空间中的垂直问题练习题(答案)
1
空间线线、线面、面面垂直关系练习题
一、填空题
1．给出下列三个命题：
①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是“直线a 、b 不相交”；
②“直线a 垂直于直线b ”的充分非必要条件是“直线a 垂直直线b 在平面β内的射影”；
③“直线a 垂直平面β” 的必要非充分条件是“直线a 垂直于平面β内的无数条直线” 其中所有真命题的序号是 ③
2．如图，正方形ABCD ，P 是正方形平面外的一点，且P A ⊥平面A BCD 则在△P AB 、△PBC 、△PCD 、△P AD 、△P AC 及△PBD 中，为直角三角形有______5___个．
3．在四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足 B M P C ⊥ 时，平面MBD ⊥平面PCD ．
4．已知三棱锥ABC S -的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影
H 是SBC ?的垂心，且SA 的长为定值，则下列关于此三棱锥的命题：①点B 在侧面SAC 上的射影是SAC ?的垂心；②三棱锥ABC S -是一个正三棱锥；③三棱锥ABC S -的体积有最大值；④三棱锥ABC S -的体积有最小值.其中正确命题的序号为 ①②③ . 5．如果a,b 是异面直线，P 是不在a,b 上的任意一点，下列四个结论：（1）过P 一定可作直线L 与a , b 都相交；（2）过P 一定可作直线L 与a , b 都垂直；（3）过P 一定可作平面α与a , b 都平行；（4）过P 一定可作直线L 与a , b 都平行，其中正确的结论有___（2）______．
6．给出下列命题：①分别和两条异面直线AB ．CD 同时相交的两条直线AC ．BD 一定是异面直线②同
时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b 在面α内的射影为c ，直线a ⊥c ，则a ⊥b ④有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是 ① ．
7．点P 在直径为2的球面上，过P 作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是
5
70
2 ． 8．正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB //平面α，则正四面体上
的所有点在平面α内的射影构成图形面积的取值范围是
]21
,42[
． 9．直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 与l 成450，AB βα??AC ,，
则∠BAC= ．（60或120，两种情形）
10.四棱锥D ABCE -的底面是矩形，DE ⊥面ABCE ，1, 2.DE EC BC G ===为DA 的中点，Q 为DC 上一点，且EQ ⊥面GBC ，则
DQ QC ＝ 3
2
. 11．已知边长为ABC ?，点,D E 分别在边,AB AC 上，且//DE BC ，以
DE 为折痕，把ADE ?折起至A DE '
?，使点A '在平面BCED 上的射影H 始
终落在BC 边上，记2ADE S A H ?='的面积
，则S 的取值范围为 ．
【答案】)+∞【解析】设A 到DE 的距离为x ，则DE 与BC 间距离为3x -，ADE ∴?的面积为2x ()222
369A H x
x x '=-
-=- 23232x S x x ??∴> ?-?? S ∴
的取值范围为)+∞
． 12．三棱锥A B C P -中，?=∠=∠=
∠90CPA BPC APB ，
点M 在△ABC 内，且=∠MPA ?=∠60MPB ，则MPC
∠的度数是___?45______．
13.如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直
的棱，2=BC ，若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最
大值是 。【答案】
13
2
22--c a c 14．如图，已知平面α⊥平面β，A 、B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，,DA CB ββ??，且DA α⊥，CB α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则PAB
?的面积的最大值是 12 .
