2015届高三艺术班数学一轮复习资料 第三章 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数

第三章 三角函数、解三角形

第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数

一、必记3个知识点 1．角的概念

(1)分类?

????

按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．

2．弧度的定义和公式

(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和1

2

|α|r 2.

3．任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y

x

(x ≠0)．

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．

如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线． 二、必明3个易误区

1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．

2．利用180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用．

3．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但

若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y

x .

三、必会2个方法

1．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦； 2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想．

1.

①－3π4是第二象限角；②4π

3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限

角．其中正确的命题有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 解析：选C －3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；

－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．

2．设集合M ＝?

?? x ???

??x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝?

???

??x ??

x ＝k 4

·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ＝N B ．M ?N C ．N ?M

D ．M ∩N ＝?

解析：选B 法一：由于M ＝?

??

x ???

??

x ＝k 2

·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}， N ＝????

??x ??

x ＝k

4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ?N ，故选B.

法二：由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，2k ＋1是奇数；而N 中，x

＝k 4

·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ?N ，故选B. 3．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．

解析：终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．答案：{α|α＝k π＋π

3，k

∈Z }

4．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．

解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，

得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45

360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－

675°或β＝－315°.

答案：－675°或－315°

1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．

2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα，π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置．

(1)已知角α的终边上一点P 的坐标为????sin 2π3，cos 2π

3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π3 D.11π

6

(2)(2013·临川期末)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝2

4

x ，则sin ???

?α＋π

2＝________. (1)由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝3

2

，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6

. (2)由题意得cos α＝

x 5＋x

2＝2

4x ，解得x ＝0或x ＝3或x ＝－ 3. 又α是第二象限角，∴x ＝－ 3.即cos α＝－64，sin ????α＋π2＝cos α＝－6

4

. (1)D (2)－64

用定义法求三角函数值的两种情况

(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；

(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．

：已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3

cos α

的值．

解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )，则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.当k >0时，r ＝10k ， ∴sin α＝

－3k 10k ＝－310，1cos α

＝10 k k ＝10，∴10sin α＋3

cos α＝－310＋310＝0；

当k <0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310，1

cos α＝－10k k ＝－10，

∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3

cos α

＝0.

：设圆心角是θ，半径是r ，则?????

2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4??????

r ＝1，

θ＝8(舍)，?????

r ＝4，θ＝12

，故扇形圆心角

为12

.

弧度制应用的关注点

(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr 2

360，

此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．

(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形． ：已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，求弧长l .

解：设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r ，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝

83

3π(cm)．

课后作业

1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( A ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限

D ．第三或第四象限

2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则sin α＝________.答案：－1

2

：若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角

D ．第四象限角

解析：选C 由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y 轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．

1．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P

的坐标是( )

A ．(cos θ，sin θ)

B ．(－cos θ，sin θ)

C ．(sin θ，cos θ)

D ．(－sin θ，cos θ)

解析：选A 由三角函数的定义知P (cos θ，sin θ)，选A.

2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1 C ．4

D ．8

解析：选A 设扇形的半径和弧长分别为r ，l ，则易得?????

l ＋2r ＝6，12

lr ＝2，解得????? l ＝4r ＝1或?????

l ＝2，

r ＝2.

故扇形的圆心角的弧度数是4或1.

3．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－2,3]

B ．(－2,3)

C ．

解析：选A ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．

∴?

????

3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2

6

.答案：5π6

5．(2014·辽源模拟)若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________． 解析：∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角．∴sin α＞0，cos β＜0，∴β为钝角． 故此三角形为钝角三角形．答案：钝角三角形

6．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈????π2，π，求α的三角函数值． 解：∵θ∈????π2，π，∴－1

5，cos α＝35，tan α＝－4

3

.

7．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是( )

A ．第一或第二象限角

B ．第二或第三象限角

C ．第三或第四象限角

D ．第一或第四象限角

解析：选C 易知sin θ<0，且cos θ≠0，∴θ是第三或第四象限角． 8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π

3，则sin α＝( )

A ．－

32 B.32 C ．－12 D.12

解析：选D 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π

2(k ∈Z )，又

β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12

.

9．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π

3

弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )

A.????－12，32

B.????－32，－12

C.????－12

，－3

2

D.?

??

?－

32，12 解析：选A 由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝3

2.

10．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π

10

cos πtan

17π9，

其中符号为负的是( )

A ．①

B ．②

C ．③

D ．④

解析：选C sin(－1 000°)＝sin 80°>0；cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0；

sin

7π10cos πtan 17π9＝－sin 7π

10tan

17π9

，sin 7π10>0，tan 17π

9<0，∴原式>0. 11．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．

解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，

设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)

12.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为4

5

，则cos α＝________.

解析：因为A 点纵坐标y A ＝4

5，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横

坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－3

5

13．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .

解：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则?????

12lr ＝1，l ＋2r ＝4，

解得?????

r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝l

r ＝2.

如图，过O 作OH ⊥AB 于H .则∠AOH ＝1弧度．∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．