高中数学必修二2.2 直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
●知识梳理
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
●知能训练
一．选择题
1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 2．若直线l不平行于平面α，且l?α，则（）
A．α内存在直线与l异面
B．α内存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
3．如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．
其中真命题是（）
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
4．正方体ABCD-A1B1C1D1中M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．P
在对角线BD1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：
（1）MN∥面APC；
（2）C1Q∥面APC；
（3）A，P，M三点共线；
（4）面MNQ∥面APC．正确的序号为（）
A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（3）（4）
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A1BC1平行的直线共有（）
A．12条B．18条C．21条D．24条
6．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（）
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在平面α内
7．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）
A．一条直线不相交B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交
8．如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（）
A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D
9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，
若BC1∥平面AB1D1，则等于（）
A．1/2B．1 C．2 D．3
10．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所
在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）
A．①②B．①④C．②③D．③④
11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E，F，EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A-BEF的体积为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
二．填空题
12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件时，就有MN∥平面B1D1C．
13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD
上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．
三．解答题
14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC
的中点，AA
=AB=2．
（1）求证：AB1∥平面BC1D；
（2）若BC=3，求三棱锥D-BC1C的体积．
2.2.2 平面与平面平行的判定
符号表示：
aβ
bβ
a∩b=pβ∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
●知能训练
一．选择题
1．已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件：
①α内不共线的三点到β的距离相等；
②l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；
③l，m是两条异面直线，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β；
其中可以判定α∥β的是（）
A．①B．②C．①③D．③
2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）
A．α、β都垂直于平面r
B．α内存在不共线的三点到β的距离相等
C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β
D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
3．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系（）
A．平行B．相交C．异面D．以上都不对
二．填空题
4．一条直线和一个平面平行，过此直线和这个平面平行的平面有个．
5．下列四个命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③平行于两条相交直线的两个平面平行；④与无数条直线都平行的两个平面平行．则其中正确命题的序号是．三．解答题
6．如图四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面是正方形，O是底面的中心，A′O=1，AB=AA′=A′D=A′B=．
（1）证明：平面A′BD∥平面B′CD′；
（2）求三棱锥C-ADD′的体积V C-ADD′．
7．如图所示，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，AB=2，PA=2，M是PA的中点．
（1）求证：平面PCD∥平面MBE；
（2）求四棱锥M-BCDE的体积．
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a ∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
符号表示：
α∥β
α∩γ=a a∥b
β∩γ=b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
●知能训练
一．填空题
1．如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，
B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P、M、N的平面交上底面于PQ，
Q在CD上，则PQ=．
2．棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体
的截面，则截面的面积是．
3．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平
面α，β之间，AS=8，BS=6，CS=12，则SD= ．
4．如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点P，且AP=1，BP=4，
CD=6，那么CP= ．
5．P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于
A1、B1、C1，若PA1：A1A=2：3，则S△A1B1C1：S△ABC= ．
二．解答题（共2小题）
6．如图，几何体ABCD-B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B1C1D1∥面ABCD，BB
、CC1、DD1都垂直于面ABCD，且BB1＝a，E为CC1的中点．
（Ⅰ）求证：△DB1E为等腰直角三角形；
（Ⅱ）求证：AC∥面DB1E．
7．如图，α∥β∥γ，直线a与b分别交α，β，γ于点A，B，C和点D，E，F，
求证：AB：BC=DE：EF．
【参考答案】
2.2.1
1.D
2.A
3.C
4.C
5.D
6.C
7.D
8.D
9.B 10.A 11.D
12.点N在EG上；点N在EH上13.