二、解答题
15． 如图，正方形ABCD 所在的平面与三角形CDE 所在的平面交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且
2A B A E
=． （1）求证：//AB 平面CDE ；
（2）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ； 证明：（1）正方形ABCD 中，//AB CD ，又AB ?平面CDE ，
CD ?平面CDE ， 所以//AB 平面CDE ． （2）因为AE CDE ⊥平面，且CD CDE ?平面，
所以AE CD ⊥， 又 ABCD CD AD ⊥正方形中，，
且AE AD A =AE AD ADE ?、平面， 所以CD ADE ⊥平面， 又CD ABCD ?平面， 所以ABCD ADE ⊥平面平面．
16.如图所示，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，EC ＝CA ＝2BD ，M
是EA 的中点．
求证：（1）平面BDM ⊥平面ECA （2）平面DEA ⊥平面ECA
17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，DC ∥，
PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==
(1)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； (2)求四棱锥P ABCD -的体积．
(1) 证明：在ABD △中，由于4AD =，8BD =，
AB =222AD BD AB +=．故AD BD ⊥．
又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，
BD ?平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD ，
又BD ?平面MBD ，故平面MBD ⊥平面PAD ．
(2) 解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O ，由于平面PAD ⊥平面ABCD ，
所以PO ⊥平面ABCD ．因此PO 为四棱锥P ABCD -的高，又PAD △是边长为4的等边三角形．因此4PO ==在底面四边形ABCD 中，AB DC ∥，2AB DC =，所以四边形ABCD 是梯形，在Rt ADB △中，斜边AB 边
5=
， 此即为梯形ABCD 的高，所以四边形ABCD 的面积为24S =
=． α β P A B
D
C
A B C D E A B
C M
P D
2 A
B
C C 1 B 1
A 1
F
D
E
M
A B C C 1 B 1
A 1 F D
E
O M
18.如图１，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD ，∠ABC =600，E 是BC 的中点．如图2，将△ABE 沿AE 折起，使二面角B —AE —C 成直二面角，连结BC ，BD ，F 是CD 的中点，P 是棱BC 的中点．
(1)求证：AE ⊥BD ； (2)求证：平面PEF ⊥平面AECD ；
(3)判断DE 能否垂直于平面ABC ?并说明理由．
证明：(1)连接BD ，取AE 中点M ，连接,BM DM ．
在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD ，60ABC ?∠=，E 是BC 的中点， ABE ∴?与ADE ?都是等边三角形 ,BM AE DM AE ∴⊥⊥ ,,BM DM M BM DM =?平面BDM ，AE ∴⊥平面BDM ． BD ?平面BDM ，AE BD ∴⊥．
(2)连接CM 交EF 于点N ，连接PN
ME ∥FC ，且ME ＝FC ，∴四边形MECF 是平行四边形。∴N 是线段CM 的中点。 ∵P 是线段BC 的中点，PN ∴∥BM BM ⊥平面AECD PN ∴⊥平面AECD ．
(3)DE 与平面ABC 不垂直．
假设DE ⊥平面ABC ，则DE AB ⊥．∵⊥BM 平面AECD ．BM DE ∴⊥． AB BM M =，,AB BM ?平面ABE ，DE ∴⊥平面ABE ． DE AE ∴⊥，这与60AED ∠=矛盾DE ∴与平面ABC 不垂直．
19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知
1,3,2AB AC AA BC CF ====.
(1)求证:1C E ∥平面ADF;
(2)若点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF?
分析：（1）要证明ADF E C 平面//1,可通过线线平行和面面平行两条路来证明线面平行.
Ⅰ.要在平面ADF 中找到与E C 1平行的直线，可反用线面平行的性质，利用过E C 1的平面与平面ADF 的交线OF ,这里注意O 为
ABC ?的重心，（
1
2
=OE CO ）,再利用比例关系证明OF E C //1从而证明结论.
Ⅱ.取BD 中点M ,可通过证明面ADF ME C 平面//1,证明ADF E C 平面//1
解：（1）连接CE 交AD 于O ，连接OF ．
因为CE ，AD 为△ABC 中线，
所以O 为△ABC 的重心，12
3
CF CO CC CE ==． 从而OF//C 1E ．
OF ?面ADF ，1C E ?平面ADF ， 所以1//C E 平面ADF ． （2）当BM=1时，平面CAM ⊥平面ADF ． 在直三棱柱111ABC A B C -中，
由于1B B ⊥平面ABC ，BB 1?平面B 1BCC 1，所以平面B 1BCC 1⊥平面ABC ．
由于AB =AC ，D 是BC 中点，所以AD BC ⊥．又平面B 1BCC 1∩平面ABC =BC ，
所以AD ⊥平面B 1BCC 1．
而CM ?平面B 1BCC 1，于是AD ⊥CM ．
因为BM =CD =1，BC = CF =2，所以Rt CBM ?≌Rt FCD ?，所以CM ⊥DF ．
DF 与AD 相交，所以CM ⊥平面ADF ．
CM ?平面CAM ，所以平面CAM ⊥平面ADF ．
当BM=1时，平面CAM ⊥平面ADF
20．已知正三角形PAD 所在的平面与直角梯形ABCD 垂直，AB AD ⊥，
//AB CD ，且2AD DC ==,4AB =． （1）求证：AB PD ⊥；
（2）求点C 到平面PAB 的距离；
（3）在线段PD 上是否存在一点M ，使得//AM 平面PBC ．
20．【解析】（1）PAD ABCD PAD ABCD AD AB PAD AB AB ABCD PD PAD AB AD ⊥??=⊥??????????
?⊥?
面面面面面面面（2）由C PAB P ABC V V --= 即1133
PAB ABC h S PE S ???=?
h =D 作PA 的垂线，求垂线段的长） （3）假设PD 上存在点M ，使得//AM 平面PBC .
