概率第一章
第一次习题课
一、填空题
1．设A 、B 、C 是3个随机事件，则“3个事件中恰有一个事件发生”用A 、B 、C 表示为 。
2．设31)(=
A P ，21)(=
B P ，分别在下列条件下求)(A B P ： （1）若A B ?时， 则=)(A B P ，
（2）若A B 、互斥，则=)(A B P ，
（3）若8
1)(=AB P ，则=)(A B P ， 又()P AB = ，=)(B A P 。
3．设A 、B 为随机事件，已知P (A )=0.5，P (B )=0.6，P (B |A )=0.5，则P (A ?B )= 。
4．有两批零件，其合格率分别为0.9和0.8，在每批零件中随机取一件，则至少有一个是合格品的概率为 ；而恰好有一件是合格品的概率为 。
5．从一副扑克牌的13张黑桃中，一张接一张有放回地抽取3张，没有同号的概率为 ；有同号的概率为 。
二、 选择题
1．A 、B 为两个概率不为零的不相容事件，则下列结论肯定正确的是 。
A ．A 和
B 不相容； B ．A 和B 相容；
C ．P (AB )=P (A )P (B )；
D ．P (A -B )=P (A )。
2．设当A 、B 同时发生时，事件C 必发生，则下列式子中正确的是 。
A ．P (C )≤P (A )+P (
B )-1； B ．P (
C )≥P (A )+P (B )-1；
C ．P (C )=P (AB )；
D ．P (C )=P (A ?B )。
3．设A 、B 、C 三个事件两两独立，则A 、B 、C 相互独立的充要条件是 。
A ．A 与BC 独立；
B ．AB 与A ?
C 独立；
C ．AB 与AC 独立；
D ．A ?B 与A ?C 独立。
4．设甲、乙两人进行象棋比赛，考虑事件A =“乙胜甲负”，则A 为 。
A .“乙负甲胜”
； B .“甲乙平局”； C .“乙负”； D .“乙负或平局”。
5．设8.0)(=A P ，7.0)(=B P ，8.0)(=B A P ，则下列结论正确的是 。
A ．A
B ?；
B ．)()()(B P A P B A P +=?；
C ．事件A 与B 相互独立；
D ．事件A 与B 互逆。
三、 计算题
书P 35-2（单号）、5 书P 36-11、16 书P 37-19（概率I ）、22 书P 37-24、28 书P 39-30
概率论第一章课后习题答案
《概率论与数理统计》课后习题解答 习题一 3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生,B 与C 不发生; （2）A 与B 都发生,而C 不发生; （3）A ,B ,C 都发生; （4）A ,B ,C 都不发生; （5）A ,B ,C 中至少有一个发生; （6）A ,B ,C 中恰有一个发生; （7）A ,B ,C 中至少有两个发生; （8）A ,B ,C 中最多有一个发生. 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ； （5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ； （8）BC AC AB 或C B C A B A ． 5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码． （1）求最小的号码为5的概率; （2）求最大的号码为5的概率. 解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得 （1）12 1)(31025==C C A P ； （2）20 1)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求： （1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得
（1）0855.0)(3200 2194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(3200 31940≈=C C A P ； （3）0023.0)(3200 3611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率： A 表示“这三个数字中不含0和5” ； B 表示“这三个数字中包含0或5” ； C 表示“这三个数字中含0但不含5”． 解：由概率的古典定义得 157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；30 7)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ． 解：4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-== 3.0) 4.06.0 5.0(1=-+-= 10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()() ()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少? 解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为 3 19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码．
