17-数列前n项和求法(一)
数列通项公式的求法
一、公式法
例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 二、累加法
例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式 例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 例4 已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 三、累乘法
例5 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。 四、待定系数法
例7 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 例8 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。
例题9．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n
∈N *, 且a 2，a 5，a 14构成等比数列． (1)证明：a 2＝4a 1＋5； (2)求数列{a n }的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3
＋…＋1a n a n ＋1<12.
数列的前n 项和的求法（一）
1.设1
11,(*)n a a b n N +==∈
若1b
=，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；
2.已知{}n a 是首相为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和.
（I ）求n a 及n S ；（II ）设{}n b 是首相为2的等比数列，公比q 满足()01442
=++-S q a q ，
求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .
3.已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S ?= （1）求d 及n S ； （2）求,m k （*,m k N ∈）的值，使得1265m m m m k a a a a +++++++=
4已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2
560x x -+=的根。 （I ）求{}n a 的通项公式；
（II ）求数列2n n a ??
????
的前n 项和. 5设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，
则1a =（ ）
（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12
- 6设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（n N *
∈）。
（Ⅰ）证明：数列{}n b 为等差数列；
（Ⅱ）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为1
2ln 2
-
，求数列2
{}n n a b 的前n 项和n S 。
7在等差数列{}n a 中，已知公差12a =，2a 是1a 与4a 的等比中项. （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）设(1)2
n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .
8 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a
为递减数列，则（ ） A ．0d > B ．0d < C ．10a d > D ．10a d <
9在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，
则d 的取值范围_________.
10. ABC ?的内角C B A ，，
所对的边分别为c b a ，，. （1）若c b a ，，
成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （2）若c b a ，，
成等比数列，求B cos 的最小值. 11已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n n
n S n ，2
32. （1） 求数列{}n a 的通项公式；
（2）证明：对任意1>n ，都有*
∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列.
12在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是 ．
14已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n
n S n ，2
2. （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）设()n n
a
n a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.
15已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？若存在，
求n 的最小值；若不存在，说明理由.
16在等比数列{}n a 中，2
53,81a a ==.
（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .
（17）（本小题满分10分）
数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2. （1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式.
17已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a - 是等比数列.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.
18.数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n N ++==+++∈
（1） 证明：数列{
}n
a n
是等差数列；
（2） 设3n n b ={}n b 的前n 项和n S
19．设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2
*
1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =，
(1)求123,,a a a 的值;
(2)求数列{}n a 的通项公式。
求数列前N项和的七种方法含例题和答案
求数列前N 项和的七种方法 点拨: 核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。 1. 公式法 等差数列前n 项和： 11()(1) 22 n n n a a n n S na d ++= =+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 等比数列前n 项和： q=1时，1n S na = ( )1111n n a q q S q -≠= -，，特别要注意对公比的讨论。 其他公式： 1、)1(211+==∑=n n k S n k n 2、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 3、21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利 用常用公式）
＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 n n 8= ，即n ＝8时，501)(max =n f 2. 错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的 通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1) 1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和.
几种求数列前n项和的方法
几种求数列前n 项和的常用方法 1、公式法： 如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求. ①等差数列求和公式：()()11122 n n n a a n n S na d +-==+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q ?=?=-?-=≠?--? 常见的数列的前n 项和：， 1+3+5+……+(2n-1)= ，等. 2、倒序相加法： 类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例、求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值. 解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. …. …. …. ① 将①式右边反序得：οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S ……② 又因为sin cos(90)x x =-o ，22sin cos 1x x +=，①+②得 ： 2222222(sin 1cos 1)(sin 2cos 2)(sin 89cos 89)S =++++???++o o o o o o ＝89 ∴ S ＝ 小结：倒序相加法，适用于倒序相加后产生相同的结果，方便求和. 3、错位相减法： 类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法. 例、求和：()2112301n n S x x nx x x -=++++≠≠L ，（课本61页习题组4） 解：设S n =1+2x+3x 2+…+(n-1)x n-2+nx n -1 ， ① 则：x S n = x +2 x 2+…+(n-1) x n-1 + n x n ②
数列前n项和的求和公式
数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2) 1(2) (11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11) 1() 1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6 1 12++==∑=n n n k S n k n 5、 213)]1(2 1[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：13 2)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①
[例4] 求数列 ??????,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a a a n ，… [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
求前n项和公式的常用方法
求数列前N项和的常用方法 核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。 一.用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2 解：S n=a1+a2+a3+...+a n① 倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1② ①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1) 又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1 ∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。 二.用公式法求数列的前n项和 对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 例题2：求数列的前n项和S n 解： 点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。 三.用裂项相消法求数列的前n项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 例题3：求数列(n∈N*)的和
数列通项公式、前n项和求法总结全
一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和. 2.公式法 求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。 特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系 例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）13-+=n n S n 。 （2）12 -=n s n
变式练习： 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2 +n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和2 12 n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。
数列前n项和的求和公式
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[例4] 求数列 ??????,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a a a n ，… [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
求数列前n项和的七种方法
求数列前N 项和的七种方法 1. 公式法 等差数列前n 项和： 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+g ，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 等比数列前n 项和： q=1时，1n S na = ( )1111n n a q q S q -≠= -，，特别要注意对公比的讨论。 其他公式： 1、)1(211+==∑=n n k S n k n 2、)12)(1(61 1 2++==∑=n n n k S n k n 3、21 3)]1(2 1[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值.
