吉林省吉林大学附属中学2017届高三第六次摸底考试数学(理)试题含答案

考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人：

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。 注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题60分）

一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只．有一项．．．

是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）． （1）已知{|12}{|3}U M x x N x x ==-=R ，≤≤，≤，则()U M N = e

（A ）{|23}x x ≤≤

（B ）{|23}x x <≤

（C ）{|1x x -≤或23}x ≤≤ （D ）{|1x x <-或23}x <≤

（2）已知复数2i

1i

z +=

+，则复数z 在复平面内对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限

（3）在等差数列{}n a 中，15487a a a +==，，则5a = （A ）11 （B ）10 （C ）7 （D ）3

（4）平面向量a 与b 的夹角为60?，||2||1==，

a b ，则|2|+=a b

2016—2017学年下学期高三年级 数学第六次摸底考试数学（理科）试卷

“鹰隼三朝展羽翼 蛟龙一跃上九天”

（A

（B

） （C ）4 （D ）12

（5）执行下列程序后，输出的i 的值是

（A ）5

（B ）4 （C ）10 （D ）11

（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商

鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取3，其体积为12.6（单位：立方寸），则图中的x 为

（A ）1.2 （B ）1.6 （C ）1.8

（D ）2.4

（7）2014年5月12日，国家统计局公布了《2013年农民工监测调查报告》，报告显示：我国农 民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图1，并将人均月收入绘制成

如

图2的不完整的条形统计图．

农民工人均月收入增长率统计图

农民工人均月收入统计图

i ＝

1

WHILE i ＜＝10i ＝i ＋5

WEND PRINT i END

图1 图2

根据以上统计图来判断以下说法错误的是 （A ）2013年农民工人均月收入的增长率是10% （B ）2011年农民工人均月收入是2205元

（C ）小明看了统计图后说：“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了” （D ）2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高

（8）函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(0]-∞，

上为增函数．若()(2)f a f ≤，则实数a 的取值范围是 （A ）2a ≤ （B ）2a -≥ （C ）22a -≤≤ （D ）2a -≤或2a ≥

（9）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B 、两点，

||AB =C 的实轴长为

（A （B ）（C ）4

（D ）8

（10）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车

和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为

（A ）2000元 （B ）2200元

（C ）2400元

（D ）2800元

（11）已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，2AB AC ==，60ABC ∠=?，且棱锥O ABC -

，则球O 的表面积为 （A ）10π （B ）24π （C ）36π （D ）48π

（12）已知函数32()f x x ax bx c =+++，2()32g x x ax b =++（a b c ，，是常数），若()f x 在(01)，

上 单调递减，则下列结论中：①(0)(1)0f f ?≤；②(0)(1)0g g ?≥；③23a b -有最小值. 正确结论的个数为

（A ）0

（B ）1

（C ）2

（D ）3

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）． （13）已知函数2(31)32f x x x +=++，则(4)f =________.

（14）若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21

x 的系

数 ．

（15）已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项m n a a ，

14a ，则

14

m n +

的最小值 ．

（16）如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线2

2

x y =与两直线2x =及0y =所围成的

阴

影部分的面积S .①利用计算机先产生N 组均匀随机数()(1,2,3)i i x y i N = ，， [][]0,20,2i i x y ∈∈，；②生成N 个点()i i x y ，，并统计满足条件2

2

i i x

y <

的点的个数1N ，已知某同学用计算机做模拟试验结果，当1000N =时， 1332N =，则据此可估计S 的值为__________．

三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

（17）（本小题满分12分）

如图，在平面四边形ABCD

中，2AB AD BC ===，120ABC ∠=?， 75DAB ∠=?.

（Ⅰ）设ABC △、ABD △的面积分别为12S S ，，求证：21S S >；

（Ⅱ）求BD 和DC 的长.

