学而思高中数学5-最值问题之线性规划
典例分析
x2y22x 2y 1 > 0
A(1,1)，若点B 满足 1 w x w 2
1 W y W 2
uuv uuv ，亠
则OA 0B的最小值为（
）
A. 2
B. 2
C. 3
D. 2 2
x > 1
【例2】已知变量x, y满足y w 2则x y的最小值为（)
x y w 0
A. 2
B.3
C.4
D.5
x > 0,
x y 1 > 0,
【例3】不等式组3x 2y 6 W 0
所表示的平面区域的面积等于_______________
线性规划
【例1】设0为坐标原点,
A. 1
y》0,
x y 1 > 0
【例5】设变量x，y满足3x 2y 6w 0
，则该不等式组所表示的平面区域的面积等
z X y的最大值为 __________
x y 3 < 0
【例6】目标函数z 2x y在约束条件2x y > 0下取得的最大值是____________________
y > 0
y x 4
【例7】下面四个点中，在平面区域y
内的点是（
y x
【例4】设变量y满足约束条件X
，则目标函数z y 2x的最小值为（
A. (0, 0) B . (0, 2) C (3, 2) D . ( 2, 0)
随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为（
）
A.
y w x 【例10】已知不等式组 y > x ,表示的平面区域的面积为 4，点P x, y 在所给平面区
x w a
域内，则z 2x y 的最大值为 ___________
【例8】已知平面区域
(x, y)
，向区域 内
【例9】 若x , y 满足约束条件
x y > 0
x y 3 > 0，贝V z 2x y 的最大值为
0 w
x w 3
【例11】设x, y R，且满足x y 2 0，则x2 y2的最小值为 _____________________ ;若x, y又满足y 4 x ,则y的取值范围是
x
【例12】“关于x的不等式x22ax a
A.充分非必要条件B
C.充分必要条件D 0的解集为R ”是“ 0 < a 1 ”的（
.必要非充分条件
.既非充分又非必要条件
【例13】已知不等式组x y w 1
x y > 1表示的平面区域为M，若直线y kx 3k与平面区域y > 0
M有公共点则k的取值范围是（
A.
1
3,0 B. C.
1
,3
D.
【例14】已知不等式组
0 w x w 2
x y 2> 0所表示的平面区域的面积为kx y
2 > 0
4,则k的值为（
A. 1 B 3 C . 1 或3 D . 0
(3 a) x 3 x W 7
【例15】已知函数f(x)
'
，若数列｛a n ｝满足a n f(n)(n N*)，且a n 是
a x
, x 7
递增数列，则实数a 的取值范围是（
）
A.
9,3 B .
%
C. 2,3
D. 1,3
4
4
x > 1
【例17】已知变量x, y 满足 y W 2
则x y 的最小值为（
)
x y W 0
A. 2 B .3
C
.4 D .5
【例16】设0为坐标原点，A （1,1），
uuv uuv
则OA OB 的最小值为（
2
x 2 y 2x 2y 1 > 0
若点 B 满足 1 W x W 2
1
W y
W
2
)
C . 3
D. 2 2
x > 0,
x y 1 > 0,
【例18】不等式组3x 2y 6
仝
所表示的平面区域的面积等于________________
A. 1 B . 2 C . 3 D . 4
【例19】设变量x , y满足约束条件，则目标函数y 2x的最小值为（
高中数学函数最值问题的常见求解方法
一、配方法 例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值． 解析：34)3 22(32 + --=x y ，当01≤≤-x 时，122 1≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3 4max = y ． 二、判别式法 对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值． 例２：已知012442 2 =-++-x x xy y ，求y 的最值． 解析：由已知，变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5≤ y ． 因此 4 5 max = y ，无最小值． 例3：若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则m ax x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2 2 =++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤ x ．即 8 1max =x ． 同理，0)()12(2 2 =-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8 1 min -=y ． 注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法 例4：已知函数1 1 3452 2+++=x x x y ，求y 的最值． 解析：函数式变形为：0)1(34)5(2 =-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ， 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ． 因此 7max =y ，1min -=y ． 例5：已知函数)(1 2R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a , 解析： 01 2 22 =-+-?+=+?++= b y ax yx b ax y yx x b ax y
高中数学常见最值问题及解题策略毕业论文