在平面PDC 内过点M 作//MN DC 交PC 于N ,连接BN , 则////AMNB PBC NB AM PBC AM NB AM PBC =?
?
?????面面面面 又//////MN CD MN AB CD AB ????， 所以平面AMNB 是平行四
边形 ，所以MN AB = ，这与MN CD AB <<矛盾，所以假设不成立，
即在线段PD 上不存在一点M ，使得//AM 平面PBC .
21.如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1
AO ⊥平面MBD ．
证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，
1A A
AC A =，
∴DB ⊥平面11A ACC ，而1
AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则2
21
32AO a =，223
4
MO a =． 在Rt △11A C M 中，22
194
A M a =
．∵22211A O MO A M +=，∴1
AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ． 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．
22.如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面P AC ．
A
B C D E
图1
图2
证明：在平面P AC内作AD⊥PC交PC于D．
因为平面P AC⊥平面PBC，且两平面交于PC，
AD?平面P AC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又
∵BC?平面PBC，∴AD⊥BC．
∵P A⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴P A⊥BC．
∵AD∩P A=A，∴BC⊥平面P AC．
评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直
线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线
线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本
题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直．
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直???→
←???
判定
性质
线
面垂直???→
←???
判定
性质
面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，
而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．
23.如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB SC SD
，，于
E F G
，，．求证：AE SB
⊥，AG SD
⊥．
证明：∵SA⊥平面ABCD，
∴SA BC
⊥．∵AB BC
⊥，∴BC⊥平面SAB．又∵AE?平面
SAB，∴BC AE
⊥．∵SC⊥平面AEFG，∴SC AE
⊥．∴AE⊥平面
SBC．∴AE SB
⊥．同理可证AG SD
⊥．
评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面
垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在
平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．
24.如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．
证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．
∵AC BC
=，∴CF AB
⊥．
∵AD BD
=，∴DF AB
⊥．
又CF DF F
=，∴AB⊥平面CDF．
∵CD?平面CDF，∴CD AB
⊥．
又CD BE
⊥，BE AB B
=，
∴CD⊥平面ABE，CD AH
⊥．
∵AH CD
⊥，AH BE
⊥，CD BE E
=，
∴AH⊥平面BCD．
评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又
转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．
25如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA⊥平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上
任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．
证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴AC BC
⊥．
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA BC
⊥．∴BC⊥平面APC．
∵BC?平面PBC，
∴平面APC⊥平面PBC．
∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，
∴AE⊥平面PBC．
∵AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．
评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线,即证线面垂直，而证线面垂
直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．
26.如图, 在空间四边形SABC中, SA⊥平面ABC, ∠ABC = 90?, AN⊥SB于N, AM⊥SC于M。求证: ①AN⊥BC;
②SC⊥平面ANM
分析:①要证AN⊥BC, 转证, BC⊥平面SAB。
②要证SC⊥平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SC⊥AM, SC⊥AN。要证
SC⊥AN, 转证AN⊥平面SBC, 就可以了。
证明:
①∵SA⊥平面ABC∴SA⊥BC又∵BC⊥AB, 且AB SA = A∴BC⊥平面SAB∵AN?平面SAB
∴AN⊥BC
②∵AN⊥BC, AN⊥SB, 且SB BC = B∴AN⊥平面SBC∵SCC平面SBC
∴AN⊥SC
又∵AM⊥SC, 且AM AN = A∴SC⊥平面ANM
27.在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
（1）求证：AB⊥BC；
（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面
SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，
又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，
∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．
28.如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分
别是AB、PC的中点．
（1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND
⊥平面PCD
（1）【解】PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，
∴PD⊥CD，故∠PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在
Rt△PAD中，PA=AD，
∴∠PDA=45°
（2）【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则
EN 2
1
CD AM，∴四边形
ENMA是平行四边形，∴EA∥MN．
∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵
MN?平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．
【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面
PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了．另外，在本题中，当
AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围．
29.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、
B1C1的中点．
（1）求证：平面MNF⊥平面ENF．（2）求二面角M—EF—N的平面
角的正切值．
（1）【证明】∵M、N、E是中点，∴M
C
NC
N
B
EB
1
1
1
1
=
=
=∴?
=
∠
=
∠45
MNC
ENB
1
1
∴?