14.解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于O，连接OD，
∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥B1A．
OD?平BC1D，AB1?平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．
（2）∵三棱柱ABC-A1B1C1，∴侧棱CC1∥AA1，
又∵AA1底面ABC，∴侧棱CC1⊥面ABC，
故CC1为三棱锥C1-BCD的高，A1A=CC1=2，
∴S△BCD＝S△ABC＝(BC?AB)＝．
∴V D?BC C1＝V C1?BCD＝CC1?S△BC D＝?2?＝1．
2.2.2
1.D
2.D
3.A
4.1
5.②③
6. （1）证明：在四棱柱中，
∵BC∥A′D′，且BC=A′D′，
∴A′BCD′是平行四边形，
∴A′B∥CD′，
又∵A′B?平面B′CD′，CD′?B′CD′，
∴A′B∥面B′CD′，
又A′B?面A′BD，A′D?面A′BD，且A′B∩A′D=A′，
∴平面A′BD∥平面B′CD′．
（2）解：∵A′O=1，AB=AA′=A′D=．
∴A′O2+OA2=AA'2，A′O2+OB2=A′B2，
∴A′O⊥OA，A′O⊥OB，
∴A′O⊥平面ABCD，
∴V C-A D D′=V D′-AC D=V A′-A C D=S△AC D?A′O=．
7. 解：（1）证明：连接AD交BE于点G，连接MG，则点G是正六边形的中心，所以G是线段AD的中点
∵M是PA的中点，∴MG∥PD
∵PD?平面MBE，MG?平面MBE
∴PD∥平面MBE
∵DC∥BE，DC?平面MBE，BE?平面MBE
∴DC∥平面MBE
∵PD∩DC=D
∴平面PCD∥平面MBE；
（2）因为六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，AB=2，PA=2，M 是PA的中点，所以所求棱锥的高为，底面面积为3××22=3．
所以所求棱锥的体积为：×3×=．
2.2.3
1. 2. 3.9 4.2 5.4:25
6.
7.证明：连接AF，交β于G，连BG，EG，（3分）
则由β∥γ得AB:BC=AG:GF.．（7分）
由α∥β得AG:GF=DE:EF，（10分）
所以AB:BC=DE:EF．（12分）
高中数学专题讲义-直线与平面所成的角
【例1】 （全国2文7） 已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） A ．3 B ．3 C ．22 D ．3 【例2】 （全国2理7） 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面11ACC A 所成角的正弦等于（ ） A ．6 B ．10 C ．2 D ．3 【例3】 （福建卷6） 如图，在长方体ABCD 1111A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ） A ． 63 B ． 26 5 C ． 155 D ． 105 D C B A A 1 D 1 B 1 C 1 【例4】 （浙江） 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 典例分析 板块二.直线与平面所成的角
E A 1 C 1 B 1 D C B A 【例5】 （四川卷理13）在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且 OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成的角的大小是 （ 用反三角函数表示） 【例6】 （全国Ⅰ）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内 的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） A ．13 B C D ． 23 【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45o 角，求此三棱柱的体积． 【例8】 （四川卷15） 且对角线与底面所成角的余弦值 ，则该正四棱柱的体积等于________________． 【例9】 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中， ⑴求1BC 与平面11ACC A 所成的角； ⑵求11A B 与平面11A C B 所成的角的余弦值． A B C D B 1 C 1 D 1 A 1
高中数学平面解析几何知识点总结
平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案)
直线与平面、平面与平面平行的判定 [学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题. 知识点一直线与平面平行的判定定理 语言叙述符号表示图形表示 平面外一条直线与此平面内的一条直线平 行，则该直线与此平面平行 ?? ? ?? a?α b?α a∥b ?a∥α 思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？ 答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误. 知识点二平面与平面平行的判定定理 语言叙述符号表示图形表示 一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行 ?? ? ?? a?α，b?α a∩b＝A a∥β，b∥β ?α∥β 思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内. 题型一直线与平面平行的判定定理的应用 例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、 DA的中点. 求证：(1)EH∥平面BCD； (2)BD∥平面EFGH. 证明(1)∵EH为△ABD的中位线， ∴EH∥BD.