目录 1 引言 0 2 文献综述 (1) 2.1国内研究现状 (1) 2.2国内研究现状评价 (2) 2.3提出问题 (2) 3 高中数学常见最值问题及解题策略 (2) 3.1无理函数的最值问题 (2) 3.2三角函数的最值问题 (4) 3.3 数列的最值问题 (6) 3.4 平面向量的最值问题 (10) 3.5 圆锥曲线的最值问题 (11) 3.6具有几何意义的最值问题 (14) 3.7几个特殊类型函数的最值问题 (17) 3.8用特殊方法求一类函数的最值问题 (23) 4. 结论 (24) 4.1主要发现 (24) 4.2启示 (24) 4.3局限性 (24) 4.4努力的方向 (25) 参考文献 (25)
1 引言 最值问题是人们在生产和日常生活中最为普遍的一种数学问题，它的应用性和实用性非常广泛，无论是在生产实践中还是在科学研究领域我们都会遇到一些关于“最好”、“最省”、“最低”、“最优”、“最大”、“最小”等问题，这些问题一般都是转化为最值问题进行求解．此类问题的求解，不仅充分训练了学生把实际问题抽象成数学问题的思维方式，还培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时也使学生逐步形成了应用数学的意识．在近几年的高考题中，最值问题是考试命题的一个重点，它占了高考分数的5%~23%．从题型上讲，主要以选择题、填空题和解答题三种形式出现．从难易程度上讲，主要有基础题、中档题和高档题三种题型．它在考查基础知识的同时，也逐步加强了对能力的考查，高考将注重检查学生对所学课程内容达到融会贯通的程度．因此，求解最值问题将会是高考的一个难点，学生不但要较好地掌握各个分支的知识，还要善于捕捉题目信息，有较强的思维能力，能够运用各种数学技能，灵活选择适当的解题方法，方能达到事半功倍之效．文章从高中数学试题中经常出现的无理函数、三角函数、数列、向量、圆锥曲线和解析式具有几何意义的最值问题以及三类特殊最值问题几个方面对高中数学最值问题进行相关探讨，给出求高考数学最值问题的解题策略，为学生的备考和教师的教学提供相应的指导． 2 文献综述 2.1国内研究现状 对于中学数学中最值问题的求解，国内已经有了一定的探讨，文[1]－[5]中总结归纳了最值问题的常用求解方法；文[6]通过举例讨论了一类无理函数最值的求解策略；文[7]讨论了如何巧求一类二元函数的最值；文献[8]针对解析式具有几何意义的函数的最值巧妙求法方法进行了归纳总结；文[9]给出了三类最小值问题的统一解法及一般结果；文[10]对一类函数最小值问题的处理方法进行了探讨；文[11]对一类函数最小值问题的处理方法进行了相关的补充；文[12]介绍了几种关于应用均值定理求最值的方法；文[13]给出了2005～2009年中最新五年高考真题及其详解；文[14]～[15]介绍了函数最值的
高中数学 椭圆 板块一 椭圆的方程完整讲义(学生版)
学而思高中完整讲义：椭圆.板块一.椭圆的方程.学生版 【例1】 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，焦点到相应的长轴顶点的距离为1，则椭圆 的标准方程为（ ） A ．221259x y += B ．221259y x += C ．22179y x += D ．22 179 x y += 【例2】 已知椭圆22 15x y m +=的离心率10e 5= ，则m 的值为（ ） A ．3 B ．5153或15 C ．5 D ．25 3 或3 【例3】 设定点12(03)(03)F F -，，，，动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ，则点P 的 轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 【例4】 已知椭圆的中心在原点，离心率1 2 e = ，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ） A ．22143x y += B ．22186x y += C ．2 212 x y += D ．2 214 x y += 【例5】 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1 e 2 =，右焦点为(0)F c ，，方程 20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ， （ ） A ．必在圆222x y +=内 B ．必在圆222x y +=上 C ．必在圆222x y +=外 D ．以上三种情形都有可能 【例6】 已知22 212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．2m >或1m <- B ．2m >- C ．12m -<< D ．2m >或21m -<<- 【例7】 经过点(30)P -，，(02)Q -，的椭圆的标准方程是 ； 典例分析
高中概率知识要点
概率知识要点 一、随机事件的概率 1 事件的有关概念 （1）必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。 简称必然事件 （2）不可能事件：把在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件。简称不可能事件 （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S 的确定事件。 （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件。