2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题及答案解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k

cx 是等价无穷小，则 ( )

(A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 【答案】 (C)

【详解】本题涉及到的主要知识点： 当0x →时，sin x x 在本题中，

03sin sin 3lim

k x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim k x x x x x x

cx

→--= ()2

0s i n 3c o s 2

2c o s l i m

k

x x x x cx →--=2

1

03c o s 22c o s

l i m k x x x cx -→--

=

()221

32cos 12cos lim

k x x x

cx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x

cx

cx --→→-== 3

04

l i m 14,3k x c k cx -→==?=

=，

故选择(C).

(2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()

233

2lim

x x f x f x x →-= ( )

(A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. 【答案】(B)

【详解】本题涉及到的主要知识点： 导数的定义 0000

()()

lim ()x f x x f x f x x

→+-'=

在本题中，

()()

()()()()

232233

3

20220lim

lim

x x x f x f x x f x x f f x f x

x

→→---+=

()()()()()()()33000lim 20200x f x f f x f f f f x x →??

--'''??=-=-=-????

故应选(B)

(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( )

(A)若

1

n

n u

∞

=∑收敛，则

21

21

()n n n u

u ∞

-=+∑收敛 (B) 若2121

()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1

n n u ∞

=∑收敛

(C) 若

1

n

n u

∞

=∑收敛，则

21

21

()n n n u

u ∞

-=-∑收敛 (D) 若2121

()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1

n n u ∞

=∑收敛

【答案】(A)

【详解】本题涉及到的主要知识点： 级数的基本性质 若级数

1

n

n u

∞

=∑收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并把每个括号内各项的和数作为一

项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变. 在本题中，由于级数

21

21

()n n n u

u ∞

-=+∑是级数1

n n u ∞=∑经过加括号所构成的，

由收敛级数的性质：当1

n n u ∞

=∑收敛时，21

21

()n n n u

u ∞

-=+∑也收敛，故（A ）正确.

(4) 设4

ln sin I x dx π

=

?

，40

ln cot J x dx π=?，40

ln cos K x dx π=?，则,,I J K 的大小关系是( )

(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << 【答案】(B)

【详解】本题涉及到的主要知识点： 如果在区间[,]a b 上，()()f x g x ≤，则

()()b

b

a

a

f x dx

g x dx ≤?

?()a b <

在本题中，如图所示： 因为04

x π

<<

，所以0sin cos 1cot <<<

又因ln x 在(0,)+∞是单调递增的函数，所以

ln sin ln cos ln cot x x x << (0,)

4

x π

∈ 4440

ln sin ln cos ln cot x dx x dx x dx πππ?<

即I K J <<.选（B ）.

(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记

1100110001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ?

= ? ???

，则A = ( )

(A) 12P P (B) 1

12P P - (C) 21P P (D) 1

21-P P

【答案】(D)

【详解】本题涉及到的主要知识点：

设A 是一个m n ?矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.

在本题中，由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110,001A B ?? ?

= ? ???

即1

11,AP B A BP -==故

由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ??

?

= ? ???

即2,P B E =故1

22,B P P -==因此，111

2121,A P

P P P ---==故选(D)

(6) 设A 为43?矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则

Ax β=的通解为( )

(A)

23

121()2

k ηηηη++-

(B)

23

121()2k ηηηη-+- (C) 2

3

121231()()2

k k ηηηηηη++-+- (D) 2

3

121231()()2

k k ηηηηηη-+-+- 【答案】(C)

【详解】本题涉及到的主要知识点：

（1）如果1ξ，2ξ是Ax b =的两个解，则12ξξ-是0Ax =的解；

（2）如n 元线性方程组Ax b =有解，设12,,,t ηηη 是相应齐次方程组0Ax =的基础解系，0ξ是Ax b =的某个已知解，则11220t t k k k ηηηξ++++ 是Ax b =的通解（或全部解），其中12,,,t k k k 为任意常数. 在本题中，因为123,,ηηη是Ax β=的3个线性无关的解，那么21ηη-，31ηη-是0Ax =的2个线性无关的解.从而()2n r A -≥，即3()2()1r A r A -≥?≤ 显然()1r A ≥，因此()1r A =

由()312n r A -=-=，知（A ）（B ）均不正确. 又23

23112

22A A A ηηηηβ+=

+=，故231

()2

ηη+是方程组Ax β=的解.所以应选（C ）.

(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( )

(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x

(C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x 【答案】(D)

【详解】本题涉及到的主要知识点：

连续型随机变量的概率密度()f x 的性质：

()1f x dx +∞

-∞

=?

