广东省揭阳市第三中学2014-2015学年高二下学期第一次阶段考试数学(理)试题 Word版含答案

广东省揭阳市第三中学2014-2015学年高二下学期第一次阶段考

试数学（理）试题

一、选择题： （每小题5分，共40分）

1. 已知集合{}|11M x x =-<<，{}

|N x y x ==，则M

N =（ ）

A. {}|01x x <<

B. {}|01x x ≤<

C. {}|0x x ≥

D. {}|10x x -<≤ 2.已知命题2:,210p x R x ?∈+>，则（ ） A ．2:,210p x R x ??∈+≤

B ．2:,210p x R x ??∈+≤

C ．2

:,210p x R x ??∈+< D ．2

:,210p x R x ??∈+< 3. 设向量(),1a x =，()4,b x =，1a b ?=-，则实数x 的值是（ ）

A. 2-

B. 1-

C. 13-

D. 15

-

4. 若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤??

--≥??--≤?

，则35z x y =+的取值范围是( )

A. [)3+∞，

B. []83-，

C. (],9-∞

D. []89-，

5. 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的 体积为103，则h =( )

A ．

3

2

B. 3

C. 33

D. 53

6．在C ?AB 中，60A =，43a =，42b =，则（ ）

A ． 45

B =或135 B ．135B =

C ．45B =

D ．以上答案都不对 7．如图所示的程序框图，若输出的41S =，则判断框内应填入的条件是（ ）

A ．3?k >

B ．4?k >

C ．5?k >

D ． 6?k > 8. 已知()1sin cos f x x x =+，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21f x f x '=，

()()32f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，*N n ∈，则()2015f x =（ ）

A ．sin cos x x +

B ．sin cos x x --

C ．sin cos x x -

D ．sin cos x x -+

二、填空题：（每小题5分，共30分）

9. 不等式2230x x --<的解集是 ． 10．函数sin x

y x

=

的导数为_________________； 11．已知数列{}n a 为等差数列，1233a a a ++=，5679a a a ++=，则4a = ．

12. 函数3

2

y x x x =--的单调递增区间为____________。

13. 已知||1a =，||2b =，()a a b ⊥+，则a 与b 夹角的度数为 ． 14. 设32

1()232

f x x x x =-

-+，当]2,1[-∈x 时，()-1f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。

三、解答题：(本题共6小题，共80分) 15．（12分）已知函数()3sin 26f x x π?

?

=+

??

?

，R x ∈． ()1求12f π??

???

的值； ()2若4sin 5θ=，0,2πθ??

∈ ???

，求

512f πθ??

- ???

．

16．（12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，

将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如表所示： （1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数； （2）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一 步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

17. （14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =1AA =1，2AB =，点E 是线段AB 中点.

组别 候车时间 人数 一 [0，5) 2 二 [5，10) 6 三 [10，15) 4 四 [15，20) 2 五

[20，25)

1

C 1

D 1

(1)求证：1D E CE ⊥;

(2)求二面角1D EC D --的大小的余弦值； （3）求A 点到平面E CD 1的距离.

18.（14分）已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和。

(1)求n a 及n S ； (2) 设数列1n S ??????

的前n 项和为n T ，求证：当+∈N n 都有1n

n

T n >+成立。

19. （14分）设函数)0()(3

≠+=a bx ax x f 的图象在点))1(,1(f M 处的切线方程为

046=++y x .

（1）求a ，b 的值；

（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

20.（14分）椭圆的两个焦点分别为12(0,22),(0,22)F F -，离心率22

3

e =。 （1）求椭圆方程；

（2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点,

M N，且线段MN中点的横坐标

为

1

2

，求直线l倾斜角的取值范围。

揭阳第三中学2014-2015年第二学期第一次阶段考高二理科数学答案

一选择题（每题5分，共40分）

二．填空题（每题5分，共20分）

9. ()1,3- 10. 2

cos sin x x x

x

- 11. 2 12. [)1,1+3?

?-∞-∞ ???

和，

13. 23

π 14. (),6∞+

三解答题（共80分）

15解：（1）33(

)3sin 23sin 1212632f π

πππ?