(精选)概率论与数理统计第一章
第一章测试题 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 6．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 7．设A 、B 、C 为三个事件，已知()()0.6,0.4P B A P C AB ==，则()P BC A =（ ） .A 0.3 .B 0.24 .C 0.5 .D 0.21 8．设A ，B 是两个随机事件，且0
第1章 概率论的基本概念
第一章概率论的基本概念 教学内容： 1.随机试验 2.样本空间、随机事件 3.频率与概率 4.等可能概率（古典概率） 5.条件概率 6.独立性 教学目标： 1.了解样本空间、随机事件的概念, 理解事件之间的关系与运算； 2.了解频率、统计频率以及主观概率的定义，掌握古典概率, 几何概率的计算方法，理解概率的公理化定义。掌握概率的性质并且会应用性质进行概率计算； 3.理解条件概率的概念, 掌握条件概率公式，乘法公式，全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式并会用这些公式进行概率计算阵； 4.理解事件独立性的概念, 掌握贝努里概型并会应用它进行概 率计算. 教学重点： 事件之间的关系与运算、古典概率、几何概率、概率的公理化定义与概率的性质、条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式和事件的独立性。
教学难点：全概率公式和贝叶斯公式及其应用。教学方法：讲授法、演示法、练习法。 教学手段：多媒体+板书。 课时安排：10课时。 教学过程：
§1.1 随机实验 一、概率论的诞生及应用 1654年, 法国一个名叫梅累的骑士(一个上流社会的赌徒兼业余哲学家)就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(c a<), 另一赌徒胜b局(c b<)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕 斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念——数学期望. 概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律，概率论的应用几乎 遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程 中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等. 二、随机现象 1.确定性现象 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象，称为确定性现象。 如：太阳不会从西边升起、水从高处流向低处等。 2.统计规律性 在一定条件下可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观 察之前不能预知确切的结果，但人们经过长期实践并深入研究之后，发现在大量 重复试验或观察下，他的结果却呈现处某种规律性.这种在大量重复试验或观察 中所呈现出来来的固有规律性，称为统计规律性。 3.随机现象 这种在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果有具有 统计规律性的现象称为随机现象。 简言即：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象. 如：在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反结果，有可能出现正面也可 能出现反面；抛掷一枚骰子，观察出现的点数，结果有可能为: 1、2、3、4、5、6等 注：1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系, 其数量关系无法用 函数加以描述；
概率论第一章答案
.1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案
每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c
第一章 概率论与数理统计1
概 率 论 第一章 随机事件与概率 例1 设B A ,为随机事件，已知() 4.0,6.0)(, 5.0)(===A B P B p A P ，求 1) )(B A P + 2) )(B A P 3) ()B A P 4) )(B A P - 5) )(B A P + 例2 6个不同的球，投入编号为1到7的7个空盒中，求下列事件的概率：1) 1号到6号盒中各有一个球 2) 恰有6个盒中各有1个球 3) 1号盒内有2个球 例3 袋中有两个5分的，三个贰分的，五个1分的钱币。任取其中5个，求钱额总数超过壹角的概率。 例4 验收一批共有60件的可靠配件，按验收规则，随机抽验3件，只要3件中有一件不合格就拒收整批产品，假设，检验时，不合格品被误判为合格品的概率为0.03 ，而合格品被判为不合格品的概率为0.01，如果在60件产品中有3件不合格品，问这批产品被接收的概率是多少？ 