数列定义AB

数列定义 A 组题

一、选择题：

1．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则它的定义域为（） A. 非负整数集 B. 正整数集

C. 正整数集或其子集

D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n 2．已知数列{}n a ，1

()(2)

n a n N n n +=

∈+，那么1120是这个数列的第（）项. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3．数列 ,10,6,3,1的一个通项公式是（）.

A.12+-n n

2)1(+n n C.2

)

1(-n n D.321-+n 4．以下通项公式中，不是数列3,5,9, 的通项公式的是

（）

A 21n n a =+

B 23n a n n =-+

C 21n a n =+

D 1.5(2)(3)5(1)(3) 4.5(1)(2)n a n n n n n n =-----+-- 5．已知数列{}n a 满足12a =,111n

n n

a a a ++=

-(*n ∈N ),则3a 的值为（） A. 1

- B. 12 C. 13- D. 13

6．在数列{}n a 中，12n n n a a a ++=+，122,5a a ==，则6a 的值是（） A.3- B.11- C.5- D.19 7.正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成

数列}{n a 有以下结论，①155=a ；②620a =；③数列}{n a 的递堆公式

),(11*+∈++=N n n a a n n 其中正确的是（） A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．①②③

8．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)1(2-=n n a S ，则=2a

A ．4

B ．2

C ．1

D ．2- 9

．

{}

n a 满足

11,1,

2n n a a a -==-则

a 的值为

（） A.

B.1- C .2 D.2- 10．试探究下列一组数列的基本规律:0,2,6,14,30,…,根据规律写出第6个符合规律的数,这个数是( )

A.60

B.62

C.64

D.94

11．数列23，45，67，8

9，…的第10项是( )

A .1617 B. 1819 C .2021 D .2223

12．下列结论：①数列就是数的集合；

②任何数列都有首项和末项；③项数无限的数列是无穷数列；④前若干项相同的两个数列必相同．其中正确的序号是 ( )

A ．①③

B ．③④

C ．②④

D ．③ 13．不能作为数列 ,0,2,0,2的通项公式的是（）.

A 1)1(1+-+=n n a

B n n a )1(1--=

C n n a )1(1-+=

D ． )cos(1πn a n -=

14．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝1

a n ，则数列a n }是 ( )

A ．递增数列

B ．递减数列

C ．常数列

D ．摆动数列

15．已知数列{}n a 的通项公式为502--=n n a n ，则－8是该数列的（）. A ．第6项 B ．第7项 C ．第8项 D ．非任何一项 16．数列{}n a 中，n

n a a a 311+=

+，21=a ，

则=4a （）. A ．

252 B ．192 C ．132 D ．7

2 17、在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 的值是 ( ) A 、19 B 、 20 C 、21 D 、22

18．52是数列 ,11,22,5,2的第（）.

A ．7项

B ．8项

C ．9项

D ．10项

19．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 4等于

( )

A ．7

B ．8

C ．9

D ．17

20．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是

( )

A ．107

B ．108

C ．1081

21.下列对数列的理解有四种：

①数列可以看成一个定义在N *

（或它的有限子集{1，2，3，…，n }）上的函数； ②数列的项数是有限的；

③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是惟一的. 其中说法正确的序号是

（） A.①②③ B.②③④ C.①③ D. ①②③④

22设a n =-n 2

+10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大

（） A.10 B.11 C.10或11

D.12

23.已知数列{a n }的通项公式是a n =1

32+n n

，那么这个数列是

（）

A .递增数列

B .递减数列

C .摆动数列

D .常数列

24.已知数列{a n }的通项公式是a n =?

??-+，n n ，

n n )(22)(13为偶数为奇数则a 2·a 3等于

（） A.70

B. 28

C.20

D.8

25.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖块（用含n 的代数式表示）

（）

A.4n

B.4n +1

C.4n -3

26．已知数列{}n a 的首项11a =，且()1212n n a a n -=+≥，则5a 为

（）

A ．7

B ．15

C ．30

D ．31

27．已知数列的12++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++=_____________ 28. 在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x =

29．若数列{}n a 的通项公式为n n a n 1322+-=，关于该数列有下述四种说法：①该数列有无穷多个正数项；②该数列有无穷多项负数项；③该数列的最大项就是函数

x x x f 132)(2+-=的最大值；④70-是该数列中的一项；其中正确命题的序号为________

30、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为_____________

31．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为__________．

32．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n ＋1

n ＋2

，则a 5＋a 6＝__________.

三、解答题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）. 33．根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式： 1、3，5，9，17，33，…； 2、3

2，

154，356，638，99

，…； 3、2，－6，12，－20，30，－42，….

4、3, 5, 7, 9, 11,……；

5、 0, 1, 0, 1, 0, 1,……；

6、 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；

7、 2, －6, 18, －54, 162, …….

8、

21，2，2

9，8，225，…

9、5，55，555，5 555，55 555，… 10、5，0，-5，0，5，0，-5，0，… 11、1，3，7，15，31，…

34．已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+，试写出该数列的前5项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.