解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 11++=+n n S n （利 用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64 341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 2. 错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设 n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ① － ② 得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相 减） 再利用等比数列的求和公式得：
求数列前N项和的常用方法
求数列前n项和的常用方法 核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。 一.用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2 解：S n=a1+a2+a3+...+a n① 倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1② ①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1) 又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1 ∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。 二.用公式法求数列的前n项和 对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
数列通项公式和前n项和求解方法
数列通项公式的求法详解 关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2）K ,1716 4,1093 ,542,21 1（3） K ,52,21,32 ,1（4）K ,5 4 ,43,32,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;1 22++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+? -=+n n a n n . 公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2 ，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。 答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案：(D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10< 2 2 2 3 求数列前n 项和的几种常用方法 江苏省 马吉超 公式法 如果数列是等差或等比数列，可直接利用前n 项求和公式，这是 的条件。 二、分组转化法 差构成，可以把原数列的求和分组转化为等差、等比或特殊数列的求 和。 求S n 1 解: S n 1 2 n n 1 n n -- d 2 2 2 1 n 2 最基本的方法。但应注意等比数列前 N 项求和公式 a 1 S n 解：①当x 1时, S n ②当x 1时, S n X 1 X 1 X 如果所给数列的每一项是由等差 等比或特殊数列对应项的和或 解: S n 1 n 2 2 2s n 2C n 1 2 C n n n 2 C n 2(c n 1 C n 三、倒序相加法 如果求和数列的首末两项的和及与首末两项等距离的两项的和 相 等，可用此法。（等差数列求和公式可用此法推导） 求所有大于2且小于10的分母为5的既约分数的和。 ⑴+⑵得 2s 12 32 384 s 192 ⑴+⑵得 1 n 一 一 n 1 2n 2 6 1 n n 1 1 --------- 2 2 解: 11 亏 49 5 12 ~5 48 5 13 ~5 47 5 47 "5 13 5 48 ~5 12 5 49 "5 11 5 解: 0 s C n m C n C n 2 C n C n 1 2C n 3c n n n 1 1 C n n C n n m C n 2 3C n 1 2 C n n 1 n C n n 0 C n n 1 2 1 四、错位相减法 求和公式可用此法推导） . n 1 2 ①一② S n 故 S n n 12n1 2 五、裂项相消法 分正负项又可以相消，则可用此法。 求9 1 占丘 2 - 21 1 n 2n n 1 形如a n b n 的数列，其中a n 是等差数列，b n 是等比数列，则 可在求和等式两边同乘 b n 的公比， 然后两等式错位相减。 （等比数列 例6求S n 1 2 2 2 2 3 S n 2 2 2 2 3 如果求和数列的每一项均能分裂成对应两项的差, 求和时，大部 解: S n 21 丄 21 2 2 通项公式和前n 项和 一、新课讲授： 求数列前N 项和的方法 1. 公式法 （1）等差数列前n 项和： 11()(1) 22 n n n a a n n S na d ++= =+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+g ，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 （2）等比数列前n 项和： q=1时，1n S na = ( )1111n n a q q S q -≠= -，，特别要注意对公比的讨论。 （3）其他公式较常见公式： 1、)1(211+==∑=n n k S n k n 2、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 3、21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 2. 错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 练习： 求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1 答案： 当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-（4n-3）x n ] 3. 倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求ο ο ο ο ο 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2 2++???+++的值 求数列前N 项和的方法 1. 公式法 等差数列前n 项和： 11() (1) 2 2 n n n a a n n S n a d ++= =+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+ ，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。 等比数列前n 项和： q=1时，1n S n a = ( ) 1111n n a q q S q -≠= -，，特别要注意对公比的讨论。 其他公式： 1、)1(2 11+= = ∑ =n n k S n k n 2、)12)(1(6 11 2 ++= = ∑ =n n n k S n k n 3、21 3 )]1(2 1[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 2 3 -= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 12log log 3 log 1log 3 3 2 3 = ?