简称随机事件 （5）事件及其表示方法：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A 、B 、C,…,表示 2 随机试验 对于随机事件，知道它的发生可能性大小是非常重要的，要了解随机事件发生的可能性大小，最直接的方法就是试验 一个试验如果满足下述条件： （1）试验可以在相同的情形下重复进行； （2）试验的所有结果是明确可知的，但不止一个； （3）每次试验总是出现这些结果中的一个， 但是一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果 我们称这样的试验为随机试验 3 频数、频率和概率 （1）频数：在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数。 （2）频率：在相同条件S 下重复n 次试验，时间A 出现的比例n n A f A n = )(称为事件A 出现的频率 （3）概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 定义 符号表示 包含关系 对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A （或事件A 包含于事件B ） ()B A A B ?? 相等关系 若B A A B ??且，则称事件A 与事件B 相等 A=B 并事件（和事件） 某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生。 )(B A B A +或Y 交事件（积事件） 某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生。 )(AB B A 或I 5 互斥事件与对立事件 （1）互斥 事件A 与事件B 互斥：B A I 为不可能事件，即?=B A I ，即事件A 与事件B 在任何一次试验中并不会同时发生。 （2）对立 事件A 与事件B 互为对立事件：B A I 为不可能事件，B A Y 为必然事件，即事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。 6 概率的几个基本性质 （1）1)(0≤≤A P A P ）的取值范围：（概率.
2019人教版 高中数学【选修 2-1】专题05解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题特色专题训练
2019人教版精品教学资料·高中选修数学 一、选择题 1．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中】已知点P 是抛物线2 2y x =上的一个动点，则点 P 到点()0,2A 的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ） A . 9 2 B C . 2 D . 2 【答案】D 2．【吉林省舒兰一中2017-2018学年高二上学期期中】如图，已知椭圆 22 13216 x y +=内有一点()122,2,B F F 、是其左、右焦点， M 为椭圆上的动点，则1MF MB +的最小值为（ ） A . B . C . 4 D . 6 【答案】B 【解析】() 122MF MB a MF MB +=-- 2 2BF a ≥-→ == 当且仅当2,,M F B 共线时取得最小值故答案选B
3．【北京朝阳垂杨柳中学2016-2017学年高二上学期期中】已知经过椭圆 22 12516 x y +=右焦点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1AF B 的周长等于（ ） A . 20 B . 10 C . 16 D . 8 【答案】A 【解析】因为椭圆的方程为 22 12516x y +=，所以由椭圆的定义可得1212210,210AF AF a BF BF a +==+==， 1ABF ∴?周长为112220AF BF AF BF +++=，故选A . 4．【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中2016-2017学年高二下学期期中】设为定点，动点满 足 |，则动点的轨迹是（ ） A . 椭圆 B . 直线 C . 圆 D . 线段 【答案】D 5．【福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考】已知椭圆： 22 2 1(02)4x y b b +=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是（ ） A . 1 B C . 3 2 D 【答案】D 【解析】试题分析：由椭圆定义，得2248AB AF BF a ++==，所以当线段AB 长度达最小值时， 22BF AF +有最大值．当AB 垂直于x 轴时， 22 2min ||222 b b AB b a =?=?=，所以22BF AF +的最大 值为2 85b -=，所以23b =，即b = D ． 考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系． 【方法点睛】（1）涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定
高考数学极值点问题
1. 已知函数2 ()(1)x f x x e ax =-+ 有两个零点. （1）当a =1时，求()f x 的最小值； （2）求a 的取值范围； （3）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明12+0x x <. 【（1）(,0)-∞ 减(0,)+∞ 增（2）0a > ；说明零点存在，用不等式放缩，半a 与-1的较量；极值点偏移】
2. 【★★】已知函数2 ()ln 2()f x x x x ax a R =+-+∈ 有两个不同的零点12,x x . （1）求实数a 的取值范围. （2）求证：12+2x x >. （3）求证：121x x ?>. 【（1）3a > 】
3. 已知函数2()ln f x x x ax =- ，a R ∈ . （1）当12 a = 时，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x < ，求1()f x 的取值范围.