∵EH?平面BCD，BD?平面BCD， ∴EH∥平面BCD. (2)∵BD∥EH，BD?平面EFGH， EH?平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 跟踪训练1在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC. 证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两 点，连接PQ. 因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心， 所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1. 所以MN∥PQ. 又因为MN?平面ADC，PQ?平面ADC， 所以MN∥平面ADC. 题型二面面平行判定定理的应用 例2如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1. 证明由棱柱性质知， B1C1∥BC，B1C1＝BC， 又D，E分别为BC，B1C1的中点， 所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形， 因此EB∥C1D， 又C1D?平面ADC1， EB?平面ADC1， 所以EB∥平面ADC1. 连接DE，同理，EB綊BD，
高中数学直线与平面的夹角题库
3.2.3直线与平面的夹角 3.2.4二面角及其度量 学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角θ.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤． 知识点一直线与平面所成的角 1．直线与平面所成的角 2．最小角定理 知识点二二面角及理解 1．二面角的概念 (1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.
(2)二面角的记法：棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l —β.如图，A ∈α，B ∈β，二面角也可以记作A —l —B ，也可记作2∠l . (3)二面角的平面角：在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α—l —β的平面角，如图所示．由等角定理知，这个平面角与点O 在l 上的位置无关． (4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角． (5)二面角的范围是[0°，180°]． 2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 (1)如图，分别在二面角α—l —β的面α，β内，并沿α，β延伸的方向，作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则〈n 1，n 2〉等于该二面角的平面角． (2)如图，设m 1⊥α，m 2⊥β，则角〈m 1，m 2〉与该二面角大小相等或互补． 1．直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．( × ) 2．二面角的大小范围是??? ?0，π 2.( × ) 3．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．( × ) 题型一 求直线与平面的夹角 例1 已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角． 解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，
高中数学平面解析几何的知识点梳理
平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ．
《直线与平面平行的判定》教案
直线与平面平行的判定 教学目标 1.知识目标 ⑴进一步熟悉掌握空间直线与平面的位置关系; ⑵理解并掌握直线与平面平行的判定定理、图形语言、符号语言、文字语言; ⑶灵活运用直线与平面的判定定理,把“线面平行”转化为“线线平行”。 2.能力训练 ⑴掌握由“线线平行”证得“线面平行”的数学证明思想; ⑵进一步培养学生的观察能力、空间想象力与类比、转化能力,提高学生的逻辑推理能力。 3.德育渗透 ⑴培养学生的认真、仔细、严谨的学习态度; ⑵建立“实践——理论——再实践”的科学研究方法。 教学重点 直线与平面平行的判定定理 教学难点 直线与平面平行的判定定理的应用 教学方法 启发式、引导式、观察分析、理论联系实际 教具 模型、尺、多媒体设备 教学过程 （一） 内容回顾 师:在上节课我们介绍了直线与平面的位置关系,有几种？可将图形给以什么作为划分的标准？ 直线与平面平行 直线与平面相交 直线在平面内 //a α a α ?{} a A α=I
(二)新课导入 1、如何判定直线与平面平行 师:请同学回忆,我们昨天就是受用了什么方法证明直线与平面平行？有直线在平面外能不能说明直线与平面平行？ 生:借助定义,说明直线与平面没有公共点。 师:判断直线与平面有没有公共点,需要将直线与平面延展开瞧它们有没有交点,但延展判断并不方便灵敏,那就需要我们挖掘一种新的判定方法。我们来瞧瞧生活中的线面平行能给我们什么启发呢？ 若将一本书平放在桌面上,翻动书的封面,观察封面边缘所在直线l 与 书本所在的平面具有怎样的位置关系？ 师:您们能用自己的话概括出线面平行的判定定理不？ 生:如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线与这个平面平行。 2、分析判定定理的三种语言 师:定理的条件细分有几点？ 生:线在平面外,线在平面内,线线平行 (师生互动共同整理出定理的图形语言、符号语言、文字语言) 图形语言 符号语言 文字语言 线线平行, 则线面平行。 (三)例题讲解 师:如果要证明线面平行,关键在哪里？ 生:在平面内找到一条直线,证明线线平行。 例1 已知:如图空间四边形ABCD 中,E 、F 分别就是AB 、AD 的中点。求证:EF ∥平面BCD 。 证明:连结BD AE ＝ EB ? EF ∥BD AF ＝FD EF ?平面BCD ?EF ∥平面BCD BD ?平面BCD 着重强调:①要证EF ∥平面BCD,关键就是在平面BCD 中找到与EF 平行的直线; ②注意证明的书写,先说明图形中增加的辅助点与线,证明步骤严谨。 例2 如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 为DD 1的中点,证明BD 1∥平面AEC 。 观察 l b a αααα////a b a b a ??? ? ?? ??