例5 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有2件残品，且含0，1和2件残品的箱各占80%，15%和5%。现随意抽取一箱，从中随意检验4只，若未发现残品则通过验收，否则逐一检验并更换。试求：1）一次通过验收的概率 2）通过验收的箱中确无残品的概率。 例6 一个医生已知某疾病的自然痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定10人中至少有4人治好，则认为这种药有效，反之，则无效，求：1）虽然新药有效，且把痊愈的概率提高到35%，但经过验收被否定的概率；2）新药完全无效，但经过试验被认为有效的概率。 例7 设B A ,是两个事件，0)(,0)(21>=>=P B P P A P ，且121>+P P ，证明：1 211)(P P A B P --≥ 例8 已知161)()(,0)(,41)()()(==== ==BC P AB P AB P C P B P A P ，求C B A ,,全不发生的概率。 例9 在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们能构成三角形的概率。 例10 设有三门炮同时对某目标射击，命中的概率分别为0.2，0.3，0.5，目标命中一发被击毁的概率是0.2，命中两发被击毁的概率为0.6，命中三发被击毁的概率为0.9，求三门炮在一次射击中击毁目标的概率。 例11 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品而不能出厂。现该厂生产了)2n(n ≥台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求： 1） 全部能出厂的概率； 2）其中恰好有两件不能出厂的概率； 3）其中至少有两件 不能 出厂的概率。 例12 某型号的高炮，每门炮发射一发击中飞机的概率是0.6。现若干门炮各发射一发，问
概率论第一章
第一章 随机事件与概率 1．从0,1,2,,9十个数字中，先后随机取出两数，写出下列取法中的样本空间： (1)放回时的样本空间1Ω (2)不放回时的样本空间2Ω 解： (1) 100 01 02 0910 11 12 1990 91 92 99??????Ω=????????，(2)2 01 02 03 0910 12 13 1990 91 92 98??????Ω=???????? 2.一个袋内装有４个白球和５个红球，每次从袋内取出一球，直至首次取到红球为止。写出下列两种取法的样本空间： (1)不放回时的样本空间1Ω (2)放回时的样本空间2Ω 解：(1)Ω１＝{红，白红，白白红，白白白红，白白白白红｝ (2)Ωn 个 ２＝｛红，白红，，白白白红｝ 5.设样本空间{0,1,2,,9},A Ω=事件＝{2,3,4},B={3,4,5},C={4,5,6}，求： (1)A B (2) ()A B C 解：(1) {2,3,4,5}A B A B A B === (2) ()(){4,5} {0,1,5,6,7,8,9}{4,5} {0,1,4,5,6,7,8,9}A B C A BC A ==== 11.小何买了高等数学、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上，问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。 解： 214!12P == 15.在整数0-9中，任取4个，能排成一个四位偶数的概率。 解：4105040n A ==， 3112 94882296k A C C A =+= 22960.465040k p n ∴= == 14. 设n 个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n 个人的任意排列中，甲
概率论与数理统计教程习题(第一章随机事件与概率)
习题1（随机事件及其运算） 一．填空题 1. 设A ，B ，C 是三个随机事件，用字母表示下列事件： 事件A 发生，事件B ，C 不都发生为 ； 事件A ，B ，C 都不发生为 ； 事件A ，B ，C 至少一个发生为 ； 事件A ，B ，C 至多一个发生为 . 2. 某人射击三次，用A i 表示“第i 次射击中靶”(i =1,2,3).下列事件的含义是： 1A 表示 ； 321A A A 表示 ； 321321321A A A A A A A A A ++表示 ； 321A A A 表示 . 3. 在某学院的学生中任选一人，用A 表示“选到的是男生”，用B 表示“选到的是二年级的学生”，用C 表示“选到的是运动员”。则式子ABC=C 成立的条件是 . 二．选择题 1. 在事件A ,B ,C 中，B 与C 互不相容，则下列式子中正确的是（ ）. ① A BC A = ； ② A BC A = ； ③ Φ=BC A ； ④ Ω=BC A . 2. 用A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则A 表示（ ）. ① “甲产品滞销，乙产品畅销”； ② “甲、乙产品都畅销”； ③ “甲产品滞销或乙产品畅销”； ④ “甲、乙产品都滞销”. 3. 若概率0)(=AB P ，则必有（ ）. ① Φ=AB ； ② 事件A 与B 互斥； ③ 事件A 与B 对立； ④ )()()(B P A P B A P += .