4. （2016全国一：21）已知函数2)1(2)(-+-=x a e x x f x ）（有两个零点. (I)求a 的取值范围； (II)设12x x ，是的两个零点，证明：12 2.x x +<
5. 已知函数ln ()=x f x x . （1）求函数()f x 的极值； （2）当0x e << 时，求证：()()f e x f e x +>- ； （3）设函数()f x 图像与直线y m = 的两交点分别为11(,())A x f x ，11(,())B x f x ，AB 中点横坐标为0x ，证明：0'()0f x < .
学而思高中数学恒成立与有解问题
【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是 _ ． 【例2】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例3】 设函数2()1f x x =-，对任意23x ??∈+∞????，，24()(1)4()x f m f x f x f m m ?? --+ ??? ≤恒 成立，则实数m 的取值范围是 ． 典例分析 恒成立与有解问题
【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（ ） A ．0a > B ．1 8 a >- C ．18a > D ．0a < 【例5】 已知不等式 ()11112 log 112 2123 a a n n n +++ >-+++对于一切大于1的自然数n 都成立，试求实数a 的取值范围. 【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______． 【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．4a <- C ．40a -<< D ．40a -<≤
【例8】 若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范围． 【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ??? ，成立，则a 的最小值为（ ） A ．0 B ．2- C ．5 2 - D ．3- 【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．(] [)14-∞-+∞，， B ．(] [)25-∞-+∞，， C ．[12]， D ．(][)12-∞∞， ， 【例11】 对任意[11]a ∈-，， 函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围为 ．
人教版 高中数学 简单的线性规划问题教案
简单的线性规划问题 一、教学内容分析 普通高中课程标准教科书数学5（必修）第三章第3课时 这是一堂关于简单的线性规划的“问题教学”． 线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科 学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题. 简单的线性规划（涉及两个变量）关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源 一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以 最少的人力、物力、资金等资源来完成.突出体现了优化的思想． 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等的概 念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用. 二、学生学习情况分析 本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，又通过实例，理解了平面区域的意义， 并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问 题转化为数学问题. 从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关 系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日， 这都成了学生学习的困难． 三、设计思想 本课以问题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，以几何画 板作为平台，激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验 “从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象思维过程，应用“数形结 合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。 四、教学目标 1．了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；理解线性规划问题的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最优解． 2．在实验探究的过程中，让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、探索能力、合情推理能力及动手操作、勇于探索的精神； 3、在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力，体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用. 五、教学重点和难点 求线性目标函数的最值问题是重点；从数学思想上看，学生对为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？以及如何想到要这样转化？存在一定疑虑及困难；教学应紧扣问题实际，通过突出知识的形成发展过程，引入数学实验来突破这一难点．
高中数学：导数与函数的极值、最值练习