?=?+==

???

…………………4分 （2）53541sin 1cos ,2,0,54sin 2

2=??

?

??-=-=∴??? ??∈=θθπθθ …6分

……………10分 ……12分

16

. 解析：（1）由频率分布表可知：

这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8， ………2分 所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于3215

8

60=?人.…4分 （2）设第三组的乘客为d c b a ,,,，第四组的乘客为1，2； “抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A .………………………………5分 所得基本事件共有15种，即：

12,2,1,2,1,,2,1,,,2,1,,,d d c c cd b b bd bc a a ad ac ab …………………8分

其中事件A 包含基本事件2,1,2,1,2,1,2,1d d c c b b a a ，共8种，………10分 由古典概型可得15

8

)(=A P ， ………………………12分

()25

72

53546cos sin 63sin2θ

2sin 3612

52sin 3125=??===-=???

???+??? ??-=??? ??-θθθππθπθπf

A B

A 1

C

D

B 1

C 1

D 1

E

x

y

z

(２)解法一 由（１）证可知ED D 1∠是所求二面角1D EC D --的平面角…………６分

在ED D RT 1?中，11=DD ，2=DE ；

故，222

1tan 1=

=

∠ED D …………………………8分

即二面角1D EC D --的大小的余弦值为

6

3

……………………………9分

解法二：利用向量法

设平面E CD 1的法向量为)1,,(y x m =， 由(１)得)1,1,1(1-=E D ，)0,1,1(-=CE

011=-+=?y x E D m 且0=-=?y x CE m

解

得

：

2

1

=

=y x ,即

)1,2

1

,21(=m ；…………………7分

又平面CDE 的法向量为)1,0,0(1=DD ，

3

6114

1

411|

|||,cos 111=

?++=

??=

∴DD m DD m DD m

所以，二面角1D EC D --的余弦值为

6

3

. …………………………9分 （３）)解法一：1B =C ，1A =E ，C E B A ⊥， 2

1

1121A =??=

∴?CE S ………………………………………10分 又 31=E D ， 2C =E ，CE E D ⊥1，

2

6

2321=

??=

∴?CDE S ……………………（11分） 设A 点到平面E CD 1的距离为d ，则d V V E CD CE D ??==??=

--2

6

311213111A A ， 解得66=

d ，即A 点到平面E CD 1的距离为6

6

. ……………（14分） 解法二：利用向量法

由(１) (２)知)0,1,0(A =E ，平面E CD 1的法向量为)1,2

1

,21(

=m 故，A 点到平面E CD 1的距离为66

2

621

|

||A |=

=?=m E m d

18

. 解：（1）∵

{}n

a 是首项1

1a =，公差2d =的等差数列， ∴

1(1)21n a a n d n =+-=-…………………………………………………３分

故21()(121)

13...(21)22

n n n a a n n S n n ++-=+++-=

==………………６分 （2）由（Ⅰ）得，2222211111

1234n T n

=+++++……………………………………7分

1111

1

12233445

(1)

n n >

+++++

?????+……………………10分

111111111

122334451n n =-+-+-+-++-

+…………………12分 1111

n

n n =-=

++…………………………14分 19

.解：（1）由函数)(x f 的图象在点M 处的切线方程为046=++y x 知

)10,1(-M ………… 1分∵b ax x f +='23)(， ………… 2分

故有???-=+='-=+=63)1(10)1(b a f b a f ………… 4分 得：?

??-==122b a ………… 6分

（2）3

()212f x x x =-。

2'()6126(2)(2)f x x x x =-=+-，………… 7分 列表如下：

x

(,2)-∞- 2- (2,2)- 2 (2,)+∞

'()f x + 0 - 0 + ()f x

增函数

极大

减函数

极小

增函数

………… 9分

所以函数()f x 的单调增区间是(,2)-∞-和(2,)+∞，………… 10分 ∵(1)10f -=，(2)82f =-，(3)18f =，………… 13分

∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =，最小值是(2)82f =-…… 14分

20.解：（1）设椭圆方程为22

221(0)y x a b a b

+=>>。

由已知，222222,,3,13

c c e a b a c a ==

=∴==-=