c)
y=cosx(tanx+c)
所以 y=sinx+cosxc 为方程的通解
(2)ydx-xdy=x 2ydy
解：两边同除x 2得，2
x xdy ydx -=ydy 则d （x y -）=d （2
2
y ） 所以，x
y y +22=c 为方程的通解。 （3）
dx
dy =4e -y sinx-1 解：两边同乘以e y 得，e y dx dy
=4sinx-e y 所以dx
e d y )
(=4sinx-e y 令u=e y 得，
u x dx du -=sin 4 u=e ?-dx 1 (??dx xe sin 4dx+c)
u=e -x (?
x xe sin 4dx+c) 又因为?x xe sin 4dx=4?x xde sin =4sinxe x -4?x e dsinx=4sinxe x -4?
x xe cos dx=4sinxe x -4 ?x xde cos =4sinxe x -4e x cosx+4?x e d （cosx ）=4sinxe x -4e x cosx-4?
x xe sin dx
所以dx xe x ?
sin 4=2e x sinx-2e x cosx （分步积分法） 即e y =e -x （2e x sinx-2e x cosx+c ）所以e y =2（sinx-cosx ）+ce -x 为方程的通解。
（4）dx dy =xy
x y - 解：分子分母同除x 得，x y
x y dx dy -=1
令u=x y ，则y=ux,由此u dx du x dx dy +=,代入原方程得，x dx du +u=u
u -1 化简得，x
dx du =u u u -1
当u u ≠0时，du u
u u -1=x 1dx （dx x du u
u u 1)11=- （dx x
du u u 1)123
=-- c x u u
+=--ln ln 2
1 1ln ln 2
c u x u
++=- )21(ln 2111c y u
-+-= 令-c c =121 则c y u
+-=ln 211 即c y y x +-=ln 21，2)ln 21(c y y x +-= 即x=y （-2)ln 2
1c y + 经验证，y=0也是方程的解。 （5）（xye y x
+y 2）dx-x 2e y x dy=0
解：原方程可写为2
2y xye e x dy dx y x
y x +==1)(2+y x e y x y x e y x （分子分母同除y 2） 令u=y x ，所以x=uy ，对y 求导得，u y dy
du dy dx += 即1
2+=+u u
ue e u u y dy du 1+-=u ue u dy du ×y
1 将上述分离变量，可得，-dy y
du u ue u 11=+，即-e u du-du u 1=dy y 1 两边积分得，-e u -ln c y u +=ln ，c 为任意常数 整理得，ln c e uy u =+即ln x +e y x =c 为方程的通解。
（6）(xy+1)ydx-xdy=0 解：由题意可知，12+=??xy y
M ，1-=??x N 所以M x N y M -??-??=-y 2（y ≠0），从而求得方程的积分因子?=e ?-dy y 2=21y
两边同乘以积分因子得，012=-+dy y
x dx y xy 化简得，xdx+012=-dy y x dx y ,即0)21(22=-+y
xdy ydx x d d(0)()212=+y x d x ,所以c y
x x =+22为方程的通解。 经验证，y=0也为方程的解。
（7）(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0 解：原方程可化为2
122-++--=y x y x dx dy =21)(2-+++-y x y x
此时，22
121-==b b a a ，则令u=x+y,所以dx dy dx du +=1 即2121-+-+=u u dx du ，dx du u u =+-1
2 dx du u
u du u =+-+112 dx du u
u du u =+-+-+11112 dx du u
du du u =++-+1112 两边积分得， ln(1+u)2-u+ln u +1=x+c 1
ln(1+u)3=x+u+c 1即（1+u ）3=e x e u e 1c 令e 1c =c 得，（1+u ）3=ce x+u
所以方程的通解为（x+y+1）3=ce （2x+y ）
（8）32
x
y x y dx dy += 解：2311y x
y x dx dy +=（伯努利方程） 两边乘以)2(-y （y ≠0）得，3)1()2(11x
y x dx dy y +=-- 令z=y （-1），从而，dx
dy y dx dz )2(--=，则此伯努利方程可化为 31x
x z dx dz --=（一阶非齐次线性微分方程） 利用公式可得，z=)1(1
31c dx e x e dx x dx x +?-?- z=)1(12c dx x
x +- z=
x c x +21,所以+=211x y x c 为方程的通解。 经验证，y=0也为方程的解。
（9）23-+=x y dx
dy 解：由题意可知，此方程为一阶非齐次线性微分方程。 所以利用公式可得，y=))2((33c dx e x e dx dx +?-?