35．数列{}n a 中，已知21

()3

n n n a n N ++-=

∈，（1）写出10a ，1n a +；

（2）2

793

是否是数列中的项？若是，是第几项？

36．（1）已知数列{}n a 适合：11a =，1n a +22

n a a =+，写出前五项并写出其通项公式；

（2）用上面的数列{}n a ，通过等式1n n n b a a +=-构造新数列{}n b ，写出n b ，并写出{}n b 的前5项。

37、已知数列的通项公式为a n =

2+n n .

（1）0.98是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.

7．已知下列各数列{}n a 的前n 项和n S 的公式，求{}n a 的通项公式。 (1) n S ＝2n 2

－3n; (2) n S ＝n

3－2.

数列定义 B 组题

1、已知数列{a n }对任意的p ,q ∈N *

满足a p +q =a p +a q 且a 2=-6,那么a 10等于

（） A.-165

B.-33

C.-30

D.-21 2、.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第100项是

（） A.14

B.12

C.13

D.15

3.数列{a n }中，a 1=1,对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2

，则a 3+a 5等于

（） A.

25 C.

25 D.1531 4、已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2

-9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于

（）

A.9

B.8

C.7

D.6

5.若数列{a n }的通项公式a n =

)1(1+n ，记f （n ）=2(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n )，试通过计算f (1),f (2),f (3)的

值，推测出f (n )为（） A.n

n 1

+ B.

++n n C.

++n n D.

++n n

6、已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是 ( )

A ．k >0

B ．k >－1

C ．k >－2

D ．k >－3

7、数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当n ∈N *时，a n ＋2等于a n a n ＋1的个位数，若数列{a n }的前k 项和为243，则k 等于 ( )

A ．61

B ．62

C ．63

D ．64

8．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则5

是此数列中的 ( )

A ．第48项 B ．第49项 C ．第50项 D ．第51项 9．有穷数列1， 23， 26， 29， (23)

＋6

的项数是（）

A ．3n ＋7

B ．3n ＋6

C ．n ＋3

D ．n ＋2

10．某数列第一项为1，并且对所有n ≥2，n ∈N *，数列的前n 项之积n 2，则这个数列的通项公式是

（）A ．a n =2n －1

B ．a n =n 2

C ．a n =2

)

1(-n n

D ．a n =

)1(n n +

．已知)*n a n N =

∈，则1210a a a +++ 的值为（）

1 B

1 C

1 D ．2

二、填空题(每小题5分，共20分)

12、已知数列}{n a 满足)(1

33,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =_______

13、已知数列}{n a 的通项为58

2+=

n n

a n ，则数列}{n a 的最大项为_______

14、数列}{n a 中，21121

,,2

n n n a a a a n a a =++???+==则

15．已知数列{a n }满足a 1＝1，当n ≥2时，a 2

n －(n ＋2)a n －1·a n ＋2na 2n －1＝0，则a n ＝__________.(写出你认为正确的一个答案即可)

16、数列{a n }满足a n +1=???????

<≤-<≤,121,12,210,2n n n n a a a a a 1

=53，则数列的第2 008项为 . 17、数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,数列?

???+11n a 是等差数列，则a n = .

三、解答题(共50分)

18．(15分)已知数列{a n }的通项a n ＝(n ＋1)·???

?910n (n ∈N *)，试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由．

19、（1）.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝

156

n +. 求数列中的最大项

20、.已知数列{a n }的通项公式为a n

求数列中的最大项和最小项。

21.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1+S n )=n +1,求数列的通项公式.

22.已知数列{a n }中，a 1=1,前n 项和为S n ，对任意的n ≥2,3S n -4,a n ,2-2

-n S 总成等差数列. （1）求a 2、a 3、a 4的值；（2）求通项公式a n .

23.在数列{a n }中，a 1=

21，a n =1-1

1-n a (n ≥2,n ∈N *

)，数列{a n }的前n 项和为S n .

（1）求证：a n +3=a n ;(2）求a 2 008.

24.已知函数f （x ）=2x

-2-x

，数列{a n }满足f （log 2a n ）=-2n . （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证：数列{a n }是递减数列.

25.已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2n S =a n +1，求a n .

26已知数列{a n }的前n 项和S n 满足a n +2S n S n -1=0 (n ≥2),a 1=2

,求a n .

微专题9 数列中的新定义性问题

微专题9 数列中的新定义性问题问题背景新定义数列题是指以学生已有的知识为基础，设计一个陌生的数学情境，或定义一个概念，或规定一种运算，或给出一个规划，通过阅读相关信息，根据题目引入新内容进行解答的一类数列题型.由于新定义性数列题背景新颖，构思巧妙，而且能有效地考查学生的迁移能力和思维品质，充分体现“遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的特点，所以备受命题专家的青睐. 高考命题方向： 1.给出一种新数列的定义，要求构造出一个满足条件的数列或求出一个特殊数列的某些量； 2.给出一种新数列的定义证明这种数列的某些性质. 思维模型说明： 1.解决方案及流程 ①读懂定义，理解新定义数列的含义； ②特殊分析，比如先对1,2,3n =…的情况进行讨论； ③通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列（如等差与等比数列）的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案，最后利用等差、等比数列有关知识来求解； ④联系等差与等比数列知识将新定义数列问题在转化为熟悉的知识进行求解. 2.失误与防范 ①不能正确理解新定义的含义； ②不注重利用特殊化分析，寻找新定义的数列的性质； ③难以用文字将解题过程完整准确地表达出来. 问题解决一、典型例题例1 在数列{}n a 中，若12,a a 是正整数，且12,3,4,5,n n n a a a n --=-=???，则称{}n a 为“绝对差数列”. （1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（2）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 例2 设数列{}n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”.