D

C

B

A

（18）（本小题满分12分）

在等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=?，腰长为2，D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，将BDE

△沿DE 翻折，得到四棱锥B ADEC -，且F 为棱BC

中点，BA = （Ⅰ）求证： EF ⊥平面BAC ；

（Ⅱ）在线段AD 上是否存在一点Q ，使得//AF 平面BEQ ？若存在，求二面角Q BE A

--的余弦值，若不存在，请说明理由．

B D

A

C

E

B

D

E

C

F

A Q

（19）（本小题满分12分）

某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某

医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资料：

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组（每个有序数对()x y ，叫作一组）数据中随机选取

2组作为检验数据，用剩下的4组数据求线性回归方程.

（Ⅰ）求选取的2组数据恰好来自相邻两个月的概率；

（Ⅱ）若选取的是1月和6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程；

（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅱ）中所得到的线性回归方程是否是理想的？

参考公式：

11

222

11

()()

?

()

?

?

n n

i i i i

i i

n n

i i

i i

x x y y x y nx y

b

x x x nx

a y bx

==

==

?

---

?

?==

?

?--

?

?

=-

??

∑∑

∑∑.

（20）（本小题满分12分）

如图，设椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点分别为12F F ，

，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥

，

121||||F F DF =12DF F △

. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆

有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由. （21）（本小题满分12分）

函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，

，2(0)B x ，两点，且12x x <. （Ⅰ）求a 的取值范围；

（Ⅱ）证明：0f '<（()f x '为()f x 的导函数）.

（Ⅲ）设点C 在函数()f x 图象上，且ABC △

t =，求(1)(1)a t --的值.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程．

在平面直角坐标系中，椭圆C

的参数方程为2cos x y αα=???

??

，

，(α为参数)，已知以坐标原点

为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系. （Ⅰ）把椭圆C 的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）设A B ，分别为椭圆C 上的两点，且OA OB ⊥，求

22

11

||||OA OB +的值.

（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()|3|||()

=-++∈R.

f x x x m x

（Ⅰ）当1

m=时，求不等式()6

f x≥的解集；

（Ⅱ）若不等式()5

f x≤的解集不是空集，求参数m的取值范围.

考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人：

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。 注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题60分）

一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只．有一项．．．

是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）． （1）已知{|12}{|3}U M x x N x x ==-=R ，≤≤，≤，则()U M N = e

（A ）{|23}x x ≤≤

（B ）{|23}x x <≤

（C ）{|1x x -≤或23}x ≤≤ （D ）{|1x x <-或23}x <≤

解析：（D ） （2）已知复数2i

1i

z +=

+，则复数z 在复平面内对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限

解析：（D ）

（3）在等差数列{}n a 中，15487a a a +==，，则5a =

（A ）11

（B ）10

（C ）7

（D ）3

解析：（B ）

（4）平面向量a 与b 的夹角为60?，||2||1==，

a b ，则|2|+=a b

2016—2017学年下学期高三年级 数学第六次摸底考试数学（理科）试卷

“鹰隼三朝展羽翼 蛟龙一跃上九天”

（A

（B

） （C ）4 （D ）12

解析：（B ）

（5）执行下列程序后，输出的i 的值是

（A ）5

（B ）4 （C ）10 （D ）11 解析：（D ）

（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商

鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取3，其体积为12.6（单位：立方寸），则图中的x 为

（A ）1.2 （B ）1.6 （C ）1.8

（D ）2.4

解析：（B ）

（7）2014年5月12日，国家统计局公布了《2013年农民工监测调查报告》，报告显示：我国农 民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图1，并将人均月收入绘制成

如

图2的不完整的条形统计图．

农民工人均月收入增长率统计图

农民工人均月收入统计图

i

＝1

WHILE i ＜＝10i ＝i ＋5

WEND PRINT i END

图1 图2

根据以上统计图来判断以下说法错误的是 （A ）2013年农民工人均月收入的增长率是10% （B ）2011年农民工人均月收入是2205元

（C ）小明看了统计图后说：“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了” （D ）2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高 解析：（C ）

（8）函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(0]-∞，

上为增函数．若()(2)f a f ≤，则实数a 的取值范围是 （A ）2a ≤ （B ）2a -≥ （C ）22a -≤≤ （D ）2a -≤或2a ≥

解析：（D ）

（9）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B 、两点，

||AB =C 的实轴长为

（A （B ）（C ）4

（D ）8

解析：（C ）

（10）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车

和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为

（A ）2000元 （B ）2200元

（C ）2400元

（D ）2800元

解析：（B ）

（11）已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，2AB AC ==，60ABC ∠=?，且棱锥O ABC -