=
∠90
MNE即MN⊥EN，又NF⊥平面A
1
C1，1
1
C
A
MN平面
?∴MN⊥NF，从而MN⊥平面
ENF．∵MN ?平面MNF，
∴平面MNF⊥平面ENF．
（2）【解】过N作NH⊥EF于H，连结MH．∵MN⊥平面ENF，NH为MH在平面ENF内的射影，
∴由三垂线定理得MH⊥EF，∴∠MHN是二面角M—EF—N的平面角．在Rt△MNH中，求得
3
MN=2
2
a，NH=3
3
a，
∴tan∠MHN=2
6
=
NH
MN
，即二面角M—EF—N的平面角的正切值为2
6
．
30.，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为
AB的中点，且PA=AB．
（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．
（1）【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，
又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴
CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，
∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，
则AF⊥PD，∵AF ?面PAD ∴CD⊥AF，
又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则
GF 2
1
CD又
AE 2
1
CD，
∴
GF AE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG ?平面PEC，
∴平面PEC⊥平面PCD．
（2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面
PEC
∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与△PCD中，∠P为公共角，
而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴PC
PF
CD
FH
=
，设AD=2，∴
PF=2，PC=3
2
4
8
2
2=
+
=
+CD
PD，
∴FH=3
6
2
3
2
2
=
?
∴A到平面PEC的距离为3
6
．
31．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所
有互相垂直的各对平面．
（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径
∴BC⊥AC；
又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC．
∵BC ?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面
ABCD；平面PAD⊥平面ABCD．
32．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，CC′上的一点，BD＝2
1
a，EC
＝a．
（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′；
（2）求截面△ADE的面积．
（1）【证明】分别取A′C′、AC的中点M、N，连结MN，
则MN∥A′A∥B′B，
∴B′、M、N、B共面，∵M为A′C′中点，B′C′=B′A′，
∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′
∴B′M⊥平面A′ACC′．
设MN交AE于P，
∵CE＝AC，∴PN＝NA＝2
a
．
又DB＝2
1
a，∴PN＝BD．
∵PN∥BD，∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M，
∴PD∥B′M．
∵B′M⊥平面ACC′A′，
∴PD⊥平面ACC′A′，而PD?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ACC′A′．
（2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′，
∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝2
3
a，
AE＝2a．
∴S△ADE＝2
1
×AE×PD
＝2
1
×
2
4
6
2
3
2a
a
a=
?
．
4
空间垂直关系的相互转化
空间垂直关系的相互转化 山东省莱芜市第五中学数学组（271121） 刘峰 空间的垂直关系包括线线垂直，线面垂直，面面垂直。解决此类问题的关键是利用相关的定理，性质将三者或其中的两者进行合理的转化。 线线垂直，线面垂直，面面垂直三者之间的关系可以用下图来表示： 线线垂直线面垂直面面垂直 （1） （2）（3）（4） 其中：（1）线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 （2）如果一条直线和一个平面垂直那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直。 （3）面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 （4）面面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 下面我们通过几个例子来看一下在具体题目中是如何进行转化的。 例1、设ABCD 是空间四边形，,AB AD CB CD ==. 求证：AC BD ⊥. 【证明】如右图，设BD 的中点为K ，连结,AK CK . AB AD =Q ，K 为BD 的中点，AK BD ∴⊥ 同理CK BD ⊥. 又,,AK CK K BD AKC =∴⊥I 面 又,.AC AKC BD AC ?∴⊥面 【点悟】（1）证明线线垂直问题往往转化为线面垂直来解决；直线垂直于平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线，这是证明线线垂直的一条有效途径。（2）本题的转化过程为线线垂直→线面垂直→线线垂直。 例2、如右图，已知平面PAB ABC ⊥平面， 平面PAC ABC ⊥平面，AE PBC ⊥平面，E 为垂足. （1） 求证：PA ABC ⊥平面； （2） 当E 为PBC ?的垂心时，求证：ABC ?是直角三角形.
