2012年高考安徽省填空压轴题解法探究
()()()()2333-,,1,;22,3
3
3,;42
ABC A B C ab c C a b c C a b c C πππ?><
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2012年高考安徽卷填空压轴题解法探究(学生刊）
（安徽省阜阳市第三中学 邮编：236006 E mai ：https://www.360docs.net/doc/7a7345494.html, 电话：136********）题目：设的内角所对边的长分别为a,b,c 则下列命题正确的是_______(写出所有正确命题的编号）若则若则；
若则若()()()222222,52,.
2
3
.a b c ab C a b c a b C ππ+<>
+<>
则；若则1试题分析：
此题沿袭了安徽卷理科填空压轴题一题多选的设计模式,选项设计由易到难再到易，是一个区分度很大、选拔性很强的试题，难倒了不少学生，得分率较低.此题的立意很高，涉及的基础知识广泛，主要考察了学生的逻辑思维和推理论证的能力，以正弦定理、余弦定理、三角函数的性质及三角恒等变形公式、函数、不等式等基础知识为载体考查了学生的()222222.1,3
+-+21,0.
22223ab c C a b c a b ab ab ab C C ab ab ab π
π
π><
-->≥=<<<三基：基本知识、基本技能、基本方法。笔者重点分析前三个选项，对于后两个选项笔者认为只要前三个搞定了，后面两个迎刃而解.2解法探究：
若则思路1：条件是一个关于三角形三边长的二次不等式，所以易想到余弦定理，再利用重要不等式即可求出cosC 的范围.
解法1：cosC=因为，所以解法2：co 2222222
22+-2ab-111,,.
2222221
.
2.3
sin sin sin a b c c c c ab c ab ab ab ab C ab c A B C C π
>=-><<
>?>sC=因为，所以即cosC>评注：两种解法都是由余弦定理出发，灵活使用条件中的不等式很快求出了cosC>再由三角函数的性质即可求出思路清晰，解法自然、简捷、流畅.思路2：条件条件，从而联想到能否用三角恒等变形公式对其进行化简变形，从而求出角的某个三()()()()2222222sin sin sin 11-cos +cos sin ,-cos cos sin 1cos ,22
1
2cos cos 2cos 12cos cos 10,.
2ab c A B C A B A B C C A B C C C C A B C C >>-->--->=-????????+->-->-+->角函数值范围.
解法3：因为，由正弦定理得，不等式的左边由积化和差得：，即解得cosC>
()()()222222222222224sin sin sin sin sin sin ,
sin sin (sin cos cos sin )sin cos cos sin 2sin cos cos sin .sin sin sin 1sin 1sin sin 2sin cos cos sin sin sin sin sin 2sin si ab c A B C A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A >>>+>+=++>-+-+>++解法：因为，由正弦定理得，()
()22n cos cos sin sin sin sin sin sin 2sin sin cos +2sin sin 2sin sin cos 12sin sin cos sin sin ,sin sin 0.
2
B A B A B A B A B A B A B A B A B C
A B C A B A B ->++≥->≠因为，所以cosC>评注：《新课程标准》要求学生了解积化和差与和差化积，这些公式出现在课后习题中。从而解法3没有超出大纲之外.如果同学们能够熟练掌握三角恒等变形公式并把公()()()()()()2
2
3332112+b ,2,223,2
12
a c a
b
c a b a b c C C π
π
??
<≤<+ ???
+=<
式之间的关系（积化和差与和差化积可由两角和与差的正余弦公式推出）搞清楚，而不是死记硬背，解法3与解法4同学们还是容易想到的.关于选项笔者不再赘述，有兴趣的读者可仿照选项的解答过程来处理。其实仔细思考可发现若选项为真，则选项也为真.因为所以从而选项为真.
若则思路：要判断角与的关系也即判断角C 是锐角或是钝角()()22
22222322333332223++c +c 1=2222.
2
+a c a b c b a b c ca b c ca b a b ab abc abc abc
a b c a b c a b π
-+-----==+=<
-+.由三角函数的概念知选
择cosC ，从而需使用余弦定理.
解法：cosC=由知c>a,c>b,所以cosC>0,则C 评注：想法朴实、自然，但变形灵活，因此很多学生可能不知道如何使用条件，导致解题无法进行下去.使用余弦定理后要认真观察与3333
3
3
3
3322
333333322
33333344
2334422222233+=12+=1==sin cos ,sin ,
cos +sin 1+cos +sin cos 22c b b c c c
b b b
c a c b c c c c c
c a b c c c c C ab ab αααααααα=+=?+===?---===之间的联系，
巧妙的变形是解决问题关键，还要敏锐地发现c>a,c>b.
a 思路2：a ，易想到三角代换.
a a 解法：由a 可得，令cos ，，4242442222333333
2
233
2cos 1cos sin 1sin cos +sin cos sin 221cos 0,1sin 0.
2
ab
c c ab ab
ααααααααπ
αα? ?
??????????-+---??
? ? ????????
???==->-><
因为所以cosC>0，则C
()33333323232233222222
2323223331,1,01.
31,1+,+1,+,cos 0.2x b
b c a c c b
b c c c
b b b b a b
c b c C c c c c c c c c ab
+=<<<<+=<<->>>+=>=>a 思路：由a 易知c>a,c>b,所以0<0<从而联想到指数函数y=a a 解法：因为a ，所以c>a,c>b ，即0<0<，由指数函数的单调性可知
a a a a ，所以所以a 即评注：思路2，思路3都需要对条件()1,133.20112,60b
c c
ABC a b c C ?<
学习过的相关基础知识（同角三角函数关系，指数函数的性质），努力构建条件和结论之间的关系，实现问题的解决。选项把本题的难度推向了巅峰，对学生能力的要求较高.试题追踪：
年北约联盟自主招生考试中有这样一道试题：在中，求证：笔者认为安徽省这道高考题借鉴了此题.因此，我们在平时的复习备考中要多做一些有质量的题，特别是高考题和自主招生题来提高我们的解题能力和推理论证能力，从而实现高效复习.我国著名的数学专家单墫教授认为“要不断地提高自己的解题能力，决不要老是简单地重复，一遍又一遍地做那些已经掌握了的习题，更重要的是习题的质量，要做一些有变化的、有技巧的题，掌握更多的新方法、新技巧.