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利 用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(2 1 - -n ＝1－ n 2 1 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(2 1+= n n S n ， )2)(1(2 11++= +n n S n （利 用常用公式） ∴ 1 )32()(++= n n S n S n f ＝ 64 342 ++n n n 精品文档 四.数列求和的常用方法 1. 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式， 特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其 公比与1的关系，必要时需分类讨论. ③常用 公式：1 2 3山 n n 1 ） 12 22 11（ n 2 二丄n （n 1）（2n 1）, 2 6 13 23 33 川 n 3 数列求和 1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。 d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ?????≠--==)1(1)1() 1(11q q q a q na S n n 公比含字母时一定要讨论 例：1.已知等差数列}{n a 满足,11=a 32=a ，求前n 项和}{n S 2. 等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 3.已知等比数列}{n a 满足,11=a 32=a ，求前n 项和}{n S 4.设4 7 10 310 ()22222()n f n n N +=+++++∈ ，则()f n 等于（ ） A. 2(81)7n - B.12(81)7n +- C.32 (81)7n +- D. 4 2(81)7 n +- 2．错位相减法求和：如：{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 例：1．求和2 1 123n n S x x nx -=++++ 2.求和：n n a n a a a S ++++= 32321 3.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ?? ???? 的前n 项和n S ． 3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项： 111)1(1+-=+n n n n ) 121 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n )211(21)2(1+-=+n n n n ]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n !)!1(!n n n n -+=? )!1(1!1)!1(+-=+n n n n i n i n i n C C C 1 11----= 数列{}n a 是等差数列，数列? ?? ???+11n n a a 的前n 项和 例：1.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1 (1) n a n n = +，则5S 等于（ B ） 数列求和的常用方法公式法1.：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，； ③常用公式：的关系，必要时需分类讨论.特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1n(n?1)11222233331)??1)(2??3??n?nn(n?1)1n?2(??nn1?2]?2??3[??n1. ，， 622?1 23n?xlog1例 x?x?x?????x????的前n项和. ，求、已知3log322222a?a?a? ?aｎn}{a＝_____ 2练一练：等比数列－１，则；的前项和S＝ｎn321n 2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 111例2、1?1,?4,?7,???,?3n?2，n项和：…求数列的前 12?n aaa n S??1?3?5?7??(?1)(2n?1)练一练：求和：n3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序 n和公式的推导方法）相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前. 22222 3例8988sin?sin?1??sin?2??sinsin3?的值、求 2xf(x)?，练一练：已知21?x111)f()?f()??(1)?f(2)?f(3)f(4)?f(f______则；＝ 4234.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减n.法（这也是等比数列前和公式的推导方法） 23n?1x)(?2nx??7x1????5S?1?3x?4例、求和：n2462n例5,,,???,,???前n项的和、求数列. n322222{a}T?na?(n?1)a??2a?aT?1T?4{a}的首项和公，①求数列为等比数列，练一练：设，已知，nn?11n2nn21}{T 比；②求数列.；的通项公式n 5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：1)????(；①；② knn?(n?k)k(nn?1)nn?1n11111)?(??③， 221k?12k?1kk?1111111??????； 2k1kk?k?1)k(k?1)kk?1(k1111]?[?④； 2)n?(n?1)(n1)(n?n?2)2n(?1)(n11n??；⑤1)!(n?n(?1)!n!122 1)n??)n????2(n??2(n1 . ⑥ 1?n??nn1nn?1 111、例6?,?,,?,???. 项和的前求数列n12?3?n?n1?2n122?b、7例???????a. n项的和{b，又}的前在数列{a}中，，求数列nn nn a?a1??1nn?1n1?nn练一练：111????；求和：（1）1)n?n?2)4?4?7?(3(311 四.数列求和的常用方法 1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式， 特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2 n n n +++ +=+，222112(1)(21)6 n n n n ++ +=++， 33332 (1)123[ ]2 n n n +++++=. 例1 、已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)21 1(21--n ＝1－n 21 练一练：等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则2 232221n a a a a ++++ ＝_____ ； 2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一 起，再运用公式法求和. 例2、 求数列的前n 项和：231 ,,71,41, 1112-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231 ()71()41()11(12-++???