人教课标版高中数学必修5拓展资料：常见的新定义数列问题

常见的新定义数列问题近年高考中，常常出现新定义数列的考题．题目常常给出一种新数列的定义，通过阅读与理解题意，完成相关的问题．这是一类创新题型，需要对已经学过的数列知识理解彻透，并学会灵活运用这些知识去解决相关问题．一、等和数列【例1】（北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为，且这个数列的前21项和21S 的值为．【分析】先对等和数列进行一般性的探讨．设{}n a 是等和数列，公和为m ，则由等和数列的定义知，数列{}n a 的各项依次为1111a m a a m a --，，，，，即 11 n a a m a ?=?-?，， 1122 n n a m S mn ?-??+ ?????=? ???，，【解析】因为12a =，公和为5m =，所以18523a =-=，21211 25522 S -=+ ?=．二、等积数列【例2】（保定市高考模拟）在一个数列中，若每一项与它的后一项的积都为同一个常数（有限数列的最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中的常数称为公积．若数列{}n a 是等积数列，且102a =，公积为6，则1592005a a a a ????=（） A ．5022 B ．5012 C ．5023 D ．5013 【分析】先对等积数列进行一般性的探讨．设{}n a 是等积数列，公积为m ，则由等积数列的定义知，数列{}n a 的各项依次为 1111 m m a a a a ，，，，，即11 n a a m a ?? =???，，【解析】由()2005114n =+-?可得：501n =，又因为102a =，公积为6，所以13a =， 50215920053a a a a ??? ?=，故选C ． n 为奇数； n 为偶数． n 为奇数； n 为偶数． n 为奇数； n 为偶数．

专题2-6以新定义数列为背景的解答题2019年高考数学备考优生百日闯关系列江苏专版

-- ----------- =b. + 1 ，所以专题二压轴解答题第六关以新定义数列为背景的解答题【名师综述】解决新定义问题，首先考察对定义的理解?其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质?第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 类型一以数列和项与通项关系定义新数列典例1 .【2019江苏苏州上学期期末】定义：对于任意n ENT , G十耳+汀斗r 1仍为数列｛叫〕中的项，则称数列为回归数列 (1)己知馮二『("EK')，判断数列他J是否为回归数列”，并说明理由； (2)若数列｛虬］为回归数列”，対=3,州=。，且对于任意n GN，均有久€如+ ［成立.①求数列｛KJ的 V+31*1-! ■—— ------- =b t 通项公式；②求所有的正整数s, t,使得等式成立. 【答案】(1) S订不是回归数列”，说明见解析(2)①，②使得等式成立的所有的正整数s, 的值是s= 1, t= 3 【解析】(1)假设“时是回归数列”，则对任意応补，总存在，使讣+件八Y「严心成立，即2n+4-2N-2-2" = 2i，即J-2lt = 2t，此时等式左边为奇数.右边为偶数，不成立，所以假设不成立, 所以不是回归数列”. (2)①因为I?严虬十-所以叽+严町「_, 所以陶亠叽&见且％+虬7-此十严％ +广他—一亠)弋叽+ 2 , 又因为代为回归数列”，所以％ f +上-乩严叽+1，即％“ +厂呱+1，所以数列如|为等差数列. 又因为阿?3?b宀所以叽氓心■). ②因为

新定义数列专题

新定义数列为背景的解答题【名师综述】解决新定义问题，首先考察对定义的理解。其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质.第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 类型一以数列和项与通项关系定义新数列典例1 设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()P k 数列”．（1）若数列{}n a 为“()1P 数列”，求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”？若存在，求出符合条件的数列 {}n a 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列{}n a 为“()2P 数列”， 22a =，设3 1223222 2 n n n a a a a T = ++++ ，证明： 3n T <．【答案】（1）12,*n n a n N -=∈．（2）见解析；（3）见解析．（2）假设存在这样的数列{}n a ，则有n n k S a k +=-，故有11n n k S a k +++=- 两式相减得： 11n n k n k a a a ++++=-，故有332n n k n k a a a +++++=- 同理由{}n a 是“()2P k +数列”可得： 132n n k n k a a a +++++=-，所以13n n a a ++=对任意*n N ∈恒成立所以22n n k n k n S a k a k S ++++=-=-=，即2n n S S +=，又2222n n k n S a k S +++=--=-，即22n n S S +-=，两

数列新定义选择题(2)

1．已知数列{}n a 的通项为()() *1log 2n n a n n N +=+∈，我们把使乘积123n a a a a 为整数的n 叫做“优数”，则在(]1,2010内的所有“优数”的和为（） A ．1024 B ．2003 C ．2026 D ．2048 答案：C 解答：因为数列{}n a 的通项为()() *1log 2n n a n n N +=+∈，所以()()123 23412log 3log 4log 5log 2log 2n n a a a a n n +=??+=+，又因为102=1024，112=2048，所以在(]1,2010内最大的“优数”为21024n +=，即102-2n =，在(]1,2010内的所有“优数”的和为 10-2++2-2= 2．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项 1011 1 b b ++ = ） A B C D 答案： C 解答：由定义可知2215......n a a a n =+++，2 12115......）（+=+++++n a a a a n n ，可求得5101+=+n a n ，所以510-=n a n ，则12-=n b n ，又