空间中的垂直关系(带答案)
空间中得垂直关系专题训练 知识梳理 一、线线垂直: 如果两条直线于一点或经过后相交于一点,并且交角为 ,则称这两条直线互相垂直、 二、线面垂直: 1、定义:如果一条直线与一个平面相交,并且与这个 平面内得_________________,则称这条直线与这个平 面垂直、也就就是说,如果一条直线垂直于一个平面, 那么她就与平面内任意一条直线都、直线l与平面 α互相垂直,记作l⊥α、 2、判定定理:如果一条直线与平面内得直线垂直,则这条直线与这个平面垂 直、 推论①:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也于这个平面、 推论②:如果两条直线同一个平面,那么这两条直线平行、 3、点到平面得距离: 长度叫做点到平面得距离、 三、面面垂直: 1、定义:如果两个相交平面得交线与第三个平面 ,又这两个平面与第三个平面相交 所得得两条交线 ,就称这两个平面互相垂直、平面α,β互相垂直,记作α⊥β、 2、判定定理:如果一个平面经过另一个平面得___________,则这两个平面互相垂直、 3、性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于直线垂直于另 一个平面、 四、求点面距离得常用方法: 1、直接过点作面得垂线,求垂线段得长,通常要借助于某个三角形、 2、转移法:借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面得距离来求解、 3、体积法:利用三棱锥得特征转换位置来求解、 题型一线线垂直、线面垂直得判定及性质 例1、如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E就是PC得中点、求证: (1)CD⊥AE;
空间中的垂直关系习题课讲课稿
空间中的垂直关系习 题课
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 空间中的垂直关系习题课 一、知识梳理： （一）.线线垂直的定义： （二）直线与平面垂直（线面垂直） 1.定义： 如果 则这条直线和这个平面垂直。这条直线叫做 ，这个平面叫做 ，交点叫做 ，记作l α⊥ 2.性质定理： 3.判断定理： 推论1： 推论2 （三）面面： 1.定义： 如果 则这两个平面互相垂直。记作αβ⊥ 2.判定定理： 3.性质定理： 二、典型例题 【例1】判断题 （1）过平面外一点只可做一个平面与已知平面垂直。（ ） （2）过不在平面内的一条直线可以作无数个平面与已知平面垂直。（ ） （3）平行于同一条直线的两条直线平行（ ） （4）平行于同一条直线的两个平面平行（ ） （5）平行于同一平面的两条直线平行（ ） （6）平行于同一个平面的两个平面平行（ ） （7）垂直于同一条直线的两条直线平行（ ） （8）垂直于同一条直线的两个平面平行（ ） （9）垂直于同一平面的两条直线平行（ ） （10）垂直于同一个平面的两个平面平行（ ） 【例2】.如图，在正方体 1111ABCD A B C D -中，求证： （1）1BD ACC ⊥面 （2） 1AC BD ⊥； （3）平面1AC D ⊥平面1A BD 【例3】．如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，PA ＝AD ＝a ． （1）求证：MN ⊥平面PCD ； （2）求证：平面PMC ⊥平面PCD ．
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 B 1 C 1 A 1 D 1 B A C D 三、巩固练习： 1、若平面α外一条直线l 与α内两条直线都垂直，则l 与α位置关系是 （ ） A 、//l α B l α⊥ C 、 l 与α 相交 D 、无法确定 2、.关于直线m,n 与平面,αβ，有下列四个命题： （1）若//,////,//m n m n αβαβ且则 （2）若,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⊥且则 （3）若,////,m n m n αβα β⊥⊥且则 （4）若//,,//m n m n αβαβ⊥⊥且则 其中真命题的序号是（ ） A.（1）（2） B.(3)(4) C.(1)(4) D.(2)(3) 3．已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则 ( ) .A n β⊥ ,//.βn B 或β?n α⊥n C . ,//.αn D 或α ?n 4、.已知平面,,αβγ，则下列命题中正确的是（ ） .,,//.A αββγαγ⊥⊥则 B.//,,αββγαγ⊥⊥则 .,,,C a b a b α γβγαβ==⊥⊥则 D.,,,a a b b αβαβα⊥=⊥⊥则 5、已知直线a,b 和平面,αβ，有下列命题，其中假命题的个数是（ ） (1),//,;(2)//,,//; (3)//,//(4),//a b a b a b a b a b b a a a αααααααβαβ ⊥?⊥????⊥⊥? A.4 B.3 C.2 D.1 6．如图所示，平面 α、β 互相垂直，棱l 上有两点A 、B ，AC ? α ，BD ? β， 且AC ⊥l ，AB ＝8cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝24 cm ，则CD ＝_________． 7、如图，在直四棱柱 A 1 B 1 C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满 足条件_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有 8、如图，长方体 1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ，21=AA ，点P 为1DD 的中 点。 （1）求证：平面PAC ⊥平面1BDD ； （2）求证：直线1PB ⊥平面PAC . 9、 如图所示，直角梯形ACDE 与等腰直角△ABC 所在平面互相垂直，F 为BC 的中 点，90BAC ACD ∠=∠=?，AE ∥CD ，DC=AC=2AE=2. （Ⅰ）求证：平面BCD ⊥平面ABC （Ⅱ）求证：AF ∥平面BDE ； （Ⅲ）求四面体B-CDE 的体积. P D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A
人教版高一数学必修2 空间直线的垂直关系练习题(含答案详解)
必修2 空间中的垂直关系 基础知识点 一、选择题： 1.若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是 ( ). A.60° B.45° C.30° D.120° 2.直线l⊥平面α，直线m?α，则( ). A.l⊥m B.l∥m C.l，m异面 D.l，m相交而不垂直 3.如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有( ). A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 4.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( ). A.α∥γ B.α⊥γ C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能 5.已知长方体ABCDA1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则 ( ). A.ME⊥平面AC B.ME ?平面AC C.ME∥平面AC D.以上都有可能 6.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( ).