高中数学-直线与平面的夹角练习
高中数学-直线与平面的夹角练习 课后导练 基础达标 1.直线a与平面α内任一条线所成最小的角为θ，a是平面α的斜线，b是平面α内与a 异面的任意直线，则a与b所成的角（） π A.最小值为θ,最大值为π-θ B.最小值为θ,最大值为 2 π C.最小值为θ,无最大值 D.无最小值，最大值为 2 答案：B 2.如右图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1C1与平面ABC1D1所成的角 （） A.30° B.60° C.45° D.90° 答案：A 3.正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B和面BB1D1D所成的角为（） A.15° B.45° C.60° D.30° 答案：D 4.如左下图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求BE与平面B1BD所成角的余弦值________________. 15 答案： 5 5.如右上图，S是△ABC所在平面外一点，SA，SB，SC两两垂直，判断△ABC的形状_________. 答案：锐角三角形 6.四面体S-ABC中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求：（1）BC与平面SAB所成的角； （2）SC与平面ABC所成角的正弦值. 解析：(1)如右图,∵SA、SB、SC两两垂直,
∴SC⊥面SAB. ∴∠CBS 是BC 与平面SAB 所成的角. ∵∠CBS=60°, ∴BC 与平面SAB 所成的角为60°. (2)连结MC,在Rt△ASB 中,∠SBA=45°,则SM⊥AB. 又SC⊥面SAB, ∴SC⊥AB, ∴AB⊥面SMC.过S 作SO⊥MC 于点O,则SO⊥AB, ∴SO⊥面ABC, ∴∠ SCM 是SC 与平面ABC 所成的角. 设SB=a,则SC=3a,SM= 2 2a, 在Rt△CSM 中,CM= 2 14a, ∴sin∠SCM= 7 7 =MC SM . 7.在Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=3，AC=4，PA 是平面ABC 的斜线，∠PAB=∠PAC=60°， （1）求PA 与平面ABC 所成角的大小； （2）PA 的长等于多少时，点P 在平面ABC 上的射影O 恰好在BC 边上？ 解：(1)如右图,过P 作PO⊥平面ABC 于O,则∠PAO 为PA 与平面ABC 所成的角, 易证AO 为∠BAC 的平分线,则∠OAB=45°. 由公式cosθ=cosθ1·cosθ2可得 cos∠PAO= OAB PAB ∠∠cos cos =22 45 cos 60cos =ο ο, ∴∠PAO=45°. ∴PA 与平面ABC 所成的角为45°.
高中数学课时作业：直线、平面平行的判定及其性质
课时作业44直线、平面平行的判定及其性质 一、选择题 1．已知直线a与直线b平行,直线a与平面α平行,则直线b与α的关系为(D) A．平行B．相交 C．直线b在平面α内D．平行或直线b在平面α内 解析:依题意,直线a必与平面α内的某直线平行,又a∥b,因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内． 2．已知α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m?α,n?α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是(D) A．垂直B．相交 C．异面D．平行 解析:对于选项A,当m⊥α时,因为n?α,所以m⊥n,可能； 对于选项B,当A∈n时,m∩n＝A,可能； 对于选项C,若A?n,由异面直线的定义知m,n异面,可能； 对于选项D,若m∥n,因为m?α,n?α,所以m∥α,这与m∩α＝A矛盾,不可能平行,故选D. 3．(四川乐山四校联考)平面α∥平面β的一个充分条件是(D) A．存在一条直线a,a∥α,a∥β B．存在一条直线a,a?α,a∥β C．存在两条平行直线a,b,a∥α,a∥β,b?β D．存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 解析:存在一条直线a,a∥α,a∥β,有可能a平行于两平面的交线,该条件不是平面α∥平面β的一个充分条件,故A错；存在一条直线a,a?α,a∥β,有可能a平行于两平面的交线,该条件不是平面α∥平面β的一个充分条件,故B错；存在两条平行直线a,b,a∥α,a∥β,b?β,有可能a平行于两平面的交线,该条件不是平面α∥平面β的一个充分条件,故C错；存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α,据此可得平面α∥平面β,该条件是平面α∥平面β的一个充分条件．故选D.