在本题中，由于1()f x 与2()f x 均为连续函数，故它们的分布函数1()F x 与2()F x 也连续.根据概率密度的性质，应有()f x 非负，且

()1f x dx +∞

-∞

=?

.在四个选项中，只有（D ）选项满足

[]1

2

2

1

()()()()f x F x f x F x dx +∞

-∞

+?2112()()()()F x dF x F x dF x +∞

+∞

-∞

-∞

=+?

?

121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x +∞+∞

+∞

-∞-∞

-∞

=-+??1=

故选（D ）.

(8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥ 为来自该总体的简单随机样本，则对

于统计量11

1n

i i T X n ==∑和121111n i

n i T X X n n -==+-∑，有 ( ) (A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】(D)

【详解】本题涉及到的主要知识点：

（1）泊松分布()X P λ 数学期望EX λ=，方差DX λ=

（2）()E cX cEX =，()E X Y EX EY +=+，2()D cX c DX =，()D X Y DX DY +=+（X 与Y 相互独立）

在本题中，由于12,,,n X X X 独立同分布，且0i i EX DX λ==>，1,2,,i n = ，从而

()()111111

()()n n

i i i i E T E X E X n E X n n n

λ=====??=∑∑，

()11

211

1111()()11--==??

=+=+ ?--??∑∑n n i n i

n i i E T E X X E X E X n n n n 11(1)()()1=

?-+-i n n E X E X n n ()()111λ??

=+=+ ???

E X E X n n

故()()

12

又()()1121((11))λ===??==∑n i i D T D n D X D X n n X n n

，

()1222

1111()(1)1(1)n i n i D T D X X n n n n n λ

λ-==+=?-?+--∑12()1D T n n n λλλ=+>=-，

故选（D ）.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()()0

lim 13x

t

t f x x t →=+，则()f x '= .

【答案】()313x e x +

【详解】本题涉及到的主要知识点：

重要极限公式 1

l i m (1)x

x x e →+

=

在本题中，

()()()31300

lim 13lim 13x

t x

t

t t

t t f x x t x t ?

→→??

=+=+??

??

3x x e =?

所以有()()313'=+x f x e x .

(10) 设函数1x y

x z y ??

=+

???

，则()

1,1=dz .

【答案】()()12ln 2dx dy +- 【详解】用对数求导法.两边取对数得

ln ln(1)x x z y y

=

+， 故

11[ln(1)]z x x z x y y x y ?=++?+，21[ln(1)]z x x x z y y y x y

?=-++?+ 令1x =，1y =，得

(1,1)

2ln 21z

x ?=+?，

(1,1)(2ln 21)z y ?=-+?， 从而()()(1,1)12ln 2dz dx dy =+-

(11) 曲线tan 4y

x y e π??

++= ??

?

在点()0,0处的切线方程为 . 【答案】2y x =- 【详解】方程变形为arctan()4

y x y e π

++

=，方程两边对x 求导得

211y

y

e y y e

''+=+， 在点(0,0)处(0)2y '=-，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2y x =-.

(12) 曲线y =

2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 .

y

【答案】

43

π 【详解】本题涉及到的主要知识点： 设有连续曲线()y f x =()a x b ≤≤，则曲线

()y f x =与直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形

绕x 轴旋转一周产生的旋转体的体积2()b

x a

V f x dx π=?

在本题中，

()2

22

2231

1

1

14

1().33V y dx x dx x x ππππ==-=?-=??

(13) 设二次型()

123,,T

f x x x x Ax =的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Qy =下的标准形

为 . 【答案】213y

【详解】本题涉及到的主要知识点： 任给二次型,1

()n

ij i

j

ij

ji i j f a x x a

a ==

=∑，总有正交变换x Py =，使f 化为标准形

222

1122n n

f y y y λλλ=+++ ，其中12,,,n λλλ 是f 的矩阵()ij A a =的特征值. 在本题中，A 的各行元素之和为3，即

11121311

12132122232122

233132

33313233

3,13113,1313113113a a a a a a a a a a a a A a a a a a a ++=???????????

???????????++=?=?=???????????

???????????++=??????????

? 所以3λ=是A 的一个特征值.

再由二次型T

x Ax 的秩为10λ?=是A 的2重特征值.

因此，正交变换下标准形为：213y .

(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22

,;,;0μμσσN ，则()

2E X Y = .

【答案】22

()μμσ+

【详解】本题涉及到的主要知识点：

（1）如果随机变量X 和Y 的相关系数0XY ρ=，则称X 与Y 不相关.

