泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆)
第五章习题第一部分01-15
1. M 为线性空间X 的子集，证明span( M )是包含M 的最小线性子空间．
[证明] 显然span( M )是X 的线性子空间．设N 是X 的线性子空间，且M ? N ． 则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) ? N ． 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间．
2. 设B 为线性空间X 的子集，证明
conv(B ) = {∑=n
i i i x a 1| a i ≥ 0,
∑=n
i i a 1
= 1, x i ∈B , n 为自然数}．
[证明] 设A = {∑=n
i i i x a 1
| a i ≥ 0,
∑=n
i i a 1
= 1, x i ∈B , n 为自然数}．首先容易看出A 为
包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有A ? F ，故A 为包含B 的最小凸集．
3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间，而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底．
[证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间， 而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示． 设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m ≠ 0，m ≥ 1． 若∑=m
n n n t c 0= 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0，
所以E 中任意有限个元素线性无关，
故P [a , b ]是无限维线性空间，而E 是它的一个基底。
4. 在 2中对任意的x = (x 1, x 2)∈ 2
，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2，
|| x ||∞ = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是 2
中的范数，并画出各自单位球的图形．
[证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略．
5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性子空间。证明cl(L )也是X 的线性子空间． [证明] ?x , y ∈cl(L )，?a ∈ ，存在L 中的序列{ x n }, { y n }使得x n x ，y n y ． 从而x + y = lim x n + lim y n = lim (x n + y n )∈cl(L )，a x = a lim x n = lim (a x n ) ∈cl(L )． 所以cl(L )是X 的线性子空间．
[注] 这里cl(L )表示子集L 的闭包．
6. 设X 为完备的线性赋范空间，M 为它的闭线性子空间，x 0? M ．证明：
L = { a x 0 + y | y ∈M , a ∈ }也是X 的闭线性子空间． [证明] 若a , b ∈ ，y , z ∈ M 使得a x 0 + y = b x 0 + z ，
则(a - b ) x 0 = z - y ∈ M ，得到a = b ，y = z ；即L 中元素的表示是唯一的．
若L 中的序列{ a n x 0 + y n }收敛于X 中某点z ，则序列{ a n x 0 + y n }为有界序列． 由于M 闭，x 0? M ，故存在?r > 0，使得|| x 0 - y || ≥ r ，?y ∈ M ．则当a n ≠ 0时有 | a n | = | a n | · r · (1/r ) ≤ | a n | · || x 0 + y n /a n || · (1/ r ) = || a n x 0 + y n || · (1/r )， 所以数列{ a n }有界，故存在{ a n }的子列{ a n (k ) }使得a n (k ) a ∈ ．
这时y n (k ) = (a n x 0 + y n ) - a n x 0 z - a x 0 ∈ M ．所以z ∈L ，所以L 闭． [注] 在此题的证明过程中，并未用到“X 为完备的”这一条件．
7. 证明：a. 在 2
中，|| ? ||1，|| ? ||2与|| ? ||∞都是等价范数；b. || ? ||1与|| ? ||2是等价范数的充要条件是：X 中任意序列在两个范数下有相同的收敛性． [证明] a. 显然|| x ||∞ ≤ || x ||2 ≤ || x ||1 ≤ 2|| x ||∞，所以|| ? ||1，|| ? ||2与|| ? ||∞都是等价范数．b. 必要性是显然的，下面证明充分性．首先inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} ≥ 0．
若inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} = 0，则存在X 中序列{ x n }，使得|| x n ||1 = 1，|| x n ||2 0． 而任意序列在两个范数下有相同的收敛性，从而|| x n ||1 0． 这矛盾说明inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} = a > 0．
对?x ∈X ，当x ≠ 0时，|| (x /|| x ||1) ||1 = 1，所以|| (x /|| x ||1) ||2 ≥ a ． 故?x ∈X 有a || x ||1 ≤ || x ||2．
类似地可以证明存在b > 0使得b || x ||2 ≤ || x ||1，?x ∈X ．所以两个范数等价．
8. 证明：Banach 空间m 不是可分的．[证明见教科书p187, 例3.5]
9. 证明：c 是可分的Banach 空间．[证明见第4章习题16]
10. 设X , Y 为线性赋范空间，T ∈B (X , Y )．证明T 的零空间N (T ) = { x ∈X | Tx = 0 }是X 的闭线性子空间．