- y=e ))2(()3(3c dx e x x x +--
y=)2()3()3(3c dx e dx xe e x x x +---(利用分步积分法求dx xe x ?
-)3(的原函数) y=)3
29131()3()3()3(3c e e xe e x x x x
++----- 所以y=-x ce x 39
531++为原方程的通解。 （10）2)(1dx dy dx dy x += 解：令dx dy p =，则2)(1p xp +=即p
p x 1+= dy dp p dy dp dy dx 21-=可得)11(12p p -=dy
dp 所以，dy=（p-)1p
dp y=c p p +-ln 2
12 即方程的通解为???
???????????+-=≠+=c p p y p p p x ln 21)0(12 （11）3
12+++-=y x y x dx dy 解：方程可化为（x-y+1）dx=（x+y 2+3）dy
x
N y M ??=-=??1故该方程为恰当微分方程，有 xdx-ydx+dx-xdy-y 2
dy-3dy=0
(x+1)dx-(y 2+3)dy-ydx-xdy=0 d(
0)()33
1()2132=-+-+xy d y y d x x 所以033
12132=---+xy y y x x 为方程的通解。 （12）x y xe dx dy e =+-)1( 解：方程两边同乘以y
e 得， y x xe dx
dy +=+1
令u=x+y ，可得
dx dy dx du +=1 即u xe dx
du =（e u >0），利用变量分离得，xdx du e u =- 两边同时积分得，-e -u =22
1x +c 1 所以c x e y x =++-2)(2
1为方程的通解。 （13）(x 2+y 2)dx-2xydy=0 解：由题意可知，y y
M 2=??，y x N 2-=?? N x N y M ??-??=-x 2，从而求得方程的一个积分因子为221x
e dx x =?- 方程两边同时乘以积分因子得，dx+0222=-dy x y dx x
y 0)(2
=-+x
y d dx 所以，x 2-y 2=xc 为方程的通解。
（14）1++=y x dx
dy 解:由题意可知，该方程为一阶非齐次线性微分方程。 利用公式可得，y=))1((c dx e x e dx dx +?+?-
y=))1((c dx e x e x x ++-（利用分步积分法求dx xe x ?
-得积分） y=)(c e e xe
e x x x x +------ y=-x-2+e x c
所以x+y+2=e x c 为方程的通解。
（15）x
y e dx dy x y
+= 解：令u=x
y ，则y=ux ，u dx du x dx dy += 所以，x u e u dx
du u +=+ dx x du e u 1=-，两边同时积分得，-e -u =ln c x + 1
所以c x e x y
=+-ln 为方程的通解。
（16）（x+1）y e dx
dy -=+21 解：两边同时乘以y e 得，2)
1(=++y y e dx dy x e 令y e u =，则有（x+1）
2=+u dx du dx x
du u +=-1121 -ln c x u ++=-1ln 2 1 ln 122c y y xe x e +-+-=0
1221=+-+-c xe x e y y
所以（x+1）e y =2x+c 为方程的通解。
（17）（x-y 2）dx+y （1+x ）dy=0
解：由题意可知，y y
M 2-=?? ,y x N =?? x N x N y M +-=??-??13，从而求得方程的一个积分因子为313)
1(1x e dx x +=?+- 两边同时乘以积分因子得，0)1()1()1(2
323=+++-+dy x y dx x y dx x x 两边同时积分得，0))
1(2()11)1(21(22
2=+++-+x y d x x d 即12211)1(21c x
x y =+-++，经化简得，y 2=2x+1+2c 1（1+x ）2 所以y 2=c （1+x ）2+2x+1为方程的通解。
（18）0)1(24322=-+dy y x dx y x 解：由题意可知，y x y
M 28=??，y x x N 26=?? y
M x N y M 21-=-??-??，从而求得方程的一个积分因子为2121--=?y e dy y =
两边同时乘以21-y 得，0)22(421213232=-+-dy y y x dx y x 即dy y
dy y x dx y x 21
213232224-=+ 两边同时积分得，)4()3
4(21233y d y x d = 所以121
23343
4c y y x += 经化简，c y y x +=212333为方程的通解。 （19）04)(2)(
2=+-x dx
dy y dx dy x 解：令dx dy p =，则xp 2-2yp+4x=0 即x p x p y 22+=，所以x dx dp p p x dx
dp p dx dy 212222+++-= 经化简得，dx x
dp p 11= 1ln ln c x p +=经化简可得
c x p =即cx p = 又因为)04(4222
≠++==p p yp c p x ，所以c x c c p y 2424222+=+= 当042=+p 时，2±=p 可知x y 2±=也为方程的解
所以x y x c cy 2;4222±=+=为方程的通解。
（20）1)(
122=??????-dx dy y 解：令sin =dx
dy θ，则方程化为，1)sin 1(22=-θy 即y=θcos 1，则θθ
θd dy 2cos sin = 因为θ
θθθθθθ22cos cos sin sin 1sin d d dy dx === 两边同时积分得，x=tan θ+c ，c 为任意常数 则方程的解为｛c x y +==
θθtan cos 1 即1)(22++=c x y
经验证，当sin θ=0，的y=±1也是方程的解。
（21）0)1()1(=-
++dy y
x e dx e y x y x 解：经化简可得，y x
y x
e y x e dy dx +-=1)1( 令y
x v =，vy x =，则dy dv y v dy dx += v v e v e dy dv y v +-=+1)1(,v v e
v e dy dv y ++-=1)((1) 当0≠+v e v 时，dy y v e dv e v v 1)()1(=+-+ -1ln ln c y v e v +=+
()
1ln c y v e v =+ ())(1c v e c c y v e ±==+
当0=+v e v 时，由()v e v f v +=的性质可知，必存在1v v =使得011=+v e v 。 经验证，1v v =也为方程(1)的解。
综上所述，c v e y v
=+)(为方程的解。 （22）03242
23=-+dy y
x y dx y x 解：46y x y M -=??，46y
x x N -=?? 因为