（2）若随机变量X 与Y 的联合分布是二维正态分布，则X 与Y 独立的充要条件是X 与Y 不相关. （3）如果随机变量X 与Y 相互独立，则有()E XY EXEY =

在本题中，由于(),X Y 服从正态分布()

22,;,;0μμσσN ，说明X ，Y 独立同分布，故X 与2

Y 也独立.由期

望的性质有22()E XY EX EY =?，又EX μ=，

2222()EY DY EY σμ=+=+，所以222()()E XY μμσ=+

三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分)

求极限

x →

【详解】本题涉及到的主要知识点： 当0x →时，ln(1)x x +

在本题中，0

x →

201

lim x x x

→-=

000cos lim 2x x x x x →→→===

01.2x x →→==-=-

(16) (本题满分10分)

已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，()(,,)z f x y f x y =+.求

()21,1z x y

???

【详解】本题涉及到的主要知识点：

极值存在的必要条件 设(,)z f x y =在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处有极值，则必有

00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=.

在本题中，(,(,))z f x y f x y =+

121(,(,))(,(,))(,)z

f x y f x y f x y f x y f x y x

?'''=+++?? 2111221(,(,))(,(,))(,)(,)z

f x y f x y f x y f x y f x y f x y x y

?''''''=++++?? ()21222212[(,(,))(,(,))(,)](,(,)),f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ''''''''+++++?()1,12f = 为

(),f u v 的极值

()()121,11,10f f ''∴==

211212(1,1)

2,2(2,2)(1,1)z f f f x y ?'''''∴=+???

(17) (本题满分10分)

求不定积分

【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）()x t ?=，

1

()[()]()()[()]f x dx f t t dt G t C G x C ???

-'==+=+??；

（2）udv uv vdu =-??

； （3）[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±???.

在本题中，令t =

2x t =,2dx tdt =

∴2arcsin ln 2t t tdt t +=??

()22arcsin ln t t dt =+? 2

2

22arcsin 22ln 2t

t t t t t dt t =?-+?-?

?

2

2

2arcsin 2ln 4t t t t t

=?+?+-22arcsin 2ln 4t t t t t C

=?+?++

x C =+，其中C 是任意常数.

(18) (本题满分10分)

证明方程44arctan 03

x x π

-+

-=恰有两个实根. 【详解】本题涉及到的主要知识点：

（1）零点定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ?<），那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使()0f ξ=

（2）函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.

在本题中，令4()4arctan 3f x x x π=-+

'2

4

()11f x x =-+

当x >'

()0f x <，()f x 单调递减；

当x <'

()0f x >，()f x 单调递增.

4()4a r c t (330

3

f π

=-+=.

当x <()f x 单调递减,

∴(,x ∈-∞,()0f x >；

当x <<()f x 单调递增,

∴(x ∈,()0f x >

x ∴=()f x

在(-∞上唯一的零点.

又因为484arctan 033

f ππ

=-=-> 且(

)4lim lim 4arctan .3x x f x x x π→+∞→+∞

?

=-+

=-∞ ?

∴

由零点定理可知，)

0x ?∈+∞，使()00f x =,

∴

方程44arctan 03

x x π

-+

=恰有两个实根.

(19)(本题满分10分)

设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数，(0)1f =，且满足

'()()+=????t t

D D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤t

D x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.

【详解】本题涉及到的主要知识点： 一阶线性微分方程()()dy

P x y Q x dx

+=的通解()()(())P x dx P x dx y e Q x e dx C -??=+?. 在本题中，因为

()()t

t t x

D f x y dxdy dx f x y dy -''+=+??

??

，令x y u +=，则

()()()()t x

t

x f x y dy f u du f t f x -''+==-?

?

()(()())()()t

t

t

D f x y dxdy f t f x dx tf t f x dx '+=-=-??

??

201

()()()()2t

t D tf t f x dx f t dxdy t f t ∴-==???.

两边对t 求导，得 2()()02'+=-f t f t t ,解齐次方程得2

12

()(2)--?==-dt t C f t Ce t

由(0)1f =，得4C =. 所以函数表达式为2

4

()(01)(2)f x x x =≤≤-.

(20) (本题满分11分) 设向量组()

11,0,1T

α=，()

20,1,1T

α=，()

31,3,5T

α= 不能由向量组()

11,1,1β=T

,

()21,2,3T

β=,()33,4,β=T

a 线性表出.