三．解答题 1. 将一枚骰子掷两次，记录点数之和，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为偶数}；=B {点数之和能被3整除}. 2. 将一枚骰子掷两次，观察点数的分布，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为6}；=B {点数之差为2}. 3. 某城市发行日报和晚报两种报纸。有15%的住户订日报，25%的住户订晚报，同时订两种报纸的住户有8%，求下列事件的概率：C ={至少订一种报}；D ={恰订一种报}；E ={不订任何报}. 4. 若已知,2.0)(,0)()(,3.0)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P 求概率)(ABC P ；)(C B A P ；).(C B A P
概率论第一章随机事件及其概率答案2
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ?- （C ）AB （D ）AB 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C ] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A ] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
大学概率论第一章答案
习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式 B C B C =I U , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观 察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为 {10}. |0,1,2,n n +=L 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事 件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) ; (3) A B C U U ABC ABC ABC U U ; (4) ABC ABC ABC ABC U U U ; (5) ABC ; (6) ()A B C U . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2A A U 3； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目 标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击 中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没 有击中目标. 习题1-3
第一章概率论习题解答
教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics ) Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用1A 、2A 、3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标”，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件： （1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A 32A A 。 （2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A . Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为 2 1,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值： （１）A 与B 互斥； （２）；B A ? （３）81)(=AB P ． Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -. （1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)=
第一章 概率论基本概念
第一章概率论的基本概念 在现实世界中发生的现象千姿百态，概括起来无非是两类现象：确定性的和随机性的.例如：水在通常条件下温度达到100℃时必然沸腾，温度为0℃时必然结冰；同性电荷相互排斥，异性电荷相互吸引等等，这类现象称为确定性现象，它们在一定的条件下一定会发生.另有一类现象，在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又不能预测是哪一种结果，此类现象称为随机现象.例如：测量一个物体的长度，其测量误差的大小；从一批电视机中随便取一台，电视机的寿命长短等都是随机现象.概率论与数理统计，就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门基础学科. 这里我们注意到，随机现象是与一定的条件密切联系的.例如：在城市交通的某一路口，指定的一小时内，汽车的流量多少就是一个随机现象，而“指定的一小时内”就是条件，若换成2小时内，5小时内，流量就会不同.如将汽车的流量换成自行车流量，差别就会更大，故随机现象与一定的条件是有密切联系的. 概率论与数理统计的应用是很广泛的，几乎渗透到所有科学技术领域，如工业、农业、国防与国民经济的各个部门.例如，工业生产中，可以应用概率统计方法进行质量控制，工业试验设计，产品的抽样检查等.还可使用概率统计方法进行气象预报、水文预报和地震预报等等.另外，概率统计的理论与方法正在向各基础学科、工程学科、经济学科渗透，产生了各种边缘性的应用学科，如排队论、计量经济学、信息论、控制论、时间序列分析等. 第一节样本空间、随机事件 1. 随机试验 人们是通过试验去研究随机现象的，为对随机现象加以研究所进行的观察或实验，称为试验.若一个试验具有下列三个特点： 1°可以在相同的条件下重复地进行； 2°每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以明确试验所有可能出现的结果； 3°进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 则称这一试验为随机试验（Random trial），记为E. 下面举一些随机试验的例子. E1：抛一枚硬币，观察正面H和反面T出现的情况. E2：掷两颗骰子，观察出现的点数. E3：在一批电视机中任意抽取一台，测试它的寿命. E4：城市某一交通路口，指定一小时内的汽车流量. E5：记录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度. 2.样本空间与随机事件 在一个试验中，不论可能的结果有多少，总可以从中找出一组基本结果，满足： 1°每进行一次试验，必然出现且只能出现其中的一个基本结果. 2°任何结果，都是由其中的一些基本结果所组成. 随机试验E的所有基本结果组成的集合称为样本空间（Sample space），记为Ω.样本空间的元素，即E的每个基本结果，称为样本点.E k(k=1,2,3,4,5)的样本空间Ωk:
概率论第一章作业题
第一章 随机事件及其概率 1．填空题 （1）若，则 }9,6,4,2{ },8,4,2,1{==B A =∪B A ；=∩B A 。 （2）若是四个事件，则四个事件至少发生一个可表示为 D C B A ,,,； 四个事件恰好发生两个可表示为 。 （3）有三个人，每个都以相同的概率被分配到4间房的每一间中，则某指定房间中 恰有两人的概率是 ； （4）十件产品中有3件次品，从中随机抽取2件，至少抽到一件次品的概率 是 。 2．选择题 （1）某公司电话号码有五位，若第一位数字必须是5，其余各位可以是0到9中的 任意一个，则由完全不同的数字组成的电话号码的个数是（ ） （A ）126 （B ）1260 （C ）3024 （D ）5040 （2）若8.0)( ,9.0)(,,=∪=??C B P A P C A B A ，则=?)(BC A P （ ） （A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.8 （D ）0.7 （3）在书架上任意放置10本不同的书，其中指定的三本书放在一起的概率为（ ） （A ）1/15 （B ）3/15 （C ）4/5 （D ）3/5 （4）若3.0)( ,4.0)( ,5.0)(=?==B A P B P A P ，则为（ ） )(B A P ∪（A ）0.6 （B ）0.7 （C ）0.8 （D ）0.5 3．化简下列各式 （1）； A B A ?∪)(（3）； ))((C B B A ∪∪（2）))((B A B A ∪∪； （4）))()((B A B A B A ∪∪∪ 4．指出下列各式成立的条件并说明条件的意义 （1）； A ABC =（3）A B B A =∪； （2）A B A =∪； （4）A C B A =∪∪；
第一章概率论的基本概念
第一章随机事件及其概率 一、选择题： 1．设A、B、C是三个事件，与事件A互斥的事件是：（） A．AB AC +B．() + A B C C．ABC D．A B C ++ 2．设B A ?则（） A．() =1-P（A）B．()()() P A B -=- P B A P B A C．P(B|A) = P(B) D．(|)() P A B P A = 3．设A、B是两个事件，P（A）> 0，P（B）> 0,当下面的条件（）成立时，A与B一定独立 A．()()() = B．P（A|B）=0 P A B P A P B C．P（A|B）= P（B）D．P（A|B）= () P A 4．设P（A）= a，P（B）= b, P（A+B）= c, 则() P A B为：（）A．a-b B．c-b C．a(1-b) D．b-a 5．设事件A与B的概率大于零，且A与B为对立事件，则不成立的是（）A．A与B互不相容B．A与B相互独立 C．A与B互不独立D．A与B互不相容 6．设A与B为两个事件，P（A）≠P（B）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（）A．P（A|B）=1 B．P(B|A)=1 C．(|A)1 p B= p B=D．(A|)1 7．设A、B为任意两个事件，则下列关系式成立的是（）A．() -? A B B A -= A B B A B．() C．() A B B A -= D．() A B B A -? 8．设事件A与B互不相容，则有（） A．P（AB）=p（A）P（B）B．P（AB）=0 C．A与B互不相容D．A+B是必然事件
9．设事件A 与B 独立，则有 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ） C ．P （AB ）=0 D ．P （A+B ）=1 10．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ） C ．P （A|B ）=P （A ） D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ） 11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ） A ．A 与 B 互斥 B ．AB 是不可能事件 C ．P （A ）=0或P （B ）=0 D ．AB 未必是不可能事件 12．若事件A 、B 满足A B ?，则 （ ） A ．A 与 B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生 C ．B 发生时则A 必发生 D ．A 不发生则B 总不发生 13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ） A ． ()()P B P AB - B ．()()()P A P B P AB -+ C ．()()P A P AB - D ．()()()P A P B P AB -- 14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC 表示 （ ） A ．A 、 B 、 C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个 C ．A 、B 、C 至多发生两个 D ．A 、B 、C 至多发生一个 15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 相互对立 D ．A 与B 互不独立 16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，P （C ）=0.4，则P A B C -= （）（ ）. A ．0.5 B ．0.1 C ．0.44 D ．0.3 17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ） A ．1/2 B ．1/3 C ．1/4 D ．3/4 18．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率 为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ） A ．121p p -- B ．121p p - C ．12121p p p p --+ D ．122p p -- 19．每次试验的成功率为)10(<