1 b b ++ 1 所以本题正确选项为C. 3．已知数列{}n a 的通项()()1log 2n n a n +=+（n *∈N ），我们把使123n a a a a ???为整数的n 叫做优数，则在(]0,2015内所有优数的和为（） A ．1024 B ．2012 C ．2026 D ．2036 答案： C 解答：由换底公式：log log log c a c b b a = ， 12323(1)log 3log 4 log (2)n n a a a a n +\鬃?+ lg3lg 4 lg(2) lg 2lg3 lg(1) n n += ??? + 2lg(2) log (2)lg 2 n n += =+， 2log (2)n +为整数， *22,m n m N ∴+=∈， n 分别可取222-，322-，422-，最大值222004m -≤，m 最大可取10，故和为234 102222182026+++ +-=．故选C ． 4．有穷数列1a ，2a ，3a ，…，2015a 中的每一项都是011-，，这三个数中的某一个数，若1 a +2a +3a +…+2015425a =，且21)1(+a +22)1(+a +23)1(+a +…+2 2015(17)380a +=，则有穷数列1a ，2a ，3a ，…，2015a 中值为0的项数是（）

数列新定义选择题(1)

考点：数列新定义难度：1 一、选择题 1．定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有 A.18个 B.16个 C.14个 D.12个答案： C 解答：由题意必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下： 2．如果正整数a 的各位数字之和等于8，那么称a 为 “幸运数”（如：8，26，2015等均为“幸运数”），将所有“幸运数”从小到大排成一列1a ，2a ，3a ，……，若2015n a =，则=n （） A ．80 B ．81 C ．82 D ．83 答案： D ．解答：分析题意可知，1位的幸运数只有1个8；2位的幸运数：17，26，……71，80，共8个； 3位的幸运数：第1位为1：107，116，……170，共8个，第1位为2：206，215，……260，共7个，以此类推，从而可知3位的幸运数共有876136+++???+=个；4位的幸运数：第1位是1：1007，1016，……1070，有8个，1106，1115，1160，有7个，以此类推，从

而可知第1位是1的4为幸运数共有876136+++???+=个，第2位是2的幸运数：2006，2015，∴183636283n =++++=，故选D ． 3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图①中的1,3,6,10,... , 由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的1,4,9,16,...,这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A ．189 B ．1024 C ．1225 D ．1378 答案：C 解答：正方形数的通项公式是2n a n =，所以两个通项都满足的是1225，三角形数是，正方形数是35=n ． 4．删除正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2015项是（） A ．2058 B ．2059 C ．2060 D ．2061 答案： C 解答：由题意可得，这些数可以写为：21，2，3，22，5，6，7，8，23… 第k 个平方数与第k +1个平方数之间有2k 个正整数，而数列21，2，3，22，5，6，7，8，23…245共有2025项，去掉45个平方数后，还剩余1980个数所以去掉平方数后第2015项应在2025后的第35个数，即是原来数列的第2060项，即为2060． 5．1202年，意大利数学家斐波那契在他的书中给出了一个关于兔子繁殖的递推关系： ()123n n n F F F n --=+≥，其中n F 表示第n 个月的兔子的总对数，121F F ==，则8F 的值为（） A.13 . . . 9 1 . . . 10 6 3 1

专题新定义数列问题

新定义数列问题数列的新定义问题成为最近几年高考的热点，主要是题目的条件或结论上给出新的方式或者用其他语言(如集合、向量)来描述，增加了题目理解的难度．例1设数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，均有S n＝a n＋k－k(k是常数且k∈N*)成立，则称数列{a n}为“P(k)数列”． (1) 若数列{a n}为“P(1)数列”，求数列{a n}的通项公式； (2) 是否存在数列{a n}既是“P(k)数列”，也是“P(k＋2)数列”？若存在，求出符合条件的数列{a n}的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；例2 对于数列{a n}，定义：b n(k)＝a n＋a n＋k，其中n，k∈N*. (1) 若b n(2)－b n(1)＝1，n∈N*，求b n(4)－b n(1)的值； (2) 若a1＝2，且对任意的n，k∈N*，都有b n＋1(k)＝2b n(k)． ①求数列{a n}的通项公式； ②设k为给定的正整数，记集合A＝{b n(k)|n∈N*}，B＝{5b n(k＋2)|n∈N*}, 求证：A∩B＝?. 【思维变式题组训练】 1. 若数列{a n}中不超过f(m)的项数恰为b m(m∈N*)，则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{a n}生成{b m}的控制函数． (1) 已知a n＝n2，且f(m)＝m2，写出b1，b2，b3； (2) 已知a n＝2n，且f(m)＝m，求{b m}的前m项和S m；