[证明] 显然N (T ) = { x ∈X | Tx = 0 }是X 的线性子空间．对?x ∈N (T )c ，Tx ≠ 0，由于T 是连续的，存在x 的邻域U 使得?u ∈U 有Tu ≠ 0，从而U ? N (T )c ．故N (T )c 是开集，N (T )是X 的闭子空间．
11. 设无穷矩阵( a i j )，( i , j = 1, 2, ...)满足∞<∑∞
=1||sup j ij i
a ，定义算子T : m m 如
下：y = Tx ，∑∞
==1
j j ij i a ξη，其中x = (ξ i ), y = (η i )∈ m ．证明：T 是有界线性算
子，并且∑∞
==1||sup ||||j ij i
a T 。
[证明] 因|)|(sup )||sup ()||sup ||(sup ||sup ||||1
1
1
j j
j ij i
j j j
ij i
j j ij i
a a a Tx ξξξ?=?≤=∑∑∑∞
=∞=∞
=，
及T 是线性的，所以T 为有界线性算子， ∑∞
=≤1
||sup ||||j ij i
a T 。对任意的实数
∑∞=<1
||sup j ij i
a u ，存在自然数K 使得u a j Kj >∑∞
=1
||。取m x i K ∈=)(ξ，使得其第j 个
坐标)sgn(Kj j a =ξ，则1||||=K x ，且∑∞=≥1
||||||j Kj K a Tx 。所以u a T j Kj >≥∑∞
=1
||||||，故
有∑∞=≥1
||sup ||||j ij i
a T ，从而∑∞
==1
||sup ||||j ij i
a T 。
12. 设22:l l S n →满足对221),,,,(l x n ∈=? ξξξ有),,()(21 ++=n n n x S ξξ。证明
n S 是有界线性算子，1||||=n S 。
[证明] 显然n S 是线性算子。因为21
21
2
2
||||||||||)(||x x S k k n k k
n =≤=
∑∑∞
=∞
+=ξξ
，2l x ∈?，
所以||||||)(||x x S n ≤，2l x ∈?，可见n S 是有界线性算子，且1||||≤n S 。令
),0,1,0,0,0( =n x （仅第)1(+n 个坐标不为零），则2l x n ∈，1||||=n x ，),0,1()( =n n x S ，1||)(||=n n x S 。所以1||)(||||)(||sup ||||1
||||=≥==n n n x n x S x S S 。
13. 证明],[b a C 上的泛函?=b
a dt t x x f )()(是有界线性泛函，且a
b f -=||||。
[证明] 显然f 是线性泛函。对],[b a C x ∈?有
||||)(|)(|max )(|)(||)(||)(|]
,[x a b t x a b dt t x dt t x x f b a t b
a
b a
-=-≤≤=∈??，
所以f 是有界线性泛函，且a b f -≤||||。进一步，取],[0b a C x ∈使得1)(0≡t x ，则1||||0=x 。得到a b x f x f f x -=≥==|)(||)(|sup ||||01
||||。
14. 取定],[0b a t ∈，在],[b a C 上定义泛函1f 如下：)()(01t x x f =。证明1f 是有界线性泛函，1||||1=f 。 [证明]显然1f 是线性泛函，由|||||)(|max |)(||)(|]
,[01x t x t x x f b a t =≤=∈，知1f 有界1||||1≤f 。
取],[0b a C x ∈使1)(0≡t x ，则1||||0=x ，得1|)(||)(||)(|s u p ||||000111
||||1==≥==t x x f x f f x 。
15. 证明：∞=l l *1)(。
[证明] 任取∞
∈=l y i )(η，显然∑∞
==1)(i i i x f ηξ是1l 上有界线性泛函，且
||||||||y f ≤。又取1l x k ∈使其第k 个坐标为1其余皆为0，则|||)(|||||k k x f f η=≥， ,2,1=?k 。从而||||||||y f ≥，进而||||||||y f =．
另一方面，设f 为1l 上有界线性泛函，令)(i i x f =η，则||||||||||||||f x f i i =?≤η，
,2,1=?i ，从而∞∈=l y i )(η。对1)(l x i ∈=?ξ，我们令),0,0,,,,(21 n n u ξξξ=，
则∑∑∑======n
i i i n i i i n i i i n x f x f u f 1
1
1
)()()(ηξξξ．
注意到在1l 中x u n →，以及f 为1
l 上有界线性泛函，
故∑∞
==1)(i i i x f ηξ，并且满足这样条件的∞∈=l y i )(η是唯一的．
16. 证明：n 维线性赋范空间的共轭空间仍是一个n 维线性赋范空间。 [证明] 设X 是n 维线性赋范空间，{ x 1, x 1, ..., x n }是它的一个基． 令f i : X X 表示i n
k k k i a x a f =∑=)(1，?i = 1, 2, ...．
则∑∑==?≤==n k i k i i i i i n
k k k i x a x x x a a x a f 11
||||||||1
|||||||||||)(|，注意到∑==n
k i k x a x N 1||||)(也是X
上的范数，以及有限维线性空间上的范数都是等价的，故存在M > 0使得
||||)(x M x N ≤，所以||||||
|||)(|x x M
x f i i ≤
，所以f i ∈ X *．下面证明{ f 1, f 1, ..., f n }是X *的一组基。事实上，?f ∈ X *， ∑∑∑∑∑∑=========n
k n
j j j n k k k n k n j j j k k k k n
k k k x a f x f x a f x f x f a x a f 1
1
1
1
1
1
))()(()()()()(，
所以∑==n k k k f x f f 1
)(。故X *
为有限维空间，且维数不超过n ．若01
=∑=n
k k k f c ，则
0))(()(1
1
===∑∑==i n
k k k n k i k k i x f c x f c c ，所以{ f 1, f 1, ..., f n }线性无关，故X *维数为n 。