直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案
直线、平面平行的判定及其性质 1. 下列命题中，正确命题的是 ④ . ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α; ②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点. 2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）. ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 ④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 ①②③ 3. 对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中假命题是 （填序号）. ①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ?α，n ∥α，则m ∥n ④若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 答案 ①②④ 4. 已知直线a ,b ,平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ,b ?α,则a ∥α; ②若a ∥b ,a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α,b ∥α,则a ∥b . 其中真命题的个数是 . 答案 0 5. 直线a //平面M ,直线b ? /M ,那么a //b 是b //M 的 条件. A .充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要 6. 能保证直线a 与平面α平行的条件是 A.b a b a //，，αα?? B.b a b //，α? C.c a b a c b //////，，，αα? D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈?，，，，α且BD AC = 7. 如果直线a 平行于平面α,则 A.平面α内有且只有一直线与a 平行 B.平面α内无数条直线与a 平行 C.平面α内不存在与a 平行的直线 D.平面α内的任意直线与直线a 都平行 8. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系 A.相交 B.α//b C.α?b D .α//b 或α?b 9. 下列命题正确的个数是
高中数学 空间点,直线和平面的位置关系公式
空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平
面平行。
符合表示： β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ?????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα//////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
直线与平面平行的判定定理
§2.2.1 直线与平面平行的判定 一、学习目标： （1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理； （2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力； 二、学习重点与难点 重点：直线与平面平行的判定定理及应用。 难点：直线与平面平行的判定定理的探索及应用。 三、教学过程 (一)知识准备、新课引入 α 提问2：今天我们针对直线与平面平行的位置关系进行探究。根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。 （二）探求判定定理 1、直观感知 提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？ 2、动手实践 教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示： 当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以的感觉， 当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象是 3、探究思考 (1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？ (2)如果平面外的直线a与平面α内的一条直线b平行，那么直线a与平面α平行吗？
4、归纳确认： 直线和平面平行的判定定理： 文字语言： 图形语言： 符号语言： 简单概括：（内外）线线平行 线面平行 温馨提示： 作用：判定或证明线面平行。 关键：在平面内找（或作）出一条直线与面外的直线平行。 思想：空间问题转化为平面问题 5、思考：你能否尝试证明一下线面平行判定定理？ （三）应用定理，巩固与提高 例1：已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 试判断EF 与平面BCD 的关系，并予以证明 变式：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 上的点， 且AE= 31AB ，AF=3 1AD 求证：EF ∥平面BCD ． A B C D E F
高中数学直线平面平行的性质及判定
一、空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= 二、空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 3 34R V π= 三、直线、平面平行的判定与性质 1、直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行， 用符号表示为a ?α，b ?α，且a ∥b ?a ∥α。 (1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件： ①平面外一条直线；②平面内一条直线；③两条直线相互平行． (2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想． (3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理. 【例1】 如右图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心． 求证：PQ ∥平面BCC 1B 1. 证：如右图，取B 1B 中点E ，BC 中点F ，连结PE 、QF 、EF ， ∵△A 1B 1B 中，P 、E 分别是A 1B 和B 1B 的中点， ∴PE 1 2 A 1 B 1.同理QF 1 2 AB .又A 1B 1AB ，∴PE QF . ∴四边形PEFQ 是平行四边形． ∴PQ ∥EF . 又PQ ?平面BCC 1B 1，EF ?平面BCC 1B 1， ∴PQ ∥平面BCC 1B 1. 2 22r rl S ππ+=