2. 若存在常数k (k ∈N * ，k ≥2)，q ，d ，使得无穷数列{a n }满足a n ＋1＝ ????? a n ＋d ， n k ?N * ，qa n ， n k ∈N * ，则称数列{a n }为“段比差数列”，其中常数k ，q ，d 分别叫作段长、段比、段差．设数列{b n }为“段比差数列”． (1) 若{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1,3，q,3. ① 当q ＝0时，求b 2 016； ② 当q ＝1时，设{b n }的前3n 项和为S 3n ，若不等式S 3n ≤λ·3n －1 对n ∈N * 恒成立，求实数λ的取值范围； (2) 设{b n }为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{b n }，并说明理由．新定义数列问题 1. 若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”． (1) 已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1. ① 求{a n }的通项公式； ② 试判断{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论； (2) 已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n ∈Z(n ∈N *)．求证：{a n }为“等比源数列”． 2. 数列{a n }的各项均为正数．若对任意的n ∈N *，存在k ∈N *，使得a 2n ＋k ＝ a n a n ＋2k 成立，则称数列{a n }为“J k 型”数列． (1) 若数列{a n }是“J 2型”数列，且a 2＝8，a 8＝1，求a 2n ； (2) 若数列{a n }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{a n }是等比数列．

SXC141高考数学必修_数列新亮点新定义数列

数列新亮点：新定义数列数列是中学数学的重要模块之一，除了传统的运算和论证之外，各地的高考或模拟试题中出现了许多新定义的数列，成为数列问题中一道亮丽的风景线.下面我们一起领略他们的风采.考虑到数列的通项公式在数列问题中处于核心地位，我们仅给出通项公式. 1、等和数列定义：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做这个数列的公和. 例1 已知数列 {}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，求n a . 分析由等和数列的定义知：,3,2,3,24321 ====a a a a 奇数项为2，偶数项为3.即2(3n n a n ?=??为奇数）（为偶数）. 2、等积数列定义：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一常数，那么这个数列叫做“等积数列”，这个常数叫做该数列的公积. 例2 已知数列{}n a 是等积数列,且12a =,公积为5,求n a . 分析由等积数列的定义知：,2 5 ,2,25,24321 === =a a a a 所以奇数项为2，偶数项为25，即2(52 n n a n ?? =???为奇数）（为偶数）.

记得在讲等差、等比数列时，就有同学提出过这样的问题：加减乘除是最基本的运算，既然有等差数列和等比数列，会不会有等和数列和等积数列呢？上面的分析解决了这个疑问.如果将四类基本运算和常见的等差、等比数列组合，数列家族中又产生了不少新“丁”，此类问题源于教材，而又高于教材，是培养学生探究能力的好材料，因而倍受青睐. 3、和等差数列定义：数列{}n a 中，从第二项开始，每一项与前一项的和成等差数列，则称此数列为和等差数列. 例3 已知数列{}n a 中， {}121,2,1++==n n a a a a 是以3为公差的等差数列，求n a . 分析 2,2,121≥==n a a 时，{}1++n n a a 是以首项为3，3为公差的等差数列n n a a n n 3)1(331=-+=++，令[]b n k a b kn a n n +++-=+++)1(1，由待定系数法：33,24k b =-=，故???? ?? +-4323n a n 是以41为首项，公比1-=q 的等比数列.1 )1(4 14323--=+-n n n a ，即436)1()1(41432311-+-=-+-=--n n a n n n . 4、差等差数列定义：数列{}n a 中，从第二项开始，每一项与前一项之差为等差数列，则称此数列为差等差数列. 例4 已知数列{}n a 中， {}n n a a a a -==+121,2,1是以3为公差的等差数列，求n a 分析：由已知,2,121==a a ，{}n n a a -+1是以首项为1，3为公差的等差数

2020年高三数学大串讲第20讲(数列中的新定义问题)(解析版)

第20讲数列中的新定义问题【目标导航】解决新定义问题，首先考察对定义的理解．其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质．第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质．【例题导读】例1、数学运算中，常用符号来表示算式，如 n i i a =∑= 0123n a a a a a +++++L ，其中i N ∈，n N + ∈．（Ⅰ）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，公差1d =，求证： ()0n i i n i a C ==∑1 2 n n -?；（Ⅱ）若 22 201221 (1)n k n n k x a a x a x a x =+=++++∑L ，20 n n i i b a ==∑，记1 1[(1)]n i i n i n i d b C ==+-∑，且不等式 (1)n n t d b ?-≤对于*n N ?∈恒成立，求实数t 的取值范围．【解析】（Ⅰ）由已知得，等差数列的通项公式为n a n =，则 ()0 n i i n i a C ==∑120 12n n n n n a a C a C a C ++++L 01120()(2)n n n n n n n n a C C C C C nC =+++++++L L 因为11k k n n kC nC --=，所以122n n n n C C nC +++L 011 111()n n n n n C C C ----=+++L ，所以 ()0 n i i n i a C ==∑10 22n n a n -?+?=12n n -?．（Ⅱ）令1x =，则22 3 20 2(14) 22222421n n n n i i a =-=++++= =?--∑L ，令1x =-，则 20 [(1)]0n i i i a =-=∑，所以20 n n i i b a ==∑1 (242)412 n n = ?-=-，根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n n n n n n n n d C C C C C =--+---++--L 01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+L L