，则球O 的表面积为 （A ）10π （B ）24π （C ）36π （D ）48π 解析：（D ）

（12）已知函数32()f x x ax bx c =+++，2()32g x x ax b =++（a b c ，，是常数），若()f x 在(01)，

上单调递减，则下列结论中：

①(0)(1)0f f ?≤；②(0)(1)0g g ?≥；③23a b -有最小值.正确结论的个数为

（A ）0

（B ）1

（C ）2

（D ）3

解析：（C ）由题意，得2()32f x x ax b '=++，若函数()f x 在(01)，

上单调递减，则(0)0(1)0f f '??

'?

≤，

≤， 即0320b a b ??++?≤，≤，

所以(0)(1)(32)0g g b a b ?=++≥，故②正确；不妨设32()235f x x x x =--+，则(0)(1)5(1235)0f f ?=?--+>，故①错；画出不等式组

0320b a b ??

++?

≤，≤表示的平面区域，如图所示，令23z a b =-，则2133z b a =-，当33z

->-，即9z <时，抛物线2133

z

b a =-与直线230a b ++=有公共点，联立两个方程消去b 得

2690a a z ++-=，2(3)0z a =+≥，所以09z <≤；当33

z

--≤，即9z ≥时，抛物线与平面

区域必有公共点，综上所述，0z ≥，所以23z a b =-有最小值，故③正确，故选C ．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）． （13）已知函数2(31)32f x x x +=++，则(4)f =________. 解析：6.(4)(311)1326f f =?+=++=.

（14）若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21

x 的系

数 ．

解析：56.因为26C C n n ＝，所以8n =.8181C ()r r r

r T x

x -+==828C r r x -，令822r -=-，解得5r =. 所以系数为5

8C 56＝.

（14）已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项m n a a ，

14a ，则

14m n +

的最小值 ．

解析：

32

. （16）如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线2

2

x y =与两直线2x =及0y =所围成的

阴

影部分的面积S . ①利用计算机先产生N 组均匀随机数()(1,2,3)i i x y i N = ，， [][]0,20,2i i x y ∈∈，；②生成N 个点()i i x y ，，并统计满足条件2

2

i i x

y <

的点的个数1N ，已知某同学用计算机做模拟试验结果，当1000N =时， 1332N =，则据此可估计S 的值为__________．

解析：1.328

三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． （17）（本小题满分12分）

如图，在平面四边形ABCD

中，2AB AD BC ===，120ABC ∠=?， 75DAB ∠=?.

（Ⅰ）设ABC △、ABD △的面积分别为12S S ，，求证：21S S >；

（Ⅱ）求BD 和DC 的长.

D

C

B

A

解析：

（Ⅰ）∵111sin1202322ABC S S BA BC ==

???=??=△；

又sin sin 75sin(4530)DAB ∠=?=?+?=，

∴211sin 752222ABD

S S AB AD ==???=??==+△

∴2110S S -=>，∴21S S >.

（Ⅱ）在DAB △

中，由余弦定理得BD

= ∴BD BA =，∴75DBA DAB ∠=∠=?，∴1207545DBC ∠=?-?=?， 在BDC △，由余弦定理得

DC

= 所求BD 和DC

（18）（本小题满分12分）

在等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=?，腰长为2，D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，将BDE

△沿DE 翻折，得到四棱锥B ADEC -，且F 为棱BC

中点，BA = （Ⅰ）求证： EF ⊥平面BAC ；

（Ⅱ）在线段AD 上是否存在一点Q ，使得//AF 平面BEQ ？若存在，求二面角Q BE A --的余弦值，若不存在，请说明理由．

B

D

A

C

E

B

D

E

C

F

A Q

解析：（Ⅰ）证明：取AB 中点H ，连结DH 、HF ，

因为在等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=?，2AB AC ==，D 、E 分别是边AB 、BC 的中点， 所以1AD BD ==

，又因为翻折后AB =AD BD ⊥， 且ADB △为等腰直角三角形，所以DH AB ⊥，

因为翻折后DE AD ⊥，DE BD ⊥，且AD BD D = ，所以DE ⊥平面ADB ，因为DE AC ∥， 所以AC ⊥平面ADB ，所以AC DH ⊥，又AB AC A = ，所以D H ⊥平面ABC ，

又因为HF AC DE AC ∥，∥，且1

2H F A C D E ==，所以DEFH 是平行四边形，所以EF DH ∥，

所以EF ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.