17. 证明：无穷维线性赋范空间的共轭空间仍是无穷维线性赋范空间。
[证明] 设X 是无穷维线性赋范空间，由于典范映射J : X X **是保范的线性同构，故X **必定是无穷维空间．由前面的习题16知道X *必然也是无穷维的．
18. 设X 是赋范空间，M 为X 的子集，x ∈X 。证明：x ∈ cl( span(M ) )的充分必要条件为?f ∈ X *，若f (M ) = 0则f (x ) = 0． [证明] 设x ∈ cl(span(M ))，则对?f ∈ X *，若f (M ) = 0，由于f 是线性的和连续的，自然有f (cl(span(M ))) = 0，从而f (x ) = 0．
反过来，设x ∈cl(span(M ))，则d (x , cl(span(M ))) > 0．由Hann-Banach 定理，存在f ∈ X *，使f (cl(span(M ))) = 0，且f (x ) = d (x , cl(span(M ))) > 0，得到矛盾．
19. 验证极化恒等式。
[证明] 我们只对实内积空间来验证，对于复内积空间，方法是类似的． || x + y ||2 - || x - y ||2 = < x + y , x + y > - < x - y , x - y >
= (< x , x > + < x , y > + < y , x > + < y , y > ) - ( < x , x > - < x , y > - < y , x > + < y , y >) = 4< x , y >．
20. 证明由内积导出的范数|| x || = < x , x >1/2满足范数定义的三个条件。 [证明] 前两个条件是显然的，我们只证明三角不等式．事实上， || x + y ||2 = < x + y , x + y > = || x ||2 + < x , y > + >
21. 证明内积空间中的勾股定理。
[证明] 设x = x 1 + x 2，且x 1 ⊥ x 2．则< x 1, x 2> = < x 2, x 1> = 0，所以
|| x ||2 = || x 1 + x 2 ||2 = < x 1 + x 2, x 1 + x 2> = < x 1, x 1 > + < x 1, x 2 > + < x 2, x 1 > + < x 2, x 2> = < x 1, x > + < x 2, x 2> = || x 1 ||2 + || x 2 ||2．
22. 设X 是内积空间，X N M ?,，N M ⊥。证明：⊥?M N 。
[证明] 对N x ∈?，因N M ⊥，得M x ⊥，故⊥∈M x ，所以⊥?M N 。
23. 设X 是内积空间，X N M ?,，N M ?。证明：⊥⊥?M N 。 [证明] 对⊥∈?N x ，由N x ⊥，及N M ?，知M x ⊥，故⊥∈M x 。所以⊥⊥?M N 。
24. 设H 为Hilbert 空间，M 是H 的线性子空间。证明：⊥⊥=)(M M ，⊥⊥=)(M M 。 [证明] 对M x ∈?，显然有⊥⊥M x ，从而⊥⊥∈)(M x ，故⊥⊥?)(M M 。若M x ?，由投影定理，设21x x x +=，其中M x ∈1，⊥∈)(2M x ，且02≠x 。此时⊥∈M x 2，故有0||||,,,22222212≠>=>=<+>=< ⊥⊥=)(M M 。 由23题结果，⊥⊥?)(M M ，而对⊥∈?M x ，M x ⊥，故M x ⊥，所以⊥∈)(M x ,因此⊥⊥?)(M M ，故有⊥⊥=)(M M 。 25. 设X 为内积空间，M 是X 的线性子空间，满足：对任何X x ∈，它在M 上的正交投影都存在。证明：M 是X 的闭线性子空间。 [证明] 对M x ∈?，由于存在它在M 上的正交投影，故可设21x x x +=，其中 M x ∈1，⊥∈M x 2。由26题知⊥∈)(2M x ，而M x x x ∈-=12，故02=x ，所以 M x x ∈=1，因此M M =，即M 为X 的闭子空间。 26. 设X 为内积空间，M 是X 的稠密子集，{ e n }是X 的标准正交系。证明：{ e n }完备的充要条件是在子集M 上，Parseval 等式成立． [证明] 由{ e n }完备性定义知必要性是显然的，下面证明充分性。对?x ∈X ，由 M 在X 中稠密，对任意的0>ε，存在M y ∈，使得2||||ε<-y x ，2||||||||22ε+≤y x 。而对于M y ∈，Parseval 等式成立，即∑∞ =><=122 |,|||||n n e y y ，存在自然数N 使得 2 |,|1 2ε<><∑∞ +=N n n e y 。下面估计2||||x ： εεε +>-<+><=+><≤+ ≤∑∑==N n n n N n n e y x e x e y y x 1 21 2 2 2 |,,||,|2 |||||||| ε+??? ? ? ?>-<+><≤∑∑==2 1212|,||,|N n n N n n e y x e x （三角不等式） ε+-+-?+><≤∑=2 12 ||||||||||||2|,|y x y x x e x N n n （用21 2|||||,|u e u N n n ≤><∑=放大） εε )14 ||(|||,|1 2++ +><≤∑∞ =x e x n n ， 由0>ε的任意性，及Bessel 不等式有∑∞ =><=1 2|,|||||n n e x x 。即?x ∈X ，Parseval 等 式成立，所以{ e n }是完备的标准正交系。 27. 设X 为内积空间，{ e n }是X 的标准正交系。证明：?x , y ∈X ，都有 |||||||||,,|1 y x e y e x n n n ?≤>><<∑∞ =。 [证明] 由Cauchy-Schwarz 不等式，及Bessel 不等式，有 |||||||||,||,||,,|1 21 2 1 y x e y e x e y e x n n n n n n n ?≤> ><≤ >><<∑∑∑∞ =∞ =∞ =。 28. 设H 为Hilbert 空间，{ e n }是H 的标准正交系。证明：{ e n }是完全的的充要条件是：对于?x , y ∈H ，都有∑∞ =><>=<1,,,n n n e y e x y x 。 [证明] 若{ e n }是完全的，则它是完备的．