“一线三等角”模型

几何模型

典型例题：

例 1 （只要用一线三等角中的倒角就可以了）（2012.河南）如图，在中，

点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥

BC 交AB 边于点E ，将沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD

的长为 1或2

利用30度的性质利用“一线三等角”模型倒角

只能是∠AFE=900,或∠E AF=900,∠C AF=900.CF=30.

例2 （·盐城）在△ABC 中，∠ACB=450

，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．若AC ＝，BC=3，设正方形ADEF 的边DE 与线段CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值．解

当具备∠BCA=45o时，易证CF ⊥BC ，

过点A 作AQ⊥BC 交BC 的延长线于点Q ，（如图戊）

∵DE 与CF 交于点P 时， ∴此时点D 位于线段CQ 上， ∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴ DQ=4—x ，

Rt ABC 90,30, 3.C B BC ??∠=∠==B ∠ A

F D E

F C

D E

容易说明△AQD∽△DCP，∴CP CD DQ AQ

= ， ∴44CP x x =-，2

(2)144x CP x x ∴=-+=--+．

∵0＜x ≤3∴当x=2时，CP 有最大值1．

例3 （2013.平谷.一模24）(构造一线三等角)（1）如图(1)，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且BD CE =，连接AE 、CD 相交于点P .请你补全图形，并直接写出∠APD 的度数；= （2）如图（2）,Rt △ABC 中，∠B =90°，M 、N 分别是AB 、BC 上的点，且,AM BC =BM CN =，连接AN 、CM 相交于点P . 请你猜想∠APM =°，并写出你的推理过程.

解：（1）60°………………………………..1分（2）45°………………………………..2分证明：作AE ⊥AB 且AE CN BM ==.

可证EAM MBC ???.……………………………..3分

∴ ,.ME MC AME BCM =∠=∠ ∵ 90,CMB MCB ∠+∠=?∴90.CMB AME ∠+∠=?

∴90.EMC ∠=?

∴EMC ?是等腰直角三角形,

45.MCE ∠=?……………….5分

又△AEC ≌△CAN （s ， a ， s ）

∴.ECA NAC ∠=∠ ∴EC ∥AN.

∴45

.APM ECM ∠=∠=?