新定义数列

专题二压轴解答题第六关以新定义数列为背景的解答题【名师综述】解决新定义问题，首先考察对定义的理解。其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质.第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 类型一以数列和项与通项关系定义新数列典例1 设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()P k 数列”．（1）若数列{}n a 为“()1P 数列”，求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”？若存在，求出符合条件的数列{}n a 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列{}n a 为“()2P 数列”， 22a =，设3 1223222 2 n n n a a a a T = ++++ ，证明： 3n T <．【答案】（1）1 2,*n n a n N -=∈．（2）见解析；（3）见解析．（2）假设存在这样的数列{}n a ，则有n n k S a k +=-，故有11n n k S a k +++=- 两式相减得： 11n n k n k a a a ++++=-，故有332n n k n k a a a +++++=- 同理由{}n a 是“()2P k +数列”可得： 132n n k n k a a a +++++=-，所以13n n a a ++=对任意*n N ∈恒成立所以22n n k n k n S a k a k S ++++=-=-=，即2n n S S +=，又2222n n k n S a k S +++=--=-，即22n n S S +-=，两者

(完整版)数列新定义专题

课题：基于数列的新定义相关题型数列中新定义题型在近几年来算是高考中的热门考点，通常情况下会结合之前所学的函数、三角等来考察学生对相关知识的融会贯通情况，该类题型要求学生对之前所学的知识掌握要扎实，并能运用连贯，并且对于数列之前所学的相关性质也要掌握扎实，同时也会引入其他新知识点。基本要求：学生对函数及三角的相关性质要掌握熟练，其次对于数列的项数与各项的关系等要能熟练掌握。 1、数列与函数相结合 1）与二次函数相结合例：在直角坐标平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),……,P n(a n,b n),……,对每一个自然数n,点P n(a n,b n)在函数y=x2的图象上，且点P n(a n,b n),点A(n,0),点B(n+1,0)，构成一个以点P n(a n,b n)为顶点的等腰三角形。（1）求对每一个自然数n，以点P n纵坐标构成的数列b n的通项公式；（2）令，求的值。 2）与指数函数相结合例：在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),……,P n(a n,b n),……对每一个自然数n，点P n(a n,b n)在函数y=的图象上，且点P n(a n,b n)，点(n,0)与点(n+1,0) 构成一个以点P n(a n,b n)为顶点的等腰三角形。（1）求点P n(a n, b n)的纵坐标b n的表达式；（2）若对每一个自然数n, 以b n, b n+1, b n+2为边长能构成一个三角形，求a的范围；（3）设B n=b1b2b3……b n(n∈N+)，若a是(2)中确定的范围内的最小整数时，求{B n}的最大项是第几项？

江苏省南通中学2019届高考数学备考微专题(四)数列中的新定义问题 (1)

南通中学2019届高考数学备考微专题（四）数列中的新定义问题 1、高考考情:以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点,考查频次较高. 2、命题形式:常见的有新定义、新规则等. 3、求解策略：（1）准确转化:解决数列新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,将题目所给定义转化成题目要求的形式,切忌同已有概念或定义相混淆. （2）方法选取:对于数列新定义问题,搞清定义是关键,仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意,从而找到恰当的解决方法. 一．例题 1、若数列{}n a 满足 111 n n d a a +-= (,n N d *∈为常数),则称数列{}n a 为“调和数列”.已知正项数列1n b ?? ? ??? 为“调和数列”,且12990b b b +++==90,则46b b ?的最大值是。【解析】由已知得{b n }为等差数列,且b 4+b 6=20,又b n >0,所以b 4·b 6≤ 100,当且仅当b 4=b 6时等号成立. 2、若数列{}n a 满足 110,,n n p n N p a a *+-=∈为非零数列，则称数列{}n a 为“放飞”数列。已知正项数列1n b ?? ? ??? 为“放飞”数列，且99123992b b b b =，则892b b +的最小值是。【解析】依题意可得1n n b qb +=，则数列{}n b 为等比数列.又9999123 99502b b b b b ==，则 502b = .8925024b b b +≥==，当且仅当892b b =即该数列为常数列时取等号. 3、若数列{}n a 满足()1122n n n a a a n -++≥≥，则称数列{}n a 为凹数列。已知等差数列{}n b 的公差为d ，14b =，且数列n b n ?? ???? 为凹数列，则d 的取值范围是。 3、(,4]-∞ 二．课堂习题 1.如果数列{}n a 共有k （k N * ∈，4k ≥）项，且满足条件：①120k a a a ++ +=；② 121k a a a ++ +=，则称数列{}n a 为P(k )数列．（1）若等比数列{}n a 为P(4)数列，求1a 的值；（2）已知m 为给定的正整数，且2m ≥．①若公差为正数的等差数列{}n a 是P(2m ＋