高中数学-直线与平面平行判定和性质
高中数学-立体几何典型例题一 例1简述下列问题的结论，并画图说明： (1) 直线a 平面 ，直线b a A ，则b 和 的位置关系如何? ，直线b//a ，则直线b 和 的位置关系如何? (1) 由图(1)可知：b 或b A ； (2) 由图(2)可知：b//或b . 典型例题二 例2 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， Q 是PA 的中点，求证： PC//平面BDQ . 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以 了. 证明：如图所示，连结 AC ，交BD 于点0 , ???四边形 ABCD 是平行四边形 ??? AO CO ，连结0Q ，则0Q 在平面BDQ 内， APC 的中位线， ? PC // 0Q . ??? PC 在平面BDQ 外, ? PC//平面 BDQ . 说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样 找这一直线呢？ 由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知 直线和交线平行，那么就能够马上得到结论?这一个证明线面平行的步骤可以总结为： 过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行. 典型例题三 (2)直线a 分析： 且 OQ 说明:
例3经过两条异面直线a, b之外的一点P，可以作几个平面都与a , b平行？并证明你的结论. 分析：可考虑P点的不同位置分两种情况讨论. 解：（1）当P点所在位置使得a , P （或b , P ）本身确定的平面平行于b （或a ）时，过P点再作不出与a , b都平行的平面； （2）当P点所在位置a , P （或b , P）本身确定的平面与b （或a）不平行时，可过点P作a//a , b 〃b.由于a , b异面，则a , b不重合且相交于P .由于a b P , a , b确定的平面，则由线面平行判定定理知：a// , b〃?可作一个平面都与a , b平行. 故应作“ 0个或1个”平面. 说明：本题解答容易忽视对P点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论?可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论. 典型例题四 例4平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另 已知：直线a//b, a//平面，b . 求证：b// . 证明：如图所示，过a及平面内一点A作平面 . 设c, ??? a// ??? a//c. 又??? a//b, ? b//c. ??? b , c , ? b// . 说明：根据判定定理，只要在内找一条直线c//b，根据条件a// ，为了利用直线和平面平行的性 质定理，可以过a作平面与相交，我们常把平面称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化. 和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的. 典型例题五 例5已知四面体S ABC的所有棱长均为a .求: （1 ）异面直线SC、AB的公垂线段EF及EF的长;
直线与平面平行的判定和性质同步练习.doc.docx
高二下9.3 直线与平面平行的判定和性质同步练习 基础练习 1．给出下列四个命题： ①若一直线与一个平面内的一条直线平行，则这直线与这个平面平行． ②若一直线与一平面内的两条直线平行，则这直线与这个平面平行． ③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． ④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行． 其中正确命题的个数是（）． A ． 0B． 1C． 2D． 3 2．梯形 ABCD 中， AB∥ CD ，AB平面，CD平面，则直线 CD 与平面内的直 线的位置关系只能是（）． A ．平行B．平行或异面 C．平行或相交D．异面或相交 3．（ 1）若直线 a、 b 均平行于平面a，那么 a 与 b 的位置关系是 __________； （2）若直线 a∥ b，且 a∥平面，则 b 与的位置关系是 __________； （3）若直线 a、 b 是异面直线，且 a∥，则 b 与的关系是 __________ ． 4．如图 9－空间四边形ABCD 中， E 是边 AB 上的一点，求作过C、E 的一个平面，使对角线 BD 平行于这个平面，并说明理由． 图 9－5．在正方体ABCD －A1B1C1D1中，E、F 分别为A1C1和CC1的中点，求证：直线A1C ∥平面 B1EF ． 综合练习 1．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）． A．一条直线不相交 2．给出以下命题，不正确的是（）． A．如果两条平行线中的一条与一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交 B．如果直线 a 和直线 b 平行，那么直线 a 平行于经过 b 的所有的平面 C．如果 a 和 b 是异面直线，那么经过 a 有且只有一个平面与直线 b 平行
高中数学：直线、平面平行的判定与性质练习
高中数学:直线、平面平行的判定与性质练习 (时间:30分钟) 1.已知直线a和平面α,那么a∥α的一个充分条件是( C ) (A)存在一条直线b,a∥b且b?α (B)存在一条直线b,a⊥b且b⊥α (C)存在一个平面β,a?β且α∥β (D)存在一个平面β,a∥β且α∥β 解析:在A,B,D中,均有可能a?α,错误;在C中,两平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面,故C正确. 2.(全国Ⅰ卷)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( A ) 解析:如图,O为正方形CDBE的两条对角线的交点,从而O为BC的中点,在△ACB中,OQ为中位线,所以OQ∥AB,OQ∩平面MNQ=Q,所以,AB与平面MNQ相交,而不是平行,故选A. 3.已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列命题中正确的是( C ) (A)a∥b,b?α,则a∥α (B)a,b?α,a∥β,b∥β,则α∥β (C)a⊥α,b∥α,则a⊥b (D)当a?α,且b?α时,若b∥α,则a∥b 解析:由a∥b,b?α,也可能a?α,A错;B中的直线a,b不一定相交,平面α,β也可能相交,B 错;C正确;D中的直线a,b也可能异面,D错.故选C.