则11

(010)(001)(100)(210)(1)22

A B E C F ，，，，，，，，，，，，，，，

设(00)(01)Q t t ，，≤≤，则(01)BQ t =- ，，，(10)EQ t =- ，，，11

(1)22AF =- ，，，

设平面BQE 的法向量为()x y z =，，n ，则由0BQ = ，n 且0EQ = n ，得00yt z x ty -=??-+=?

，

，

令1y =，则(1)t t =，

，n ，要使AF ∥平面BEQ ，则须11

022AF t t =-+= n ， 所以13t =

，即线段AD 上存在一点1(00)3Q ，，，使得AF ∥平面BEQ ，此时11(1)33

=，，n ， 设平面BAE 的一个法向量为111()x y z =，，m ，则由0AB = m ，且0AE = m ，得1111

00y z x y -+=??-=?，

，

令11y =，则(111)=，

，m

，所以11

1cos ++

??==，m n 因为二面角Q BE A --

即线段AD 上存在一点Q （点Q 是线段AD 上的靠近点D 的一个三等分点）， 使得AF ∥平面BEQ ，此时二面角Q BE A --

E

z

（19）（本小题满分12分）

某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某

医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资料：

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组（每个有序数对()

x y

，叫作一组）数据中随机选取2组作为检验数据，用剩下的4组数据求线性回归方程.

（Ⅰ）求选取的2组数据恰好来自相邻两个月的概率；

（Ⅱ）若选取的是1月和6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程；

（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅱ）中所得到的线性回归方程是否是理想的？

参考公式：

11

222

11

()()

?

()

?

?

n n

i i i i

i i

n n

i i

i i

x x y y x y nx y

b

x x x nx

a y bx

==

==

?

---

?

?==

?

?--

?

?

=-

??

∑∑

∑∑.

解析：（Ⅰ）设选取的2组数据恰好是相邻两个月为事件A，因为从6组数据中选取2组数据

共有15种情况，每种情况都是等可能出现的.

其中选取的2组数据恰好是相邻两个月的情况有5种. 所以

51

()

153

P A==.

（Ⅱ）由数据求得1124

x y

==

，.

由公式求得

18

?

7

b=，再由?

?a y bx

=-求得：

30

?

7

a=-.

所以y关于x的线性回归方程为 1830 77

y x

=-.

（Ⅲ）当10

x=时，

1501504

|22|2

777

y=-=<

，；当6

x=时，

78786

|12|2

777

y=-=<

，.

所以，该小组所得线性回归方程是理想的. （20）（本小题满分12分）

如图，设椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点分别为12F F ，

，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥

，

121||||F F DF =12DF F △

. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个

交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.

解析：（1）设1(0)F c -，

，2(0)F c ，，其中222c a b =-

，由121||||F F DF =

1||DF =，

从而1221121||||2DF F S DF F F =

?==△1c =.

从而1||DF =，由112DF F F ⊥得22221129

||||||2

DF DF F F =+=

，因此2||DF .

所以122||||a DF DF =+=

故222

1a b a c =-=.因此，所求椭圆的标准方程为2212

x y +=

.

（2）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2

212

x y +=相交，111222()()P x y P x y ，

，，是两个交点，1200y y >>，，11F P ，22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P 由圆和椭圆的对称性，易知

2112x x y y =-=，

1212||PP x =， 由（1）知12(10)(10)F F -，，，，所以11112211(1)(1)F P x y F P x y =+=-- ，，，

， 再由11F P ⊥22F P 得22

11(1)0x y -++=，

由椭圆方程得22111(1)2

x x -=+，即211340x x +=，解得14

3x =-或10x =.

