排列组合基本题型(教师)

排列组合常见题型解题策略

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实

践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.

一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把 不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问 题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数

【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种报名方法？

（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？

（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？

【解析】：（1）43（2）34 （3）3

4

【变式1】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.

【变式2】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有

【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，故共有38种不同的结果。 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

【例2】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有

【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种

【变式】（四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有

且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432

种其中男生甲站两端的有1

222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288

三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再 把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

【例3】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有2

6A 种，不同的排法种数是52563600A A =种

【变式1】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的

插法（具体数字作答）【解析】：111

789

A A A=504

【变式2】高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出

顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为52

56

A A 【变式3】某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项

工程的不同排法种数是

【解析】：依题，剩余两个工程与甲、乙、共形成5个位置，只需从5个位置中选出2

个然后将剩余的两个工程排列即可2

520

A=，得种排法或者

5

5

3

3

A

A

或者11

45

A A 或者212

442

A C A

+

【变式4】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的

节目单的编排总数为种.【解析】：111

91011

A A A=990

【变式5】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯3

5

C种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.

说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.

【变式6】3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？

【解析】：解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A3

3

，○*○*○*○，在四个空中分

别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A1

4种，所以每个人左右两边都空位的排法有3

3

1

4

A

A=24种.

解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人

每人带一把椅子去插空，于是有A3

4

=24种.

【变式7】停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？

【解析】：先排好8辆车有A8

8

种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空

档中任选一个，将空车位置插入有C1

9种方法，所以共有C1

9

A8

8

种方法.

四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

丙丁

【例4】2014年南京青奥会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别 从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 . 【解析】：方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。2333A 36A =

方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法24331212=A C C ；

若小张、小赵都入选，则有选法122322=A A ，共有选法36种.

【变式1】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

【解析】：老师在中间三个位置上选一个有13A 种，4名同学在其余4个位置上有44A 种方法；所以共

有143472A A =种。.

【变式2】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？

【解析】 法一：1

656A 3600A = 法二： 25653600A A = 法三：3600666677=--A A A

五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

【例5】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是

（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为

（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A =种

（2）答案：1515A

（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有2

4A 种，某1个元素排在后半段的四

个位置中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有55A 种，故共有1254455760A A A =种排法. 六．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

【例6】.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是

【解析】：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602

A =种 【变式1】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种插法？

【解析】：法一：39A 法二：9966

1A A 【变式2】将A 、B 、C 、D 、E 、F 这6个字母排成一排，若A 、B 、C 必须按A 在前，B 居中，C 在

后的原则（A 、B 、C 允许不相邻），有多少种不同的排法？ 【解析】：法一：36A 法二：6633

1A A 七．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第

二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

【例7】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的

标号与所填数字均不相同的填法有

【解析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它

三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种

【变式1】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且

只有两个的编号与座位号一致的坐法是 【解析】 答案：20种

【变式2】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4

张贺年卡不同的分配方式共有

【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a 、b 、c 、d 。

第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；

第二步，假设甲取b ，则乙的取法可分两类：

（1）乙取a ，则接下来丙、丁取法都是唯一的，

（2）乙取c 或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。

根据加法原理和乘法原理，一共有3129?+=()种分配方式。

【变式3】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，不同的站队方式共有

【解析】 答案：44种

八．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法

【例8】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？

（1） 分成1本、2本、3本三组；

（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；

（3） 分成每组都是2本的三个组；

（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本；

（5） 分给5人每人至少1本。

【解析】：（1）332516C C C （2）33

332516A C C C （3）33222426A C C C （4）222426C C C （5）2111115554321544C C C C C C A A 【变式1】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．

【解析】：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有21142122

C C C A ??;第二步将分好的三组 分配到3个乡镇，其分法有33A 所以满足条件得分配的方案有

211342132236C C C A A ???= 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.