x N y M ??=??所以该方程为恰当微分方程。 032142
32=-+dy y
x dx y x dy y 0)()1(32
=+-y
x d y d
所以0132
=+-y
x y 为方程的通解。 （23）0)1(2=++-dy y x ydx 解：由题意可知，1,1-=??=??x
N y M 所以y
M x N y M 2=-??-?? 所以可得该方程的一个积分因子为2
2
1y e dy y =? 当0≠y 时，两边同时乘以积分因子得dy y y y xdy ydx 22
21+=- 即)1()(y y d y x
d -=，则有c y y
y x ++-=1 所以)()1(c y y x +=+为方程的通解
经验证，y=0也是方程的解。
（24）0)]([2
2=-+-xdy dx y x x y 解：两边同除2
2y x +得，dy y x x dx y x y x x y 222222)(+=++- 经化简得，xdx dy y x x dx y x y =+-+2
222 所以c x y x +=2
arctan 2
为方程的通解。 （25）0=-+x e dx
dy dx dy 解：令p dx dy =，则p e p x +=即p e dy
dp dy dp dy dx += )2
()(arctan 2x d y x d =
可得dy
dp e p p )1(1+=即dp e p dy p )1(+= 两边同时积分得，c e pe p y p p +-+=2
2
所以方程的解为c e p p y e p x p p
+-+=+=)1(2,2
（26）0)()32(223
2
=++++dy y x dx y y x xy 解：222y x x y
M ++=??，x x N 2=?? 1=??-
??N
x N y M ,则该方程的一个积分因子为x dx e e =?9 方程两边同时乘以积分因子得，
0)3()2(223
2=++++dy y e dy x e dx y e ydx x e xydx e x x x
x x 0)3()()2(3
2
2=+++x x x x e y d y x e d dx x e x e y 所以，213
2
3c e y y x e x x +-= 经化简，c y y x e x =+)3(32为方程的通解。 (27)5
64432++++=y x y x dx dy 解：令y x u 32+=，则
dx dy dx du 32+=，即5
222752432++=+++=u u u u dx du 当0227≠+u 时，分离变量得dx du u u =++22
752 两边积分得1227ln 49
972c x u u +=+- 把y x u 32+=代入上述方程得，)233(14)72232ln(9c x y y x +-=++，c 为任意常数。 0)3()()(3
2
2=++x x x e y d y x e d y x e d
当0227=+u 时，0)72232(7227=+
+=+y x u 即07
2232=++y x 所以方程的通解为)233(14)72232ln(9c x y y x +-=++或07
2232=++y x （29）xy e x
y dx dy =+ 解：令xy u =则dx
dy x y dx du += 所以u e x
u x u dx du x =+-2)(1 u e x
u x u dx du x =+-221 xdx e du u = )2()(2
x d e d u
=-- c e x xy =+-2
2
所以c e x xy =+-2
2
为方程的通解。 （30）252233363224y
y y x x xy x dx dy +-+-= 解：)
363()224(22232+-+-=y x y y x x dx dy 则3
6322432322+-+-=y x y x xdx dy y 令32,y v x u ==则有1212+-+-=v u v u du dv 0)12()12(=+--+-du v u dv v u 022=-+-+-du vdu udu dv vdv udv 则0)()()(22=--+-du u d dv v d uv d 022=--+-u u v v uv
所以c x x y y y x +++=+246332
化简为c y x y x ++=-+6432)1)(1(为方程的通解。
常微分方程练习题及答案复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
常微分方程试题库
常微分方程试题库 二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'； 选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解， （2分） 当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ， （2分） 积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分） （分） （22 3. 解方程： 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t
常微分方程习题及答案
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是 。
8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+x dy y dx 的通解为 。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。
常微分方程习题集
《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程， 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程， 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为 欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2
一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程． 三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）
四、求解微分方程组 满足初始条件的解. （10%） 五、证明题：（10%） 设，是方程 的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题 指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3） （4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.
常微分方程试题(卷)
一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.