于是?x , y ∈H 总有∑∞ =><=1 ,n n n e e x x ， ∑∞ =><=1 ,n n n e e y y ，计算x , y 的内积得： >><<>=><><>=<<∑∑∑∑∞ =∞=∞=∞=1 11 1,,,,,,,m m m n n n m m m n n n e e y e e x e e y e e x y x ><>=><<=∑∑∞ =∞ =n n n n n n n n n n e e e y e x e e y e e x 1 1 ,,,,,, ∑∞ =><=1,,n n n e y e x 。 反过来，若?x , y ∈H 都有∑∞ =><>=<1 ,,,n n n e y e x y x ，令y = x ，则有Parseval 等式成立，从而{ e n }是完备的，所以在Hilbert 空间H 中{ e n }是完全的。 29. 设H 为Hilbert 空间，{ e n }，}~{n e 是H 的两个标准正交系，其中{ e n }是完备的，并且它们满足条件1||~||1 2<-∑∞ =n n n e e ，并且。证明：}~{n e 也完备的。 [证明] 对?x ∈H ，若}~{n e x ⊥，由于{ e n }是完备的，所以 ∑∑∑∑∞ =∞ =∞ =∞ =-?≤-?≤>-<=><=1 221 221 21 2 2 ||~||||||||~|||||||~,||,|||||n n n n n n n n n n n e e x e e x e e x e x x 如果x ≠ 0，则上式将导出矛盾：|| x || < || x ||，故必有x = 0．所以}~{n e 是完全的，因而也是完备的。 30. 设H 为Hilbert 空间，M 是H 的线性子空间，f 是M 上的有界线性泛函．证明：存在f 在H 上的唯一的延拓F ，使得|| F ||H = || f ||M ． [证明] 首先，存在f 在L = cl(M )上的唯一的延拓g ，使得g 为L 上的有界线性泛函，并且|| g || = || f ||．若L = H 则结论显然成立． 若L ≠ H ，在L 上用Rieze 表示定理，?u ∈L ，使得g (x ) = || F ||H = || u || = || g ||L = || f ||M ，而且F 是g 的延拓，因而F 也是f 的延拓． 若G 也是f 的满足条件的延拓，用Rieze 表示定理， 存在?v ∈H ，使得G (x ) = 因f 在L 上的的延拓唯一，故G |L 作为L 上的有界线性泛函就是g ， 故?x ∈ L ， 从而G = F，即f在H上的满足条件的延拓是唯一的． 泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B .1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（）. A. 等价于0且,0==≥x x x C.y x y x +≤+ 3 ? 5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有1 1p q +的值为（）. A.1- B. 12C.1D.12 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l 的共轭空间是（）。 4、设X 按内积空间 当且仅当x 与y 线性相关时不等式等号成立。 5、设T 为复希尔伯特空间X 上有界线性算子，则T 为自伴算子的充要条件是（）。 三、判断题（每个3分，共15分） 1、设X 是线性赋范空间，X 中的单位球是列紧集，则X 必为有限维。() 2、?距离空间中的列紧集都是可分的。() 3、?若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。() 4、?任何一个Hilbert 空间都有正交基。() 5、设X 是线性赋范空间，T 是T 有逆算子。() 四、计算题（10分） 叙述1l 空间的定义，并求1l 12,证 明3i X 与n R 按范数1 ||||||n i i x ξ==∑组成的赋范线性空 间Y 共轭。 4、设X 是可分Banach 空间，M 是X '中的有界集，证明M 中每个点列含有 一个弱*收敛子列。 5、设H 是内积空间，M 为H 的子集，证明M 在H 中的正交补是H 中的闭线性子空间。 泛函分析期末考试试卷答案 一、选择题 1、A 2、D 3、B 4、D 5、D 二、填空题 1、柯西点列 2、巴拿赫空间 3、∞ l 4、| 泛函分析答案： 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的 λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞ n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a,b ）, 2|()|b a f t dt ? ＜∞。 当 L 2（a,b ）中内积的定义为（f,g ）= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2（a,b ）)时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ， 若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定 《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =? (iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞ 博士生入学考试《泛函分析》考试大纲 第一章度量空间 §1 压缩映象原理 §2 完备化 §3 列紧集 §4 线性赋范空间 4.1 线性空间 4.2 线性空间上的距离 4.3 范数与Banach空间 4.4 线性赋范空间上的模等价 4.5 应用（最佳逼近问题） 4.6 有穷维* B空间的刻划 §5 凸集与不动点 5.1 定义与基本性质 5.2 Brouwer与Schauder不动点原理* 5.3 应用* §6 内积空间 6.1 定义与基本性质 6.2 正交与正交基 6.3 正交化与Hilbert空间的同构 6.4 再论最佳逼近问题 第二章线性算子与线性泛函 §1 线性算子的概念 1.1 线性算子和线性泛函的定义 1.2线性算子的连续性和有界性 §2 Riesz定理及其应用 Laplace方程f ? -狄氏边值问题的弱解 u= 变分不等到式 §3 纲与开映象定理 3.1 纲与纲推理 3.2 开映象定理 3.3 闭图象定理 3.4 共鸣定理 3.5应用 Lax-Milgram定理 Lax等价定理 §4 Hahn-Banach定理 4.1线性泛函的延拓定理 4.2几何形式----凸集分离定理 §5 共轭空间·弱收敛·自反空间 5.1 共轭空间的表示及应用（Runge） 5.2 共轭算子 5.3弱收敛及*弱收敛 5.4弱列紧性与*弱列紧性 §6 线性算子的谱 6.1 定义与例 6.2 Γелbφaнд定理 第三章紧算子与Fredholm算子 §1 紧算子的定义和基本性质 §2 Riesz-Fredholm 理论 §3 Riesz-Schauder理论 §4 Hilbert-Schmidt定理 §5 对椭圆方程的应用 §6 Fredholm算子 参考文献 1．