数列新定义问题

20.若数列{}n a 满足d a a n n =-+11 1（*∈N n ,d 为常数）, 则称数列{}n a 为调和数列。已知数列? ?????n x 1为调和数列，且2002021=++x x x ，则=+165x x _____________. 21.定义：称n P P P n +++ 21为n 个正数n P P P ,,,21 的“均倒数”。若数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为1 21-n ，则数列{}n a 的通项公式为_____________. 22.有限数列）（n a a a A ,,21=，n S 为其前n 项和，定义 n S S S n ++21为A 的“凯森和”，如有500项的数列),,,(50021a a a 的“凯森和”为2004，则有501项的数列),,,,2(50021a a a 的“凯森和”为_____________. 23.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列{}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为_____________，这个数列的前21项和21S 为_____________. 24.在数列{}n a 中，对任意*∈N n 都有k a a a a n n n n =--+++112（k 为常数），则称数列{}n a 为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为c b a a n n +?=（0≠a ，1,0≠b ）的数列一定是等差比数列；⑤等差比数列中可以有无数项为0，其中正确的是_______________. 25.定义：若数列{}n a 对任意的正整数n ，都有d a a n n =++1（d 是常数），则称{}n a 为“绝对和数列”， d 叫做“绝对公和”。已知“绝对和数列” {}n a 中，

新定义数列与不等式应用精讲

第3讲新定义数列与不等式应用精讲教师备案一、总体架构安排 1．总体说明数列在北京高考中有简单题与难题两类，不等式常常作为工具与其它知识结合考查．数列的简单题考查等差与等比数列的基本量、性质与求和，是一轮复习的重点．难题多以新的递推形式、数列的新定义性质等方式出现，有时会与不等式、函数等内容综合，这是二轮复习的重点．不等式的直接考查多是线性规划问题，已经在一轮复习时进行总结，这里主要解决恒成立的转化问题、函数与不等式结合的问题等．本讲例题安排： 2．时间安排本讲难度适中，建议课时3小时．二、一轮、二轮、三轮复习衔接一轮复习时，我们用5讲来复习本块知识．数列部分详细梳理了等差与等比数列的基本量、性质与证明、数列的递推求通项与数列的求和方法，以及数学归纳法；不等式部分梳理了不等式的性质、解不等式、不等式证明的各种方法，以及数列与不等式综合中的简单放缩法．

二轮复习以数列的创新小题、数列与其它知识的综合问题、不等式的恒成立转化问题为重点，通过这些较综合的问题更加深入理解数列与不等式，也让学生提前感受一下数列创新题的解决思路，为三轮复习作准备．三轮复习中的数列与不等式问题只在快速解决选择填空与创新小题两讲中个别涉及，在创新大题一讲中涉及到一些与数列与不等式相关的压轴题类型，不再系统地复习数列与不等式． <教师备案> 本版块分为两部分，数列部分主要回顾等差数列与等比数列的基本量、性质与求和；不等式部分回顾了不等式的性质、解不等式与均值不等式．建议时间20分钟，星级表示难度，星星越多，难度较高．建议尖子班讲一星、二星的问题为主，目标班与目标123班着重讲三星的问题．一、数列 1．（★）小题快练： ⑴（广东文）若等比数列{}n a 满足2412 a a = ，则2 135a a a =______． ⑵（江西）设数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=____． ⑶（石景山高三期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =_____． ⑷（海淀高三期末）若数列{}n a 满足：119a =，() * 13n n a a n +=-∈N ，则数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值为 _______． ⑸ （东城高三期末）在等差数列{}n a 中，若574a a +=，682a a +=-，则数列{}n a 的公差等于；其前n 项和n S 的最大值为． ⑹（石景山一模）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若40k a a +=，则k =________． ⑺（全国卷）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11n n a a +?? ???? 的前100项和为_________． ⑻（海淀一模）在等比数列{}n a 中，18a =，435a a a =，则7a =________． ⑼（东城一模）已知x ，y ，z ∈R ，若1-，x ，y ，z ，3-成等比数列，则xyz 的值为______． ⑽（新课标）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=_______．二、不等式知识回顾

数列新定义习题

数列新定义习题（2010湖南卷理15）若数列{}n a 满足：对任意的n N *∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为()n a * ，则得到一个新数列{} ()n a *．例如，若数列{}n a 是 1,2,3,n …，…，则数列{} ()n a *是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *∈，2n a n =，则5()a *= ，(())n a ** = ．【答案】2，2n 【解析】因为5m a <，而2 n a n =，所以m=1,2,所以5()a *=2. 12345678910111213141516 ()0, ()1,()1,()1, ()2,()2,()2,()2,()2, ()3,()3,()3,()3,()3,()3,()3, a a a a a a a a a a a a a a a a ********* *******================因为所以1(())a **＝1, 2(())a **＝4，3(())a **＝9，4(())a ** ＝16，猜想2 (())n a n **= 【命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力，属难题。 3、对数列{}n a ，如果* k ?∈N 及12,,,k λλλ∈R L ，使1122n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++L 成立，其中* n ∈N ，则称{}n a 为k 阶递归数列．给出下列三个结论： ① 若{}n a 是等比数列，则{}n a 为1阶递归数列； ② 若{}n a 是等差数列，则{}n a 为2阶递归数列； ③ 若数列{}n a 的通项公式为2 n a n =，则{}n a 为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（） A ．0 B.1 C.2 D.3 7、已知线段A B 上有10个确定的点（包括端点A 与B ）．现对这些点进行往返标数（从A →B →A →B →…进行标数，遇到同方向点不够数时就 “调头”往回数）．如图：在点A 上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上 A B 1 2 3 564