4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,
其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).
A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,
常微分方程期末考试练习题及答案
一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。 注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程
1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知
2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄
习题2.5 2．ydy x xdy ydx 2=- 。 解： 2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+2 2 1 4． xy x y dx dy -= 解：两边同除以x ，得 x y x y dx dy - =1 令u x y = 则dx du x u dx dy += 即 dx du x u dx dy +=u u -=1 得到 ()2ln 2 1 1y c u -=， 即2 ln 21?? ? ??-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。 6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydx x d x y x d y y d x -=-2 得到c x y x d +-=??? ? ??2 21
即 c x y x =+2 2 1 另外0=y 也是方程的解。 8. 32 x y x y dx dy += 解：令 u x y = 则： 21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2 1u x dx du x = 得到22x dx u du = 故c x u +-=-11 即 21 1x x c y += 另外0=y 也是方程的解。 10． 2 1?? ? ??+=dx dy dx dy x 解：令 p dx dy = 即p p x 2 1+= 而 p dx dy =故两边积分得到 c p p y +-=ln 2 12 因此原方程的解为p p x 21+=，c p p y +-=ln 212 。 12.x y xe dx dy e =?? ? ??+-1 解： y x xe dx dy +=+1
常微分方程试题库.
常微分方程 一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则 方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是 血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o 8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗 斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件 是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是 答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^= 习题4.2 1. 解下列方程 （1） 045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根 故通解为x=t t t t e c e c e c e c --+++4 32221 (2) 0333 2=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ 有三重根a =λ 故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04) 5(=''-x x 解：特征方程0435=-λλ 有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为 542 32221c t c t c e c e c x t t ++++=- （4）0102=+'+''x x x 解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i 故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x 解：特征方程012=++λλ有复数根= 1λ,231i +-=2λ,2 31i -- 故通解为t e c t e c x t t 2 3sin 2 3 cos 2 122 1 1--+= (6) 12+=-''t s a s 解：特征方程02 2=-a λ有根=1λa,=2λ-a 当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21 Bt A s +=~代入原方程解得21a B A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(1 2-t a 当a=0时,)(~ 212γγ+=t t s 代入原方程解得2 1 ,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(6 1 2+t t (7) 32254+=-'+''-'''t x x x x 解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++ 又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1 故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x 解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根， 重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321 取特解行如c Bt At x ++=2~ 代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-''' 解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,2 31i --13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t e c x 321 22 1 12 3 sin 23cos ++=-- 1．