高中数学：导数与函数的极值、最值练习 (时间:30分钟) 1.函数f(x)=ln x-x在区间(0，e]上的最大值为( B ) (A)1-e (B)-1 (C)-e (D)0 解析:因为f′(x)=-1=，当x∈(0，1)时，f′(x)>0;当x∈(1，e]时， f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x=1时，f(x)取得最大值ln 1-1=-1. 2.(豫南九校第二次质量考评)若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值，则常数c的值为( C ) (A)4 (B)2或6 (C)2 (D)6 解析:因为f(x)=x(x-c)2， 所以f′(x)=3x2-4cx+c2， 又f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值， 所以f′(2)=12-8c+c2=0，解得c=2或6， c=2时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值; c=6时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值; 所以c=2. 3.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数 解析:函数定义域为(0，+∞)，且f′(x)=6x+-2=，不妨设g(x)=6x2-2x+1. 由于x>0，令g(x)=6x2-2x+1=0，则Δ=-20<0， 所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立， 即f(x)在定义域上单调递增，无极值点. 4.(银川模拟)已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)=ln x-ax(a>)，当x∈(-2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( D ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为-1. 令f′(x)=-a=0，得x=，
高中数学最值问题
最值问题 一、点击高考 最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面。以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。因此，它在高考中占有比较重要的地位。 回顾近几年高考，从题型分布来看，大多数一道填空或选择题，一道解答题；从分值来看，约占总分的10%左右。特别是2003年北京卷，选择、填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题一道，解答题也是两道，总分值有近30分，两份试卷中均有一道实际应用问题。 由此看来，最值问题虽然是老问题，但一直十分活跃，尤其导数的引入，更是为最值问题的研究注入了新的活力。 可以预见：2005年的高考命题中，有关最值问题，题型、题量、分值将保持稳定，题目的背景会更贴近学生的实际生活，更关注社会热点问题，难度不会太难。 二、考点回顾: 分析已有考法，最值问题的呈现方式一般有以下几种： 1、函数的最值； 2、学科内的其它最值，如三角形的面积最值问题、几何体的体积最值问题、数列的最大项等等； 3、字母的取值范围； 4、不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，例如： f(x)≥0对x∈R恒成立?f(x)的最小值≥0成立， f(x)≤0对x∈R恒成立?f(x)的最大值≤0成立； 5、实际应用问题： 实际应用问题中，最优化问题占的比例较大，通过建模可化为最值问题。这类题已成为这几年高考的热点。可以肯定，这个热度会继续保持。
三、知识概要 1、求函数最值的方法： “数”和“形”，数形结合： 配方法 直接法 均值不等式法 单调性 代数方法 导数法 判别式法 间接法 有界性 函数的图像 平面几何知识 几何方法 线性规划 解析几何 斜率 两点间距离 2、求几类重要函数的最值方法； （1）二次函数：配方法和函数图像相结合； （2）),0()(R a a x a x x f ∈≠+=:均值不等式法和单调性加以选择； （3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数。 3、实际应用问题中的最值问题一般有下列三种模型： 能直接判断 线性规划 建立目标函数 曲函数的最值 四、典型例题分析 例1(2002·全国卷·理·21) 设a 为实数，)(1)(2R x a x x x f ∈+-+=， （1）讨论)(x f 的奇偶性；
2020学而思教材讲义高一数学寒假(目标班、尖子班) 高一寒假 第3讲 数列的小伙伴们 教师版 目标班
第3讲数列的小伙伴们 满分晋级 数列3级 等差数列深入 数列2级 数列的小伙伴们 数列1级 与数列的第一次 亲密接触 知识切片 <教师备案>本讲内容分成两部分：3．1等比数列的基本量；3．2等比数列的性质初步．本讲内容较少，可以与上一讲进行一个时间上的均衡．本讲思路是：先从直观上认识等比数列，通过一些 具体的数列感受等比数列并学习等比中项，之后再学习等比数列的通项公式，熟悉通项公 式以及正确计算等比数列的项数．再学习等比数列的求和公式，以及一些简单的性质．希 望把概念分开讲解，分别配例题．国际象棋的故事在暑期指数函数已经讲过了，此处就尽 量不用了，由汉诺塔引入．
等比数列引入 汉诺塔 在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，印度教的主神 大梵天在创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在其中一根柱子上从下到上地放着由大到小的64片黄金圆盘，这就是所谓的汉诺塔（如下图）．不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些圆盘：一次只移动一片 ．．．．．．． ，不管在哪根柱子上，小．圆盘 ．． 必在大 ．．． 圆盘 ．． 上面 ．． ．当所有的金盘都从梵天放好的那根柱子上移到另外一根上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽．故汉诺塔问题又被称为“世界末日问题．” 汉诺塔初始模型 64 63 62 2 1 C B A ??? ??? 要把圆盘移动到另外一根柱子上，至少需要移动多少次呢？设有n个圆盘，要从A移动到C，至少需要移动的次数为 n a．易知12 n=，时， 12 13 a a == ，，3 n=的时候，可以考虑先将上面两个小的移到B上，要 2 3 a=次，再将最大的那个移到C上，要1次，最后将B上的两个移到C上，要 2 3 a=次，总共要 2 217 a+=次． 对于一般的n，我们可以类似考虑（如下图）：先将上面1 n-个圆盘移到B上，要 1 n a - 次；然后将最大的那个盘子移到C上，要1次移动；最后再将B上的那1 n-个圆盘移到C上，要 1 n a - 次．这种方法 需要的次数为 111 121 n n n a a a --- ++=+． n－1 1 n ??? ??? A B C 22 C B A ??? ??? n 1 n－1 ①② 3.1等比数列基本量计算