A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B.它们两两垂直 C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直 D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直 二、填空题： 7.在正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心(如图)，则EF与平面BB1O的关系是________. 8.若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个. ①a⊥α，b∥α?a⊥b; ②a⊥α，a⊥b?b∥α； ③a∥α，a⊥b?b⊥α；④a⊥α，b⊥α?a∥b. 9.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________. 10.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的大小为________. 三、解答题：
最新空间几何—平行垂直证明(高一)
空间几何平行垂直证明专题训练知识点讲解 （一）直线与直线平行的证明 1）利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2）利用三角形中位线性质 3）利用空间平行线的传递性：m//a,m//b = a//b 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4）利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 a II - ' a= a II b -b - 5）利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. -// I _ o（nY = a〉= a // b 6）利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 a _ ：' b _ = a // b 7）利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另 （二）平面与平面平行的证明 常见证明方法: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 、“垂直关系”常见证明方法 （一）直线与直线垂直的证明 1） 利用某些平面图形的特性：如 直角三角形的两条直角边互相垂直 等。 2） 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为 90°,则两直线互相垂直。 3） 利用直线与平面垂直的性质： 1) 利用直线与平面平行的判定定理: 2) a // b 丿 利用平面与平面平行的性质推论: 个平面 3) 1) 利用平面与平面平行的判定定理: 2) 3) // // b = P ：?：〃： 利用某些空间几何体的特性：如 利用定义：两个平面没有公共点 利用定义：直线在平面外,
立体几何证明垂直专项含练习题及答案
立体几何证明------垂直 一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。 2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1：如果一个平面有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行. 8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理 要点诠释：定义中“平面的任意一条直线”就是指“平面的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线 线垂直线面垂直） Ⅰ.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二 面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）
二面角的平面角的三个特征: ⅰ. 点在棱上 ⅱ. 线在面 ⅲ. 与棱垂直 Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；围：000180θ<<. 知识点四、平面和平面垂直的定义和判定 （垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼） 三．常用证明垂直的方法 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。 （4） 利用直径所对的圆周角是直角 (1) 通过“平移”,根据若则a //b,且b⊥平面α,a⊥平面α 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=2 1 DC ，中点为PD E . 求证：AE ⊥平面PDC. 2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ， ∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点．求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （第2题
空间几何——平行与垂直证明
c c ∥∥b a b a ∥?一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?
空间中的垂直关系(带答案)教学提纲
空间中的垂直关系(带 答案)
空间中的垂直关系专题训练 知识梳理 一、线线垂直： 如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角 为，则称这两条直线互相垂直. 二、线面垂直： 1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且 和这个 平面内的_________________，则称这条直线和这个平 面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面 α互相垂直，记作l⊥α. 2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线 与这个平面垂直. 推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面. 推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行. 3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离. 三、面面垂直： 1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第 三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作 α⊥β. 2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直. 3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于 直线垂直于另一个平面. 四、求点面距离的常用方法：
1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形. 2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解. 3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解. 题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质 例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， A C⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点． （Ⅰ）求证：B1D1⊥AE； （Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE． 【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD．
线面垂直经典例题及练习题-(精.选)
立体几何 1．P 点在则ABC ?所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC 内的射影 ，PA 、PB 、PC 两 两垂直，则D 点是则ABC ? （ B ） (A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心 2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 （ A ） (A)都平行 (B) 都相交 (C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行 3．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两平面的位置关系是（ A ） (A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直 4．在空间，下述命题正确的是 （ B ） (A)若直线//a 平面M ，直线b a ⊥，则直线⊥b 平面M (B)若平面M //平面N ，则平面M 内任意直线a //平面N (C)若平面M 与N 的交线为a ，平面M 内的直线a b ⊥，则N b ⊥ (D)若平面N 的两条直线都平行平面M ，则平面N //平面M 5．a 、b 表示两条直线，α、β、γ表示三个平面，下列命题中错误的是 （A ） (A),,αα??b a 且ββ//,//b a ，则βα// (B)a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面与a 、 b 等距 (C) ,,,b a b a ⊥?⊥βα则βα// (D),,,//,βαβγγα⊥⊥⊥b a 则b a ⊥ 6.直线l //平面α，αβ⊥，则l 与平面β的位置关系是 （ D ） (A) l β? (B) //l β (C) l β与相交 (D ) 以上三种情况均有可能 7．已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，有以下四个命题：①//l m αβ?⊥② //l m αβ⊥?③//l m αβ?⊥④//l m αβ⊥?，其中正确的是（D ） (A) ①② (B) ②④ (C) ③④ (D) ①③ 8．αβγδ，，，是四个不同的平面，且αγβγαδβδ⊥⊥⊥⊥，，，，则（ B ） (A) ////αβγδ或 (B) ////αβγδ且 (C) 四个平面中可能任意两个都不平行 (D) 四个平面中至多有一对平面平行 9．已知平面α和平面β相交，a 是α内的一条直线，则（ D ） (A) 在β内一定存在与a 平行的直线 (B) 在β内一定存在与a 垂直的直线 (C) 在β内一定不存在与a 平行的直线 (D) 在β内一定不存在与a 垂直的直线 10．已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，垂足为A ，连PB PC PD AC BD ，，、，，则互 相垂直的平面有（ C ） (A) 5对 (B) 6对 (C) 7对 (D) 8对