4.过直线l外两点,作与l平行的平面,则这样的平面( D ) (A)不存在(B)只能作出1个 (C)能作出无数个(D)以上都有可能 解析:设直线l外两点确定直线AB,①当AB与l相交时,满足题意的平面不存在;②当AB与l 异面时,满足题意的平面只能作一个;③当AB∥l时,满足题意的平面有无数多个. 5.(咸宁模拟)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1 C 1 中,点D为AC的中点,点D 1 是A 1 C 1 上的一点,若DC 1 ∥平 面AB 1D 1 ,则等于( B ) (A)(B)1 (C)2 (D)3 解析:因为DC 1∥平面AB 1 D 1 ,DC 1 ?平面ACC 1 A 1 ,平面ACC 1 A 1 ∩平面AB 1 D 1 =AD 1 ,所以DC 1 ∥AD 1 ,又AD ∥C 1D 1 ,所以四边形ADC 1 D 1 是平行四边形,所以AD=C 1 D 1 .又D为AC的中点,所以D 1 为A 1 C 1 的中点, 所以=1. 6.(丽江模拟)若正n边形的两条对角线分别与平面α平行,则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α,那么n的取值可能是( A ) (A)5 (B)6 (C)8 (D)12 解析:因为正五边形的对角线都相交,所以正五边形所在的平面一定与平面α平行. 7.(益阳模拟)设a,b为不重合的两条直线,α,β为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若a?α,b?α,a,b是异面直线,那么b∥α; ②若a∥α且b∥α,则a∥b; ③若a?α,b∥α,a,b共面,那么a∥b; ④若α∥β,a?α,则a∥β. 上面命题中,所有真命题的序号是. 解析:①中的直线b与平面α也可能相交,故不正确;②中的直线a,b可能平行、相交或异面,故不正确;由线面平行的性质得③正确;由面面平行的性质可得④正确. 答案:③④
直线与平面平行的判定定理教案设计
直线与平面平行的判定定理教案设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
§2.2.1 直线与平面平行的判定 （选自人教A版必修②第二章第二节第一课时） 一、教材分析 本节教材选自人教A版数学必修②第二章第二节第一课时，主要内容是直线与平面平行的判定定理的探究与发现、归纳概括、练习与应用。它是在前面已学空间点、线、面的位置关系的基础上，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。学线面平行判定是三大平行判定（线线平行、线面平行、面面平行）的核心，也是高考的高频考点之一，学好线面平行对后续学习面面平行及三大垂直的判定与性质等内容，具有良好的示范作用，同时，它在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课的学习对培养学生空间想象能力与逻辑推理能力起到重要作用。线面平行的判定蕴含的数学思想方法主要有数形结合与化归与转化思想。 二、学情分析 本节课的教学对象是高一的学生，他们具备一定的由形象思维转化为逻辑思维的能力。学生在此前已经学习了直线与直线平行的性质及判定、直线与平面平行的定义，对直线与平面平行有了一定的认识，这些都为学生学习本节课做了准备。同时，由于本节课与生活实际相结合，学生的学习兴趣、参与度会比较大。但是由于学生处于学习空间立体几何的初始阶段，学习立体几何所具备的语言表达及空间感与空间想象能力不够，特别是对线面平行（空间立体）转化为线线平行（平面）的化归与转化思想，这是学生首次接触的思想方法，应加以必要的强化与引导。 三、教学目标 （一）知识技能目标 （1）理解直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用； （2）培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力。 （二）过程方法目标
高中数学：直线、平面平行的判定及其性质 (61)
课时跟踪检测（十）直线与平面平行的判定、平面与平面 平行的判定 A级——学考水平达标 1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是() A．直线m在平面α外 B．直线m与平面α内的两条直线平行 C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行 D．直线m与平面α内的一条直线平行 解析：选C选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m?α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意． 2．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是() A．平面α内有一条直线与平面β平行 B．平面α内有两条直线与平面β平行 C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行 D．平面α与平面β不相交 解析：选D选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D. 3．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是() A．平行B．相交 C．直线AC在平面DEF内D．不能确定 解析：选A∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF?平面DEF，AC?平面DEF，∴AC∥平面DEF. 4．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a?α，b ?α，c?β，d?β，则α与β的位置关系是() A．平行B．相交 C．平行或相交D．以上都不对