高中数学线性规划经典题型
高考线性规划归类解析 一、平面区域和约束条件对应关系。 例1、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥?? +≤??≤≤? (C) 003x y x y x -≤?? +≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围 成一个三角形区域（如图4所示）时有0 003x y x y x -≥?? +≥??≤≤? 。 点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 例2：在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域的面积是（） (A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域是一个三角形。容 易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为： 11 ||||42 4.22 S BC AO =?=??=从而选Ｂ。 点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 二、已知线性约束条件，探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式，斜率——商的形式)目标关系最值问题（重点） 例3、设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则 ①y x 32+的最大值为 。（截距） 解析：如图1，画出可行域，得在直线 2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 ②则2 2 x y +的最小值是 . ③1y x =+的取值范围是 . 图1
高中数学函数最值问题的常见求解方法
高中数学函数最值问题的常见求解方法 一、配方法 例１.当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322?-=+的最大值和最小值． 解析：3 4)322(32 + - -=x y ，当01≤≤-x 时， 12 2 1≤≤x ．可得1min =y ，3 4max = y ． 二、判别式法:若能将问题转化为一元二次方程有无实根的问题，则常利用判别式求得函数的最值． 例2.若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则max x = ， min y = . 解析：由已知，变形得：0)()12(22=++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(2 2≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 8 1≤ x ．即 8 1max = x ． 同理，0)()12(22=-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(2 2 ≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 8 1- ≥y ．即 8 1min - =y ． 例3.在2 0π ≤ ≤x 条件下，求2 ) sin 1()sin 1(sin x x x y +-= 的最大值． 解：设x t sin =，因0(∈x ，)2 π，故 10≤≤t ，则2 ) 1()1(t t t y +-= ，即 0)12()1(2 =+-++y t y t y 因为 10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2 ≥+--=?y y y 即 8 1≤ y 。 将8 1= y 代入方程得 0[3 1∈= t ，]1，所以8 1max = y . 注意：因0≥?仅为方程0)12()1(2 =+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须 将8 1= y 代入方程中检验，看等号是否可取． 练习：已知函数)(1 2 R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a ,.（答案： 3=b ，4±=a ） 三、换元法 (一)局部换元法 例4.求函数x x y 21-+=的最值． 解析：设x t 21-= (0≥t )，则由原式得11)1(2 12 ≤+-- =t y 当且仅当1=t 即0=x 时取 等号．故1max =y ，无最小值． 例5.已知20≤ ≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值． 解析：2)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin 则 22≤ ≤- t 且2 1cos sin 2 -= t x x ，于是]1)[(2 12 2-++= a a t y 当2= t 时，21 22 max + + =a a y ；当a t -=时，)1(2 1 2 min -= a y ． 注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解． (二)三角代换法(有时也称参数方程法) 例6.已知x 、y R ∈，4122≤+≤y x ．求22y xy x u ++=的最值． 解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数),因 4122≤+≤y x ，故 412≤≤t )2sin 2 11()sin sin cos (cos 2 2 2 2 θθθθθ+ =++=∴t t u 故当42=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12=t 且12sin -=θ时，2 1max =u ． 练习1：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设22y x S +=，则 max 1S +min 1S =____。 练习2：已知x 、y R ∈且x y x 6232 2=+，求y x +的最值． 解析：化x y x 6232 2=+为123)1(2 2 =+-y x ，得参数方程为?? ? ??=+=θθsin 26 cos 1y x )sin(2 101sin 26cos 1?θθθ++ =+ +=+∴y x ， 故 2 101)(max +=+y x ，2 101)(min - =+y x ． (三)均值换元法 例7.已知1=+b a ，求证：4 4b a +的最小值为 8 1． 解析：由于本题中a 、b 的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我们可