第1题 微分方程是 ( ). A.n阶常系数非齐次线性常微分方程; B.n阶常系数齐次线性常微分方程; C.n阶变系数非齐次线性常微分方程; D.n阶变系数齐次线性常微分方程. 您的答案：C 题目分数：2 此题得分：2.0 2．第2题 设有四个常微分方程： (i) , (ii) , (iii) , (iv) . A.线性方程有一个; B.线性方程有两个; C.线性方程有三个; D.线性方程有四个. 您的答案：C 题目分数：2 此题得分：2.0 3．第3题 是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ). A. , B. , C. , D. . A.. B.. C.. D.. 您的答案：A 题目分数：2 此题得分：2.0 4．第5题 是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ). A. , B. , C. , D. . A.A B.B C.C D.D 您的答案：A 题目分数：2 此题得分：2.0 5．第7题 满足初始条件和方程组的解为 ( ). A. ; B. ; C. ; D. . A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2 此题得分：2.0 6．第8题 可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ). A.; B. ; C.; D.. A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2 此题得分：2.0 7．第10题 可将一阶方程化为变量分离方程的变换为 A. ； B. ； C. ； D. . A.. B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2 此题得分：2.0 8．第12题 下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个. 第一章习题 1-1求下列两个微分方程的公共解。 （1）422x x y y -+=' （2）2422y y x x x y --++=' 解 两方程的公共解满足条件 4224222x x y y y x x x -+=--++， 即 022224=-+-y x y x ， 0))(122(22=-++y x y x ， 所以2 x y =或2212 x y +-=。 代入检验可知2 212 x y +-=不符合，所以两方程的公共解为2x y =。 评注：此题是求解方程满足一定条件的解，即求两个微分方程的公共解。在求解时由于令其导数相等，很容易产生增解，因而要对所求结果回代原方程进行检验，舍去增解。 1-2 求微分方程02 =-'+'y y x y 的直线积分曲线。 解 设直线积分曲线为b ax y +=，则a y ='，代入原方程得 02≡--+b ax xa a ， 即0)()(2 ≡-+-b a a a x ， 所以 ???=-=-0 02b a a a ， 可得0==b a 或1==b a 。 因而所求直线积分曲线为0=y 或1+=x y 。 评注：此题是求解方程的部分解，采用的是待定系数法。待定系数法是求解常微分方程常用的方法之一，有待定常数法和待定函数法。本题首先设出满足题设条件的含有待定常数 的解，然后代入原方程来确定待定常数，解决此类问题的关键在于正确地设出解的形式。 1-3 微分方程32224xy y y x =-'，证明其积分曲线是关于坐标原点成中心对称的曲线。 证 设)(x y ?=满足微分方程，只须证明)(x y --=?也满足方程即可。 作变换x t -=，则证明)(t y ?-=满足方程即可，代入方程两端，并利用)(x y ?=满足此方程，得 左=)())((42222t dx dt t t ??-'， )()1)((42222t t t ??--'= )()(4222t t t ??-'=)(3t t ?==右 故)(t y ?-=也满足方程32224xy y y x =-'。 评注：为了验证)(x y --=?也满足方程，利用积分曲线的性质，进行变量代换x t -=，将)(x y --=?变换成)(t y ?-=后，问题就很容易解决了。 1-4 物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成正比，如果物体在20分钟内由100℃冷却至60℃，那么，在多长时间内，这个物体由100℃冷却至30℃？假设空气的温度为20℃ 解 设物体在空气中时刻t 的温度为)(t T T =，则依牛顿冷却定理得 )20(--=T k dt dT ， 其中k 是比例常数。 两边积分，得通解为kt Ce T -+=20。 由于初始条件为：,100)0(=T 故得80=C ，所以kt e T -+=8020。 将60,20==T t 代入上式后即得：202ln = k ， 即 20202ln )2 1(80208020t t e T ?+=+=-。 故当30=T 时，有20)2 1(802030t ?+=，从中解出60=t （分钟），因此，在一小时内，可使物体由100℃冷却至30℃。 常微分方程自学习题及答案 一 填空题: 1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线. 2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________. 3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________. 4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间. 5 方程 21y dx dy -=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______ 7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解. 10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程 y x dx dy /-=的解是( ). 13已知(0)()32 2 2 =+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________. 14 ?????=+=0 )0(22y y x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程0652 =+-? ?? ??y dx dy dx dy 的通解是( ). 16方程5 34 y x y dx dy =++?? ? ??的阶数为_______________. 