张恭庆林源渠，“泛函分析讲义”，北京大学出版社，1987。 2．黄振友杨建新华踏红刘景麟《泛函分析》，科学出版社， 2003。 泛函分析答案： 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iffx=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 （a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2 （a,b ）,2|()|b a f t dt ?＜∞。 主要内容 本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质. 外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义），为此，首先讨论了外测度的性质（定理）. 注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别. 我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测度，即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来，因为这个条件无非是一种可加性的要求. 本章详细地讨论了勒贝格测度的性质. 其中，最基本的是测度满足在空集上取值为零，非负，可列可加这三条性质. 由此出发，可以导出测度具有的一系列其它性质，如有限可加，单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论. 本章还详细地讨论了勒贝格可测集类. 这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类. 我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和 型集逼近. 正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用. 本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子. 因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性. 限于本书的篇幅而把它略去. 读者只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集. 复习题 一、判断题 1、对任意n E R ?，* m E 都存在。（√ ） 2、对任意n E R ?，mE 都存在。（× ） 3、设n E R ?，则* m E 可能小于零。（× ） 4、设A B ?，则** m A m B ≤。（√ ） 5、设A B ?，则** m A m B <。（× ） 6、* *1 1( )n n n n m S m S ∞ ∞===∑。（× ） 7、* *1 1 ( )n n n n m S m S ∞ ∞==≤∑。（√ ） 8、设E 为n R 中的可数集，则* 0m E =。（√ ） 9、设Q 为有理数集，则* 0m Q =。（√ ） 10、设I 为n R 中的区间，则* m I mI I ==。（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则* m I =+∞。（√ ） 12、设E 为n R 中的有界集，则*m E <+∞。（√ ） 13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。（× ） 14、E 是可测集?c E 是可测集。（√ ） 15、设{n S }是可测集列，则 1 n n S ∞=， 1 n n S ∞=都是可测集。 （√ ） 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。（√ ） 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。（√ ） 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。（√ ） 19、若E =?，则* 0m E >。（× ） 20、若E 是无限集，且*0m E =，则E 是可数集。（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。（√ ） 22、在n R 中必存在测度为零的无界集。（√ ） [Word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页） [Word格式]《成本会计》配套习题集参考答案 [Word格式]《实用成本会计》习题答案 [Word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年） [JPG格式]会计从业《基础会计》课后答案 [Word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先）[Word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什） [Word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻 P.