当10x =时，12P P ，

重合，此时题设要求的圆不存在. 当14

3

x =-时，过12P P ，分别与11F P ，22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ，设0(0)C y ，

由111CP F P ⊥得1011111y y y x x -?=-+，而111|1|3y x =+=，故05

3y =， 圆C

的半径1CP =

， 综上，存在满足条件的圆，其方程为22532

()39

x y +-=.

（21）（本小题满分12分）

函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，

，2(0)B x ，两点，且12x x <. （Ⅰ）求a 的取值范围；

（Ⅱ）证明：0f '<（()f x '为()f x 的导函数）.

（Ⅲ）设点C 在函数()f x 图象上，且ABC △

t =，求(1)(1)a t --的值.

解析： 因为()e ()x f x ax a a =-+∈R ，所以'()e x f x a =-，若0a ≤，则'()0f x >，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾.所以0a >，令'()0f x =，则ln x a =，当'()0f x <时，ln x a <，()f x 单调递减，当'()0f x >时，ln x a >，()f x 是单调递增函数，于是当ln x a =时，()f x 取

得极小值.因为函数()f x 的图象与x 轴交于两点1212(0)(0)()A x B x x x <，

，，， 所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2a e >，此时，存在1ln a <，(1)e 0f =>，存在3ln ln a a >，32(3ln )30f a a a a >-+>，又由()f x 在(ln )a -∞，

及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值范围．

（Ⅱ） 1212e 0

e 0

x

x ax a ax a ?-+=??-+=??，∴两式相减得2121e e x x a x x -=-．记212x x s -=（0s >），

则12

1221

2

12

2

21e e e

(

)e [2(e e )]2

2x x x x x x s s x x f s x x s

++-+-'=-

=---，

设()2(e e )s s g s s -=--则'()2(e e )0s s g s -=-+<，∴()g s 是单调减函数，

则有()(0)0g s g <=，而

122

e

02x x s

+>，∴12

(

)02

x x f +'<． 又()e x f x a '=-

是单调增函数，且

12

2

x x +>

∴0f '<． （Ⅲ）依题意有e 0i x i ax a -+=，则(1)e 01(12)i x i i a x x i -=>>=，，.

于是122

e

x x +=，在等腰三角形ABC ，显然90C =?，所以12

012()2

x x x x x +=

∈，，

即00()0y f x =<，由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-，所以21002x x

y -+=，即

12

212

12e

()022x x a x x x x a +--+++=

，所以2112()022

a x x

x x a -+++=

，即2112(1)(1)[(1)(1)]022

a x x x x ----+-+=，因为110x -≠

，则

22111

1

11

(1)0212x a x x x ----++=-

t ，所以221(1)(1)022a at t t -++-=，即2

11

a t =+

-，所以(1)(1)2a t --=. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程．

在平面直角坐标系中，椭圆C

的参数方程为2cos x y αα=?????

，

，(α为参数)，已知以坐标原点

为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系. （Ⅰ）把椭圆C 的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）设A B ，分别为椭圆C 上的两点，且OA OB ⊥，求

22

11

||||OA OB +的值. 解析：（Ⅰ）∵椭圆C

的参数方程为2cos x y αα=???

=??

，

，(α为参数)，

∴椭圆C 的普通方程为22143x y +=，∴22

(cos )(sin )143ρθρθ+=.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得2221cos sin 43θθρ=+，可设11()A ρθ，，21()2

B π

ρθ+，，

∴222

2

1111222212cos ()sin ()

cos sin 111122||||4343

OA OB ππ

θθθθρρ+++=+=+++

22221111cos sin sin cos 4343θθθθ=+++1173412

=+=.

∴

22

11||||OA OB +的值是7

12

. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()()3f x x x m x =-++∈R .

（Ⅰ）当1m =时，求不等式()6f x ≥的解集；

（Ⅱ）若不等式()5f x ≤的解集不是空集，求参数m 的取值范围. 解析：（Ⅰ）解： {|24}x x x -≤或≥

（Ⅱ）|3||||(3)()||3|x x m x x m m -++--+=+≥，所以min ()|3|f x m =+ 所以|3|5m +≤解得{|82}m m -≤≤.