渐近线及作图

【完成】第八讲函数图像的渐近线及其应用(教师版)

§8 函数图像的渐近线及其应用 秒杀知识点①② 知识点1：（渐近线的定义与类型） 1．若曲线C 上的动点P 沿着曲线无限地远离原点时，点P 与某一固定直线l 的距离趋于零，则称直线l 为曲线C 的渐近线． 2．渐近线分类：共分三类：水平渐近线（0α=），垂直渐近线π2α??= ??? 和斜渐近线（0πα<<），其中α为渐近线的倾斜角． 知识点2：（渐近线的求法） 设曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+．如图所示，曲线上动点P 到渐近线的距离 ()() cos PN PM f x kx b α==-+．① 根据渐近线定义，当x →+∞（对x →-∞的情形也有相应结果）时，0PN →，从而应有 ()()lim 0x f x kx b →+∞ -+=????，②或()lim x f x kx b →+∞-???=? ，③ 又由()()()1lim lim 00x x f x k f x kx b x x →+∞ →+∞?? -=-=?= ???． 得()lim x f x k x →+∞ =．④ 于是，若曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+，则k ，b 可由③，④确定，反之，若由④和③式求得k ，b ，再由②和①式得0PN →，从而直线y kx b =+为曲线()y f x =的渐近线．即斜渐近线问题就是③和④的极限问题． 若曲线()y f x =存在水平渐近线y b =，则有()lim x f x b →+∞ =或()lim x f x b →-∞ =，反之，则y b =是曲线() y f x =的水平渐近线． 若曲线()y f x =存在垂直渐近线0x x =，则有()0 lim x x f x →=∞或()0 lim x x f x +→=∞，()0 lim x x f x -→=∞，反之，则说