高中数学 例说圆锥曲线有关最值问题论文
高中数学例说圆锥曲线有关最值问题论文
例说圆锥曲线有关最值问题 中学数学最值问题遍及代数、三角，立体几何及解析几何各科之中，且与生产实际联系密切，最值问题有两个特点：①覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程，各元素间关系，对称性，四边形面积，解二元二次方程组，基本不等式等）②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法，判别式法，参数法，不等式，函数的性质等）计算量大，能力要求高。 常见求法： 1、回到定义 例1、已知椭圆 22 1259 x y +=，A （4，0），B （2，2）是 椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求 5 ||||4 PA PB +的最小 值； （2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值。 略解：（1）A 为椭圆的右焦点。作PQ ⊥右准线于点Q ，则由椭圆的第二定义||4|| 5 PA e PQ ==， ∴5 ||||||||4 PA PB PQ PB +=+.问题转化为在椭圆上找一点P ，使其到点B 和右准线的距离之和最小，很明显， x y O P'P" P A Q B C
点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为17 。 4 （2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则|PA|=2a-|PC| ∴|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| -|PC|) 根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。即-|BC|≤|PB| -|PC|≤|BC|.当P到P"位置时，|PB| -|PC|=|BC|，|PA|+|PB|有最大值，最大值为 10+|BC|=1010 +；当P到P"位置时，|PB| -|PC|=-|BC|，|PA|+|PB|有最小值，最小值为 10-|BC|=10210 - 回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。另外，（2）中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。 2、利用闭区间上二次函数最值的求法 例2、在抛物线24x y=上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短。 解：设抛物线上的点)4,(2t t P，点Ｐ到直线4x-y-5=0
学而思高中数学1-不等式比较大小
【例1】 若0a b <<，1a b +=，则在下列四个选项中，较大的是（ ） A ．1 2 B ．22a b + C ．2ab D ．b 【例2】 将23 2，12 23?? ??? ，1 22按从大到小的顺序排列应该是 ． 【例3】 若52x =-，23x =-，则,x y 满足（ ） A ．x y > B ．x y ≥ C ．x y < D ．x y = 【例4】 若 11 0a b <<，则下列不等式中， ①a b ab +< ②||||a b > ③a b < ④ 2b a a b +> 正确的不等式有____ ．（写出所有正确不等式的序号） 典例分析 比较大小
【例5】已知,a b∈R，那么“|| a b >”是“22 a b >”的（） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【例6】若0 b a <<，则下列不等式中正确的是（） A．11 a b >B．a b >C．2 b a a b +>D．a b ab +> 【例7】比较下列代数式的大小： ⑴23 x x +与2 x-； ⑵61 x+与42 x x +； 【例8】比较下列代数式的大小： ⑴43 x x y -与34 xy y -； ⑵（其中0 xy>，且x y >） ⑶x y x y与y x x y（其中0,0, x y x y >>≠）．
【例9】 a 、b 、c 、d 均为正实数，且a b >，将 b a 、a b 、b c a c ++与a d b d ++按从小到大的顺序进行排列． 【例10】 比较大小：log a a b 、log a b 与log b a （其中21a b a >>>） 【例11】 已知a 、b 、c 、d 均为实数，且0ab >，c d a b - <-， 则下列各式恒成立的是（ ） A ．bc ad < B ．bc ad > C ．a b c d > D ．a b c d < 【例12】 当a b c >>时，下列不等式恒成立的是（ ） A ．ab ac > B ．a c b c > C ．ab bc > D ．()0a b c b --> 【例13】 已知三个不等式：0ab >，0bc ad ->， 0c d a b ->（其中a 、b 、c 、d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
高中数学线性规划汇总
直线与线性规划 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线 在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外， 还有以下七类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤??≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 变式训练1：已知x ，y 满足约束条件 30 5≤≥+≥+-x y x y x ，则y x z -=4的最小值为______________． 变式训练2：若?? ?≥+≤≤2,22y x y x ，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是 （ ） A ．[2 ，6] B ． [2，5] C ． [3，6] D ． [3，5] 二、求可行域的面积 例2、不等式组260302x y x y y +-≥??+-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 （ ） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 变式训练1：由12+≤≤≤x y x y 及围成的几何图形的面积是多少? 变式训练2：已知),2,0(∈a 当a 为何值时，直线422:422:2221+=+-=-a y a x l a y ax l 与及坐标轴围 成的平面区域的面积最小？ 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 变式训练1：不等式3<+y x 表示的平面区域内的整点个数为 （ ） A ． 13个 B ． 10个 C ． 14个 D ． 17个 变式训练2：.在直角坐标系中，由不等式组230,2360,35150,0 x y x y x y y ->??+-