17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y Λ在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组Y =)(x A dx dy 的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 二 单项选择: 1 方程y x dx dy +=-31 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). (A)上半平面 (B)xoy 平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面 2 方程 1+=y dx dy ( ) 奇解. 常微分方程试题库 （一）、填空题（每空3分） 1、 当_______________时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程，其原函数为： 。 2、形如________________的方程，称为齐次方程。 3、求),(y x f dx dy =满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、设)(x y ψ=是一阶非齐次线性方程于区间I 上的任一解，)(x ?是其对应齐线性方程于区间I 上的一个非零解。则一阶非齐次线性方程的全部解的共同表达式为： 。 5、若)(),...(),(21t x t x t x n 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组X t A dt dX )(=的_________________,称之为X t A dt dX )(=的一个基本解组。 7、若)(t Φ是常系数线性方程组 AX dt dX =的基解矩阵，则At exp = 。 8、方程 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。 9、设)(),(21x x ??是与二阶线性方程： )()()(21x f y x a y x a y =+'+''，对应的齐次线性方程的基本解组，则的二阶线性方程全部解的共同表达式为： .10、形如 的方程称为欧拉方程。 11、若)(t Φ和)(t ψ都是X t A dt dX )(=的基解矩阵，则)(t Φ和)(t ψ具有的关系： 。 12、若向量函数);(y t g 在域R 上 ，则方程组0000),;(),;(y y t t y t g dt dy ==?的解?存在且惟一。 13、方程),,,,(y )1((n)-'=n y y y x f 经过变换 ，可化为含有n 个未知函数的一阶微分方程组。 14、方程04=+''y y 的基本解组是 ． 15、向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的 常微分方程分项习题 一、选择题（每题3分） 第一章： 1．微分方程''20y xy y +-=的直线积分曲线为（ ） （A ）1y =和1y x =- （B ）0y =和1y x =- （C ）0y =和1y x =+ （D ）1y =和1y x =+ 第二章： 2．下列是一阶线性方程的是（ ） （A ）2 dy x y dx =- （B ）232()0d y dy xy dx dx -+= （C ）22( )0dy dy x xy dx dx +-= （D ）cos dy y dx = 3．下列是二阶线性方程的是（ ） （A ）222d y dy x x y dx dx +=- （B ）32()()0dy dy xy dx dx -+= （C ）2 (1)0dy x xy dx +-= （D ）22cos cos d y y x dx = 4．下列方程是3阶方程的为（ ） （A ）'23y x y =+ （B ）3 ( )0dy xy dx += （C ）3223()0dy d y x y dx dx +-= （D ）3cos dy y dx = 5．微分方程43( )()0dy dy dy x dx dx dx +-=的阶数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 6．方程2342()20dy d y x y dx dx +-=的阶数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7．针对方程 dy x y dx x y -=+，下列说法错误的是（ ）． （A ）方程为齐次方程 （B ）通过变量变换y u x = 可化为变量分离方程 （C ）方程有特解0y = （D ）可以找到方程形如y kx =的特解(1y x =-± 8．针对方程2sin (1)y x y '=-+，下列说法错误的是（ ）． （A ）为一阶线性方程 （B ）通过变量变换1u x y =-+化为变量分离方程 （C ）方程有特解12 y x π =++ （D ）方程的通解为tan(1)x y x C -+=+ 9．伯努利方程 n y x Q y x P dx dy )()(+=，它有积分因子为（ ） （A ）(1)()n P x dx e -? （B ）()nP x dx e ? （C ）(1)()n P x dx xe -? （D ）()nP x dx xe ? 10．针对方程 2(cos sin )dy y y x x dx +=-，下列说法错误的是（ ） ． （A ）方程为伯努利方程 （B ）通过变量变换2z y =可化为线性方程 （C ）方程有特解0y = （D ）方程的通解为1 sin x y Ce x =- 11．方程 2()dy y xf dx x =经过变量变换（ ）可化为变量分离方程。 （A ）u xy = （B ）y u x = （C ）2y u x = （D ）2u x y = 12．方程2()dy x f xy dx =经过变量变换（ ）可化为变量分离方程。 （A ）u xy = （B ）y u x = （C ）2y u x = （D ）2u x y = 13．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）伯努利方程 14．针对方程2''2(1)(2)y y y -=-下面说法错误的是（ ） （A ）不显含x 的形如'(,)0F y y =的隐式方程 （B ）设'2y yt -=，原方程消去'y 后可求解 《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 21=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 24=+y x ，满足条件30 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程21d d y x y -=过点)1,2 (π 共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的 特解为 4219 12264=-++x x y x 。 7、方程x x y x y +-=d d 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=????