人教版高数必修二第6讲：空间中的垂直关系(教师版)
空间中的垂直关系 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 理解空间中三种垂直关系的定义； 掌握空间中三种垂直关系判定及性质； 用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题． 一、直线与平面垂直 1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直． 2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直， 我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离 3.直线和平面垂直的判定 4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于 这个平面． 符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a?α，b?α?l⊥α， 如图： (2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面． 符号语言：a∥b，a⊥α?b⊥α， 如图：
5．直线与平面垂直的性质 (1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 符号语言：a⊥α，b⊥α?a∥b， 如图： (2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． 符号语言：a⊥α，b?α?a⊥b， 如图： 6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影 (1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点． (2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心． (3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心． 7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 二、直线和平面平行 1．平面与平面垂直的定义： 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β. 2．两个平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 符号表示：a⊥α，a?β?α⊥β， 如图： 3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面． 符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA?α，BA⊥CD，B为垂足?BA⊥β，
空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)
空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量． 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0； ③l ∥α ?a ⊥u ?a ·u ＝0； ④l ⊥α ?a ∥u ?a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥?u ∥v ?u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ?u ⊥v ?u ·v ＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角． 设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2 π,0(∈θ则 ?= >
线面垂直面面垂直知识点总结经典例题及解析高考题练习及答案第次补课
直线、平面垂直的判定与性质 【知识梳理】 一、直线与平面垂直的判定与性质 1、 直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。 （2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα? ?⊥?⊥? （3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即,//a b a b αα⊥⊥?. 由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。 2、 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角或者直角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是0 0的角。 3、 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小；范围：0 0180θ≤≤. 二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作 l l βαβα⊥? ?⊥??? . 3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作l m m m l αβαββα⊥??=? ?⊥??? ?⊥? I . 【经典例题】 【例1】（2012浙江文）设l 是直线,a,β是两个不同的平面 （ ） A ．若l ∥a,l ∥β,则a ∥β B ．若l ∥a,l ⊥β,则a ⊥β C ．若a ⊥β,l ⊥a,则l ⊥β D ．若a ⊥β, l ∥a,则l ⊥β 【答案】B
立体几何空间中的垂直关系及答案
空间中的垂直关系 1．线线垂直 如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直． 2．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作______．直线l叫做______________，平面α叫做______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的________． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直． 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α?b⊥α． (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________． 3．直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角． 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________． 4．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的______________________叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________． 5．平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直． (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直． 自查自纠： 1．直角 2．(1)直线l与平面α互相垂直l⊥α平面α的垂线 直线l的垂面垂足距离(2)两条相交直线(3)平行 3．锐角[0°，90°] 4．(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱[0°，180°] 5．(1)直二面角(2)垂线(3)交线 (2018·广东清远一中月考)已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列命题：①α⊥β?l ∥m；②α∥β?l⊥m；③l⊥m?α∥β；④l∥m?α⊥β，其中正确命题的序号是() A．①②③B．②③④C．①③D．②④ ． (2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则() A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD
高中数学专题-空间中的垂直关系
高中数学专题-空间中的垂直关系 认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定/能运用公理、定理和已获得的结论 证明一些空间圆形垂直关系的简单命题 1．两条直线互相垂直 定义：如果两条直线相交于一点或 相交于一点，并且交角为 ， 则称这两条直线互相垂直． 2．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点(O )的 直线 都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直． (2)判定直线与平面垂直的方法． ①定义法 ②利用直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条 . 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线 也垂直于这个平面． (3)直线与平面垂直的性质 ①垂直于同一个平面的两条直线 ． ②直线垂直平面，则垂直平面内的任意一条直线． ③垂直同一直线的两平面平行． ③垂直同一直线的两平面平行． 3．直线和平面所成的角 (1)直线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线与平面所成的角 (2)范围：[0，π2 ] 4．二面角的概念 (1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 (3)范围：[0，π] 5．两个平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直． (2)性质定理：若两个平面互相垂直，那么 垂直于它们的交线的直线垂 直于另一个平面． 试用向量的方法证明直线与平面垂直的判定定理．
线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题与答案解析
线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案1．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形． (1)求证：BC⊥AD； 2如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC， 平面SAB⊥平面SBC． (第1题) （1）求证：AB⊥BC； 3.如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB． （1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离． 4. 如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，求证：SH⊥平面ABC.