【变式2】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有

【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有3113521322

C C C A A ?＝60种，若是 1,1,3，则有1223542322

C C C A A ?＝90种，所以共有150种 【变式3】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为

【解析】：70

【变式4】 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有

【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教

师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有125422

15C C A ?=种方法，再将3组分到3个班，共有 331590A ?=种不同的分配方案

【变式5】某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有

【解析】：按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构，∴2223343243362460C C A C A +=+=

【变式6】（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为

【解析】：答案：240种

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有多少种？【解析】：答案：4443

1284333

A A C C C 【变式7】 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三 项任务，不同的选法种数是

【解析】：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从 另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种

【变式8】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，

其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；

②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；

③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安

排其余8人到另两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为

433288883374088A A A A +++=种

【变式9】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有2

4C 种，再排：在四个盒中每次排3

个有34A 种，故共有2344144C A =种. 九．相同元素的分配问题隔板法：

【例9】：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少 于其编号数，则有多少种不同的放法？

【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球 分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有1202

16=C 种。

【变式1】 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一 个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的

分配方案为6984C =种. 【变式2】：7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有 36C 种

【变式3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，

使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？

【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有3

4C 种方法。

2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全， 可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有23C 、24C 、25C 种方法。

3、由分步计数原理可得34C 23C 24C 25C =720种 十．多面手问题（ 分类法---选定标准）

【例10】： 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语

均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个 小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？

34111235244544253412454412354445C C C C C C C C C C C C C C C C +++++

变式：. 有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出8 人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式? 答案 ：185

十一．走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）

【例11】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有 16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？

【解析】 ：插空法解题：考虑走3级台阶的次数：

1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；

2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）；

3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：

（a ）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有 166C =种

（b ）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有2615C =种走法。

4）有3次（不可能）

5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成

得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种125515C C +=走法；

6）有5次（不可能） 故总共有：1+6+15+15=37种。

变式：欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有

答案： 89种

十二．排数问题（注意数字“0”）

【例12】（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有

【解析】 ：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有5

5A 个，

1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个 （2）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

【解析】 ：将{}1,2,3,100I = 分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A = ；

能被4除余1的数集{}1,5,9,97B = ，能被4除余2的数集{}2,6,,98C = ，能被4除余3的 数集{}3,7,11,99D = ，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合

要求的取法共有211225252525

C C C C ++种. 十三．染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;

（2）根据相对区域是否同色分类讨论;（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。

【例13】 将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只 有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______.

【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。

(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种涂A 、

B 、

C 、

D 四点，此时只能A 与C 、B 与D 分别同色，故有125460C A =种方法。

(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ，再从余下的四种颜色中

任选两种染A 与B ，由于A 、B 颜色可以交换，故有24A 种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染

D 或C ，而D 与C ，而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有12115422240C A C C =种法。

(3)若恰用五种颜色染色，有55120A =种染色法

综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.

【解析二】设想染色按S —A —B —C —D 的顺序进行，对S 、A 、B 染色，有54360??=种染色方法。由于C 点的颜色可能与A 同色或不同色，这影响到D 点颜色的选取方法数，故分类讨论：C 与A 同色时（此时C 对颜色的选取方法唯一），D 应与A （C ）、S 不同色，有3种选择；C 与A 不同色时，C 有2种选择的颜色，D 也有2种颜色可供选择，从而对C 、D 染色有13227?+?=种染色方法。 由乘法原理，总的染色方法是607420?=

【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，

对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？

总体实施分步完成,可分为四大步:

①给S 涂色有5种方法;

②给A 涂色有4种方法(与S 不同色);

③给B 涂色有3种方法(与A,S 不同色);

④给C,D 涂色.当C 与A 异色时,C,D 都有2种涂色方法; 当C 与A 同色时,C 有一种涂色方法(与A 同色),D 有3种涂色方法.给C,D 涂色共有2×2+3=7种方法.

由分步计数原理共有5×4×3×7=420种方法

[规律小结] 涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是

否同色分类讨论;（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。

十四． 几何中的排列组合问题:

【例14】 已知直线1x y a b

+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条

【解析】： 圆上的整点有：(6,8) ,(8,6),(10,0),(010)±±±±±± 12 个

212C =66 其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有1

12C =12 ，

其中平行于坐标轴的有14条

不满则条件 66-4+12-14=60 答案:60