(第一章)随机事件与概率习题
第一章 随机事件与概率 亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策。 ──祖冲之 内容提要 1. 事件间的关系与运算（四种关系：包含关系、互不相容、对立和相互独立；三种运算：和、积与差；若干运算规律：交换律、结合律、分配律和对偶律：1111,n n n n i i i i i i i i A A A A ===== = ） 2. 确定概率的三种方法：频率方法（(()(),n k A P A f A n n ≈=出现的次数)充分大(试验的总次数) ）；古典方法（用于求古典概型的随机试验中各种结果出现的概率：()k A P A n =（中的样本点数）（样本点总数））； 几何方法（用于求几何概型的随机试验中各种结果出现的概率：()A S A P A S Ω=Ω（的度量）（的度量） ）； 3. 概率的公理化定义及其简单性质 （1） 公理化定义：概率是定义在事件域Φ 上的非负、规范、可列可加的实值函数： ()()()()()o o 1:P A 021 o 3,,() 1212P P A A P A P A A A i j i j ≥Ω==++=?≠ 非负性规范性：可列可加性： （2） 性质： 11 1111. ()0,2.:,,()3.()()()()() 4.()1(), 5. 6.()()()()()(n n n i i i i n n i i i j i i i P A A P A P A A B P B A P B P A P A P B P A P A P A B P A P AB P A B P A P B P AB P A P A P A A ===≤=?=??= ?????-=-≤=--=-=+-??=- ???∑∑ o o o o o o 1有限可加性若互不相容，则单调性：且（）（）（），加法公式:，一般地 111)()(1)n n i j k i j n i j k n i P A A A P A -<≤≤<<≤=??+++- ??? ∑∑ 4. 条件概率及三大公式（乘法公式，全概率公式，Bayes 公式） （1） 条件概率的定义 直观上的定义：已知A 出现的条件下B 发生的概率称为在A 发生的条件下B 的条件概率，记
上海工程技术大学概率论第一章答案
习题一 2．设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7，P (A -B )=0.3，求P （AB ）。 解： P （AB ） =1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6。 3. 设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率。 解：因为 ABC AB ?,所以0()()P ABC P AB ≤≤，又 P （AB ）=0，则()0P ABC =， P （A ∪B ∪C ） =P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 。 4．将3个不同的球随机地放入4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率。 解：设i A ={杯中球的最大个数为i }，i =1，2，3。 将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故 34 13C 3!3()84 P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()164 P A ==，因此 213319()1()()181616 P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==. 6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数，求下列事件的概率：(1) 这五个数字组成一个五位偶数；(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解（1）5105987648764190 P A ????-???==． （2）145102!876445 C P A ????==． 7．对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率；（2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 解：基本事件总数为57， （1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，所求事件包含基本事件的个数为1个，故 P （A 1）=517=51()7 ;
第一章概率论的补充知识
第一章概率论的补充知识 本章扼要地复习概率论中某些基本概念，并补充条件期望和为学习 n维正态分布等内容, 随机过程作准备? § 1概率空间 设I I是某随机试验的所有可能结果组成的集合?I称为样本空间或基本事件空间，「■■中的元素「称为样本点或基本事件，门的子集A称为事件，样本空间门也是一个事件，称为必然事件，空集??称为不可能事件? 因为事件是集合，所以集合的运算（并、交、差、上极限、下极限?极限等）都适用于事件? 在实际问题中，我们不是对所有的事件（样本空间的所有子集）都感兴趣，而是 关心某些事件（门的某些子集）及其发生的可能性大小（概率）?这样，便导致波雷尔（Borel）域F和F上的概率的概念. 定义1设“是一个集合，F是由「的某些子集组成的集合族.如果 1）：：三F 2）若A F，则A F O0 3）若代? F, n =1,2,…，则A n? F n A 则称F为Borel域或厂-代数.（'「F）称为可测空间.F中的集合称为随机事件，简称事 件? 由定义易知： 4） F 5 ）若A, B F，则A B F n n 6）若A F, i =1,2,，则A, A, A F i =1 i=1 i T 定义2设C」,F）是可测空间，P（）是定义在F上的实值函数?如果 1）_A F , P（A） _0, P（「）=1 2）一A F, A Aj = , i = j, j =1,2,，则 / oC 、oO P u A =瓦P（A） liT 丿im 则称P是（J F）上的概率，（J F,P）称为概率空间，P（A）为A的概率.