5. 如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D 为斜边AC的中点. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC. 6. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D 11 A B1 D C B 7. 如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M. 求证：CD⊥平面BDM.
8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD， 作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD． 9. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC． 10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB． (1)求证：平面EDB⊥平面EBC； (2)求二面角E－DB－C的正切值. 11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC 平面PBC。 12..如图1-10-3所示，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，若截取SA=SB=SC.
(新)高中数学黄金100题系列第64题空间垂直关系的证明理
第64题 空间垂直关系的证明 I ．题源探究·黄金母题 【例1】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证： （1）1B D ⊥平面11A C B ； （2）1B D 与平面11A C B 的交点H 是11A C B ?的重心 （三角形三条中线的交点）． 【解析】（1）连接11B D ，1111B D A C ⊥， 又1DD ⊥面1111A B C D ，∴111DD AC ⊥， ∵1111B D A C ⊥，1 111DD B D D = ∴11A C ⊥面1D DB ，因此111AC B D ⊥． 同理可证：11B D A B ⊥，∴1B D ⊥平面11A C B ． （2）连接11A H BH C H ，，， 由11111A B BB C B ==，得11A H BH C H ==． ∴点H 为11A BC ?的外心.又11A BC ?是正三角形， ∴点H 为11A BC ?的中心，也为11A BC ?的重心． H C 1 D 1 B 1 A 1 C D A B II ．考场精彩·真题回放 【例2】【2017课标1理18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=. （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角 A -P B - C 的余弦值. 【解析】分析：（1）根据题设条件可以得出 AB ⊥AP ，CD ⊥PD .而AB ∥CD ，就可证明出AB ⊥平 面PAD .进而证明平面PAB ⊥平面PAD .试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=?，得AB ⊥AP ， CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平 面PAD .又AB ?平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD . （2）略 【例3】【2017课标3理19】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四 面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D –A E –C 的余弦值. 【答案】(1)证明略；(2) 7 7 . 【解析】分析：(1)利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直； 解析：（1）由题设可得，ABD CBD ???，从而 AD DC = 又ACD ?是直角三角形，所以 0=90ACD ∠取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则
空间中的垂直关系(带答案)
！ 空间中的垂直关系专题训练 知识梳理 一、线线垂直： 如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直. 二、线面垂直： 1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个 平面内的_________________，则称这条直线和这个平 面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那 么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面 ！ α互相垂直，记作l⊥α. 2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂 直. 推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面. 推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行. 3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离. 三、面面垂直： 1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交 所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作α⊥β. — 2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直. 3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于 另一个平面. 四、求点面距离的常用方法： 1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形. 2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解. 3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解. 】
题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质 例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 《 【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点． （Ⅰ ）求证：B1D1⊥AE； （Ⅱ ）求证：AC∥平面B1DE． 【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD． ∵CE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴CE⊥BD． 又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣ ﹣﹣（5分） - （Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点， ∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C 中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC
线面垂直、面面垂直知识点总结、经典例题及解析、高考题练习及答案
直线、平面垂直的判定与性质 【考纲说明】 1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。 2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【知识梳理】 一、直线与平面垂直的判定与性质 1、 直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。 （2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα? ?⊥?⊥? （3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即,//a b a b αα⊥⊥?. 由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。 2、 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是0 0的角。 3、 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小；范围：0 0180θ<<. 二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作 l l βαβα⊥? ?⊥??? .
2018届高考数学复习—立体几何：(二)空间直线、平面关系的判断与证明—2.平行与垂直关系的证明(试题版)
【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质 【典型例题】 [例1]?(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱 AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP . ?(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC . ?(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF . [例2]?(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证： ①B,C,H,G四点共面； ②平面EF A1∥平面BCHG . ?(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证： ①EG∥平面BB1D1D； ②平面BDF∥平面B1D1H . 【变式训练】 1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1 的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______. 2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外 一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平 面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH . 3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱 A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1 相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1 . 4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝ 1,H是B1C1的中点. (1)求证：E,B,F,D1四点共面； (2)求证：平面A1GH∥平面BED1F . 题型2：直线、平面垂直的判断及性质 【典型例题】 [例1]?(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE . ?(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面