=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程y x y =d d 的奇解是 y=0 。 10、35 323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方 程组 45?=????=+??dy z dx dz z y dx 。 13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ??==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。 14、设1342A ??=????，则线性微分方程组dX AX dt =有基解矩阵 25253()4φ--?? =??-?? t t t t e e t e e 。 二、解方程（每个小题8分，共120分） 1、0d d )2(=-+y x x y x 答案：方程化为 x y x y 21d d += 令xu y =，则x u x u x y d d d d +=，代入上式，得u x u x +=1d d 分离变量，积分，通解为1-=Cx u ∴ 原方程通解为x Cx y -=2 2、???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 答案：特征方程为 014 11=--= -λ λλE A 即0322=--λλ。 特征根为 31=λ，12-=λ 对应特征向量应满足 ??????=????????????--0031413111b a 可确定出 ??????=??????2111b a 同样可算出12-=λ对应的特征向量为??? ???-=??????2122b a ∴ 原方程组的通解为?? ????-+??????=??? ???--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331 。 3、 x y x y 2e 3d d =+ 答案：齐次方程的通解为x C y 3e -= 常微分方程习题及解答 一、问答题： 1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义? 答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。 2．举例阐述常数变易法的基本思想。 答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。 例：求 ()()dy P x y Q x dx =+的通解。 首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dx y c ?=l ，然后将 常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dx y c x ? =l ，微分之，得到 ()()()()()P x dx P x dx dy dc x c x P x dx dx ?? =+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()() P x dx P x dx P x dx dc x c x P x dx c x P x Q x ??+?=+l l l 即 ()() ()P x dx dc x Q x dx -? =l 积分后得到()()()P x dx c x Q x dx c -?=+? %l 进而得到方程的通解 ()()(()) P x dx P x dx y Q x dx c -? ?=+?%l l 3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？ 答：n 阶线性微分方程的初值问题 ()(1) 11(1) 01020()...()()()(),(),....()n n n n n n x a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a t b ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈， 12,,...,n ηηη是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题 《常微分方程》测试题1 、填空题30% 1、形女口_______________________________ 的方程，称为变量分离方程，这 里.丁(X)一能)分别为χ.y的连续函数。 2、形如___________________________________ -的方程，称为伯努利方程， 这里Fa)Q⑴为X的连续函数.n =。」是常数°引入变量变换------------ ，可化为线性方程中 3、如果存在常数"①使得下等式______________________________ -对于所有 (")r(Λ ”)W迪都成立』￡称为利普希兹常数J函数/(3)称为在R上 关于尸满足利普希兹条件。 4、形如_____________________________________________ -的方程，称为欧 拉方程，这里昕宀,疋常数“ 5、设您是宀加的基解矩阵,凶)杲F = 力+几)的某一解，则它的 任一解Fo)可袤为 、计算题40% 空二卍-亍的通解。 1、求方程山1 2、求方程山的通解。 3、求方程< I：- --L的隐式解。 ^ = χ÷∕3通过点@0）的第三次近似解。 4、 求方程 三、证明题30% Γ .7 ∏ 0 Γ 厂 -I 1.试验证①E ）= t i 2￡ 1 是方程组X = 2 ' L F 2 t _ x,x= ,在任何不包含原点 的区间a^≤直上的基解矩阵。 2?设①心为方程x ' =Ax （A 为nF 常数矩阵）的标准基解矩阵（即φ （0） =E ）,证明： ①J （t°）=①（t- t 0）其中t°为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2 一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 微分方程 是 2、 方程戸-*b - h 的通解中含有任意常数的个数为 ________________________ . 3、 方程M （SiM （5T 有积分因子“心）的充要条件为 ______________________________ . r 4、 几⑴刃连续是保证了3）对刀满足李普希兹条件的 ___________________ 条件. ——=SlnZ7 CQSJ 5、 方程山 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ____________ . 6、若 γ = W f P=例（R 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它 们 _____________ （有或无）共同零点.《常微分方程》答案_习题
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