林德特王新奎） [PDF格式]《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印 [Word格式]《金融工程》课后题答案（郑振龙版） [Word格式]《宏观经济学》课后答案（布兰查德版） [JPG格式]《投资学》课后习题答案（英文版，牛逼版） [PDF格式]《投资学》课后习题答案（博迪，第四版） [Word格式]《微观经济学》课后答案（高鸿业版） [Word格式]《公司理财》课后答案（英文版，第六版） [Word格式]《国际经济学》教师手册及课后习题答案（克鲁格曼，第六版） [Word格式]《金融市场学》课后习题答案（张亦春，郑振龙，第二版） [PDF格式]《金融市场学》电子书（张亦春，郑振龙，第二版） [Word格式]《微观经济学》课后答案（平狄克版） [Word格式]《中级财务会计》习题答案（第二版，刘永泽） [PDF格式]《国际经济学》习题答案（萨尔瓦多，英文版） [JPG格式]《宏观经济学》课后答案（曼昆，中文版） [PDF格式]《宏观经济学》答案（曼昆，第五版，英文版）pdf格式 [Word格式]《技术经济学概论》（第二版）习题答案 [Word格式]曼昆《经济学原理》课后习题解答 [PDF格式]西方经济学（高鸿业版）教材详细答案 [Word格式]完整的英文原版曼昆宏观、微观经济学答案 [Word格式]《金融市场学》课后答案（郑振龙版） 化学物理 [Word格式]《固体物理》习题解答（方俊鑫版） [Word格式]《简明结构化学》课后习题答案（第三版，夏少武） [Word格式]《生物化学》复习资料大全（3套试卷及答案+各章习题集） [PDF格式]《光学教程》习题答案（第四版，姚启钧原著） [Word格式]《流体力学》实验分析答案（浙工大版） 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2、S是由一切序列兀=(召，兀2,?…,￡，???)组成的集合，在S中定义距离为 p(x，y ,求证S是一个完备的距离空间。 3、Hilbert空间X中的正交投影算子为线性有界算子。 4、附加题 开映射定理(P92) 设x,y都是B空间，若TG/(x,r)是一个满射，则卩是开映射。Hahn—Banach延拓定理(%) 设X是T空间，X。是X的线性子空间，人是定义在X。上的有界线性泛函，则在X上必有有界线性泛函/满足: ⑴芦(兀)=九(兀)(办丘Xo)(延拓条件); (2)||/|| = UII0(保范条件), 其中表示人在X。上的范数。 闭图像定理(乙8)设都是3空间，若丁是X T Y的闭线性算子，并且D(T)是闭的，则卩是连续的。 共鸣定理(毘9)设X是B空间，丫是￡空间，如果 Wu/(X,Y),使得sup||Ar|| x-x0 = inf x-y yeM 七、（15分）设/（兀）=匸兀（『）力—[比）力，求证：/G（C[-1,1]）\且求||/||。 八、（15分）简答题 1?试说明C[a,b]与I3[a,b]中函数的差异; 2.泛函分析也称无穷维分析，为什么耍研究无穷维分析，试举例说明； 3.H订bert空间是最接近有限维Euclid空间的空间，请做简要说明。 一、在C[-1,1]上定义内积V /,g〉=[/（f）ga）〃，若记M为C[-1,1]屮奇函数全 体，N为C[-l,l]中偶函数全体，求证：M十W二且丄。 设厶为内积空间H中的一个稠密子集，且x丄厶，证明x = 0. 二、在R中赋予距离p（x,y） =| arctan x-arctan y |,问（R,p）是完备空间吗?为什么？设Tx（t） = rx（r）,若T是从厶[0,1] t厶[0,1]的算了，计算||T||;若T是从 Q0,1]T Q0,1]的算子再求||门 四论述题： 1、证明C[a,b]完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。 2、论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。 3、证明||x||=maxx（r）为心，刃上范数，并论述证明范数的一般步骤。 ie[a,b] 设H是内积空间，￡，兀儿则当X" t X,儿Ty时，（￡,几）T（x,y）,即内积 关于两变元连续。 10?设叭叭皿赋范空何，?“ 八码），证明 ⑴+ 7V, （2） fit （】）任取f€E;及则 （T: + T t） V（r）r s）?> f（T^） + /（r?z > -r：/（z） + Ty（x） = （T： +T；）/（z） ? 山人工的任尴性.得： 《珀 + T护= + <2）由共馳算子性质1?■即得:工 泛函分析试题B PTU院期末考试试卷 (B)卷 2010 ——2011 学年第 1 学期课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07 数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟 《考生注意:答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》(((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分，共15分) (,)Xdx1.设=是度量空间，是中点列，如果____________________________, XX,,n x则称是中的收敛点列。 X,,n ffNf2. 设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么的零空间是中的闭子空XXX，，间的充要条件为_____________________________。 3. 为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，如果_________________, TXY 则称T是同构映射。 xyX,,4. 设是实Hilbert空间，对中任何两个向量满足的极化恒等式公式 为:XX ___________________________________________。 ,,5. 设是赋范线性空间，是的共轭空间，泛函列，如果XXXfXn,,(1,2,)Ln ff_______________________________________________,则称点列强收敛 于。 ,,n二、计算题(共20分) ppl叙述空间的定义，并求的共轭空间。 lp(1),,，, 三、证明题(共65分) p1、(12分)叙述并证明空间中的Holder不等式。 lp(1), ,,MM,2、(15分)设是Hilbert空间的闭子空间，证明。 MX 试卷第 1 页共 2 页 3、(14分)Hilbert空间是可分的，证明任何规范正交系至多为可数集。 XX 4、(12分) 证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。 