(I)求a 的值 ；

(II)将1β，2β，3β用1α，2α，3α线性表出. 【详解】本题涉及到的主要知识点：

向量组12,,,l b b b 能由向量组12,,,m a a a 线性表示的充分必要条件是

121212(,,,)(,,,,,,,)m m l r a a a r a a a b b b =

(I)因为123101

,,0

1310115

ααα==≠，所以123,,ααα线性无关. 那么123,,ααα不能由123,,βββ线性表示?123,,βββ线性相关，即

123113113

,,12401

15013023

a a

a βββ===-=-，

所以5a =

(II)如果方程组112233(1,2,3)j x x x j αααβ++==

都有解，即123,,βββ可由123,,ααα线性表示.对123123,,,,,αααβββ（）

作初等行变换，有 123123,,,,,αααβββ（）

=101113013124115135??

? ? ???

101113013124014022?? ?→ ? ???101113013124001102?? ?

→ ? ?--??

1002150104210001102??

?→ ? ?--?? 故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-

(21) (本题满分11分)

A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -???? ? ?

= ? ? ? ?-????

(I) 求A 的所有特征值与特征向量;

(II) 求矩阵A .

【详解】本题涉及到的主要知识点：

（1）(0)A αλαα=≠ λ为矩阵A 的特征值，α为对应的特征向量 （2）对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量互相正交. （I ）因()2r A =知0A =，所以0λ=是A 的特征值.

又111000111A -????????????==-????????????--??????，110011A ????????=????????????

， 所以按定义1λ=是A 的特征值，1(1,0,1)T α=是A 属于1λ=的特征向量；

1λ=-是A 的特征值，2(1,0,1)T α=-是A 属于1λ=-的特征向量.

设3123(,,)T x x x α=是A 属于特征值0λ=的特征向量，作为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，因此

131323130,

0,

T T

x x x x αααα?=+=??=-=?? 解出3(0,1,0)T α= 故矩阵A 的特征值为1,1,0-；特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)T T T k k k -，其中

123,,k k k 均是不为0的任意常数.

(II)由12312(,,)(,,0)A ααααα=-，有

1

112123*********(,,0)(,,)000001000110110100A ααααα---??????

??????=-==??????

??????-??????

.

(22)(本题满分11分)

X Y

且2

2

()1P X Y ==.

(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布；

(III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ. 【详解】本题涉及到的主要知识点：

（1）协方差 ()()()()cov ,X Y E XY E X E Y =-? （2）相关系数

c o v ,XY X Y

ρ=

(I)设(,)X Y 的概率分布为

根据已知条件{

}2

21P X

Y ==，即

{}{}{}0,01,11,11P X Y P X Y P X Y ==+==-+===，可知122

1

1p p p ++=，从而

11

0p p p ==

=，1

p p p ===

，即(,)X Y 的概率分布为

(II) Z XY =的所有可能取值为-1，0，1 .

{}{}1

11,13P Z P X Y =-===-=

{}{}1

11,13P Z P X Y =====

{}{}{}1

01113

P Z P Z P Z ==-=-=-=

Z XY =的概率分布为

(3) 3

EX =

，0EY =，0EXY =，故(,)0Cov X Y EXY EX EY =-?=，从而0XY ρ=.

(23)(本题满分11分)

设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域.

(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . 【详解】本题涉及到的主要知识点：

（1）X 、Y 是连续型随机变量，边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy +∞-∞

=?，()(,)Y f y f x y dx +∞

-∞

=?

；

（2）在Y y =的条件下X 的条件概率密度(,)

()()

X Y Y f x y f x y f y =

； （3）设G 是平面上的有界区域，其面积为A .若二维随机变量(,)X Y 具有概率密度

1

,(,),

(,)0,

x y G f x y A

?∈?=???其他则称(,)X Y 在G 上服从均匀分布. (I)(,)X Y 的联合密度为1,(,),

(,)0,(,).x y G f x y x y G ∈?=???

当01x ≤<时，0

()(,)1x

X f x f x y dy dy x +∞

-∞===?

?；

当12x ≤≤时，20

()(,)12x

X f x f x y dy dy x +∞

--∞

=

==-?

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；

当0x <或2x >时，()0X f x =.

所以 , 01,

()2, 12,0, X

x x f x x x ≤

=-≤≤???

其它. (II)|(,)

(|)()

X Y Y f x y f x y f y =

当01y ≤<时，2()122y

Y y

f y dx y -=

=-?

；当0y <或1y ≥时，()0Y f y =.

所以|1

, 2,01,22(|)0, X Y y x y y y f x y ?<<-≤

-=???

其他.