解析：选C根据图1和图2可知α与β平行或相交． 5．如图，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是() 解析：选C在图A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C. 6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m?α，l∥m”中另外添加的一个条件是________． 解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l?α”． ☆答案☆：l?α 7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个． 解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在． ☆答案☆：0或1 8.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分 别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________． 解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF 为矩形，∴CF∥DE， ∴MN∥DE.又MN?平面ADE，DE?平面ADE， ∴MN∥平面ADE. ☆答案☆：平行 9．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P?平面ABCD.
《普通高中数学课程标准》解读
《普通高中数学课程标准》解读 哈四中李颖健 作为一个在高中数学任教多年的数学教师，针对高中数学教育的问题一直很困惑，教育部颁布的《普通高中数学课程标准》（以下简称《课标》），是普通高中数学教学的一次重大改革。使我们高中数学教师很受触动，也很受鼓舞。它直接影响着普通高中数学的教学内容和教学过程，在促进形成学生积极主动的多样学习方式、形成理性思维、促进学生智力发展和提高学生的数学素养中，发挥着积极的作用。 我省自2007年正式进入新课程至今，已在教学中逐步适应了数学课程的转变，特别在数学教学的课堂上，不断尝试着各种教学方式，力图有效落实新课程理念。在研究探索的过程中，有如下分析与感受： 一、高中数学课程的基本特点 较为突出的有以下五方面内容：一是为满足未来公民的基本数学需求而规定数学基础课程；二是确定了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的三维数学课程目标，将素质教育的理念体现在数学课程标准之中；三是精选为学生终身发展，形成科学的世界观、价值观的基础知识、基本技能；四是力图改变学生的学习方式，强调学习过程与方法，发展学生的创新意识；五是评价建议具有较强的指导性和操作性，建议采取多种评价方式，促进学生的发展。 二、高中数学课程的基本理念 （一）构建共同基础，提供发展平台 高中教育属于基础教育。高中数学课程的基础性包括两方面的含义： 1.在义务教育阶段之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数
学基础，使他们获得更高的数学素养； 2.为学生进一步学习提供必要的数学准备。高中数学课程由必修系列课程和选修系列课程组成，必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求；选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求，它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程。 （二）提供多样课程，适应个性选择 高中数学课程应为学生提供选择和发展的空间，为学生提供多层次、多种类的选择，以促进学生的个性发展和对未来人生规划的思考。学生可以在教师的指导下进行自主选择，必要时还可以进行适当地转换、调整。同时，高中数学课程也应给学校和教师留有一定的选择空间，他们可以根据学生的基本需求和自身的条件，制定课程发展计划，不断地丰富和完善供学生选择的课程。 选择，既能为不喜爱数学的学生减轻数学负担，使他们在其他方面得到充分的发展，更能为喜爱数学的学生提供更充足的数学食粮，使他们尽早接受现代数学基础的熏陶，更快地走向数学研究的前沿。至于那些有愿望、有能力在众多方面都具有较高素养的学生，具有选择的课程也必将为他们提供更宽广的发展空间。 （三）倡导积极主动、勇于探索的学习方式 学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。 高中数学课程设立“数学探究”“数学建模”等学习活动，进一步为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，