P（A）的直观意义表示事件A发生的可能性大小?为方便起见，今后总假设P（）是完
概率论-第一章-随机事件与概率
第一章 随机事件及其概率 自然界和社会上发生的现象可以分为两大类： 一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或 观察，它的结果总是确定的。这类现象称为确定性现象。 另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观 察，或出现这种结果或出现那种结果。这类现象称为随机现象。 随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重 复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。 随机现象所呈现出的这种规律 性，称为随机现象的统计规律性。 概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。 §1 随机事件 一、随机试验与样本空间 ; 我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写 字母E 表示。 举例如下： E 1：抛一枚硬币，观察正面H 、反面T 出现的情况； E 2：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H 、反面T 出现的情况； E 3：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H 出现的次数； E 4：投掷一颗骰子，观察它出现的点数； E 5：记录某超市一天内进入的顾客人数； E 6：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。 随机试验具有以下三个特点： （1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果； （2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现； % （3）试验可以在相同的条件下重复进行。 随机试验E 的所有可能结果的集合称为E 的样本空间，记作Ω。样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点，一般用ω表示，可记{}ω=Ω。 上面试验对应的样本空间： {}T H ,1=Ω； {}TT TH HT HH ,,,2=Ω； {}2,1,03=Ω； {}6,5,4,3,2,14=Ω；
概率论第一章答案
概率论与数理统计习题及答案 习题一 1.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C （1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B发生，C （3）A，B，C都发生； （4）A，B，C （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C （7）A，B，C至多有2个发生； （8）A，B，C至少有2个发生. 【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC （4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (5) ABC=A B C(6) ABC (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3.. 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7, （1）在什么条件下P（AB （2）在什么条件下P（AB 【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) =1 4 + 1 4 + 1 3 - 1 12 = 3 4
概率论第一章习题解答
概率论第一章习题解答
概率论第一章习题解答 一、填空题: 1. 设 ,()0.1,()0.5, A B P A P B ?==则 ()P AB = ,()P A B =U , ()P A B = U 。 分析：()(,)0.1;A P B P AB A ==?()()0.5;P A B P B ==U ()()()1()0.9 P A B P A B P AB P AB ===-=U I 2.设在全部产品中有2%是废品,而合格品中有85%是一级品,则任抽出一个产品是一级品的概率为 。 分析：设A 为抽正品事件，B 为抽一级品事件，则条件知 ()1()0.98 P A P A =-=， ()0.85 P B A =，所求为 ()()()0.980.850.833 P B P A P B A ==?=； 3.设A ，B ，C 为三事件且 P(A)=P(B)=P(C)=41,8 1 )(,0)()(===AC P BC P AB P ,则A,B,C 中至少有一个发生的概率为 . 分析：,()()0,()0ABC AB P ABC P AB P ABC ?≤=∴=Q
2.每次试验成功的概率为p (0< p <1),进行重复试验,直到第10次试验才取得4次成功的概率为( )。 分析：第10次试验才取得4次成功说明第10次是成功的，而前9次里恰有3次是成功的，因此为（B ）3 46 9 (1)C p p - 3.（C ）()=()()P A B P A P AB -- 4.关于独立性,下列说法错误的是( )。 (A) 若1 2 ,,,n A A A L 相互独立，则其中任意多个事件 12,,,) k i i i A A A k n ≤L (仍相互独立; （B ）若1 2 ,,,n A A A L 相互独立，若则它们之中的任意多个事件换成其对立事件后仍然相互独立 （C ） 若A 与 B 相互独立, B 与 C 相互独立, A 与C 相互独立, 则A,B,C 相互独立; （D ） 若A,B,C 相互独立,则A B U 与C 相互独立 分析：两两独立不一定相互独立； 5. n 张奖券中含有m 张有奖的, k 个人购买,每人一张,其中至少有一人中奖的概率是