++++++=-n a a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得 )23741()1 111(12-+???+++++???+++ =-n a a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n n + （分组求和） 当1≠a 时，2)13(1111n n a a S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 练一练：求和：1357(1)(21)n n S n =-+-+-+-- 3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推 导方法）. 例3、求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 求数列前n 项和的几种常用方法 江苏省 马吉超 一、 公式法 如果数列是等差或等比数列，可直接利用前n 项求和公式，这是最基本的方法。但应注意等比数列前N 项求和公式q q a n s n -=? ? ? ?? -111中1 ≠q 的条件。 例1 求x x s n n x +++= 2 解：①当1=x 时，n s n =+++=111 。 ②当1≠x 时，( )x x x s n n --=11。 二、分组转化法 如果所给数列的每一项是由等差、等比或特殊数列对应项的和或差构成，可以把原数列的求和分组转化为等差、等比或特殊数列的求和。 例2 求 ()()()() 2834221n n n s ++++++++= 解：()() 222322321n n n s +++++++++= ()22 121 -++= +n n n 例3 求 ()()()n s n +++++++++++= 321321211 解： ()2 2213212 n n n n n +=+=++++ ∴() ()n n s n +++++++++= 3212121222 23 21 ()()()2121121621+?+++?= n n n n n ()()6 21++= n n n 三、倒序相加法 如果求和数列的首末两项的和及与首末两项等距离的两项的和相等，可用此法。（等差数列求和公式可用此法推导） 例4 求所有大于2且小于10的分母为5的既约分数的和。 解：549 548547513512511+ +++++= s ⑴ 又 5 11 512513547548549++++++= s ⑵ ⑴+⑵得 )511549()548512()549511(2++++++= s 3212?= 384= 故 192=s 例5 求()c c c c c n n n n n n n n n s 1321 2 1 ++++++=- 解：()c c c c c n n n n n n n n n s 1321 2 1 ++++++=- ⑴ ()c c c c n n n n n n n n s 0 1 1 21+++++=- ⑵ 又 c c m n n m n -= ⑴+⑵得 ()()()c c c n n n n n n n s 22221 ++++++= ())(21 1 c c c c n n n n n n n +++++=- ()22n n ?+= 故 ()212-+=n n s 求前n项和公式的常用 方法 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】 求数列 前N 项和的常用方法 核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。 一.用倒序相加法求数列的前n 项和 如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 例题1：设等差数列{a n }，公差为d ，求证：{a n }的前n 项和S n =n(a 1+a n )/2 解：S n =a 1+a 2+a 3+...+a n ① 倒序得：S n =a n +a n-1+a n-2+…+a 1② ①+②得：2S n =(a 1+a n )+(a 2+a n-1)+(a 3+a n-2)+…+(a n +a 1) 又∵a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…=a n +a 1 ∴2S n =n(a 2+a n )S n =n(a 1+a n )/2 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…=a n +a 1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。 二.用公式法求数列的前n 项和 对等差数列、等比数列，求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 例题2：求数列 的前n 项和S n 解： 点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。 三.用裂项相消法求数列的前n 项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n 项和。 求数列前n 项和的几种常用方法 江苏省 马吉超 一、 公式法 如果数列是等差或等比数列，可直接利用前n 项求和公式，这是最基本的方法。但应注意等比数列前N 项求和公式q q a n s n -=?? ? ? ? -111中1 ≠q 的条件。 例1 求x x s n n x +++= 2 解：①当1=x 时，n s n =+++=111 。 ②当1≠x 时，( )x x x s n n --=11。 二、分组转化法 如果所给数列的每一项是由等差、等比或特殊数列对应项的和或差构成，可以把原数列的求和分组转化为等差、等比或特殊数列的求和。 例2 求 ()()()( ) 2834221n n n s ++++++++= 解：()()2223 2 2321n n n s +++++++++= ()22 121 -++= +n n n 例3 求 ()()()n s n +++++++++++= 321321211 解： ()2 2213212 n n n n n +=+=++++ ∴() ()n n s n +++++++++= 3212 121222 2321 ()()()2121121621+?+++?=n n n n n ()()6 21++= n n n 三、倒序相加法 如果求和数列的首末两项的和及与首末两项等距离的两项的和相等，可用此法。（等差数列求和公式可用此法推导） 例4 求所有大于2且小于10的分母为5的既约分数的和。 解：549 548547513512511+ +++++= s ⑴ 又 5 11 512513547548549++++++= s ⑵ ⑴+⑵得 )511549()548512()549511(2++++++= s 3212?= 384= 故 192=s 例5 求()c c c c c n n n n n n n n n s 1321 2 1 ++++++=- 解：()c c c c c n n n n n n n n n s 1321 2 1 ++++++=- ⑴ ()c c c c n n n n n n n n s 0 1 1 21+++++=- ⑵ 又 c c m n n m n -= ⑴+⑵得 ()()()c c c n n n n n n n s 22221 ++++++= ())(21 1 c c c c n n n n n n n +++++=- ()22n n ?+=求数列前n项和的几种常用方法
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