XX ,,ll5、(12分)叙述空间的定义，并证明空间是不可分的。 试卷第 2 页共 2 页 大学几乎所有学科的课本答案 ！ 任明嘉的日志 经济金融 [PDF格式]《会计学原理》同步练习题答案 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泛函分析期末复习题（2005-2006年度） （1）所有矩阵可以构成一个线性空间。试问这个线性空间中的零元素是什么？ （2）什么是线性空间的子空间？子空间是否一定包含零元素？为什么？ （3）什么是线性流形？ （4）什么是线性空间中的凸集？ （5）如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离，那么这个度量必须满足什么条件？试给出几个在维欧几里德空间上常用的距离定义 （6）距离空间上的收敛是如何定义的？ （7）线性空间上定义的范数必须满足哪些条件？ （8）什么是巴拿赫空间？赋范空间中的基本列一定收敛吗？ （9）有限维的线性赋范空间都是巴拿赫空间吗？ （10）什么是希尔伯特空间？ （11）空间是如何构成的？在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空间？（12）什么是算子？为什么要求算子的定义域是一个子空间？ （13）算子的范数是如何定义的？从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。 （14）线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗？ （15）什么是有界算子？举一个无界算子的例子。 （16）算子的强收敛是如何定义的？ （17）设为一个线性赋范空间，而为一个Banach空间。那么从到的线性算子所构成的空间是否构成一个Banach空间？ （18）什么是压缩映像原理？它在力学中有什么重要应用？ （19）什么是泛函？什么是泛函的范数？ （20）什么是线性赋泛空间的共轭空间？线性赋泛空间的共轭空间是否总是完备的？（21）什么是弱收敛？弱收敛与强收敛之间是什么关系？ （22）什么是的Gateaux微分？ （23）什么是泛函的（一阶）变分？它是如何定义的？ （24）形如的泛函，其对应的Euler-Lagrange方程是什么？ （25）什么是结构的应变能密度？什么是余能密度？二者关系如何？试画图说明。（26）有限元方法的本质是什么？瑞兹＋具有局部紧支集的分片插值函数 （27）什么是最小势能原理？最小势能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。（28）什么是最小余能原理？最小余能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的应力场。（29）什么是Hellinger-Reissner混合变分原理？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数和应力函数对应结构真实的位移场和应力场。 2002年北京国际数学家大会 （ICM 2002 北京） 一 ICM2002 我国做45分钟报告的数学家 第24 届国际数学家大会于2002 年8 月20 日至28 日在北京举行，有101 个国家和地区的4270 余名数学家参加了会议，其中1%来自澳洲，3%来自非洲，56%来自亚洲，16%来自美洲，24%来自欧洲。 ICM2002大会其间，马宁（）领导的程序委员会以及19个国际专家组选出20个大会报告和174个特邀报告，代表了近期数学科学领域中的前沿成果与重大发展。菲尔兹奖和奈瓦林纳奖获得者的报告无疑将是大会学术活动中最精彩的部分。作1小时大会报告的20 名国际知名数学家来自美国、法国、英国、日本、意大利、丹麦、俄罗斯等国，他们的报告代表了当今国际数学发展的最高水平。ICM2002大会45分钟分组报告共有逻辑、代数、拓扑、数论等19 个学科组，学术交流内容涵盖十分广泛，有174名学者在各学科组作了邀请报告。 此外，为了充分利用这个4年一次的难得的大聚会，大会提供一切可能的学术交流条件。凡已注册登记者均可报名作15分钟的专题报告，大会予以安排。1114人作了15 分钟的小组分组报告，张贴了93 篇墙报，报告（含张贴墙报者）总人数超过1400 人。 在往届国际数学家大会上，我国大陆被邀请作45分钟报告的数学家有华罗庚、吴文俊、陈景润、冯康、张恭庆、马志明等。陈省身、丘成桐等华人数学家曾被邀请作1小时大会报告。 ICM2002大会有3名华裔数学家作1 小时大会报告，他们分别是：美国麻省理工学院教授、北京大学“长江学者”田刚，华人数学家美国哈佛大学教授肖荫堂和普林斯顿大学教授张圣容，有12位我国大陆数学家作45分钟邀请报告，他们分别是：丁伟岳、王诗宬、龙以明、曲安京、严加安、张伟平、陈木法、周向宇、洪家兴、郭雷、萧树铁和葛力明，ICM2002会议是历史上华人数学家作大会报告和邀请报告人数最多的一次大会。 二 ICM2002 卫星会议、公众报告情况 ICM2002举行了46 个卫星会议，为大会增添了风光。这些卫星会议分布在中国的26个城市以及日本、俄罗斯、新加坡、韩国和越南的6个城市。几乎每一个卫星会议都是国际合作的成果，一些菲尔兹奖、沃尔夫奖（Wolf Prize）和诺贝尔奖获得者的参与使得这些卫星会议更加引人注目。尽管举办卫星会议一直是国际数学家大会的惯例，但2002年国际数学家大会扩大了卫星会议的规模，并使之对国际数学家大会的圆满成功更有意义。 泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若 0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X是闭的 D.集Y是闭的 5、设(1) p l p <<+∞的共轭空间为q l，则有11 p q +的值为（）. A. 1- B.1 2 C. 1 D. 1 2 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l的共轭空间是（）。 4、设X按内积空间 第五章习题第一部分01-15 1. M 为线性空间X 的子集，证明span( M )是包含M 的最小线性子空 间． [证明] 显然span( M )是X 的线性子空间．设N 是X 的线性子空间，且M N ． 则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) N ． 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间． 