2020届高考数学二轮复习专题《数列中的新定义问题》

专题25数列中的新定义问题以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点，考查频次较高．解决新定义问题，首先考察对定义的理解．其次是考查满足新定义的数列的简单应用，主要考察综合分析能力，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，在新环境下灵活应用已有知识，从而找到恰当的解决方法. a n各项均不相同，a1＝1，定义 b n(k)＝a n＋(－1)k a n 已知数列{} ，其中n，k∈N*. ＋k (1)若b n(1)＝n，求a5； a n的前n项和为 (2)若b n＋1()k＝2b n()k对k＝1,2均成立，数列{} a n的通项公式． S n.求数列{} 数列新定义问题是近几年高考的热点，解题的关键在于在“新”上做文章，解题前应深刻理解“新数列”的含义，并将其进行转化，使“新数列”问题变成一个熟知的常规题型．本题从数列“b n(k)”的构造入手，找到它与原数列{a n}之间的关系，再利用条件中n，k的任意性，应用特殊化思想解决第(1)题；第(2)题则是从已知出发，先得到两个关于递推关系式，然后通过代数恒等变形及消元方的关系，从而证得最终结果. 法，推出a n与a n ＋1 (2019·南京二模)设数列{a n}的各项均为正数．若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得a2n＋k＝a n·a n＋2k成立，则称数列{a n}为“J k 型”数列． (1)若数列{a n}是“J2型”数列，且a2＝8，a8＝1，求a2n； (2)若数列{a n}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数

列{a n }是等比数列．已知数列{}a n 、{}b n 、{}c n ，对于给定的正整数k ，记b n ＝a n －a n ＋k ，c n ＝a n ＋a n ＋k (n ∈N *)．若对任意的正整数n 满足：b n ≤b n ＋1，且{}c n 是等差数列，则称数列{}a n 为“H (k )”数列． (1)若数列{}a n 的前n 项和为S n ＝n 2，证明：{}a n 为H (k )数列； (2)若数列{}a n 为H (1)数列，且a 1＝1，b 1＝－1，c 2＝5，求数列{}a n 的通项公式； (3)若数列{}a n 为H (2)数列，证明：{}a n 是等差数列． (2020·徐州模拟)设数列{}a n 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为S n ，我们称满足条件“对任意的m ，n ∈N *，均有(n －m )S n ＋m ＝(n ＋m )(S n －S m )”的数列{}a n 为“好”数列． (1)试分别判断数列{}a n ，{}b n 是否为“好”数列，其中a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，n ∈N *，并给出证明； (2)已知数列{}c n 为“好”数列，若c 2 017＝2 018，求数列{}c n 的通项公式．设数列{}a n 的首项为1，前n 项和为S n ，若对任意的n ∈N *，均有S n ＝a n ＋k －k (k 是常数且k ∈N *)成立，则为“P (k )数列”． (1)若数列{}a n 为“P (1)数列”，求数列{}a n 的通项公式； (2)是否存在数列{}a n 既是“P (k )数列”，也是“P (k ＋2)数列”？若存在，求出符合条件的数列{}a n 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由； (3)若数列{}a n 为“P (2)数列”，a 2＝2，设T n ＝a 12＋a 222＋a 323＋…＋

(完整word版)新定义数列求解差策略

新定义数列求解策略 1、高考考情:以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点,考查频次较高. 2、命题形式:常见的有新定义、新规则等. 3、求解策略：（1）准确转化:解决数列新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,将题目所给定义转化成题目要求的形式,切忌同已有概念或定义相混淆. （2）方法选取:对于数列新定义问题,搞清定义是关键,仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意,从而找到恰当的解决方法. 课前预习： 1、若数列{}n a 满足 111 n n d a a +-= (,n N d *∈为常数),则称数列{}n a 为“调和数列”.已知正项数列1n b ?? ? ??? 为“调和数列”,且12990b b b +++=L =90,则46b b ?的最大值是。【解析】由已知得{b n }为等差数列,且b 4+b 6=20,又b n >0,所以b 4·b 6≤ 100,当且仅当b 4=b 6时等号成立. 变式、若数列{}n a 满足 110,,n n p n N p a a *+-=∈为非零数列，则称数列{}n a 为“放飞”数列。已知正项数列1n b ?????? 为“放飞”数列，且99 123992b b b b =L ，则892b b +的最小值是。变式：依题意可得1 n n b qb +=，则数列{}n b 为等比数列.又999912399502b b b b b ==L ，则 502b =.89289250224b b b b b +≥?==，当且仅当892b b =即该数列为常数列时取等号. 2、定义运算符号:“Π”,这个符号表示若干个数相乘.例如,可将1×2×3×…×n 记作 ()1 n i i n N * =∈∏.记1 n n i i T a ==∏i ,其中 i a 为数列{}n a () n N *∈中的第i 项. (1)若21n a n =-,则4T = .(2)若2 n T n = () n N *∈,则n a = . 【解析】(1)a n =2n-1,则a 1=1,a 2=3,a 3=5,a 4=7,所以T 4=1×3×5×7=105.（2）2,211,1n n n a n n ???≥? ?=-????=? 例题： 1、设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”. (1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明: }{n a 是“H 数列”; (2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0