高中数学极值点偏移问题
极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权 一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数在区间（a,b ）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解 分别为 且 < 2） 若函数f(x)满足 有下列之一成立： ①f(x)在 递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)) 则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1) )(x f 的图象关于直线a x 对称若 则 <=> ,( =0, ); 2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若 则则 ,及 极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f()-f(, F(x)=f(x+)-f( , F(x)=f(x)-f( )确定F(x)单调性 ③结合F(0)=0（F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f(( f(x+)与f( f(x)与f(的大小关系; 答题模式： 已知函数y=f(x)满足 ,为函数y=f(x)的极值点,求证： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( 确定F(x)单调性 最值问题的解法 一、配方法 例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值． 解析：34)322(32+ --=x y ，当01≤≤-x 时，122 1 ≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1m in =y ，3 4m ax = y ． 二、判别式法 对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值． 例２：已知012442 2 =-++-x x xy y ，求y 的最值． 解析：由已知，变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5≤ y ． 因此 4 5 m ax = y ，无最小值． 例3：若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则max x = m in y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2 2 =++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 8 1 ≤ x ．即 81max =x ． 同理，0)()12(2 2 =-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8 1 m in -=y ． 注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法 例4：已知函数1 1 3452 2+++=x x x y ，求y 的最值． 解析：函数式变形为：0)1(34)5(2 =-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ， 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ． 因此 7max =y ，1m in -=y ． 例5：已知函数)(1 2 R x x b ax y ∈++= 的值域为]4,1[-，求常数b a , 线性规划求最值问题 一、与直线的截距有关的最值问题 例1 已知点()P x y ，在不等式组2010220x y x y -??-??+-? ，，≤≤≥表示的平面区域上运动，则z x y =-的 取值范围是（ ）． （A ）［－2，－1］ （B ）［－2，1］ （C ）［－1，2］ （D ）［1，2］ 解析：由线性约束条件画出可行域如图1，考虑z x y =-， 把它变形为y x z =-，这是斜率为1且随z 变化的一族平行 直线．z -是直线在y 轴上的截距．当直线满足约束条件且 经过点（2，0）时，目标函数z x y =-取得最大值为2； 直线经过点（0，1）时，目标函数z x y =-取得最小值为－1．故选（C ）． 注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y 的取值范围为［-1，2］更为简单．这需要有最值在边界点取得的特殊值意识． 二、与直线的斜率有关的最值问题 例2 设实数x y ，满足20240230x y xc y y --??+-??-? ，，，≤≥≤，则y z x =的最大值是__________． 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC （如图2），00y y z x x -==-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=的交点，即A 点． ∴312P ?? ???，．故答案为32 ． 注：解决本题的关键是理解目标函数00y y z x x -= =-的 几何意义，当然本题也可设y t x =，则y tx =，即为求 y tx =的斜率的最大值．由图2可知，y tx =过点A 时， t 最大．代入y tx =，求出32 t =， 即得到的最大值是32 ． 三、与距离有关的最值问题高中数学最值问题
高中数学解题方法谈线性规划求最值问题