2. 设B 为线性空间X 的子集，证明 conv(B ) = {∑=n i i i x a 1 | a i 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i B , n 为自然数}． [证明] 设A = {∑=n i i i x a 1 | a i 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i B , n 为自然数}．首 先容易看出A 为包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有 A F ，故A 为包含B 的最小凸集． 3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间，而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底． [证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间， 而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示． 设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m 0，m 1． 若∑=m n n n t c 0 = 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0， 所以E 中任意有限个元素线性无关， 故P [a , b ]是无限维线性空间，而E 是它的一个基底。 4. 在 2 中对任意的x = (x 1, x 2) 2，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2，|| x || = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是2中的范数，并画出各自单位球的图形． [证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略． 5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性子空间。证明cl(L )也是X 的 线性子空间． [证明] x , y cl(L )，a ，存在L 中的序列{ x n }, { y n } 使得x n x ，y n y ． 从而x + y = lim x n + lim y n = lim (x n + y n )cl(L )，a x = a lim x n = lim (a x n ) cl(L )． 所以cl(L )是X 的线性子空间． [注] 这里cl(L )表示子集L 的闭包． 6. 设X 为完备的线性赋范空间，M 为它的闭线性子空间，x 0 M ．证 泛函分析题1_3列紧集p19 1.3.1 在完备的度量空间中，求证：为了子集A是列紧的，其充分必要条件是对?ε > 0，存在A的列紧的ε网． 证明：(1) 若子集A是列紧的，由Hausdorff定理， ?ε > 0，存在A的有限ε网N． 而有限集是列紧的，故存在A的列紧的ε网N． (2) 若?ε > 0，存在A的列紧的ε/2网B． 因B列紧，由Hausdorff定理，存在B的有限ε/2网C． 因C ?B ?A，故C为A的有限ε网． 因空间是完备的，再用Hausdorff定理，知A是列紧的． 1.3.2 在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界． 证明：设(X, ρ)是度量空间，D是紧子集，f : D→ 是连续函数． (1) 若f无上界，则?n∈ +，存在x n∈D，使得f (x n) > 1/n． 因D是紧集，故D是自列紧的． 所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞)． 由f的连续性，f (x n(k))→f (x0) (k→∞)． 但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞)， 所以 f (x n(k))→ +∞ (k→∞)，矛盾． 故f有上界．同理，故f有下界． (2) 设M = sup x∈D f(x)，则?n∈ +，存在y n∈D，使得f (y n) > M- 1/n． {y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞)． 因此f ( y0 ) ≥M． 而根据M的定义，又有f ( y0 ) ≤M． 所以f ( y0 ) = M．因此f能达到它的上确界． 同理，f能达到它的下确界． 1.3.3 在度量空间中，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑l 2的子集E = {e k }k≥ 1，其中e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1，其余都是0 )，来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的． 证明：(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集． 则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }． 令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1． 则?x∈A，存在某个j使得0 ≤j≤n，且ρ(x, x j) < 1． 因此，ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R． 所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集． (2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ?k ≠ j )， 故E中任意点列都不是Cauchy列． 所以，E中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy列，矛盾)．泛函分析试卷
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